CC BY
6вьсш. миск. ун-та. сер. 1, математика. механика. ¿UU9. л-о
33
3. Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения // Тр. Семинара им. И.Г.Петровского. 2006. Вып. 25. 249-294.
4. Сергеев И.Н. Глобальные свойства управляемой системы, эквивалентной линейному уравнению // Дифференц. уравнения. 2008. 44, № 6. 854.
5. Зайцев В.А. Глобальная достижимость и глобальная ляпуновская приводимость двумерных и трехмерных линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами // Вестн. Удмурт. ун-та. Матем. 2003. № 1. 31-62.
6. Габдрахимов А.Ф., Зайцев В.А. Ляпуновская приводимость четырехмерных линейных стационарных управляемых систем в классе кусочно-постоянных управлений // Там же. 2006. № 1. 25-40.
7. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004.
Поступила в редакцию 03.09.2008
УДК 515.12
О ПРОСТРАНСТВАХ, СЛАБО БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ПО МОДУЛЮ СИМПЛИЦИАЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ
В. В. Федорчук1
Для класса K конечных симплициальных комплексов и класса L компактных полиэдров определяются классы пространств K-wid и L-wid. Если K = L = {0,1}, то K-wid = wid, L-wid = S-wid. Доказывается, что S-wid С L-wid и L-wid = S-LT-wid для любой триангуляции т класса L.
Ключевые слова: слабо бесконечномерное пространство, симплициальный комплекс, полиэдр.
The classes of spaces K-wid and L-wid are introduced for the class K of finite simplicial complexes and the class L of compact polyhedra. If K = L = {0,1}, then K-wid = wid, L-wid = S-wid. It is proved that S-wid С L-wid and L-wid = S-LT-wid for any triangulation т of the class L.
Key words: weakly initite-dimensional space, simplicial complex, polyhedron.
1. Введение. Через 10 лет после того, как П. С. Александров [1] рассмотрел понятие слабой бесконечномерности, Ю. М. Смирнов предложил новое понятие.
Определение 1. Нормальное пространство X называется S-слабо бесконечномерным или слабо бесконечномерным в смысле Смирнова (обозначение X £ S-wid), если для любой последовательности (F{,K>), i £ N, дизъюнктных пар замкнутых в X множеств существуют такие перегородки Pi между F1 и F£, что Р|П=1 Pi = 0 для некоторого n £ N.
В определении П. С. Александрова предполагалось, что Р|Pi = 0. Для компактных пространств понятия слабой бесконечномерности в смысле Александрова и Смирнова совпадают.
Основы теории слабо бесконечномерных пространств были заложены в работах Б. Т. Левшенко [2] и Е. Г. Скляренко [3, 4]. Для нас особо важной представляется следующая теорема Б. Т. Левшенко.
Теорема 1 [2]. Нормальное пространство X S-слабо бесконечномерно тогда и только тогда, когда всякое его непрерывное отображение f : X — 1Ш в гильбертов куб несущественно. При этом Б. Т. Левшенко использует следующее
Определение 2. Отображение f : X — 1Ш = П{Ii : i £ N} называется несущественным, если для некоторого n несущественно отображение
fiA ... Afn : X - In = Ц{Ii : i < n},
где fi = Pi ◦ f, а pi : Iш — Ii — проектирование на сомножитель.
1 Федорчук Виталий Витальевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vvfedorchuk@gmail.com.
Анализ определения 1 показывает, что дизъюнктная пара , F2,) представляет собой семейство множеств Фг, нерв N(Фг) которого является простым двоеточием {0,1}. Точно так же дизъюнктная пара {OF\, OF2í), для которой Pi = X\OF\UOF2¿, представляет собой семейство множеств ОФг с тем же нервом {0,1}.
Что же касается определения 2, то куб In является произведением конусов con{0,1}í над двоеточиями {0,1}í, а незримо присутствующая там сфера Sn- 1 = Bd In — кратным джойном этих двоеточий.
