О РАСПРОСТРАНЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ВОЛН В ДИССИПАТИВНЫХ СЛОИСТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛАХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

2017

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 1(36)

УДК 539.3

О распространении собственных волн в диссипативных слоистых цилиндрических телах

И. И. Сафаров, М. Х. Тешаев, З. И. Болтаев

Бухарский инженерно-технологический институт Республика Узбекистан, 105017, Бухара, ул. К. Муртазаева, 15 safarov54@mail.ru, (+99893) 625-08-15

Рассматриваются вопросы распространения собственных волн в диссипативных слоистых цилиндрических телах, взаимодействующих с деформируемыми (вязкоупругими) средами. Динамическое поведение цилиндрических тел описывается уравнениями механики сплошных сред. Спектральная задача сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с переменными комплексными коэффициентами. Решение системы дифференциальных уравнений выражается с помощью цилиндрических специальных функций Бесселя и Ханкеля. Частотные уравнения решаются численно методами Мюллера и Гаусса. Исследовано изменение собственной частоты и фазовой скорости в зависимости от волнового числа. Для диссипативных неоднородных механических систем обнаружена немонотонная зависимость мнимых частей фазовых скоростей от волновых чисел.

Ключевая слова: собственные волны; диссипативное тело; среда; спектральная задача; собственная частота; фазовая скорость.

DOI: 10.17072/1993-0550-2017-1-33-40

Введение

Закономерности распространения возмущений в сплошных средах представляют значительный интерес для многих областей науки и техники [1, 2]. Анализ распространения волн в упругой среде основан на допущении о справедливости закона Гука, согласно которому напряжения в данной точке среды в моменты времени пропорциональны деформациям в те же самые моменты времени [6, 7]. Следствием этого предположения является тот факт, что энергия серии волн или импульса остается постоянной. Как правило, влияние этих "негуковых" напряжений для металлов и металлических сплавов достаточно мало, однако они имеют большое значение для рези-ноподобных и строительных материалов, которые обнаруживают существенные временные эффекты под нагрузкой [8]. Также разные вязкоупругие (реологические) свойства дис-

© Сафаров И. И., Тешаев М. Х., Болтаев З. И.,2017

сипативно неоднородных тел существенно влияют на закон распространения и затухания волн [9, 10, 11].

В данной работе, в отличие от известных, рассматривается распространение собственных волн в слоистых диссипативно неоднородных (элементы механической системы обладают разными реологическими свойствами) цилиндрических телах [3, 4, 5].

1. Постановка задачи и методы решения

В цилиндрической системе координат , в, z } рассматривается распространение собственных волн в изотропном вязкоупругом теле (V), состоящем из кусочно-однородных цилиндрических тел Ук (к = 1,2.. Щ), погруженном в однородную вязкоупругую среду (рис. 1).

Рис. 1. Расчетная схема кусочно-однородного цилиндрического тела

Линейное уравнение движения механической системы в векторной форме при отсутствии объемных сил принимает вид

/~к V2 и + (Ак + Мк )graddiv и = Рк ^Т,

дt

(1)

(к =1, 2, 3.....N

где

Ак/(г ) = Ак

Мк/) = Мк 0

/ (г) Я^ (*-т)/(т) dт

0

г

/(г)- ¡Я,,(г-т)/(т^т

(2)

/(г) - произвольная функция времени; Як{г — т) и Ямк(г - т) - ядро релаксации;

Ас0,Мс0 - мгновенные модули упругости; и -вектор перемещений; рк - плотность среды; к - порядковой номер слоев; Ук - коэффициент Пуассона, который считаем нерелаксирующей величиной [6]; / (г) - произвольная функция времени.

Принимаем интегральные члены в (2) малыми, тогда функции /(г) = у(г)е~ШяЯ, где у/(г) - медленно меняющаяся функция времени; СЯ - действительная константа.

Далее, применяя процедуру замораживания [7], заметим соотношения (2) приближенными вида

'к о

Ак/ = Ак о [1 -ГА (с )-/ГАк (ск )/,

Мк/ = м о [1 - гмк (С ) - /гМк С )]/,

где

Г А, мкС (СЯ ) = | Я А, мк (т) С°8 СЯт dT

0

ГА,/ (СЯ ) = ¡КА,мк (т)СЯт^ , 0

соответственно, косинус- и синус-образы Фурье ядра релаксации материала.

