Осцилляционные теоремы для задач Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Далее,

|П21

П 5 (pap )

p\Q

(n,p)=1

<

П Пл/Р-

p\Q

(n,p)=1

Таким образом, Теорема доказана.

is(q)| = |п1 п2| < u"(q)q1/2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1980.

2. Хуа Ло-кен. Аддитивная теория простых чисел // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1947. 22.

3. Hua Loo-keng. On the number of solutions of Tarry's problem // Acta Sci. Sinica. 1952. 1. 1-76.

4. Чубариков В.Н. Об асимптотических формулах для интеграла И. М. Виноградова // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1981. 157. 214-232.

5. Постников А.Г. О сумме характеров по модулю степени простого // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1955. 19, № 1. 11-16.

6. Исмоилов Д.И. Оценки полных сумм характеров от многочленов // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1991. 200. 189-203.

7. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1983.

Поступила в редакцию 07.11.2008

УДК 517.984

ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ЗАДАЧ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С ПОТЕНЦИАЛАМИ-РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ

А.А. Шкаликов,1 Ж. Бен Амара2

Рассматривается задача Штурма-Лиувилля

-у" + я(х)у = Ху, у(0) = у(1) = 0

с сингулярным потенциалом д(х), представляющим собой обобщенную производную некоторой вещественной функции класса ^[0,1]. Развиваются два подхода для изучения ос-цилляционных свойств собственных функций этой задачи. Первый подход основан на обобщении методов теории Штурма, а второй — на развитии вариационных принципов.

Ключевые слова: задача Штурма-Лиувилля, сингулярные потенциалы, вариационные принципы, осцилляционная теория.

The Sturm-Liouville problem

-y" + q(x)y = Xy, y(0) = y(l) = 0

1 Шкаликов Андрей Андреевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ashkalikov@yahoo.com.

2Ben Amara Jamel — канд. физ.-мат. наук, ст. преп. (Maitre-Assistant), University 7 novembre a' Carthage, Faculte' des Sciences de Bizerte, Tunisia. e-mail: jamel.benamara@fsb.rnu.tn.

is considered with a singular potential q(x) representing the derivative of a real function from the space L2[0,1] in the distributional sense. Two approaches are developed for the study of oscillation properties of eigenfunctions of this problem. The first approach is based on generalization of methods of the Sturm theory. The second one is based on development of variational principles.

Key words: Sturm-Liouville problem, singular potentials, variational methods, oscillation theory.

1. Введение. В настоящей работе мы изучим осцилляционные свойства задачи Штурма-Лиувилля

l(y) := -v" + q(x)y = Xy, (1)

y(0) = y(1) = 0, (2)

где X e C — спектральный параметр, а q(x) —сингулярная вещественная функция из соболевского пространства W—1[0,1]. Напомним, что это пространство состоит из обобщенных функций, являющихся в смысле теории распределений производными функций из пространства L2[0,1]. Краевые условия Дирихле здесь рассматриваются для простоты. Доказательства полученных в заметке результатов с использованием обоих методов без существенных изменений переносятся на случай общих самосопряженных условий типа Штурма.

В 1836 г. Ш. Штурм (см. [1; 2, гл. 1]) исследовал осцилляционные свойства граничных задач вида (1), (2) с регулярными потенциалами q(x). В частности, им было показано, что собственные значения таких задач просты, вещественны и образуют неограниченно возрастающую последовательность

Xi < X2 < ... < Xn < ... .

Он также показал, что при любом натуральном n ^ 1 отвечающая собственному значению Xn собственная функция yn(x) имеет ровно n-1 нулей на интервале (0,1), причем нули отвечающих соседним собственным значениям собственных функций yn(x) и yn+i(x) перемежаются.

Основная цель настоящей статьи заключается в установлении тех же свойств для граничных задач с сингулярными потенциалами. Будут развиты два различных подхода. Первый из них основан на обобщении классического метода Штурма, а второй — на вариационной технике. Отметим, что в частном случае q(x) = u'(x), где u(x) — функция ограниченной вариации; похожие результаты получены в недавней работе [3].

Определение и изучение спектральных свойств операторов, порожденных задачей (1), (2) с потенциалом q(x), имеющим сингулярности внутри интервала (0,1), проводилось многими авторами. Здесь укажем на работы [4-7], где были получены важные результаты для потенциалов частного вида, а именно для ¿-функции и для кулоновского потенциала q(x) = 1/(x — 1/2). Общий случай q e W—i был рассмотрен в работе [8] и более детально в работе [9]. Мы будем исходить из предложенной в [8, 9] трактовки задачи (1), (2). При этом основу используемого нами технического аппарата будет составлять указанная в [8] регуляризация задач Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами при помощи квазипроизводных.