Основная идея данной работы состоит в определении новых классов бесконечномерных пространств путем замены двоеточия {0,1} произвольным конечным симплициальным комплексом K или даже классом K таких комплексов (определение 8). Если же мы рассматриваем теорему Левшенко как утверждение об эквивалентности двух определений слабой бесконечномерности, то замена незримо присутствующего в определении 2 двоеточия {0,1} на компактный полиэдр L (класс L таких полиэдров) приводит к определению новых классов L-wid бесконечномерных пространств посредством существенных отображений (определение 11). Стоит отметить, что впервые в таком контексте переход от двоеточия к более общим симплициальным комплексам (конечным множествам) был совершен в [5].
Основным результатом работы является теорема 2 о том, что класс L-wid (определение посредством существенных отображений) совпадает с классом S-LT-wid (определение посредством перегородок), где т — произвольная триангуляция класса L компактных полиэдров.
Доказывается также теорема 4 о включении S-wid С L-wid для любого класса L, причем включение может быть строгим.
Все пространства предполагаются нормальными, отображения — непрерывными. Через Fins(S) обозначается множество всех конечных последовательностей элементов множества X, через expX — множество всех (включая 0) замкнутых подмножеств X. Замыкание множества A обозначается символом [А]. Через |А| обозначается количество элементов множества А, а через cov(X)(cov^,(X)) — множество всех открытых (конечных) покрытий пространства X.
2. Предварительные сведения. Основными рабочими инструментами этой статьи являются конструкции конуса, джойна и граничного джойна, или Bd-джойна. Поскольку имеются различные трактовки этих понятий, приведем определения, которых в дальнейшем будем придерживаться.
Конусом conX (или con(X)) над пространством X называется факторпространство X х I/X х 0. Множество X х 1 С conX называется основанием конуса и, как правило, отождествляется с пространством X. Образ множества X х 0 называется вершиной конуса con(X) и, как правило, обозначается через ах.
Джойном X * Y называется факторпространство произведения X х I х Y по разбиению, элементами которого являются множества x х 0 х Y, X х 1 х y (x £ X, y £ Y) и точки множества X х I х Y \ X х OxYUXxlxY.
Граничным джойном или Bd-джойном X* Y пространств X и Y называется подмножество произведения conX х conY, определяемое равенством
X* Y = con(X) xY UX х сопУ.
Каждая точка Bd-джойна X* Y имеет либо вид ([x,t], у), либо вид (х, [y,t]), где х & X, у &Y, t & I.
Предложение 1 [6, лекция 5]. Отображение íp : X* Y —con(X) хсоп(К)7 определяемое следующим образом,:
ММ, y) = ([x, (1+1)/2], [y, (1 - t)/2]);
Mx, [y,t]) = ([x, (1 - t)/2], [y, (1+t)/2]),
является гомеоморфизмом Bd-джойна X* Y на подпространство произведения con(X) х соп(К)7 состоящее из таких точек ([x,s], [y,t]), что s + t = 1. □
Предложение 2 [6, лекция 5]. Если X и Y — локально бикомпактные пространства, то отображение гр : ip(X* Y) —X * Y, определяемое равенством ip([x, t], [у, 1 — ¿]) = (х, t, у), является гомеоморфизмом. □
Следующее утверждение сформулировано в [7, гл. 1] без указания ограничений на пространства.
Предложение 3. Если X и Y — бикомпакты, то отображение £ : con(X * Y) ^ con(X) х con(Y), задаваемое равенством
г f {[X,s], [у, s(l~t)/t]),t>¡-,
SJ st/l-t], [y,s]), Í<1
является гомеоморфизмом, при котором вершина а конуса con(X * Y) переходит в пару (ах,ау), а основание X * Y конуса — в Bd-джойн X* Y. □
Из предложений 1, 2 вытекает
Предложение 4. Для бикомпактных пространств X uY отображение ^осоп(гроср) : con(X* Y) — соп(Х) х con (У) является гомеоморфизмом, переводящим Bd-джойн X* Y в себя. □
По индукции определяются итерированный джойн (... ((Xi * X2) * X3) .. . * Xn и итерированный Bd-джойн (... ((Xi * Х2) * Х3) ...)* Хп.
