О ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛНАХ НА ВЯЗКОУПРУГОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ДИСКЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

2017

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Вып. 2(37)

Математика. Механика. Информатика

УДК 539.3

О поверхностных волнах на вязкоупругом цилиндрическом диске

И. И. Сафаров, М. Х. Тешаев, Н. Б. Отажонова

Бухарский инженерно-технологический институт Республика Узбекистан, 105017, г. Бухара, ул. К. Муртазаева, 15 [email protected], (+99893) 625-08-15

Рассматривается распространение поверхностных волн на вязкоупругом диске. Спектральная задача сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с переменными комплексными коэффициентами. Решение системы дифференциальных уравнений выражается с помощью цилиндрических специальных функций Бесселя и Ханкеля. Частотные уравнения решаются численно методами Мюллера и Гаусса. Исследовано изменение собственной частоты и фазовой скорости в зависимости от волнового числа. Также задача решается численно, методом ортогональной прогонки Годунова и методом Мюллера. Сравниваются полученные численные результаты.

Ключевая слова: собственные колебания; диссипативные свойства; спектральная задача; собственная частота; волновое число.

DOI: 10.17072/1993-0550-2017-2-53-59

Введение

Одной из центральных задач динамической теории упругости является исследование распространения возмущения напряженно-деформированного состояния в деформируемых телах (с учетом вязкоупругих свойств) с геометрическими структурами [1, 2, 3, 4]. Основными особенностями волновода являются протяженность в одном направлении, а также ограничение и локализация волнового пучка по другим направлениям. Учет демпфирующей способности материала волновода играет огромную роль в динамическом поведении конструкции.

В бесконечной однородной изотропной среде существуют только волны P и 5". Однако там, где имеется поверхность, разделяющая среду с различными упругими свойствами, могут распространяться волны. Амплитуды этих волн уменьшаются с удалением от данной поверхности.

Изучение свойств волноводных мод важно также в связи с разработкой методики

© Сафаров И. И., Тешаев М. Х., Отажонова Н. Б., 2017

использования акустической эмиссии для оценки уровня напряженности элементов конструкций [5, 6, 7]. В радиоэлектронной технике широко используются широкие пучки поверхностных волн. Наиболее важным для практики (сейсморазведки) типов поверхностных волн являются рэлеевские волны, распространяющиеся вдоль свободной поверхности твердой среды. Из динамической теории упругости известно [8, 9], что поверхностные волны Рэлея распространяются на полупространстве с прямолинейными границами. Поэтому исследование распространения волн в теле с криволинейными областями является актуальной задачей.

1. Постановка задачи и методы

решения

Рассмотрим распространение поверхностных волн на цилиндрическом теле, находящемся в плоском деформируемом состоянии. Уравнение движения вязкоупругого тела, в цилиндрических координатах (г, 9 , z), принимает вид [10, 11]

д2u r = я + 2~) дА_ 2Ц до^

Р dt2 Ц) д r r дв '

dt2 r дв дг

где

. диг и 1д ив 1 (див ив 1 диг

А=—r +— +---; a>z =-\—- +—---L

дrrr дв 21 3r r r дв

(1)

Я f (t) = A0 ~ f (t) = Цо

f (t) -jRx(t-r)f (r)dr

(2)

(3)

rr <7 = R

(t- )

1+V

1 . диг

—~ А+—-

1+v 3r

r =R

= 0,

rв r = R

= 2~

(0„ +-

1 ( ди„

r l дв

—Ur,

r =R

=0

. (4)

Е - операторный модуль упругости, который имеет вид [12, 13]:

Ef (t )= E о

f (t)-} Re (t - r) f (t )dr

(5)

Г/ К) = | Ял (т) cosюRT dт, =^(фп^-т 0 0 соответственно, косинус и синус образы Фурье ядра релаксации материала. После некоторых несложных преобразований (КЛ = КД = КЕ = К1) уравнения движения (1) можно преобразовать к виду:

f (t) -j R^(t-r) f (r)dr

_ 0

где f (t) - произвольная функция времени; Rx (t -t) и RM (t -t) - ядро релаксации; Я0 и Ц0 - мгновенный модуль упругости; р -плотность материала, V = const = V0 - коэффициент Пуассона.