В качестве примера вязкоупругого материала примем трехпараметрическое ядро

релаксации ЯАмк ()= ААме / г 1 ^

Предполагается что ЯАк (г ) =Як (г ) =Я (г), т. е.

ГА,мкС (СЯ ) = Гкс (С ),

ГАМ (СЯ ЬГ/ (С ).

Между слоями ставятся условия жесткого или скользящего контакта [12]:

Г = ак : <ггк = <гг (к+1);

агвк = агв(к + 1) ;аГ1к = аГ2 ( к +1);

ик = ик+1;

(3,а)

$к = ^к+1; ^к = ^к+1.

Если внешняя поверхность многослойного цилиндра свободна от напряжений, тогда

г = ам: =0;

0; = 0.

(3,б)

в ^ Г2Ы

Если вектор перемещений представить в виде потенциальной и соленоидальной частей

и,

grad (Рк + гог у к ,

то волновые уравнения имеют вид:

дЧ- 0;

АРк д^

__1_ у

к с1Вк дг2

АУ

0;

Ау У + __^^ = 0;

АУгк г2 + г2 дв е]кВК дг2 0;

. увк 2 дугк 1 дУвк

Аувк - —^+ -Т ——2--= 0; (4)

вк г2 г2 дв сквк дг2

. д2 1 д д2 д2

А =—2 +--+ —^ + —2;

дг2 г дг дв2 дг2

= дРк + 1 дУк дУвк;

игк =--1-----;

дг г дв дг

и = 1д(+дУк - дУк;

вв г дв дг дг „ _ дРк , дУвк , дУк 1 дУ

дг дг дг г дв где фк - потенциал продольных волн;

У к (Угк ,Увк , У zk ) - потенциал попе-

речных волн;

Вк = 1 -Гкс к)-Г? («);

cp = (Х + 2^)/р; c2s = ц/р-

соответственно скорости распространения продольных и поперечных волн в упругом теле (см. рис. 1).

При построении представлений для компонентов вектора перемещений в многослойном цилиндре

0 < r1 < a1; a1< r2 < a2;...

aN-2 < rN-1 < aN-1, ON-1 < rN

исходим из уравнения (4).

Геометрия объекта и естественное предположение о характере волнового движения вдоль оси OZ позволяют в значительной мере предугадать форму искомой скалярной и векторной функции. Они должны представлять волны, бегущие вдоль оси OZ. Решения уравнений (4) ищем в виде [12]:

/ \ / \f cos пв ] + у z

yk (r ,в, z, t )=£ Фш (atr ) . ^e 1 ypze - O

УЛ (r,в, z,t)=£ Упг (Pkr )

Увк(r ,в, z, t )= Z Упкв (Pkr

- sin пв xfsin пв [- cos пв cos пв - sin пв

/ \ / \fsin пв | + iy z

УЛ (r,в,z,t)=Z Y„kz (fi kr ) a \e + e-O; п = 0 [cos пв J

(5)

где п - целое число; у - постоянная величина распространения волн; о - собственная частота;

„2 =^2 2 fi =Q2 2 с 2 = 2(l -Vk ) •

ak = - УР ; fik k -yp ; °k ----- '

°k 1 - 2Vk

OX^k _2 2 T)

Uk ; csk = CskBK; Ур - безразмерная

"sk

постоянная распространения; Ук — коэффициенты Пуассона слоев.

На бесконечности (г ^ ж) ставятся условия излучения Зоммерфельда для каждого компонента щм (г,в, z, t).

Подставляя (5) в (4) получим следующие системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

d Ф

dr2

1

■ + —

r dr

+

,2 Л

ak - —

ФЛ = 0;

(6,а)

d УпЬ + 1 dVnb +

dr2

r dr

( п 2 ^

Pi - ^r Vz = 0; (6,б

r

\

/

d УШв_ + I dУnkв +

dr2 r dr + (-пупкв + 2пУпь--Улв)+ Р2Улв =0;

d УпЬ + 1 Vkr +

dr2

r dr

Фп1 (r ) =

УпЬ (r ) =

+ "Г (— ^Упкг + 2п Упкв — Упкг )

г

+ +Р2Упкг = 0.