Операции * и * коммутативны. Из ассоциативности операции умножения вытекает ассоциативность операции *. Согласно предложению 2, ассоциативной будет и операция *. Таким образом определен кратный джойн Х\ * ... * Хп = *1=1Xi и кратный Bd-джойн Х\ * ... * Хп = X¿. Из предложения 2 вытекает
Предложение 5. Если пространства Xi,...,Xn локально бикомпактны, то пространства Xi * ... * Хп и Х\ * ... * Хп гомеоморфны. □
Следствием предложений 3 и 4 является
Предложение 6. Для бикомпактных пространств Xi,..., Xn существует гомеоморфизм con(Xi) х ... х соп(Хга) —con(Xi * ... * Хп), переводящий множество
B(Xi, ...,Xn) = un=i {Xi х nj=iCon(Xj)} (1)
в Bd-джойн X\ * ... * Xn, а точку (a\,..., an), где ец — вершина конуса con(Xj), — в вершину а конуса con(Xi * ... * Хп). □
Далее мы будем отождествлять кратный Bd-джойн Х\ * ... * Хп с множеством В(Х... ,Хп):
Х1*...*Хп = В(Х1,...,Хп). (2)
Предложение 7 [8, лемма 4.16]. Пусть даны отображения fi : X — con(Ri), i = 1,...,n, в конусы над ANR-компактами Ri. Предположим, что существуют отображения gi : X — con(Ri) и гомотопии
ft : X — con(Ri), для которых f0 = fi, fi = gf, (ft)-i(Ri) D Fi = f-i(Ri); g(X) С nn=i con(Ri) \ {(ai,..., an)}, где g = gi A ... A gn, ai — вершина конуса con(Ri).
Тогда существует такое отображение f : X — B(Ri,..., Rn) = B, что f \у = f, где f = fi A ... A fn, а Y = Fi U ... U Fn. □
3. Определение K-wid- и L-wid-пространств. Символами K, Ki и т.д. обозначаются непустые классы полных конечных симплициальных комплексов K,Ki и т.д., которые в дальнейшем называются комплексами. Если класс K состоит из одного комплекса K, пишем K = K. Через v(K) обозначается множество вершин комплекса. Для каждого комплекса K мы фиксируем нумерацию его вершин: v(K) = (ai,..., am). Как правило, мы отождествляем комплекс K с его геометрической реализацией, т.е. с евклидовым комплексом К с той же схемой вершин.
Пусть u = (^i,..., Um) — конечная последовательность множеств, в которой могут быть как пустые, так и совпадающие элементы. Нервом N(u) последовательности u называется абстрактный комплекс, вершины au которого соответствуют непустым элементам U £ u, а множество A = (au^,..., auik) является
симплексом, если Р|k=i Uj = 0.
Определение 3. Пусть даны последовательность множеств u = (Ui,..., Um) и комплекс K с вершинами v(K) = (ai,...,am). Мы говорим, что нерв N(u) вложен в K (обозначение: N(u) С K), если соответствие Uj — aj порождает симплициальное отображение.
Лемма о раздутии. Пусть Ф = (Fi,..., Fm) — последовательность замкнутых подмножеств пространства X (кратко: Ф £ Fins(expX)). Тогда существует такая последовательность u = (Ui,..., Um) открытых подмножеств X, что N(u) = N(Ф). □
Положим ExpK(X) = {Ф £ Fins(expX) : N(Ф) С K}.
Определение 4. Пусть Ф = (Fi,..., Fm) £ Ехрк (X). Последовательность u = (Ui,..., Um) открытых в X множеств называется K-окрестностью последовательности Ф, если Fj С Uj и N(u) С K.
Из леммы о раздутии вытекает, что всякая последовательность Ф £ Ехрк (X) имеет K-окрестность.
Определение 5. Замкнутое множество P С X называется K-перегородкой последовательности Ф £ Ехрк(X) (обозначение P £ Part^,K)), если существует такая K-окрестность u последовательности Ф, что KP = X \ u.