Для знакомства с недавними исследованиями по задаче Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями мы рекомендуем читателю обратиться к работам [10-12], где можно найти также другие ссылки.

2. Теория ^Штурма для сингулярного потенциала. Здесь мы исследуем спектральные и осцилляционные свойства задачи (1), (2) на пути обобщения классической теории Штурма (см. [1; 2, гл. 1]).

Пусть сингулярный потенциал q(x) допускает представление в виде

q(x) = u'(x), u(x) e L2[0,1]. Это равенство понимается в обобщенном смысле, а именно как равенство

i

(q,v) = — j u(t)V'(t) dt

0

для любой бесконечно гладкой функции х) с финитным носителем на интервале (0,1). Следуя [8], введем квазипроизводную

у[1] := у' - и(х)у, (3)

вьсш. миск. ун-та. сер. 1, математика. механика. ¿ииу. л-о

45

с помощью которой перепишем уравнение (1) в виде

:= -(У[1])' - п(х)у[1] — п2(х)у = Ху.

(4)

В дальнейшем будем предполагать, что функция п(х) продолжена на всю ось М в следующем виде: п(х) = 0 при всех х € [0,1]. Соответственно решения уравнения (4) мы также будем рассматривать как функции, определенные при всех х € М.

Основной результат настоящей статьи состоит в следующем.

Теорема 1. Пусть д — вещественная функция из пространства ^2_1[0,1]- Тогда собственные значения задачи (1), (2) просты, вещественны и образуют накапливающуюся к последовательность

Х1 < Х2 < ... < Хп < ....

При любом натуральном п ^ 1 отвечающая собственному значению Хп собственная функция уп(х) имеет ровно п — 1 нулей на интервале (0,1). При этом нули собственных функций уп(х) и уп+1(х) перемежаются.

Заметим, что возможность представления спектра задачи (1), (2) в виде неограниченно возрастающей последовательности простых вещественных собственных значений была ранее доказана в работе [8], поэтому основное содержание теоремы заключается во втором утверждении. Но в ходе доказательства попутно будет доказано и первое утверждение. Доказательству теоремы предпошлем несколько лемм.

Лемма 1. При любом £ € М отвечающая уравнению (4) начальная задача

у(£,Х) = 0, у[1](£,Х) = С.

(5)

где С € С, имеет единственное решение у(х, Х). При этом каждая из функций у(х, Х) и у[1](х, Х) непрерывна на М х С. Более того, при произвольно фиксированном х € М функция у(х, Х) — целая по Х € с.

Первое утверждение леммы 1 с очевидностью вытекает из [9, теорема 1.2], а доказательство второго утверждения (об аналитичности решений по Х при фиксированных х) аналогично доказательству теоремы 1.1 из [2, гл. 1].

Лемма 2. Пусть при некотором фиксированном Х € М функция у(х, Х) является решением начальной задачи (4), (5), причем С > 0. Тогда существует е > 0, такое, что у(х, Х) < 0 при всех х € (£ — е, £) и у(х,Х) > 0 при всех х € (£,£ + е).

Доказательство. Фиксируем произвольное Х € М. Согласно лемме 1, для любого е1 > 0 найдется такое е > 0, что при всех х € (£ — е,£ + е) выполняются оценки \у(х, Х)| < е1 и |у[1] (х, Х)| < 2С. Тогда при всех х € (£ — е,£ + е) получаем также

п(Ь)у(Ь, Х) (М

<

у[1](г,Х) (И

\п\\ь2 [0,1]

(

V

\

1/2

\у(Ь, Х)\2 (1

< £11Мк2[од] • \/\х-£\,

/

< 2С • \х - £\ < 2Сл/ё ■ ^\х-£\.

(6)

(7)

Из (3), (6) и (7) при всех х € (£ — е,£ + е) имеем

\у(х,Х)\ =

X

У {у[1\г,Х)+п(г)у(г, Х)) м

< е2 V\х — £\,

(8)

если взять £2 := £\ |М|£2[од] + 2Су/е. Отсюда аналогично (6) получаем, что при всех х € (£ — е, £ + е) выполняется оценка

п(Ь)у(Ь, Х) (М

е2

(9)

если взять := £2|Мк2[о,1]/\/2-

X

X

X

X

46

вестн. миск. ун- та. сер. 1, млтемА! ила. мелАникА. 2669. № о

Заметим теперь, что величины £\ и г можно выбрать столь малыми, что

С

уЩх, \)>->е, (10)

при всех х € (£ — г,£ + г).

