Об оценках тригонометрических интегралов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 1 (2010)

Труды VII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы

1 Введение

Многие вопросы аналитической теории чисел и других отделов математики ведут к оценкам тригонометрических интегралов вида,

где П — некоторая область г-мерного пространства, х = (х1...хг), с1х = йх 1... с1хг и Р{х) — действительная функция. Задача заключается в возможно более точной оценке сверху, чем тривиальная оценка \,11 ^ ^(П), интеграла (1), где ^(П) — объем области П,

Этому вопросу посвящено много исследований (см, [1 — 12]), В [4] дана не улучшаемая оценка интеграла (1) в одномерном случае. При оценке этого интеграла естественно возникает проблема об оценках некоторых мер. Такие оценки мер возникают, также, в вопросе о показателе сходимости особого тригонометрического интеграла проблемы Терри (см, [8, 10]), В одномерном случае этот вопрос решается использованием оценок снизу модулей некоторых производных функции ^(ж). Многомерный случай тесно связан со структурой некоторых тензорных полей (см, [12]),

В данной работе мы устанавливаем некоторые оценки мер, доказываемые методом, близким к использованному в работе [12], и применяем их к оценкам тригонометрических интегралов вида, (1), для класса полиномов -Р(ж), старшие формы которых содержат все независимые переменные, и которые не представляются в виде суммы различных полиномов без общих компонент.

ОБ ОЦЕНКАХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ

И. Ш. Джабаров (Азейрбаджан)

(1)

2 Формулировка результатов

П

стичпо гладкой границей в п-мерном пространстве М ,п ^ 1; здееь М — мно-

жество действительных чисел. Пусть в П задана, г-мерная поверхность, определенная системой полиномиальных уравнений

/з (ж)

с матрицей Якоби

7 = 7 (ж) =

0, .7

дЛ'

(2)

дж,

которая имеет, всюду в П, максимальный ранг. Мы предполагаем, что область П включена в некоторую открытую область, где условия, наложенные выше, удовлетворены.

Пусть, далее, А0 = А0 (ж) — другая функциональная матрица, написанная в транспонированном виде

*Ао = *Ао(ж) = \\fij(ж)| , 1 ^ г ^ п, 1 ^ ^ т

с полиномиальными элементами и, что важно, т ^ г. Расположим элементы Ао

/и(ж), /1т(ж), /21(ж), /2ш(ж), •••, /п1(ж), •••, /пт(ж)

и возьмем ее транспонированную матрицу Якоби А1:

А1 = А1(ж)

д/п д/\ т <9/п1 д/пт

дж1 дж1 дж1 дж1

<Э/п д$1т df.ni д/пт

дхп ' ' дхп ' ’ дхп ' ' дхп

Далее, столбцы этой матрицы, как выше, последовательно, расположим в строку и возьмем транспонированную матрицу Якоби у полученной матрицы, обозначая ее через А2 = А2(ж) = А^ж), Далее, продолжим этот процесс до получения матрицы Ак = А'к_ 1(ж^, для данного натурального к, Матрица, определенная таким путем, образована всевозможными частными производными одного и того же порядка к элементов матрицы А0 (ж) и имеет раз мер п х пк т. Теперь мы предполагаем, что А(ж) имеет, всюду в П, максимальный ранг. Пусть О'(ж) обозначает произведение последних г сингулярных чисел матрицы А'(ж), ] =

0, ... , к.

Е = Е(Н) = {ж € П |Оо(ж) ^ Н} , Н > 0.

Если ^,к(ж) — элементы матрицы А'(ж), то мы принимаем следующие обозначения:

1/2

Ь3 (ж) = X] |^,к(ж)|2

,,к

L = maxmax Lj (x), Gj = min Gj (x),j = 0,...,k,

j

где максимум и минимум берутся по всей области П,

Следующие две теоремы позволяют оценить площади поверхностей специального вида, возникающие при исследованиях вопросов, связанных с оценками тригонометрических интегралов.

Теорема 1. Пусть Пн — часть поверхности (2), содержащаяся в E (H) и Gi > 0. Тогда для площади ß (Пн) выполняется оценка

ß (Пн) i i n ) 2r-1THG-1 log'-1 (cL'H-1);

здесь T — максимальное число под областей П, где си,стем,а, (2) допускает однозначную разрешимость и, где один из миноров матрицы Якоби принимает наибольшие, по абсолюной величине, значения, т. е.

|М(х)| ^ |М'(х)| , х Є П',

для, некоторого фиксированного, для, данной подобласти, П, минора М(х) и любого другого минора М'(х), а, с — константа, зависящая от г.

В соответствии с предположениями, наложенными выше, Т — конечное число.

Теорема 2. Пусть к ^ 1 натуральное число. Тогда, в условиях теоремы

1, имеем,:

n

3/2-1/к

2г-ъ, . ffi/kQ-1/k ^iog(Co

r—1

где С\ зависит только от к, deg ^ и Т.

Пусть F(х) — некоторый полином. Рассмотрим тригонометрический интеграл (1), с областью П, граница которой является кусочно-алгебраической поверхностью, В качестве матрицы А0 мы берем матрицу

*V F

dF dF

dx1 dxr

Пусть всюду в П

F

dF

dx1

+ ... +

dF

dxr

= 0.

2

2

Матрица ^ж) имеет вид:

d2F d2F

dx\ ’ dx1 dxr

d2F d2F

dxrdx1

а матрица к-1(ж) составлена го всех частных производиых порядка к функции ^ (ж).