Определение 6. Конечная или бесконечная последовательность (Ki), Ki £ K, называется несущественной в X, если для каждого Фi £ Ехрк-(X) найдется такая перегородка Pi £ Part^i,Kj), что
a Pi = 0. -
Определение 7. Пространство X называется K-слабо бесконечномерным (X есть K-wid-прост-ранство, или X £ K-wid), если всякая бесконечная последовательность (Ki), Ki £ K, несущественна
в X. Пространство X называется 5-К--тё-пространством (X £ 5-К-'шё), если всякая бесконечная последовательность (Кг), Кг £ К, содержит конечную несущественную в X подпоследовательность.
Из определений непосредственно вытекает
Предложение 8. Пространство X принадлежит классу 5-Ктогда и только тогда, когда для любой последовательности (Фх, Ф2,...), Фг £ Ехр^(X), Кг £ К, существует такое п, что и{ОФг : г = 1,...,п} £ cov(X) для некоторых Кг-окрестностей ОФг. □
Замечание 1. Внутренняя теория К-'шё^-К-'шё)-пространств аналогична теории (5-)слабо бесконечномерных пространств. Так, эти классы инвариантны относительно перехода к замкнутым подпространствам. Для них верна теорема счетной (конечной) суммы в счетно-паракомпактных пространствах. В наследственно нормальных пространствах выполняется теорема счетного (конечного) сложения и т.д.
Через &, ££\ и т.д. будут обозначаться классы компактных полиэдров Ь,Ь\ и т.д.
Определение 8. Отображение Д : X — соп(Ь) называется Ь-несущественным, если отображение Д : Д-1Ь — Ь продолжается на X.
Пусть Zl,..., Zn — компакты. Их граничный джойн .. .*2п обозначим через Положим
С (X, соп&) = и {С (X, сопЬ) : Ь £ &}.
Определение 9. Конечная последовательность а = (Дх,...,^) С С (X, соп&), г^Д = сопЬ^, называется несущественной, если отображение / = : X —Х\л=\ сопЬ^ = соп(Ь\* .. .*Ьп) несущественно.
Определение 10. Пространство X называется & -слабо бесконечномерным (X есть &-те^ё-пространство, или X £ &-те^ё), если всякая бесконечная последовательность а С С (X, соп&) содержит конечную несущественную подпоследовательность ао.
Предложение 9. Если К = & = {0,1}, то К--тё = те^ё, &--тё = 5-те^ё.
4. Совпадение классов и 5-&Т-'тё. Если & — класс компактных полиэдров, то символом
££Т будем обозначать класс всех симплициальных комплексов, каждый из которых имеет вид Ь^, где Ь = Ь(Ь) — некоторая фиксированная триангуляция полиэдра Ь, превращающая его в симплициальный комплекс Ь^. При этом семейство т = {Ь(Ь) : Ь £ &} называется триангуляцией класса &.
Теорема 2. Пусть & — некоторый класс компактных полиэдров и т — его триангуляция. Тогда & -■шгд, = 5-&Т --мгй.
Для доказательства этой теоремы нам потребуются дополнительные понятия и факты.
Пусть и = {П\,. ..,ит} £ covте(X). Напомним, что отображение Д : X — N (и) называется и-барицентрическим, если для некоторого разбиения единицы {фх,...,фт}, подчиненного покрытию и, имеем Д(х) = (фх(х), ..., фт(ж)), где (х) — барицентрическая координата точки Д(х), соответствующая вершине а^ = Uj £ N (и).
Пусть К — симплициальный комплекс с вершинами а\,..., ат. Через Оаг = Ог обозначается звезда вершины аг (главная звезда), т.е. объединение всех открытых симплексов, вершиной которых является аг. Положим и = и(К) = {Оах,..., Оат}. Для д £ К пусть цг(д) — барицентрическая координата точки д, соответствующая вершине аг. Отображение цг : К — [0; 1] непрерывно и даже кусочно-аффинно. При этом 8иррцг = ц-х (0; 1] = Оаг.