Из (3), (9) и (10) теперь аналогично (8) получаем

у(х, А) > - ■ (х - О > 0 при всех ж е (£, £ + е),

у(х, А) < - ■ (х - О < 0 при всех ж е (£ - е, О-

Эти неравенства доказывают лемму. □

Лемма 3. Пусть у(х) — ненулевое решение уравнения (4) при некотором Х € М. Тогда все нули функции у(х) являются изолированными.

Доказательство. Лемма 3 представляет собой очевидное следствие лемм 1 и 2. □

Лемма 4. Пусть у(х, X) — решение начальной задачи (4), (5) при С = 0. Пусть точка (хо, Хо) € М2 такова, что у(хо,Хо) = 0. Тогда для любого достаточно малого г > 0 найдется 5 > 0, такое, что при, произвольном фиксированном X € (Хо — 5, Хо + 5) функция у(х, X) имеет ровно один нуль на интервале (хо — г, хо + г).

Доказательство. Пусть точка (хо, Хо) € М2 такова, что у(хо, Хо) = 0. Тогда из леммы 1 немедленно следует у[1](хо,Хо) = 0, причем без ограничения общности можно предположить, что у[1](хо,Хо) > 0. Согласно лемме 2, для любого достаточно малого г > 0 выполнены неравенства у(хо — г, Хо) < 0 и у(хо + г, Хо) > 0. Но тогда в силу леммы 1 найдется число 5 > 0, такое, что

у(хо — г, Х) < 0 при всех Х € (Хо — 5, Хо + 5),

у(хо + г, Х) > 0 при всех Х € (Хо — 5, Хо + 5),

у[1](х, Х) > 0 при всех х € (хо — г,хо + г) и Х € (Хо — 5, Хо + 5).

В таком случае функция у(х, Х) имеет при любом Х € (Хо — 5, Хо + 5) хотя бы один нуль на интервале (хо — г,хо + г). Покажем, что такой нуль является единственным. Предположим, что на интервале (хо — г, хо + г) имеются два различных нуля х1 < х2 функции у(х, Х). Тогда, согласно лемме 2, должны существовать точки х\ € (х1,х2) и х2 € (х1,х2), удовлетворяющие неравенствам у(х^,Х) > 0 и у(х2,Х) < 0. Из непрерывности функции у(х,Х) следует, что на интервале (х1, х2) существует третий нуль хз. Выбирая из подынтервалов (х1,хз) и (хз, х2) наименьший, аналогичным образом устанавливаем, что этот подынтервал содержит четвертый нуль х4. Бесконечно повторяя указанную процедуру, мы находим точку накопления нулей функции у(х,Х), существование которой противоречит лемме 3. Тем самым лемма 4 доказана. □

Лемма 5. Пусть (Х1,Х2) € М2, Х1 < Х2, и пусть у1(х) и у2(х) — два решения уравнения (4) при Х = Х1 и Х = Х2 соответственно. Тогда между двумя соседними нулями х1 и х2 функции у1(х) имеется хотя бы один нуль функции у2(х).

Доказательство. Из обобщенной формулы Лагранжа [9, лемма 1.1] имеем

Х2 Х2

) = J(%2) • у1 — ¿Ы • у2) & = (Х2 — Х1)

Х1 Х1

у11](х2)у2(х2) — у11](х1 )у2(х1) = J (1(у2) • у1 — 1(у1) • у2) & = (Х2 — Х1) J у у (П. (11)

Предположим, что функция у2(х) не имеет нулей на интервале (х1 ,х2). Тогда без ограничения общности можно считать, что у1(х) > 0 и у2(х) > 0 при всех х € (х1,х2). В таком случае последняя величина в равенствах (11) положительна. С другой стороны, из леммы 2 имеем у[1](х1) > 0 и у[1](х2) < 0. Поэтому первая величина в равенствах (11) неположительна. Полученное противоречие доказывает лемму. □ Как следствие этой леммы получаем теорему сравнения.

Теорема 2. Пусть (Х1,Х2) € М2, Х1 < Х2, и пусть у(х, Х) — решение начальной задачи (4), (5) при £ = 0 и С = 1. Тогда если у(х, Х1) имеет т нулей на интервале (0,1), то у(х,Х2) имеет не менее т

нулей на том же интервале. При этом k-й слева положительный нуль функции y(x, Л2) меньше k-го слева положительного нуля функции y(x, Л1).