Внешние нагрузки на свободной цилиндрической поверхности r = Rx отсутствуют, т.е. Crr =Q тв=0 или

д \ ~дё д 2ив ~дё

дА 2 до

с Т-у Tj ^

д r r дв

= cT1 дА +

(5)

r дв

Dr

где

Т =1-Г (()-Г ((); С1 = (Л)1 + 2^01)/ Р, С22 = ДЛ/ Р.

Системы дифференциальных уравнений в частных производных (5) решаются аналитическим путем, т.е. получаются дисперсионные соотношения, содержащие функции Бесселя 1-го рода комплексного аргумента. Дисперсионные соотношения представляются трансцендентными уравнениями и решаются методом Мюллера. Для этого использованы асимптотические функции Бесселя при малых и больших значениях аргумента.

С помощью соответствующих преобразований [14] системы дифференциальных уравнений (5) могут быть выражены в виде

£ ^Д, ( (6)

П2 а2 1 а 1 а2

где V2 =—2 +--+ -г—

аг2 г аг г2 ав2

Re (t -r) - ядро релаксации; E01 - Частное решение уравнения (6) ищем в

мгновенный модуль упругости.

В центре цилиндрического тела (г=0) предполагается, что перемещение ограничено. Заменим соотношения (3) и (5) приближенными вида [12]:

Д = Д01 - ГД ((к ) - К ((К )],

Л =Л1-Г ( )-К ( )],

£=^[1-1£(()-Я( (4)

где (К - действительная константа,

да да

Г/ (¡(К) = | ЯЕ (т) со8юКт dт, Г/ () =|КЕ TT)sim)Rтdт

0 0

да да

ГДС ((К ) = I Кд(т) coS(Rтdт, ГД (к ) = | Кд(т)атактс1т

0 0

виде

( = ж (г У((-пв), Д = и Д (г У ((-пв).(7) Здесь Ж, иД - есть амплитудная комплексная функция, зависящая только от г. Волновое число и фазовая скорость выражаются следующими формулами:

2п _ (Л X = — К; с =-, где % - волновое чис-

Л 2л

ло, с - фазовая скорость распространения волн.

Для выяснения их физического смысла рассмотрим два случая:

1) X = ХК; ( = (К + (I (или с = CR +icI), тогда решение (7) имеет вид синусоиды по х, амплитуда которой затухает по времени;

2) X = XR +Х1; с = ®R (или с = CR)

В центре диска (г=0) предполагается,

тогда в каждой точке х колебания установив- что перемещение °граничен°. С помощью

шиеся, но по х затухают. этого условия можно найти в^аженж В, где

Подставляя (7) в (6) переходим к уравнениям Бесселя следующего вида:

dид (г) +1 dUA (г) +

dr¿

г dr

с п

2^ 2 с1Т1 г 7

В=0. Тогда решение примет вид: (ю_ ) =

ид (г) = 0.(8)

Г

Решение уравнения (8) выражается через цилиндрические функции Бесселя 1-го и 2-го рода п-го порядка:

= 1

и =1

А*,*} г-

ид (Г) = £

А,Л

' с ^

-Г

V С1Т1

+ В У

-г

V

DnHn

С1Т1 а

Л

С1Т1 7 у

/' (юt-п0 ).

V С1Т1 77

,(9)

где J п , Уп - функции Бесселя 1-го и 2-го рода п-го порядка.