Предложение 10. Отображение ц : К — N(u(K)), ставящее в соответствие точке д £ К набор (цх(д),... , цт(д)) ее барицентрических координат, является и (К)-барицентрическим отображением и симплициальным изоморфизмом. □
Определение 11. Пусть Ф = (Ех,..., Ет) — замкнутое покрытие пространства X. Отображение Д : X — N(Ф) = К называется Ф-барицентрическим, если оно является и-барицентрическим для некоторого открытого раздутия и = {их, ...,ит} покрытия Ф с N (и) = N (Ф) и при этом покрытие Д (Ф) строго вписано в и (К), т.е.
ДЕ)] С Oaj,э = 1,...,т. (3)
Если Ф = (Ех,..., Ет) £ Пп8 (expX), Е = и ... и Ет и и = (их,..., ит) — открытое раздутие Ф, то отображение Д : Е — N(Ф) называется (и\Ф)-барицентрическим, если оно (и\Е)-барицентрично и удовлетворяет условию (3).
Предложение 11. Для всякого замкнутого покрытия Ф = (Ех,..., Ет) пространства X существует Ф-барицентрическое отображение Д : X — N(Ф). □
Лемма 1. Пусть множество Е замкнуто в X, ОЕ — окрестность Е, и = {их,..., ит} £ cov(OF), V = {ихПЕ,..., итПЕ}. Тогда для всякого разбиения единицы {^1,..., ^п}, подчиненного V, и для всякого замкнутого в X множества В, Е С В С ОЕ, существует такое разбиение единицы {^>1 ,...,фт},
о j
Лемма 2. Пусть К — симплициальный комплекс с вершинами ах,...,ат и и = (их,...,ит) —
подчиненное и\В, что ф0 = ^ \Е. □
K-окрестность семейства Ф = (F\,..., Fm) G Fins (expX). Положим F = F\ U ... U Fm, U = U\ U ... U Um и пусть B — такое замкнутое множество, что F С B С U. Тогда всякое (u\F)-барицентрическое отображение fo : F — N (u\F) С N (и) С K продолжается до отображения f : X — con(K) так, что
f -1(Oaj) С Uj, [f (Fj)] С Oa3; (4)
f -1(a) П B = 0, (5)
где Oaj — звезда вершины aj в конусе con(K) и a — вершина этого конуса.
Доказательство. Отображение fo определяется разбиением единицы {ф>0,...,ф>т}, подчиненным покрытию u\F множества F. По лемме 1 его можно продолжить до разбиения единицы {ф11_,...,ф]п}, подчиненного семейству u\[OB], где OB — такая окрестность множества B, что [OB] С U. Существует такая функция Л : X — [0; 1], что
A(B) = 1, Л(Х \ OB) = 0. (6)
Продолжим функции ф1 : [OB] — [0; 1] до функций ф/ : X — [0; 1] и положим
ф = V/, j = 1,...,m, фП+1 = 1 - Л. (7)
Из (6) и (7) вытекает
ф1(х) + ... + фП+1(х) > 0 для любой точки х G X. (8) Далее, поскольку supp ф1 С Uj, из (6) и (7) получаем
suppф3 С Uj,j = 1,...,m. (9)
Положим
ф3
= -,..з > 3 = 1,---,ш + 1. (10)
ф1 + ... + фт+1
Согласно (8), функции фj определены и непрерывны. Положим Vj = suppфj, j = 1,...,m + 1. Тогда v = {V1,..., Vm+\} G cov(X). Из (9) и (10) вытекает
suppфj С Uj,j = 1,...,m. (11)
Следовательно, N (v) С con (N (u)) = con(K). Поэтому, полагая f (x) = (ф1 (х),...,фт+1 (x)), получаем v-барицентрическое отображение f : X — con(K). Из (6) получаем, что f = fo. Свойство (4) вытекает из (11). Наконец, из (6) и (7) получаем f-1(Oa) = suppфт+1 С X \ [OB], откуда следует (5). □
Для дальнейшего нам понадобится некоторая информация о структуре произведений конусов над симплициальными комплексами и об отображениях в них.