Лемма 6. Пусть y(x, Л) —решение начальной задачи (4), (5) при £ = 0 и C = 1. Тогда при любом достаточно большом по абсолютной величине Л < 0 функция y(x, Л) не имеет нулей на интервале (0,1).

Доказательство. Пусть фиксировано произвольное Л < 0. Известно [9, п. 2.2], что существуют модифицированные функции Прюффера r(x) > 0 и 9(x), такие, что

у{х,\) = r{x)úií0{x), у^(х, Л) = V—А г (ж) cos в{х), 0(0) = 0. При этом функция 9(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению

в'(х) = cos 2в{х) + и{х) sin 2в{х) + sin2 в{х) (12)

у —Л

(ср. [9, уравнение (2.5)]).

Предположим, что для некоторого интервала (xi,x2) с R при всех x е (xi,x2) выполняется условие 9(x) е (п/3, 2п/3). Тогда, интегрируя обе части уравнения (12), аналогично (6) получаем

в(х2) -9(хi) < -Xi) + ||ц||ь2[0,1]\/Ж2 -XI + ^ ^ "

При Л < —(81||w||¿2[о i])/(4n2) отсюда немедленно следует d(x2) — d(xi) < п/3 что ввиду непрерывности функции 0(x), означает невозможность для этой функции принимать при x > 0 значения, превосходящие 2п/3. С другой стороны, из леммы 2 следует, что функция 9(x) возрастает во всех своих нулях. Следовательно, при любом достаточно большом по абсолютной величине Л < 0 функция 9(x) принимает на интервале (0,1) значения только из интервала (0, 2п/3). Лемма доказана. □

Доказательство теоремы 1. Докажем сначала, что спектр задачи (1), (2) является дискретным и вещественным. Очевидно, что собственные значения этой задачи суть нули целой функции у(1,Л), где y(x, Л) — решение начальной задачи (4), (5) при £ = 0 и C =1. Известно (см. [9, лемма 2.5]), что функция y(x, Л) при Л ^ имеет асимптотику

У(х,\)= + о(\~1/2) (13)

с равномерной оценкой остатка при x е [0,1]. Следовательно, функция у(1,Л) не обращается в нуль тождественно, а потому имеет лишь изолированные нули конечной кратности.

Если A G С — невещественное собственное значение задачи (1), (2), то число A G С также является собственным значением этой задачи, которому отвечает собственная функция у(х,\) = у(х,Х). Из формулы Лагранжа (11) имеем

i

2i Im Л J \y(t, Л)|2 dt = 0, о

а потому и hy(x, Л)|= 0. Полученное противоречие означает, что спектр задачи (1), (2) является вещественным.

Перейдем теперь к установлению осцилляционных свойств собственных функций. Обозначим k-й положительный нуль функции y(x, Л) через xk(Л). По лемме 4 каждая из функций xk^) непрерывна по Л на всей своей области определения. Более того, по теореме 2 областью определения каждой из функций xk (Л) является некоторый луч (ak, где ak е [—те, на котором эта функция убывает.

Заметим теперь, что из равномерной на отрезке [0,1] асимптотики (13) следует, что для любого k ^ 1 значение xk^) при Л ^ 0 лежит на интервале (0,1). С другой стороны, из леммы 6 следует, что при Л ^ 0 это значение не может лежать на интервале (0,1). Следовательно, существует и единственна последовательность Л! < Л2 < ... < Лп < ... чисел Лk, удовлетворяющих равенствам xk^k) = 1 (отметим, что из асимптотики (13) для у(1,Л) и теоремы Руше получается также асимптотика Лk = n2k2 + 0(1)). Поскольку очевидно, что эти и только эти числа Лk являются собственными значениями задачи (1), (2), то для завершения доказательства теоремы остается лишь воспользоваться леммой 5. □

3. Вариационные методы. Здесь мы покажем, что основная лемма 5, а тогда и теорема сравнения 2 могут быть доказаны средствами теории квадратичных форм.

Известно (см. [9, п. 1.3]), что с уравнением (4) можно связать семейство замкнутых квадратичных форм

ь ь

3(у; а, Ь, Х) := |(|у[1]|2 — и2(г)|у|2 — Х|у|2) (г = |(|у'|2 — и(г) • (\у\2)' — Х|у|2) (г.

а а

о

Эти квадратичные формы рассматриваются в пространстве ¿2 [а, Ь] на области определения Ш1 [а, Ь]. Значения параметра Х мы в настоящем параграфе будем предполагать вещественными. Сначала отметим справедливость следующего утверждения.