и, =

(10)

При этом перемещение цилиндрического тела с учетом (5) и (10) принимает следующий вид:

/

I

и=0

- А

С 2Т Ч11

дЛ„

{ \

с -г

СТ

V Ч11 7

п 2 ©

дг

С 2Т

-г 2 а^2^ л

и 2 Р

га

с

-i

СТ V 2^ 1 у

г (с-и0);

(11)

ие =

сгТ,

1 -1 1

п 0 2 и

2©

л.

с -1

V С1Т1 7

- 2 а,

сТ

дЛ„

( с ^ г

2 ^ 1

V С2Т1 7

п 2

с

дг

г' (с?-пб)

(12)

Следовательно, для (4) получим сово- приводят к двум однородным уравнениям с купность двух граничных условий, которые двумя неизвестными и Бп :

Ап Л (Х^-Т )[0,5(С / С2ТХ)2-1+ 1/ хХ-ПМ^ ЛпМл^г)} + I С2Т1 X С2Т1 I

+/2Д Л (х^т) I С2Т1

21

-1)

X

X

+%+1(х-Т )}=0,

С2Т 1 С2Т 1 I

1-1

X

лп (Х7-Т) - )}+

С2Т1 С2Т1 С2Т1 I

+ 2Д |[0.5(С / С2^)2 -1 + 1/ Хр2Лп (Х-С;) - ^(Х^)} = 0, [ С2Т1 С2Т1Х С2Т1 I

где

7 = с2/ С1.

Для того чтобы такая система уравне- литель коэффициентов должен быть равен ний имела нетривиальные решения, опреде- нулю.

со

г

г

п=0

Последнее условие дает зависимость частот волнового числа. Уравнение дисперсии имеет (ю^ и коэффициентов демпфирования (ю1) от вид:

Г Л2

c

V С2Т1 у

I-1

.ж

Л

-1+-ж

\

с

Ж ГГ1

С2Т1 у

хп—

С2Т 1 У

\

с

С2Т1 У

Хл, С2Т1 у

Х ГГ1

V С2Т1У

Л,

хп—

V С2Т 1 у

2

с

V С2Т1 у

-1+-х

Х ГГ1

V С2Т 1 у

1 I-

.ХА с2Т1 у

Л.

Х ГГ1

V С2Т 1 у

I-1 х

Л

хп—

С2Т1 у

+п

/ л с

V С2Т1 у

Л.

хп—

V С2Т1 у

= 0.

(13)

Численные результаты

Если известно, что п=0 и 1, тогда можно вычислить функции Бесселя и Неймана любого порядка из следующих рекуррентных соотношений (БП^П;УП):

Fn+1( г) = — Fn (г) - Fn-1( г),

где г - комплексная величина. Комплексное число

Г \2£ Р

да ^

П(р,р) = Е(-!)' ^ = ЦР). (14) к=0 (к!) z = х+1у можно представить в виде

г = реф;р = д/х^+у2, р = аг^У.

х

Из соотношения получим:

Цо(Р,()+И0(р,р(;

к=0

р2 к 2

Цо(Р,Р) = Е (-1)к ГЛ\2~ со§2кр = Ц>(Р,Р).

к=о ( к!)

Некоторые значения функции Бесселя в зависимости от аргумента (ф = 10°)

г Jо ф г )

0,0 0,99041 -0,00021 -1,97937 0,11159

0,1 0,99765 -0,00085 -1,53476 0,11269

0,2 0,99062 -0,00340 -1,08176 0,11597

0,3 0,97895 -0,0076Г -0,80837 0,11999

симальная величина которой (для р <10) приблизительно равна 1,5 10-17'. Результаты вычисления приведены в таблице.

В качестве ядра релаксации вязко-упругого материала примем трехпара-

метрическое ядро R() = —Ржаницина-

Колтунова [7], обладающее слабой сингулярностью, где Л,а,/ - параметры материала [7]. Примем следующие параметры: Л = 0,048; 3 = 0,05; а = 0,1.

Трансцендентное уравнение (13) решается методом Мюллера. Одновременно мы определили два корня (13) (у = 0,3; х = 100)

с(1)(100) = 0,919 с2, с(2)(100) = 1,032с2.