Теорема 3.1) если к ^ 1, то существует положительная постоянная с2 = с2(г, к, deg ^) такая, что

^ с2 • К • GW) • Gfc_fe[fc_1) • (log(F0 + bö1))

gcte G = min yAiet(Afc_i • fAk-1) , Gfc_i определен как выше;

x£Q

2) если к <г, то имеет место следующее неравенство:

а)

e2niF (x)dX

г —к

i С2 • А- ■ Я„*-‘ ■ G^r‘ • (log(L„ + Lö1))

1

fe-1

- _1\\ r— 1

где C3 = C3(r, k, F) — постоянная, и

H0 = max || VF|| , H1 = min ||VF|| , L0 = max (L,L—1,H0,H—1,Gk-1,G'—11) ;

х€П х€П

b)

e2niF (x)dx

—1\\r—1

^ C-4 • x • n^i • Gfc!f • (log(F0 + Fö1))

где П — максимальная площадь проекций области П е г-мерные координатные подпространства.

Следствие 1. Пусть к ^ г, А — минимальное значение минимального сингулярного числа матрицы Ак-1 (ж) е области П. Тогда, существует положительная постоянная С5 = С5(г, к, deg F) та,кая, что в условиях теорем,ы, 3

e2niF (x)dx

— 1 \ \ г— 1

^ ■ К ■ А k ■ (log(F0 + F0 1))

Теорема 4. Пусть А*, 1 ^ i ^ r означает сумму модулей коэффициентов старшей формы полипом,а, F, при мономов, содержащих xi; А = min А*. Тогда, при условиях теорем,ы, 3, существует положительная постоянная C = C(r, k, deg F) та,кая, что

— 1\\r—1

3 Вспомогательные леммы

Сначала мы сформулируем необходимые вспомогательные утверждения из курса математического анализа.

Лемма 1. Пусть в ограниченной замкнутой жордановой области П и-м,ерного пространства задана, непрерывная функция f (x) = f (x1;... ,xn) и непрерывно дифференцируемте функции fj(x) = f (x1,...,xn), где j = r < и, такие, что матрица Якоби

d(xi,... ,xra)

имеет всюду в П максимальный ранг. Пусть, далее £0 = (£°,..., ^°) и найдется внутренняя точка x0 облает и П та,кая, что

fi(xo) = Ci,...,fr (xo) =

Тогда, всюду, в некоторой окрестности, точки £0 имеет место равенство

дг

д6 ■ ■ ■ dCr

/(x)dx

f(x)

n(Ö

M (?)

ds

VS’

где 0,(£) — подобласть в определяемая системой неравенств /(х) ^ £7, М(£) — поверхность, определяемая, систем,ой уравнений /(х) = ^ (^' = 1,..., г), о С — определитель Грама градиентов функций / (х), то есть

G = det ||(Vfi, Vfj)|| = det

E

V=1

n

E

V=1

d/lfo) <9/l(x) dxv dxv

... E

V=1

d/i(s) d/r(s)

dxv dxv

d/r(s) dfxjx) dxv dxv

...

V=1

d/r(s) dfrjx)

dxv dxv

Доказательство. Из условия следует, что при £, достаточно близких к £0, область, определяемая неравенствами /(х) ^ ^^ = 1,...,г лежит внутри Q. Зафиксируем произвольную точку £ из этой окрестности.

Из известного соотношения (см, [19, стр. 245]) следует, что область П разбивается на I = СП подобластей, в каждой из которых один из миноров матрицы Якоби всюду принимает, по модулю, максимальные значения среди остальных миноров (и, следовательно, ограничен снизу некоторым фиксированным положительным числом). Соответственно этому, область П(£), также, разбивается па подобласти П(£), V = 1,I.

Рассмотрим интеграл по одной такой подобласти и, пусть, например, минор, составленный из первых г столбцов, принимает, по модулю, максимальные значения среди остальных миноров. Произведем под интегралом замену переменных по формулам: и = /(X),] = 1,г и и = х при ] > г. Якобиан замены равен 171-1, где 7 — определитель соответствующего минора. Действительно,

Следует заметить, что нижние границы изменения переменных ^1,...,^г не зависят от них и имеют вид Хг = Хг(и1, ...,иг-1); г ^ 2, а символ (и1; ...,иг) обозначает область изменения переменных иг+1,..., ип. Дифференцируя по верхним переменным ^1,..., получаем интеграл

Преобразуем интеграл ^ в поверхностный. Для этого заметим, что из условия 7 = 0, равенств

и теоремы о неявной функции (см,[18, стр, 309]) следует, что для каждого решения указанной выше системы, принадлежащей внутренности П найдется некоторая окрестность этого решения в П и гладкие функции ф1;..., фг такие, что

(т. е, система разрешима относительно переменных ж1,...,жг). Рассмотрим поверхность, определяемую отображением ф, задаваемым равенствами

л* а!?и"-Х"1 = = иг1

5(М1,...,М„) д(х1 ,...,жга)

Следовательно,

/ 171 ^иг+1 • • • ^ип.

^1 /1(х1, ...,

х1 ф1 (хГ + 1 ? ...? хп)

Образом (и1; ...,иг) при таком отображении и будет часть поверхности М(£), заключенная в П(£). Тогда, согласно [17, етр, 292, 327] (п — г)-мерный объем элемента поверхности (далее "элемент площади") выражается формулой где Д,, ^ = 1,..., I обозначает миноры порядка п — г матрицы

(

9<pi

диг+1

Qyi

9«г+2

Э(Р2

durjf-i

9<f 2

9«r+2

dipr

dur+i

dipr

du.

r+2

1

0

0 \

0

l gyi 0^2 . . . П П ... 1 /

\ du„ du„ du„ '

Легко видеть, что эта матрица имеет блочный вид: (Ф|1 ), где матрица Ф является транспонированной матрицей Якоби системы функций ф1;...,фг, а I-единичная матрица порядка n — r, Из равенства (6) [19, стр. 79] следует Ф = — J-1F, где F — матрица Якоби системы функций f (x) то перемениым xr+1 ,... ,xn, а торез J, одновременно обозначено, также и матрица рассматриваемого минора. Следовательно, имеем равенство блочных матриц (—Ф|I) = J-1 (F| J). Поэтому, (знак t слева сверху над матрицей будет обозначать транспонирование).