Лемма 7. Пусть у(х) — решение уравнения (4) при некотором Х € М. Тогда для любой функции

о

Ч (х) € Ш1 [а, Ь] справедливо равенство

» ь

уЧ' м = I (и(г) • (yf)' + Xyf) (г.

Доказательство. Это равенство эквивалентно следующему:

ь ь

I уИ/(г = I (п(г)у[1] + и2(1) + ХуЧ) (г.

Интегрируя левую часть по частям и используя равенство (4), получаем утверждение леммы. □

Основную роль в реализации вариационного подхода играет следующая лемма.

Лемма 8. Пусть для некоторого отрезка [а, Ь] имеется положительное на этом отрезке решение

о

у(х) уравнения (4) при некотором Х € М. Тогда для любой функции Ч(х) € Ш^[а, Ь] выполняется оценка 3(Ч;а,Ь,Х) > 0.

о

Доказательство. Непосредственным вычислением легко устанавливаем, что для любой Ч(х) € Ш^[а, Ь] справедливо равенство

/V

у

1

у

2 .11"\2~У

, лл2У

У

(14)

Поскольку функция Ч^¡у, очевидно, принадлежит пространству Ш^ [а, Ь], то из леммы 7 получаем

Из (14) и (15) имеем

ь , ь

аа

(г = 1 (и(г) • (Ч^)' + ХЧ|2) (г.

(15)

¡т2 — и(г) • (Ч|2)' — ХЧ|2) (г = |у

/V

у

(г ^ 0,

чем доказательство леммы завершается. □

Последнее утверждение дает нам возможность получить доказательство леммы 5 другим методом.

о

Доказательство леммы 5. Заметим, что функция у1(х) принадлежит пространству Ш2[х1,х2].

о

Тогда по лемме 7 имеем 3(у1; х1 ,х2, Х1) = 0. При Х1 < Х2 для любой ненулевой функции Ч(х) € Ш^¡[х!, х2] справедливо неравенство 3(Ч;х1,х2, Х1) > 3(Ч;х1,х2,Х2). Поэтому справедливо неравенство 3(у1;х1 ,х2, Х2) < 0.

2

ь

ь

2

2

Заметим теперь, что функцию yi(x) можно с любой точностью приблизить в пространстве W^[xi,Х2]

о

финитной на интервале (xi,x2) функцией f(x) g W2[xi,X2]. Следовательно, найдутся е > 0 и f(x) g

о

W^xi + e,x2 — е], такие, что J(f; xi + e,x2 — е, Л2) < 0. Но тогда в силу леммы 8 функция y2(x) не может быть положительной (или отрицательной) на отрезке [xi + e,x2 — е]. Следовательно, она имеет нуль на этом отрезке. Лемма доказана. □

Работа поддержана РФФИ (грант № 07-01-00283) и фондом INTAS (грант N 05-1000008-7883).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Sturm C. Sur une classe d'equations a derivee partielle //J. math. pures et appl. 1836. 1. 373-444.

2. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970.

3. Покорный Ю.В., Зверева М.Б., Ищенко А.С., Шабров С.А. О нерегулярном расширении осцилляционной теории спектральной задачи Штурма-Лиувилля // Матем. заметки. 2007. 82, № 4. 578-582.

4. Albeverio V., Gesztezy F., Hoegh-Krohn R, Holden H. Some exactly solvable models in quantum mechanics. Berlin; N.Y.: Springer, 1988.

5. Everitt W.N., Zettl A. Sturm-Liouville differential operators in direct sum spaces // Rocky Mount. J. Math. 1986. 16. 497-516.

6. Gunson J. Sturm-Liouville problem with an interior singularity // Proc. Roy. Soc. London. 1987. 414. 255-269.

7. Atkinson F.V., Everitt W.N., Zettl A. Regularization of a Sturm-Liouville problem with an interior singularity using quasi-derivatives // Differential and Integral Equations. 1988. 1, N 2. 213-221.

8. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Матем. заметки. 1999. 66, № 6. 897-912.

9. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями // Тр. Моск. матем. о-ва. 2003. 64. 159-212.

10. Hryniv R.O., Mykytyuk Ya.V. Eigenvalue asymptotics for Sturm-Liouville operators with singular potentials //J. Funct. Anal. 2006. 238, N 1. 27-57.

11. Djakov P., Mityagin B. Fourier method for one dimensional Schrodinger operator with singular potentials // arXiv 07.10.0237.

12. Савчук А.M, Шкаликов А.А. О свойствах отображений, связанных с обратными задачами Штурма-Лиувилля // Тр. Матем. ин-та РАН. 2008. 260. 227-247.

Поступила в редакцию 16.06.2008