Из источников [4, 5, 6] известно, что при х = 98 получим с(1)=0,92с2, а скорость волны Рэлея ^=0,9194с2.

Х^сО) ---- *2 ж

Г/7"" с2 / с(1)

Рис. 1. Зависимость реальной части Фаз1вой скорости от волнового числа

Для рядов (14) остаток не превосходит первого отброшенного члена. Если выбрать для и0(р, ф) и У0(р, ф) по 26 членов рядов (многочлены 50-й степени по р), то ошибка по

модулю будет меньше 1,041 р 1 . ^ , мак-

2 у (26!)2'

Результаты расчетов представлены на рис. 1. Отметим характерные особенности кривой 1: фазовая скорость стремится к бесконечности, когда волновое число равно нулю. А при стремлении волнового числа к бесконечности, волновое число стремится к скорости волны Релея для полупространства.

с

с

с

с

п

п

+

Первая и вторая мода при стремлении волнового числа к нулю имеют частоту отсечки, т.е. фазовая скорость стремится к бесконечности. При больших волновых числах предельная фазовая скорость этой моды совпадает со скоростью волны Релея. На частоте отсечки радиальные перемещения равны нулю и цилиндр находится в статическом плоском деформированном состоянии. У второй моды на частоте отсечки наблюдаются только реальные части, а мнимые части принимают конечные значения при стремлении волнового числа к нулю. В отличие от известных, в этом случае кроме скорости волны Рэлея при больших волновых числах С^ существует счетное множество мнимых скоростей (рис. 1).

На поверхности полости также распространяются волны Рэлея, но комплексные (рис. 2).

Рис. 2. Зависимость мнимой части фазовой скорости от волнового числа

А

D„

- 2i— Jn (xz) " I-1 + zJn+1(Xz)|

_ x _

\ Jn (XVz) 0.5z2 - 1+1 " - - zJn+1(XVz)l

{ x_ X J

.(15)

-0,5 -■

*2>

First mode (s = 1) л: = 20 => — = 0,994150

Second mode (s = 2) jc = 20 => — = 1,381753 1

Рис. 3. Формы колебаний соответствующих первых (а) и вторых (Ь) фазовых скоростей

Если использовать (11), (12) и (15), тогда получим следующие величины перемещения:

u,

2ж

D„R ! z u,

r „ R1 , , r

+1( x-z~) + — Jn( x-z —)

R

zr

R

L,

R1 -J„ ( )[ ei(œt->,

%zr

R1

n p = LnJn (x- z-Г-) + -J„+,az-^) - h-Jn (xz-T-)\ei(œt-ne ), (16) D„R 1 z {zr R1 x R1 Xzr R1 J

где

Обобщая выражения (16), будем иметь

z = c / c 2 Т1.

u.

Jn (xz ) " i -1" _ x _ + zJn+1(xz )

XJn (x-z ) Г 1 2 , 1 1 - z -1 + — _ 2 x _ - -zJn+1(x-z)

DR

i(œt-ив+ж /2)

u

DR

Ampl (ur )e

Ampl (ue )ei (œt - ив+ж /2).

L

n

Амплитуды перемещений представим в виде

L,

- nJn +1(ХЛ ) + — Jn(ХЛ z ) R1 zr R1

Jn (xz—) Ri

m (,) = ampl (ur )

amp1 (ur) (ur) r

L

- VJ„ +1(XVz) + 1 Jn(XVz)

z

r _ r . T . r

Jn(ХЛ^—) J„ +1( xz—) J„(xz—)

L

R

R,

Х

# (,) = AmPl (ue )

R

Лz

R

Ampl (ur)

L

- Л-J, +1(ХЛz) + 1 Jn(ХЛz)

Jn(Xz) Xz

Xz

R

Jn(xz)

Xz

r

u

r

+

r

r

z

Численные расчеты проведены при v = 0,33, r = 1/V3. Результаты расчетов амплитуды перемещений представлены на рис. 3 (a, b). Из рисунков видно, что движения локализованы на поверхности цилиндра.

Выводы

1. Установлено, что существует бесконечное множество корней трансцендентного уравнения (13), где первый корень при больших значениях стремится к скорости волны Рэлея С=0,92с2. Фазовая скорость стремится к бесконечности, когда волновое число равно нулю, т.е. имеет место частота осечки.

2. Выявлено, что движения цилиндрического диска локализуются на поверхности цилиндра.

3. Учет вязких свойств материала уменьшает значения фазовых скоростей на 10-15 %.

Список литературы

1. Уайт. Поверхностные упругие волны / Тр. Ин-та инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. 1970, 58, № 8. С. 68-110.

2. Ewing W.M., Jardetzku W.S., Press F. Elastic Waves in Layered Media, McGraw - Hill, New York, 1962.

3. Дейвис Р.М. Волны напряжений в твердых телах. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1961. 104 с.

4. Сафаров И.И. Колебания и волны в дисси-пативно недородных средах и конструкциях Ташкент: Фан, 1992. 250 с.

5. Сафаров И.И., Ахмедов М.Ш., Болтаев З.И. Колебания и дифракция волн на цилиндрическом теле в вязкоупругой среде. Lambert Academic Publishing (Germany). 2016. 262 р.

6. Сафаров И.И., Тешаев М.Х., Болтаев З.И. Волновые процессы в механическом волноводе. LAP, LAMBERT Academic publishing. Германия. 2012. 217 с.

7. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. М.: Высшая школа, 1976. 277 с.

8. Колтунов М.А., Майборода В.П., Зубчани-нов В. Г. Прочностные расчеты изделий из полимерных материалов. М: Машиностроения, 1983. 239 с.

9. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980. 375 с.

10. Базаров М.Б., Сафаров И.И., Шокин Ю.М. Численное моделирование колебаний дис-сипативно-неоднородных и однородных механических систем. Новосибирск, Сибирское отделение РАН, 1996. 189 с.

11. Каюмов С.С., Сафаров И.И. Распространение и дифракция волн в диссипативно-неоднородных цилиндрических деформируемых механических системах. Ташкент: Фан, 2004. 215 с.

12. Сафаров И.И., Ахмедов М.Ш., Болтаев З.И. Собственные волны в слоистых средах. Lambert Academic Publishing (Germany). 2016. 192 с.

13. Гринченко В.Т., Малешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка, 1981. 283 с.

14. SafarovI.I., Boltaev Z.I., Akhmedov M.Sh. Properties of wave motion in a fluid-filled cylindrical shell. LAP, Lambert Academic Publishing. 2016. 105 р.

15. Safarov I.I., Akhmedov M.Sh., Boltaev Z.I. Natural oscillations and diffraction of waves on the cylindrical body. Lambert Academic Publishing (Germany). 2016. 245 р.

On surface waves on a viscoelastic cylindrical disk

I. I. Safarov, M. Kh. Teshaev, N. B. Otazhonova

Bukhara Engineering-Technological Institute; 15, K. Murtazayeva st., Bukhara, 105017, Uzbekistan [email protected]; (+99893) 625-08-15

The propagation of surface waves on a viscoelastic disk is considered. The spectral problem is reduced to solving a system of the first-order ordinary differential equations with variable complex coefficients. The solution of the system of differential equations is expressed by means of the cylindrical special functions of Bessel and Hankel. Frequency equations are solved numerically using the methods of Mueller and Gauss. The change in the natural frequency and phase velocity as a function of the wave number is studied. The problem is also solved numerically, using the method for orthogonal rotation of Godunov and Mueller's method. The obtained numerical results are compared.

Keywords: natural oscillations; dissipative properties; spectral problem; natural frequency; wave number.