(—Ф|1 )

— *Ф

t F

IJ

Тогда элемент площади представляется в виде

J -1

ds

|det J |

(—Ф|1 )

—*Ф

~г

dxr+1 • • • dxn

1

det

t F

dxr+1 • • • dxn

VG\J\ 1 dxr+i ■ ■ ■ dxn.

Поэтому,

f |J| 1 dxr+1• • • dxn

JWv (ui Ur)

(VG | J\~1)dxr+i ■ ■ ■ dxn

f №

Wv (ui,...,ur) Vg ds

x

/(x)

/м(0пп„(0 л/G

где в конце цепочки равенств стоит поверхностный интеграл. Суммируя теперь по всем П (£), получаем утверждение леммы 1. Лемма 1 доказана.

Заметим, что лемма 1 сохраняет силу, если точка х0, являясь точкой границы П, принадлежит некоторой открытой облаети, где С > 0.

Следствие. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда имеет место равенство

-М1

-Міг

(Іиі---(1и [ /(ж)-^=, ,/М V с

где ш, и М, — соответственно, минимальное и максимальное значения Л(ж),

ш, ^ Л (ж) ^ М,, М = М(и)

1,..., г а С

поверхность в П, определяемая системой определитель Грама градиентов функций,

уравнений / = и, ^ определяющих М.

Утверждение этого следствия легко получается интегрированием соотношения леммы 1, при этом следует заметить, что для некоторых значений и поверхность М = М(и) может вырождаться в пустое множество.

0 и поверхность

Лемма 2. Пусть при условиях леммы, 1, = ■ ■ ■ = £

М

/(х, ...,х„) = 0,

/г(жь ...,хга) = 0,

причем,, функции / (X) непрерывно дифференцируемы в некоторой области П0, включающей внутри себя, П. Пусть С = С(Х) — определитель Грама градиентов функций /(X), не равный нулю в П. Пусть, далее, преобразование координат X = Х(£) взаимно - однозначно отображает некоторую область П' в П, с неособой матрицей Якоби

Я =

5ж,-

ПП

ции /(Х)^, имеет место формула

О*

[ ¡¿еід\іХх(0)^7=,

'М' V с'

с' = аеі(/д ■ * ■ я*/ ),

где М' — прообраз поверхности, М при этом преобразовании, — эл,ем,ент площади в координатах 3 — матрица Якоби системы функций Л,(ж):

д(Л1,...,Л)

5(х1, ...,хп)‘

Доказательство. Представим левую часть, применяя лемму 1, в виде

(/«4

дг

д^1 ■ ■ ■ УП(§)

Л (ж)^ж,

в окрестности ТОЧКИ £о т- е-ІІП1 ^

[ /(х)с1х = [ /(х)—^=.

(2/г,)г ]-н<^<ь^=і,...,г ]м л/С

При каждом фиксированном к произведем замену переменных х = х(£) на левой части под интегралом. Тогда получим выражение

Ит-^- [ |<30|/(Х0)С

(2к) J —h<fj(й(г;))<^,^ = 1,...,г

Применим лемму 1, учитывая, что поверхность берется теперь в области из-мепепия новых переменных. Используя правило нахождения матрицы Якоби сложной функции (см, [19, стр, 42]), получим нужное соотношение. Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Существует разбиение области П на не более, чем К подобластей так, что поверхностный интеграл, <р(и) = /р^=и цу^ц ? соответственно, разбивается на, сумму поверхностных интегралов, являющихся монотонными функциями переменной и, где К зависит только от степени Р.

Доказательство. Давая переменной и некоторое приращениеДи, мы можем писать

. * , , , [ ^5 [ ^5

<р{и + Аи) — <р{и)

(й)=и+Аи ||УР II (х)=и ||УР ||

П

второго порядка Р ограничены. Возьмем разложение функции в окрестности точки X, в направлении градиента:

Р(X + АУР) - Р(X) = А(УР, УР) + о(А2).

Поэтому, если точка X + АУР находится та поверхности Р = и + Ди тогда, мы имеем

Ди

А =-------5- + о(Аи).

||УД|2 1 '

Найдем теперь приращение 6 функции ||УР||-1в направлении градиента в точке X:

6 = -Ди ||УР||-3 (ДУ, У) + о(Ди); У = УР/ ||УР|| .

П

ло подобластей, пересекающихся разве лишь частями своих границ, где урав-Р=и

Рассмотрнм одну из них, где возможна разрешимость, скажем, по x1:

причем ш — область изменения невависимых пременных. Взяв произвольную точку £ € ш, определим отображение Ф, ставящее каждой точке £ € ш, в соответствие, точку (ф (£), £) па поверхности Д = ми рассмотрим "касательное" линейное отображение

(3)

Образ этого отображения является касательным пространством к поверхности Д = м в точке (ф (£), £). В каждой точке X поверхности Д = м градиент УД является ортогональным к касательной гиперплоскости. Действительно,

УД -Ф' (С) Аж =

<9Д

дхі

-і

дх дх

дД дД

— ——Ах2 — ■ ■ ■ — ——Ахг , АХ2, дх2 дхг

0.

Когда А определено как выше, точка X + АУД, где X € П(м), принадлежит поверхности П (м + Дм), при этом через П (м) обозначается поверхность, определяемая уравнением Д = м в открытой областн Q' Э П. Отображение Ф : П (м) ^ П (м + Дм); Ф (X) = X + АУД взаимно однозначно при достаточно малых Дм Положим:Д (м) = {X € П|Д (X) = м}, Тогда, при Дм ^ 0 поверхность О (м + Дм) стремится к О (м), Ф (О (м)) является замкнутым подмножеством в П (м + Дм), которого обозначавм как О' (м). Далее, прообраз О (м + Дм) при этом же отображении обозначим О (м + Дм), Тогда, мы имеем:

<?(« + Д«) ¥=(«) Х.(,,+д,,,пс(.)(і^-Р(х + АУҐ)|| ||УҐ(;ї)||)<г8+

+/

,УД(м+Ам)\Д/(м)

Подставляя найденное выше значение для приращения £, находим для первого поверхностного интеграла следующее выражение:

—Аи(1 + о(1)) / ||УД||-3 (АіУ, V) ав

</ ^ (й)=м

Рассмотрим два оставшихся поверхностных интеграла. Они преобразуются одинаковым образом. Первый интеграл берется по куску поверхности Д (и + Аи), заключенную между границами Д (и + Аи) и Д/ (и), Так как, Д/ (и) С Д (и + Ам), то при Ам ^ 0 этот кусок сужается, растягиваясь вдоль г — 2-мерной поверхности пересечепия Д (и + Аи) Р| дП, которая стремится к предельному положенню Д (и)р| дП. Разобъем поверхноеть Д (и + Аи) Р| дП на малые части Е, і — 1, •••, N с максимальным диаметром, не превышающим Аи,

ІУДІ

'Д(и)\Д/(м+Ам)

ІУДІ

(4)

Тогда, упомянутый выше кусок поверхности, также, разбивается на N частей с "основаниями"^:

/ ^<1+о(1))-

./Д(и+Ди)\Я'(и) II II II II

где (Ег) - части поверхности, соответствующие данному разбиению. Пусть £г € Ег и Дг- образ касательного отображения (3) в точке £г. Тогда, при малых Дм имеем:

|Дг |г-1 = |Е4-2 Рг (1 + о(Дм)) ,

(см, обозначения [19, стр. 262]) где рг — "высота" Дг, Пересечение касательных гиперплоскостей в точке £г, соответственно, к д0 и В (м + Дм), является касательным г — 2-мерным пространст вом кВ (м + Дм) Р| д0 в этой же точке. Пусть аг — угол между внешним нормальным вектором п к границе 0 и УД, Рассмотрим три точки: точку £г, точк у п пересечения вы соты рг с границей (м) и точку Ф-1 (пг). По непрерывности рассматриваемых функций, имеем:

Рг = А У УД У с£да*(1 + о(1)).

Учитывая выражение, найденное выше для А находим:

дз [ с£дагдо

N

Дм ( г=1 ^

2

(1 + о(1)) =

А .. .... [ (У,п) (1а

Дм(1+о(1)) / ; = „^,|2>

где до обозначает г — 2-мерный элемент объема, а пересечение поверхностей Д = ми. Аналогичная формула верна и для третьего поверхностного интеграла в (4), причем знак минус, стоящий перед интегралом учитывеатея скалярным У, п

и ^ V р(и + Аи) - <р(и)

ю и = пт ----------------=

Д«^0 Дм

-[ ||УД|Г3 (А1 У, У)<1з+ [ —= П) • 7-^2 • (5)

Л(х)=« 11 V ’/ ^ VI- (У,гг)2 ||УД||2

Второй интеграл в (5) можно представить в следующем виде

[ (У,п) дз

'г \Л — (V, п)2 ||УД||2 А

используя дифференциальные формы. Применяя формулу Стокса, получаем (см. [13, стр. 261]):

Из (5) следует:

ф'(и) = [ С(ж)^з,

о ^(й)=м

(возможно, в несобственном смысле) с некоторой алгебраической функцией С(ж), определенной в П, Теперь разобъем область П на такие подобласти П^, где функция С (ж) сохраняет свой знак неизменным. Тогда, полученный выше интеграл для ф' (и) разбивается на сумму нескольких поверхностных интегралов:

ф/(и) = X^(м)’ ф'(ж) = I £(х)^3 (6)

о =и

где число подобластей зависит от П и степени полинома Р , Обозначая, в согласии с (6) ф (и) = ^ фг(и), фДи)= /п. ^=и ^з/ ||УД|| получаем равенство (¿фг(и)/^и = ф'(и) (заметим, что когда мы рассматриваем сумму интегралов /5с^, взятых по разным сторонам одной и той же поверхности 5, нормальный вектор п меняет свой знак и поэтому такая сумма равна нулю). Следовательно, равенство ф' (и) = ^21 ф' (и) = /п р С(ж)^з сохраняется и фДи) являет-ся монотонной функцией. Лемма доказана.

4 Доказательства теорем

Доказательство теоремы, 1. ^ (Пн) можно представить в виде следующего поверхностного интеграла

^ (Пя) = /

./ПП Е(Н)

Разобъем область П на не более, чем Т подобластей П^, в каждой из которых

некоторый минор </Дж),г = 1,..., ^ П ^ принимает наибольшие значения среди остальных, т. е.

Щж)! ^ |/:(х)| , := «, к = 1,_..^ п

для всех ж € П и в любой подобласти система (1) имеет однозначную разрешимость. В соответствии с этим разбиением Пн разбивается в объединение не

более, чем Т чаетей ПьП^, Пусть среди этих частей П1; имеет максимальную площадь и

3 £>(/ь...,/га_г)

О (Хгх ) •••) хга—г )

обозначает соответствующий максимальный минор, и П0 — площадь куска П1, Тогда мы получаем следующую оценку

^ (Пя) ^ ТПо.

П0

п г

а = «Зе^ ■ ‘•/)= £ = Е

*—1 — г

О(х*1 ,...,хг„—г )

Для элемента поверхности имеем представление ([17-19]):

(7)

¿3 = ~г^гс1^1...с1^г,

I Л|

где ^1 = хп-г+1, независимые переменные, и П1 имеет параметриче-

ское представление

Х1 =

хга—г — ^га—г (£^

С = (С1,..., £г); множество всех таких £ определяет замкнутую область ПО- Из

(7) следует:

По « / < I " ) I (8)

♦/ Пд 111 \ / «/ Пд

П0

ями (в координатах Ё)

а1(х)...аг(X) ^ Н,

где а^- (X) обозначает сингулярные числа матрицы А0. Из линейной алгебры хорошо известно, что а.,-(X) ^ Ь, ^ = 1, ...,г. Докажем, что, в соответствии с усло-

П0

замену переменных м = а*(Х(£)), г = 1,...,г, £ € ПО; тогда, обозначая и(£)

матрицу Якоби этого преобра-зования, мы будем иметь:

1/2

det и(£) 1 ^М1...^МГ.

(9)

Пі

Для этого, мы, оценим снизу|det и(£)|, где матрица и(£) определена равенством:

и (;) =

диі диі

9£і' ' д£г

диг дит

дії' ' д£г

0)

где сингулярные числа «1,« матрицы А0, рассматриваются как функции зависящие от £, Пусть системы векторов ^(£0, ••••,с4к(СО и ^(£0, ••••,Сш(£/) суть сингулярные базисы матрицы О0 (см. [21, стр.271, или 23, стр. 80]), при этом С?(£0 ^ ^4к,3 = 1, ••••, 4&, 9г(£0 £ Ят,* = 1, ••••,т. Имеем следующие равенства:

(10)

— 1,..., 5. Тогда

¿^7 = ^ I + I ) + ( я?"

дД -

¿л?? ) + ( ) + ( D0tj,

<9£г

^7 \д£г ’ ^ V ’ д£г

Используя равенства (10) и тот факт, что для произвольного единичного вектора с = с (£/)

5с _Д

56’ 7 =

(см. [18, стр. 53]), мы получим следующее важное соотношение

дpj (<9Д)

показывающее, что векторы сингулярного базиса, при дифференцировании функций сингулярного спектра по £ ; (см. [21, 23]), ведут себя как постоянные векторы. Кроме того, эти соотношения показывают, что для матрицы Якоби данной замены имеем и(£;) — ^0^, • В, где — транспонированная матрица Якоби системы функций, получаемая расположением столбцов Д, последовательно, в строку

/іі, ..., /іт, /21, ..., /2т, ..., Ай, 1, ..., /4й ,і

(п)

(/, рассматриваются как фун кции от £'), а В — матрица раз мера 4ктх состоящая из столбцов ^ ® С1; •••,¿".8 ® С«; принадлежащих тензорному произведению Р4к ® Рт, Матрица ^0^р как матрица размера в х 4кт имеет 8 ненулевых (см, ниже) сингулярных чисел, которым соответствую две системы из в ортонормаль-ных векторов вй^ Р4к ®Рт соответственно, образующих сингулярные базисы. Отображение, переводящее столбцы В в векторы базиса в Р4к ® Рт является изометрией подпространств в Р4к ® Рт и, поэтому, может быть продолжена до изометрии Р ® Я всего пространства (см, [19]), Тогда РС, ® Яду при 3 = 1, •••, в, будут собственными векторами матрицы соответствующими нену-

левым сингулярным числам. Следовательно, сингулярное разложение (см,[23, стр. 80, задача 11,47]) имеет вид Я/ЛТ, где Я/ и Т- ортогональные матрицы порядков соответственно в и 4кт, а Л- ступенчатая матрица, содержащая сингулярные числа матрицы В0?, в качестве ведущих элементов, с остальными элементами, равными нулю. Обозначим эти сингулярные числа^1(£/), •••, ^(С), ^2(£/), 3 = 1, •••, в являются собственными значениями матрицы В0?, • '^0?,'

Представим теперь (ёе! и(¿р)) 1 в следующем виде (см,[14, стр, 131, задача

351):

(ёе! и (¿О) 1 = с-1 / • • • ^и>8,

./||и ({р)ги||^1

где с- постоянная, Производя замену переменных V = Вэд, представим последний интеграл в виде поверхностного интеграла

(ёе! и(¿О) 1 = с-1 / ^в

нК«, НЬ1

(действительно, элемент площади равен с1'Ш1 ■ ■ ■ с1га3 = с1'Ш1 ■ ■ ■ с1'ш3).

Осуществляя, далее, ортогональную замену переменных I = Р ® ()г и полагая согласно лемме 2, /(ж) = л/С получаем равенство (заметим, что сингулярные числа *Д0{р и ^0?, °Динаковы (см. [21 стр,270]))

(ёе! и (С))2 = сй (в;{/. 'в;?/), (12)

Так как ^1 ^ ^2 ^ ^ V« являются сингулярными числам и матрицы Д?,,

то по теореме Куранта - Фишера ([22 стр,115]) % + 1- е сингулярное число V

(0 ^ ^ в — 1) представляется в виде

vi+1 = min max R(u), 0 ^ i ^ s — 1, (13)

Vs-i ueVs_i

где VS-i пробегает все s — i- мерные подпространства Rs, u- все векторы этого подпространства, а R(u) представляет собой отношение Релея ( [22 стр,107]):

R(u) =

Do?' ‘ u)

(u, u)

Теперь заметим, что матрица Якоби системы (11) (дифференцирование

проводится по £ ;), Поэтому, ее можно представить в виде * (Д(х) • ^^(х)), где (х)-матрпца, введенная выше, а Д(х)-матрица вида, леммы 1:

(14)

Тогда ^ = Di(x) ■ *D(x) и полагая ш = *D(x) ■ u представим отношение R(u)

( ^11 ■ ■ ^1,4fc-s 1 0 ■ 0

D(x) = ^21 ■ ■ ^2,4fc-s 0 1 0

V ^s1 ■ ■ ^s,4fc-s 0 0 1

в виде

д(й)= (д7д°Г^-М=д.и

(ш,ш) (и,и) ’ (и,и) ^ ^

Очевидно, ш G R4k и строки матрицы D(x) ортогональны к градиентам функций /,(x) из системы (это известный факт анализа). Соотношения (15) теперь приобретают вид;

2 • Е> ( - \ (^> ('С0

//,•, 1 = mm max KAuj) ■ , ,

i+1 Ws-i weWs-i (u,u)

причем Ws-,-o6pa3 Vs-, при преобразовапии ш = *D(x) ■ //, и, следовательно, является подпространством размерности s — г в R4fc, ортогональное к градиен-там функций /j, j = 1,..., 4k — s ш пробегает все векторы этого подпространства. Из вида, (14) матрицы D(x) ясно, что

(ш,ш) = (*Du, *Du) = (u,u) + (Lnu,u) ^ (u,u), где Ln - неотрицательно определенная матрица размера s х s:

(16)

(

Ln

^11 ■ ■ ■ ^1,4fc

-s\

(

^11

<£s1

\

у <£s1 ■ ■ ■ ^s,4fc-s J у ^1,4fc-s ' ' ' ^s,4fc-s J

Из (15) и (16) получаем:

R (u) ^ Д1(ш)

(tD1 ■ Д1ш, ш)

v, + = mm max

i+1 Ws-i weffs-,

(ш, ш)

Если отбросить условие ортогональности Ws-i к градиентам функций, fj, j = 1,..., 4k — s, то от этого min на правой части (17) может лишь уменьшатся. Поэтому мы получаем:

где уже ^^-произвольное подпространство размерностп 8 — г, Тогда правая часть последнего неравенства, по теореме Куранта-Фишера, даст нам 4к — 8 + г + 1-у собственное значение матрицы Следовательно,

где al ^ а;2 ^ ^ сингулярные числа матрицы Di. Таким образом, мы

доказали неравенство

где С1 (ж) обозначает произведение последних (наименьших) 8 сингулярных чисел матрицы D1, Теперь получаем

Интеграл на правой части мы разобъем на сумму интегралов следующего вида.:

Суммируя по всем в, мы получаем следующую оценку

[ ^і...^г ^ 2Г-1ЯС-1 {/одг-1(ЬгЯ-1) + сг} ,

•'П'о

где сг = ^2^=1 вг-12-5. Теорема следует теперь от этого и неравенства (9),

Доказательство теоремы 2. Докажем теорему методом математической индукции. При к = 1 теорема 2 следует из теоремы 1,

v2,-, = min max

i+i Ws-i weWs-i

(*Di • Dia;, uj) (ш, ш)

det U(f01 ^ Gi(x)

ui ^ ... ^ ^ L

H2-n < ui...ur ^ H2i-s dui-dur> s = !> 2

Имеем H ■ 2 s < uiLr i ми H ■ 2 ^L1 r < мь Следовательно,

г г rro-l-s. .-1 ..-1

H2-s(/oq2sLrH-i)r-i ^ H2-s(s + ZoqLrH-i)r-i ^ 2r-2H 2-s(/oqr-i(Lr H-i) + sr-i).

Пусть утверждение теоремы доказано для к-1. Докажем ее справедливость для случая к. Разобьем с этой целю П0на два подмноже ства Щи П2, где П1 определяется условием Ск-\{х) ^ С, С = НкС~к~, и пусть П2 = П\П1. Площадь П1 оценивается с помощью теоремы 1, если за А0взять матрицу А^-1:

/ ^ ^ 2Г-1 • ТСС-1^"-1^С-1).

о П1

Для множества^ имеем оцепку С^-1(ж) ^ С. Поэтому, по предположению индукции

j ds^ 2Г~1ТН^С~^ {1од(сП)к-1Н-^С^}Г~1.

Из этих оценок и определения С следует утверждение теоремы 2,

Площадь П1 мы оцениваем с помощью теоремы 1, Поскольку, п сингулярных чисел можно по г сгрю^ппиоовать ^ ^ различными способа ми, то П1

разобъется па неболее, чем ^ ^ подповерхпостей, в каждой из которых про-

изведение г наименьших сингулярных чисел удовлетворяют неравенству ^ С, Если в качестве матрицы А0 принимать А&_1; то по теореме 1:

3/2

^ ^ г ) Г~1 • 11о^" ^с^С"1).

На П2 выполняется уеловие С^_1(ж) ^ С. По индуктивному предположению мы имеем:

/ \ 3/2_ 1/(&_1) г_ 1

¿в ^ С ^ у 2Г~1ТНТ^С~Т^ {1од{сЬг)к-1Н-^С^У

где С обозначает число связных подобластей, в которых удовлетворено неравенство С^_1(ж) ^ С, Из полученных оценок мы получаем утверждение теоремы

2.

Доказательство теоремы, 3. Мы представляем интеграл (1) как 3 = 3 + 32,

где

л= [ е2жгР{ш)(1х, </2 = [ е2жгР{ш)(1х,

оП1 ОП2

кроме того области ^и П2, определенные, соответственно, условиями || УД || ^ И и ||УД(ж)|| ^ И, для некоторого Н, выбираемого ниже. Области П1 и П2 состоят из конечного числа связных подобластей.

Для того, чтобы оценить 31 мы делаем замену переменных:

дж

Тогда мы получаем:

Г

/ е2п^ (х)^ж

'Пі

где X рассматривается как функция от переменных и = («1, ...,«). Часть этого интеграла, определяемая условием |ёе1 А(х)| ^ V оценивается теоремой 2 как величина

^ С'кгг/22г-1ТУ^С-^1одг-1 |сЬг-1у-к-^Ск~^} ,

где, константы с, С зависят только от Р, г, к, при этом, С2 - минимальное

значение определителя матрицыАк-1*Ак-1, Т - постоянная, зависящая только

от степени полинома Р.

Остающаяся часть интеграла (16) оценивается как величина

^ V-1 [_ с1и1..Лиг ^ с1Яг1/_1,

3 -у/и\+...+и1<~Н

с постаяанной, зависящей только от степени полинома ^г, Если теперь мы возьмем

г(к —2) 1

V = Т,

тогда будем иметь:

1 1 Г г(к — 2) к —2

---’ -Г--1 ) ^ГГ- и- О ; ^-2

I е2п^ (х)^ж

Пі

где постоянная с1 зависит только от степени Р, г, и к.

Для оценки интеграла /2 сначала мы преобразовываем его следующим способом, Из следствия к лемме 1 следует:

[ е2жгР^(1х= Г е2жгис1и [ (20)

</п2 ^т (й)=м II * Д У

Здесь т и М, соответственно, минимальное и максимальное значения функции Д(ж), которые достигаются П2 (так как, область замкнутая). Внутренний интеграл является поверхностным интегралом, взятым по поверхности Д(ж) = п. Очевидно, что интеграл

'Аи) =

как функция, зависящая от u, согласно лемме 3, может быть представлен в виде суммы не более, чем К0 монотонных функций. Тогда для J2 получим оценку:

г ds

|J2| ^ 2К0 max . (21)

(x)=u IVF||

Пусть максимум на правой части (21) достигается в точке u = ui. Тогда мы имеем:

|./2| « 2А'„ / . (22)

./F(x)-«о=0 II VF 1

Ясно, что часть интеграла справа, при ||VF|| > U, для данного U допускает оценку

| J2I ^ C2K0U-1П, (23)

где константа зависит только от степени^, г, к. Рассмотрите теперь интеграл

г ds

тг{-\ п м т-7 пи > max || VF|| . (24)

JF(x) - uo = 0 || VF|| xen 11 11 v '

U < I VF || ^ 2U

Введем параметр W с условием min G1 (x) ^ W ^ max G1 (x) и разобъем последний поверхностный интеграл на сумму двух интегралов; первый определяется тем, что на поверхности F(x) — u0 = 0 наряду с условием U ^ || VF|| ^ 2U, выполняется, также, условие G1(x) ^ W, а второй интеграл, распространенный на оставшуюся часть той же поверхности, где выполняется неравенства U ^ ||VFII ^ 2Un G1(x) S W, Первый интеграл ограничивает теоремой 2:

/и i IIVF|| i 2и CyVTT-4j-'W^G;^x

G1(x) ^ W

cLr-1)fc-2Wi^1G^}r 2. (25)

Второй из них мы оцениваем следующим путем. Под интегралом мы выполняем замену переменных формулами

dF dF

£1 = 0—, •••,£« =

О 1 '"1 'Ъ’П О

дхг

Которая по условиями, наложенным выше, является взаимно однозначной с неособой матрицей Якоби *А1(х). Тогда, обозначая йа элемент площади преобразованной поверхности, мы проходим, согласно лемме 3 к формуле:

[ ^3

[ (1(7 ^

У и ^ л/&+ ■■■ + & < 2и |ае!Л|(Аг2ё,ё)1/2 ^

С1(х) ^ W Г ¿а

^ У и ^ л/^1 + ••• + £2 ^ 2и |ае! I • А]"1^/^ + ... + £2

С1(х) ^ W Г ¿а

У и ^ л/С! + ••• +Сп ^ 2[/ (^(ж)^? + ••• + С2

С1(х) ^ W

Выше мы оценили квадратичную форму следующим образом

(А-2е ,£) ^ А-2 (£,£),

где А1 обозначает модуль максимального собственного числа А1. Если учесть что С1(х) означает произведение поеледних г — 1 сингулярных чисел (т.е. модулей, в данном случае, собственных чисел А1(х)), можем записать

[ /_________________ ^ <

У и ^ л/Ц + ... + с2 ^ 2[/ С^ж)^? + ••• + С2 ^

С1(х) ^ W

\¥~11Г1 [ ¿а.

Зи^л/^+...+^и

Последний интеграл разбивается на сумму г интегралов, у которых, одна из величин ..., принимает по модулю максимальные значения, а остальные независимо пробегают меньшие по модулю значения. Тогда,

¿(7 ^

1и^л/Щ+...+^‘2и

[ \] (^1 /Сг)2 + ••• + (Сг-1/Сг)2 + 1 ^

и*ку/ц+...+еп-г< ж

2гу^ ^ С1иг~\

¿у/*!1+-+&&и

где С3 зависит от г.

Итак, мы получили оценку:

Определим И’ равенством:

\¥~1иг~2 = и~1Ш^Скк-_\.

(г-1)(к-2)

)дим: И I к-1

(23)

(г— 1)(к — 2) ————

Находим; ]¥ = II ^ Ск_, 1. Из (24) и (25) следует оценка для интеграла

{/од(£ + Ь-1)(Я + Н-1)(СЙ_1 + С„_1)}

г- 2

с постоянной зависящей лишь от п и к.

При к > г для ,12 имеем, окончательно, такую оценку

^2 ^ ”С2(г, к)Н^Ск^ {1од{Ь + Ь~1){Н + Я“1)^ + С^1)}г 1.

Объединяя с оценкой (18) при Я = (ССк\)^, где 02 минимальное значение определителя матрицы А^_1 • *А^_1; окончательно для / получаем следующую оценку

г —к т

3 ^ С (г, к, Р)Х0 • Ск^-1] 1одг~\С + С“1)(СЙ_1 + С^), (27)

с постоянными, зависящими от г, к и deg Р.

Если же г>к, то применима оценка

г —к 1

{(о«(Но + Н(_1)(Ь + £_1)(й*_1 + С^)}'_‘, (28)

где Я0 - максимальное значение нормы градиента || VР||. Теперь доказательство следует из (27) и (28), если учесть, что Н ^ Ь, С^_1 ^ Ьг-1, Доказательство следствия легко получается из теоремы 3,

Для доказательства теоремы 4 предположим, что полипом Р(х1;..., хг) имеет старшую форму

f (х1;...,хг )= ^ а(к1;..., кг)х11 • • • х^г.

&1+—кг

Матрица А^_1 составлена го частных производных порядка ^ полинома f, Легко видеть, что в каждой строке содержится хотя бы один ненулевой элемент вида

к\\ ■ ■ ■ кг\а(к 1,кг) = —----------.

1 ' дх^1 ■ ■ ■ дхк/

При этом все остальные элементы соответствующего столбца равны нулю. Далее, коэффициент к1! • • • кг!а(к1,кг) присутствует в г-й строке если найдется хотя бы один моном, содержащий х*. Следовательно, А^_1 • *А^_1 диагональная матрица, элементами которой являются суммы

^2 = ^ (к^- -кг !а(кь...,кг ))2; г =1,...,г.

&1 +-кг = = 0

Очевидно,

>

Е (ki! ■ "kr !)

_kxH—kr=d,ki=0

-1/2

Ai

|a(ki,kr)|

ki+—kr=d,k¿=0 , -1/2

(ki! ■ ■ ■ kr!)"

(ki! ■ ■ ■ kr! ' 2

-ki+—kr=d,k¿=0

Теорема 4 получается теперь из следствия к теореме 3

СПИСОК ЦИТИРОВАННОМ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Арнольд В, П., Варченко В, И, Гусейнзаде С, М. Особенности дифференцируемых отображений М., Наука, 1984,

[2] Виноградов И, М, Метод тригонометрических сумм в теории чисел М, Наука, 1971, 160 с.

[3] Виноградов И, М. , Карацуба А, А, Метод тригонометрических сумм в теории чисел // Тр. МИАН СССР, т.168, 1984, стр. 4-30.

[4] Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Тригонометрические интегралы // Изв. Ан. СССР, сер.мат - 1979, т.43, №5, етр.971-1003.

[5] Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм М, Наука, 1987.

[6] Чубариков В. Н. О кратном тригонометрическом интеграле // Докл. Ан. СССР, 1976, т.227,№6,1308-1310.

[7] Чубариков В. Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Мат. Заметки, i.20. №1, 1976, 61-68.

[8] Hua Loo Keng On the number of solutions of Tarry‘s problem // Acta Sei. Sinica, 1952, v.l, JVsl-pp,l-76.

[9] Архипов Г. И., Карацуба A. A., Чубариков В. Н. Кратные тригонометрические суммы и их приложения // Тр. МИАН, 1980, т.151, с.1-128.

[10] Архипов Г, И,, Карацуба А, А,, Чубариков В, Н, Теория кратных тригонометрических сумм // М., Наука, 1987, 368с,

[11] Джаббаров И, Ш, Об одном тождестве гармонического анализа и его приложениях // Докл. АН СССР, 1990, т.314,№5.

[12] Джаббаров И. Ш. Об оценках тригонометрических интегралов // Тр, РАН, 1994, т.207, стр 82-92.

[13] Руднн У. Основы математического анализа. М. Мир, 1976.

[14] Веллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.

[15] Гантмахер Ф. Р. Теория матриц М, Наука, 1954.

[16] Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления М, Наука,т.2,1970.

[17] Никольский С. М. Курс математического анализа М.,т.1, Наука, 1990.

[18] Шилов Г. Е Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных М, Наука, 1972.

[19] Бурбаки Н. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра гл. П-Ш, М. Наука, 1962.

[20] Ходж Б. и Пило Д. Методы алгебраической геометрии. \\2. II.. 954.

[21] Воеводин В. В. Линейная алгебра М., Наука, 1974.

[22] Ланкастер П. Теория матриц М., Наука, 1978.

[23] Воеводин В. В. и Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления М.: Наука, 1984, 318с.

[24] Никольский С.М. Курс математического анализа М.: Наука, т.2, 1973.

[25] Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия М.: Наука, изд.2, 1968.

[email protected]

Поступило 13.05.2010