Первые два уравнения в (6,а) представляют собой дифференциальные уравнения Бесселя. Их решения можно получить при помощи бесконечных степенных рядов [15]

' А^п «г) + ВпкНп (акг), к = 1,2,... N — 1,

АНК^г) + ВщН? («г),

к = N,

(Ркг)+DnкNn (Ркг), к = 1,2......N — 1,

' СпщНПР ) + DnNHn2) р), к = N,

где Jn (акг) - функция Бесселя 1-го рода п-го порядка комплексного аргумента; Nn (акг) -

функция Бесселя 2-го рода (или функция Неймана) п-го порядка комплексного аргумента; Н1,1^ (Ркг) - функция Ханкеля первого и второго рода п-го порядка комплексного аргумента.

Общее решения уравнения (6,а), для внутреннего (сплошного к=1) и внешнего цилиндра (к=^ имеет вид:

\Ап1 ^ («г), к = 1 ^Н^^г), к = N, \С^п рг), к = 1, [С^р), к = N.

Фш (r ) = ■

Ущг (r ) = '

(7,а)

(7,б)

Для построения решений двух остальных уравнений в (6,б) целесообразно рассмотреть их разность и сумму. При этом получаем два уравнения:

d2 1 d „2 (п + 1)2

--1----+ fi - --—

J 2 j "к 2

dr r dr r

(У п1Г -Улв ) = 0

(8,а)

п = 0

e1 ,ypze - iO';

п = 0

e+"pze-,м ■

п = 0

d2 1 d п2 (п — 1) --1----+ Р — ---

.2 ^ „л,. Ик 2

dг г dг

г

(Упкг + Упкв ) = 0.

Эти уравнения также решаются через функции Бесселя и соответствующие представ- ц/пкв (г ) = ления для у/пкг и щпкв приобретают вид [15]

Упкг +¥пкв =

'^п-Р)+КкК—1 (Ркг), к = 1,2... N — 1,

= '4НЙР)+1(Ркг),

к = N.

Vпкг — У пкв =

МпЛЛРкг) + МnkNn+l(РkГ), к = 1,2... N — 1,

= 'мnNнn+)l(РkГ)+м^н+Р),

к = N.

УпкЛг

(г ) =

0,5[1Ик^1 (Ркг ) + Мп^+1 (Ркг )] + + 0,5[LnkNn—1 (Ркг ) + (Ркг )]

к = 1,2....Ж — 1,

0,5( ^Н« (Ркг ) + ы;к Н« (Ркг )), к = N;

(8,б)

0,5^—1 (Ркг ) — (Ркг )] + + 0,5[V'„kNll-l (Ркг ) — М'пкМп+1 (Ркг Ц к = 1,2....Ж — 1,

0,5( ^Н« (Ркг ) — Мп кнп+1 (Ркг )), к = N;

где ¿пк ,Мпк , ^к ,Мпк , К* ,Мп^ - произвольные постоянные. После отыскания функций радиальной координаты представления (5) будут содержать 8к-4 произвольные постоянные, т.е. обладать определенной избыточностью. Вопрос о способах исключения лишней постоянной в решениях, полученных через векторный и скалярный потенциалы, обсуждался в работе[12].

Пользуясь возможностью поступить в значительной мере произвольно при выборе значений одной из постоянных, полагаем далее

I = V = 0

^пк пк ч

т. е. Угк = -Увк .

Перемещение к-го цилиндра выражается через функции Бесселя и Неймана п-го порядка комплексного аргумента

а

игк =1 [«к (к/пМ + ВшК{акг)} + -[С^п (Ркг) + DnkNn (Ркг)]) —

п=0 I

—Р \м,лРг)+м:,КР А» пв .У- +■■ у

п

п=0 г

= —Е п\«к[АЛМ + Я^«(«/)] + Р[Щ^К ВД^)] —

— ^ [MnkJn (Ркг)+М'^ Рг )]

а

sin пв — СОБ пв

—да* + ург

=1 {«к [ЛА («)+Впк N («)]+^МпА (Р)+МпЛ Р^ввг'^

(9)

2

м

к

Для определения произвольных постоянных 4!k, ^ьОь Mnk, Мпк используются данные граничных условий (3). Тогда получим систему 6 к + 3 однородных алгебраических уравнений с 6к + 3 неизвестными. Необходимым и достаточным условием существования решения этой системы является равенство нулю ее основного детерминанта. Последнее уравнение дает уравнение дисперсии для рассматриваемых диссипативных механических систем.