Пусть Ki — симплициальные комплексы с вершинами а\,..., агт.. Положим В = К{* .. .*Кп. Тогда, согласно (1) и (2), имеем
B = B1 U ... U Bn, (12)
где
Bi = Ki х njconKj : j = i}. (13)
Пусть pi : ЛП=1 conKj — conKi — проектирование на сомножитель и f = flД ... Afn : X — conK1 х ... х conKn — диагональное произведение отображений fi : X — conKi. Тогда
fi = Pi ◦ f. (14)
Из (13) вытекает
Bi = p-1Ki. (15)
Через Yi = {Г 1,..., Tirn.} обозначим замкнутое покрытие комплекса Ki со свойством Г j С Oaj, где Oaj — звезда вершины aj в комплексе Ki. Положим
F] = f-1rj, Fi = Fi U ... U Fт. (16)
38
вестн. миск. ун- та. сер. 1, млтемА! ила. мелАникА. 2009. № о
Поскольку 7г является покрытием пространства Кг, из (16) вытекает
Р = ¡~1Кг. (17)
Из (14), (15) и (17) получаем
Рг = /Вг. (18)
Положим У = /-1В. Тогда из (12) и (18) следует У = Р1 и ... и Рп.
Доказательство теоремы 2. Класс ££т обозначим через Ж = Ж(^), а его элементы — через К = К(Ь). При этом полиэдр Ь = Ь(К) однозначно определяется симплициальным комплексом К = К(Ь). Таким образом, надо доказать равенство £-Ж-wid.
Покажем, что ^--тёс Б-Ж-—\ё. Пусть X е и пусть а = (Фг = (Р{,...,Р^.) : г е N,
Фг е Ехрк. (X). Положим Рг = Р{ и ... и . Согласно предложению 11, существует Фг-барицентрическое отображение /0 : Рг — N (Фг) С Кг. Поскольку соп(Кг) является абсолютным экстензором для нормальных пространств, отображение /0 продолжается до отображения /г : X — соп(Кг). Ввиду того что X е ££-wid, существует п, для которого отображение
п
/ = ЛД ... Д/„ : х ^ П соп(^) = соп (*?=1Кг)
г=1
несущественно. Следовательно, существует такое отображение д : X —= В, что
9\г = /\у , (19)
где У = /-1(В). Согласно определению 11, имеем
шт = [/?(*?)] С Оа}, (20)
где Оа} — звезда вершины а} в комплексе Кг. Из (20) вытекает существование таких замкнутых множеств Г} С Кг, что
/ т с г с оа} (21)
и семейство 7г = {Г,... ,Ггт} является покрытием пространства Кг. Положим пГ} = р-1(Гт). Поскольку 7г является покрытием Кг, из (15) получаем Вг = У{пГ} : 1 ^ 3 ^ тг} и, значит,
д-1 Вг = и{9~1(ПГ}) : 1 < 3 < тг}. (22)
Положим ( ) ( )
1рг = д-1 (пГ}) = д-1 Г}). (23)
Отображение д : X — В С ПП=1 соп(Кг) является диагональным произведением отображений дг = рг ◦ д : X — соп(Кг). Поэтому из (14) и (19) получаем
дг \у = /г \У. (24)
Условия (21), (23) и (24) влекут
Рг С 1рг. (25)
Поскольку X = д-1(В), из (12), (22) и (23) получаем
X = и 1Рг. (26)
г,з
Положим Ф1 = (1Р{,..., 1Ртг). Из предложения 10 и условий (21) и (23) следует, что
N(Ф1) С Кг. (27)
Но замкнутая система Фх имеет окрестность ОФх = (О1Ех,..., с тем же нервом N(OФ1) = N(Ф*).
Далее, из (25) и (27) вытекает, что ОФх является К-окрестностью семейства Фг. Из (26) следует, что ^{ОЕ^ : 1 ^ г ^ п}£ cov(X). Поэтому из предложения 8 получаем, что X £ 5-К-—\ё.
Теперь покажем, что 5-К--тёС &--тё. Пусть X £ 5-К--тё и пусть даны отображения Д : X — соп(Ьг), Ьг £ ££, г £ N. Симплициальный комплекс (Ьг)1, где Ь £ т, обозначим Кг. Пусть, как обычно, v(Ki) = (а\,... ,агт^). