О сумме характеров Дирихле от многочлена по приведенной системе вычетов Текст научной статьи по специальности «Математика»

40

вестн. миск. ун- та. сер. 1, млхемА!ила. меланилл. 2ииа. № о

71(

отображение gi : X ^ conLi, что

Поскольку [уц] с fi o\, из (35), (36) и (38) вытекает, что [У^] П fi = 0. Поэтому существует такое —>

9г\рг = ¡ы, (39)

аьг/9г [УП- (40)

Из (35), (38)-(40) вытекает

аьг/9г ([У/] и [у?]) - (41)

п

Обозначим джойн через В и положим д = д\ Д ... Адп : X —^соп!^ = соп(13). Вершину конуса

г= 1

соп(В) обозначим через а и покажем, что

а/д(Х). (42)

Из предложения 6 вытекает, что а = (а^1, ---, аь„) = (а 1, ---, ап). Пусть х £ X. Согласно (37), точка х принадлежит одному из множеств Уг. Согласно (41), имеем дг(х) = , откуда свойство (42) и вытекает. Применение предложения 7 завершает доказательство в силу (38), (39) и (41). □

Замечание 2. Включение б'-'шё С ^-'шё из теоремы 4, вообще говоря, является строгим. В самом деле, по теореме А. Н. Дранишникова [9, теорема 7.10] существует такой сильно бесконечномерный компакт X, что МР2 е АЕ(X). Значит, всякое отображение f : X ^ соп(МР2) несущественно. Следовательно, X £ МР2-'1ё.

Работа поддержана РФФИ (грант № 09-01-00741) и РНП (грант № 2.2.1 3704).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров П.С. Предисловие к русскому переводу // Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности. М.: ИЛ, 1948.

2. Левшенко Б.Т. О сильно бесконечномерных пространствах // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ., Астроном., Физ., Хим. 1959. № 5. 219-228.

3. Скляренко Е.Г. Несколько замечаний о бесконечномерных пространствах // Докл. АН СССР. 1959. 126. 1203-1206.

4. Скляренко Е.Г. О размерностных свойствах бесконечномерных пространств // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1959. 23.197-212.

5. Федорчук В.В. Слабо бесконечномерные пространства // Успехи матем. наук. 2007. 62, № 2. 109-164.

6. Постников М.М. Лекции по алгебраической топологии. Теория гомотопий клеточных пространств. М.: Наука, 1985.

7. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М.: Наука, 1977.

8. Fedorchuk V. V. Finite dimensions modulo simplicial complexes and АЖД-compacta // Matem. Vesnik. 2009. 61, N 2.

9. Dranishnikov A.N. Cohomological dimension theory of compact metric spaces // Topology Atlas Invited Contributions. 2001. 6, N 3. 1-61.

Поступила в редакцию 17.11.2008

УДК 511

О СУММЕ ХАРАКТЕРОВ ДИРИХЛЕ ОТ МНОГОЧЛЕНА ПО ПРИВЕДЕННОЙ СИСТЕМЕ ВЫЧЕТОВ

В. Н. Чубариков1

Получена корневая оценка для суммы характеров Дирихле от многочлена axn + b по приведенной системе вычетов.

1 Чубариков Владимир Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

вьсш. миск. ун-та. сер. 1, математика. механика. ¿UU9. л-о

Ключевые слова: характер Дирихле, формула Постникова для характера Дирихле, метод Хуа Ло-кена оценок полных рациональных тригонометрических сумм.

A root estimate is obtained for a sum of Dirichlet characters of the polynomial axn + b over a reduced residue system.

Key words: Dirichlet character, Postnikov's formula for a Dirichlet character, Hua Loo-keng's method for estimation of complete rational trigonometric sums.

Исследование проблемы Гольдбаха-Варинга [1, 2] приводит к оценке рациональных тригонометрических сумм от многочлена по приведенной системе вычетов, т.е. сумм вида

ч п

Т(а,д) = £ е2^Г,

Х=1 (х,д)=1

где а,д,и — натуральные числа.

Хуа Ло-кен [2] доказал, что для любого положительного е при д справедливо неравенство

\Т{а,д)\

где постоянная в знаке ^ зависит только от е.

В дальнейшем он получил оценки полных рациональных тригонометрических сумм для многочленов общего вида от одной переменной [3]. Эти оценки были уточнены для "выщербленных" многочленов [4].

В 1955 г. А. Г. Постников [5] нашел формулу для значения примитивного характера % Дирихле по модулю, равному степени простого числа р:

%(1 + ри) = е рп 1,

где модуль характера равен рп и функция /(х) — многочлен степени, не превосходящей п.

В середине 80-х гг. прошлого века Д. И. Исмоилов [6] получил оценки для полных сумм характеров Дирихле от многочлена.

В настоящей работе доказана оценка для сумм характеров Дирихле от многочлена вида ахп + Ь по приведенной системе вычетов.

Пусть Q > 1 — натуральное число, % — примитивный характер Дирихле по модулю д, /(х) = ахп + Ь — многочлен степени п, (аЬ,д) = 1, и пусть найдется хо, такое, что значение %(/(хо)) отлично от 0 и 1.

Символом Б(О) = Б/) обозначим сумму значений характеров Дирихле от многочлена /(х) по приведенной системе вычетов по модулю Q, т.е.

Я

Б^) = Б %,/ ) = £' %(/(х)),

Х=1

где штрих в знаке суммы означает, что суммирование ведется по числам х, взаимно простым с модулем д. Приведем сначала несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 1. Пусть р — простое число, а — натуральное число, % — примитивный характер по модулю ра ,а ^ 2. Тогда для любых V имеем

р-1

^2%(пра-1 + V) = 0.