Под дисперсионными характеристиками понимаются зависимости фазовой

(С = Ср + ¡С1) и групповой скорости

V = ¥К + от волнового числа (Ур) при различных параметрах механической системы. Известно, что величины С и V связаны со значением корня дисперсионного уравнения

НСМур,Л)=0, (10)

где со - комплексная частота; Ур - волновое

число; Л — длина волны. Фазовая и групповая скорость связаны со значением корня дисперсионного уравнения некоторыми сложными зависимостями.

Таким образом, чтобы иметь возможность вычислять дисперсионные характеристики, необходимо произвести исследование корней уравнения (10) в точках комплексной плоскости, а также разработать метод их численного определения.

В работе для решения трансцендентного уравнения (10) применяется метод Мюллера, на каждой итерации метода Мюллера применяется метод Гаусса с выделением главного элемента. Таким образом, решение уравнения (10) не требует раскрытия определителя. В качестве начального приближения выбираем фазовые скорости волн соответствующей упругой системы. Для комплексных корней метод Мюллера упрощает вычисления и обеспечивает более быструю сходимость [13, 14].

2. Распространение поперечных волн в цилиндрическом слое, находящемся в упругой среде

Основная цель исследования - изучение существования фазовой с-групповой V скорости распространения волн от геометрических и физико-механических параметров системы. Основные уравнения теории упругости для таких задач сводятся к плоской задаче. В этом случае радиальное и осевое перемещение равно нулю:

U = u

гк ZK

= 0

ивк =-

д¥гк д¥*

дг

дг

ет следующим вид:

V 2¥к =

1 д 2¥k

" sk

dt2 ' к=1,2.

clk = Mk / Pk

Решение волнового уравнения (11) цилиндра (к=1) и окружающей его среды записывается в виде

у = [аН01)(«1 г) + Вх Н02)(«1 г)]е'(-^);

У 2 = С1К0 [(к2г)]е'(-С + '), где К0 - модифицированные функции Бесселя; Н0(1) и Н0(2) - функции Ханкеля нулевого порядка первого и второго рода; мк - модуль упругости сдвига для к=1 и 2;

2

К1 =

a

' sk

k 2 =

a

sk

Для определения произвольных постоянных использованы граничные условия:

при внутренней свободной поверхности

г = аь arei = 0 и при контакте внешней поверхности цилиндра со средой г = а2:

Uei= Ue2, G rei = G re2. Компоненты вектора смещений в цилиндре и окружающей его среде представляются в виде

i (- at+ypz)

Um =

A dH01)(Kir) + Bi dH02)(Kir) dr dr

1в2 = -C1 dK 0(K2r )e dr

i(-at+ypz)

Тогда волновое уравнение (6) принима-

(11)

Для определения произвольных постоянных А\, В\ и С\ получим однородную систему алгебраических уравнений третьего порядка.

Для того чтобы система однородных алгебраических уравнений имела нетривиальные решения, определитель алгебраических уравнений должен быть равен нулю. Из этих условий получим следующее дисперсионное уравнение:

- K2 H 0

(1)

(к1 a1)

- kh

(2)

(к1 a1)

-K1 H 1(1) (к1 a 2 ) -K1 H 0^ (к 1 a 2 ) -K 21 K1 (к 21 a 2 )

K12 т H 01) (K1 a 21 )

- к

12 M H 0>V (к 1 a 2 ) -K 2 M K 0 (к 2 a 2

= 0,

2

2

2

2

2

0

где

21

= д/^

С

Б 1

; к 2 =

С

Cs 2

^ 1 =

М1 с 2 =

' л 2 _

Р1

Р

в случае к2 > к^. Групповую скорость К

йс

можно определить: К = с + С-, где с, Л, ю,

йс

и dc/dю - усредненные значения по интервалу частот.

Результаты численных расчетов приведены на рис. 2 и 3. Заметим, что с увеличением толщины слоя первая и вторая моды фазовой скорости плавно уменьшаются. Из указанных рисунков можно заметить, что фазовые и групповые скорости в области длинных

волн находятся в интервале с Б1 ( с ( с Б 2 .

В области коротких волн фазовые скорости могут быть меньше скорости сдвиговых волн.

Рис. 2. Изменение фазовой и групповой скорости в зависимости от длины волн Сл2 = 200 м /с; Сб1 = 1100 м /с

Рис. 3. Изменение фазовой и групповой скорости в зависимости от длины волн

3. Распространение собственных волн в трехслойном цилиндрическом теле

Предположим, что внутренняя (г=а1) и внешняя (г=а4) поверхности трехслойного цилиндра свободны от нагрузок. Тогда порядок определителя системы однородных алгебраических уравнений есть (18 х 18), который является дисперсионным уравнением (а2 - а1 = АН1,а3 - а2 = АН2,а4 - а3 = АН3).

При вычислениях принимаем следующие значения параметров:

АН1 = 0,02 м, АН 2 = 0,03 м, АН 3 = 0,02 м, Е = 5,5.108Па, Е2 = 3,5.10Па, Е3 = 5,5.108Па, р1 = 27 кг/м3, р2 = 11кг/м3, р3 = 27кг/м3, А = 0,048 Р = 0,05; а = 0,1.

Рассмотрим два варианта диссипатив-ной системы (рис. 4 а, б).

СЙ12__. • -

. . .—■ " "

Юш

/ / ______.

.. -'

У *

/

/ сои

/'

/

/

Рис. 4, а. Изменение комплексных собственных частот от волнового числа (диссипативно однородная механическая система)

Рис. 4, б. Изменение комплексных собственных частот от волнового числа (диссипативно неоднородная механическая система)

2

2

2

Г

к1

2

2

2

В первом случае рассматривается вариант диссипативно однородной механической системы, т.е. реологические свойства материалов трехслойного цилиндра одинаковы [3].

Безразмерное волновое число Ур варьируется

в пределах 0-2. Исследованы изменения комплексной фазовой скорости собственных волн в зависимости от волнового числа.

Результаты расчетов приведены на рис. 4,а. Зависимость реальной и мнимой части собственный частоты от безразмерного волнового числа Ур оказалась монотонной, причем характер зависимости одинаков для реальной и мнимой части фазовых скоростей.

Во втором случае рассматривается вариант диссипативно неоднородной механической системы, т.е. ядра релаксации срединного слоя (п=2) равны нулю, остальные параметры совпадают с принятыми выше. Результаты расчетов приведены на рис. 4,б. Зависимость реальной части фазовой скорости от

безразмерного волнового числа Ур та же, что

и для однородной системы: соответствующие кривые совпадают с точностью до 5 %. Зависимость мнимой части фазовой скорости от

Ур оказалось немонотонной.

Особый интерес представляет минимальное значение коэффициента демпфирования при фиксированном значении Ур :

8С = тп(-са ) 1= 1, 2,.....К. (13)

Ур ,

Здесь §С - коэффициент, определяющий демпфирующие свойства системы; С01 = Сдш + 1Сп - комплексная собственная

частота; I - порядковой номер мод собственных частот.

Для однородной системы коэффициент 8т целиком определяется мнимой частью

первой по модулю комплексной фазовой скорости. Для неоднородной системы в роли коэффициента 8т могут выступать мнимые части как первой, так и второй частоты в зависимости от их значений. "Смена ролей" происходит при характерном значении Ур, при

этом значении действительные части первой и второй частот наиболее близки.

Величина 8Ю при указанном характерном значении имеют ярко выраженный максимум.

Выводы

1. В ходе решения задачи распространения волн в диссипативно-неоднородных средах обнаружены немонотонные зависимости мнимой части собственной частоты (или мнимой части фазовой скорости) от физико-механических и геометрических параметров системы.

2. Выявлено, что фазовые скорости высших форм волн расширения и кручения превышают наивысшую возможную скорость С волн в бесконечной среде, при этом групповая скорость никогда не превышает С. Также установили, что в недиспергирующей среде груповая скорость на 10-15 % превышена, по сравнению с диспергирующей средой. Иными словами, формы импульсов при их распространении не остаются неизменными, как в однородных упругих телах.

3. Увеличение вязкости снижает реальные и мнимые части фазовой скорости (или реальные и мнимые части собственных частот) до 20 %, для диссипативно однородных механических систем. Для диссипативно неоднородных механических систем увеличение вязкости снижает реальные части фазовой скорости (или реальные части собственных частот) приблизительно до 18 %, а их мнимые части изменяются радикальным образом.

Список литературы

1. Вестяк А., Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В.

Нестационарное взаимодействие деформируемых тел с окружающей средой // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. Т. IIV, № 4. 1983. С. 69-148.

2. Дейвис Р.М. Волны напряжений в твердых

телах. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1961. 104 с.

3. Сафаров И.И. Колебания и волны в дисси-

пативно неоднородных средах и конструкциях. Ташкент: Фан, 1992. 250 с.

4. Сафаров И.И. Динамика вязкоупругих виб-

розащитных систем с распределенными параметрами // Сейсмодинамика зданий и сооружений. Ташкент: Фан, 1985. С. 134-149.

5. Сафаров И.И., Ахмедов М.Ш., Болтаев З.И.

Колебания и дифракция волн на цилиндрическом теле в вязкоупругой среде. Lam-

bert Academic Publishing (Germany). 2016. 262 р. URL: hhtp: // dnb.d-nb.de (дата обращения: 01.02.2017).

6. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация.

М.: Высшая школа, 1976. 277 с.

7. Колтунов М.А., Майборода В.П., Зубчани-

нов В. Г. Прочностные расчеты изделий из полимерных материалов. М.: Машиностроение, 1983. 239 с.

8. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика

многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980. 375 с.

9. Базаров М.Б. Сафаров И.И., Шокин Ю.М.

Численное моделирование колебаний дис-сипативно-неоднородных и однородных механических систем. Новосибирск, Сибирское отделение РАН, 1996. 189 с.

10. Каюмов С.С., Сафаров И.И. Распространение и дифракция волн в диссипативно неоднородных цилиндрических деформируемых механических системах. Ташкент: Фан, 2004. 215 с.

11. Сафаров И.И., Ахмедов М.Ш., Болтаев З.И. Собственные волны в слоистых средах. Lambert Academic Publishing (Germany). 2016. 192 с. URL: hhtp: // dnb.d -nb.de (дата обращения: 02.02.2017

12. Гринченко В.Т., Малешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наука думка, 1981. 283 с.

13. Safarov I.I, Boltaev Z.I., Akhmedov M.Sh. Properties of wave motion in a fluid-filled cylindrical shell / LAP, Lambert Academic Publishing. 2016. 105 р.

14. Safarov I.I, Akhmedov M.Sh., Boltaev .Z.I. Natural oscillations and diffraction of waves on the cylindrical body. Lambert Academic Publishing (Germany). 2016. 245 р. URL: hhtp: // dnb.d-nb.de (дата обращения: 02.02.2017).

15. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. М.: ИЛ, 1959. Т. 1. 800 с.

Propagation of internal waves in dissipative layered cylindrical bodies

I. I. Safarov, M. Kh. Teshaev, Z. I. Boltaev

Bukhara Engineering-Technological Institute; 15, K. Murtazayeva st, Bukhara, 105017, Uzbekistan safarov54@mail.ru; (+99893) 625-08-15

In the paper the problems of propagation of internal waves in dissipative layered cylindrical bodies interacting with deformable (viscoelastic) media is discussed. The dynamic behavior of cylindrical bodies is described by equations of continuum mechanics. The spectral problem is reduced to solving a system of ordinary differential equations of the first order with variable complex coefficients. The solution of differential equations is expressed by special cylindrical Bessel and Hankel functions. The frequency equations are solved numerically by Muller's and Gaussian methods. The change in the natural frequency and phase velocity as a function of the wave number is investigated. For inhomogeneous dissipative mechanical systems nonmonotonic dependence of the imaginary part of the phase velocity of the wave numbers is discovered.

Keywords: internal waves; dissipative body; medium; spectral problem; natural frequency; phase velocity.