Собственные и несобственные KS-матрицы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Всстпик Сыктывкарского университета. Сер, 1, Вып. 2.1996

УДК 521,1

Собственные я несобственные КЗ-матрицы 1 С. М. Полещиков

Множество обобщенных КЗ-матриц разбивается на два класса в зависимости от знака определителя этих матриц.

Обобщенная А'5-матрнца четвертого порядка вычисляется по формуле

/ 11"% Л'., \

1(и)

\\ТК21й

т ;

н А'з Л ,1 \ итЛ'4 )

где и 6 К-4 и матрицы К,, г = 1,2,3,4, называемые образующими Л'¿¡'-матрицы, обладают свойствами

К,п = Кт = -А'шт, тп = 1,2,3,4,

А~гА} + К,К1 = 0, А,7ч .= А'4Аь г ф 3, г,] = 1,2,3.

Как следует из [1] (см. теорему 1), для образующих А'¿"-матриц возможен один из следующих случаев:

1) А'ь а'2, Кз € ци, V, ш), а'4 е цх,у, г).

2) К и К-2, А'з е £(А',У,£), А'4 е £{и,У,\¥).

В первом случае будем говорить, что ¿(и) является А"5-матрицей первого типа, во втором случае — А'5-матрицей второго типа. Рассмотрим единичные векторы и: |и|•= 1. Тогда получим

А(ц)£т(и) = £.

То есть на единичной сфере 53 матрица А (и) является ортогональной в обычном смысле.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 95-02-03763а.)

© Полещиков с. М„ 199«.

Ортогональное матрицы делятся йа собственные (с определителем +1) и несобственные (с определителем —1), Поэтому множество К ¿'--матриц естественным образом разбивается на- два класса в зависимости от знака определителя матрицы L(u).

Выясним зависимость знака определителя /¿"^-матрицы от ее типа. В силу непрерывности функции det£(u) достаточно вычислить этот определитель при каком-нибудь векторе и. Возьмем, например, и — (1,0,0,0)г и пусть L(u) матрица первого типа, Тогда имеем

detL(u) ='

-апа2 a2\<i\ - а31я3 a2la3 - «31« i -«п«з + «3i«2 «п«! - a2ia2 ~а\2а2 - а22ах - а32а3 а22а3 - а32а, -а12а3 + а32я2 апа} - а22а2 ~а13а2 - a23«i - а33а3 а23а3 - а33а] -«]3а3 + а33а2 al3ai - «23а2 0 -а2 -a J — «з

= clet(a,-j),

где ег = («ь:, а-2,:, аз;)т так. называемые представляющие векторы матриц Кг. i — 1,2,3 и е = (ai,а2,аз)т —- представляющий вектор матрицы Л'4, Значит, dotX(u) не зависит от вектора е.

Аналогичное вычисление даст detL(u) = -~det(a,-y), если L(ii) ■ — матрица второго типа.

Таким образом, установлена формула

detL(j^|) = (-l)*"1,1 det(afi),

где к — тип A'S-матрицы: 'к = 1,2. Литература

1. Полещиков С. М., Холопов А. А. Обобщенные KS-преобразования 4-го порядка//Вестиип Сыктывкар, ун-та. Сер.1. Вып.2. 1996. С. 201-212.

Summary •

Poleshchikov S. М. Proper and improper KS-matrices.

The set of KS-matrices is divided into two classes depending on the sign of their determinant.

Сыктывкарский лесной институт . Поступила 26.01.96