и=0

Доказательство см. в [7, гл. VIII, с. 118-119].

Пусть /(х) = ахп + Ь — многочлен с целыми коэффициентами, (аЬ,р) = 1,п — натуральное число, п ^ 2; т — показатель, с которым простое число р входит в каноническое разложение числа п на простые сомножители, рт||п; кроме того, буква 7 обозначает число, определяемое соотношениями

= ( т + 2, если р = 2, 2 | п; ^ [ т + 1 в противном случае.

42

вестн. миик. ун-та. сер. 1, математика. механика. ¿UU9. л-о

Лемма 2. Для любого простого числа p при а > Y имеем S(pa) = 0. Доказательство. Представим любой вычет x по модулю pa следующим образом:

x = y + pa-T-1 (mod pa), 1 < y < pa-T-1,0 < z < pT+1.

Тогда при а ^ т + 2 получим xn = yn + npa-T-1zyn-1 (mod pa). Следовательно, по лемме 1 имеем

pa-T-ipT+1-1

S(pa)= E E x(yn + anyn-1pa-T-1z + b) = 0,

y=1 z=0

(y,p)=1

поскольку (p, ayn-1np-T) = 1. Лемма доказана.

Перейдем к выводу основного результата этой статьи. Теорема. При (a, Q) = 1 для суммы S(Q) справедлива оценка

\S(Q)| < nw(Q)Q1/2,

где u(Q) — количество различных простых делителей числа Q.

Доказательство. Пусть (n,p) = 1. Тогда j = т + 1 = 1. Следовательно, по лемме 2 при а ^ 2 имеем S(pa) = 0. При а = 1 из оценки А. Вейля получаем |<5(р)| ^ (п — 1 )Л/р. Таким образом, находим

(0, если а > y;

pa, если а ^ y;

(п — 1 )у/р, если а = 1.

Рассмотрим случай, когда Q = Q1Q2, (Q1, Q2) = 1. По китайской теореме об остатках каждый вычет l по модулю Q может быть единственным образом представлен в виде l = I1Q2 + I2Q1 (mod Q), где 1 ^ I1 ^ Q1,1 ^ I2 ^ Q2. Отсюда получаем Sq = Sq1 Sq2 , так как имеет место цепочка равенств

Q1Q2 Qi Q2

S(Q) = S(Q1Q2)= Е X(aln + b)= E E x(a(hQ2 + I2 Q1)n + b) =

l=1 li = 1 l2 = 1 (l,QiQ2)=1 (li,Qi)=1(l2 ,Q2)=1

$1 Я2

= Е Х.(а(ЯП 1П + Ь; Я1) Е х(ЯП1'П + Ь; £2) = 5(£1)5(£2). ¿1 = 1 ¿2 = 1

(¿1 ,Я1)=1 (12,Я2) = 1

Далее рассмотрим £ = Л рар — каноническое разложение числа £ на простые сомножители, £ =

р\я

pap Qp. Находим

где

Оценим П1 и П2. Имеем

поскольку при а ^ 1

S (Q) = П s (pap) = П1П2,

p\Q

П1 = П S(pap), П2 = П S(pap).

p\(n,Q)

p\Q

(n,p)=1

\П1\ < П pT+1 < n П pT/2,

p\(n,Q) p\(n,Q)

0, если а > y;

\S(pa)\ <

pT+1, если а ^ y.

вестн. миск. ун- та. сер. 1, мАтемл! ила. меллнилА. 2ииа. № о

43

Далее,

|П21

П 5 (pap )

p\Q

(n,p)=1

<

П Пл/Р-

p\Q

(n,p)=1

Таким образом, Теорема доказана.

is(q)| = |п1 п2| < u"(q)q1/2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1980.

2. Хуа Ло-кен. Аддитивная теория простых чисел // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1947. 22.

3. Hua Loo-keng. On the number of solutions of Tarry's problem // Acta Sci. Sinica. 1952. 1. 1-76.

4. Чубариков В.Н. Об асимптотических формулах для интеграла И. М. Виноградова // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1981. 157. 214-232.

5. Постников А.Г. О сумме характеров по модулю степени простого // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1955. 19, № 1. 11-16.

6. Исмоилов Д.И. Оценки полных сумм характеров от многочленов // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1991. 200. 189-203.

7. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1983.

Поступила в редакцию 07.11.2008

УДК 517.984

ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ЗАДАЧ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С ПОТЕНЦИАЛАМИ-РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ

А.А. Шкаликов,1 Ж. Бен Амара2

Рассматривается задача Штурма-Лиувилля

-у" + д(х)у = Ху, у(0) = у(1) = 0

с сингулярным потенциалом д(х), представляющим собой обобщенную производную некоторой вещественной функции класса ^[0,1]. Развиваются два подхода для изучения ос-цилляционных свойств собственных функций этой задачи. Первый подход основан на обобщении методов теории Штурма, а второй — на развитии вариационных принципов.

Ключевые слова: задача Штурма-Лиувилля, сингулярные потенциалы, вариационные принципы, осцилляционная теория.

The Sturm-Liouville problem

-y" + q(x)y = Xy, y(0) = y(l) = 0

1 Шкаликов Андрей Андреевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

2 Ben Amara Jamel — канд. физ.-мат. наук, ст. преп. (Maitre-Assistant), University 7 novembre a' Carthage, Faculte' des Sciences de Bizerte, Tunisia. e-mail: [email protected].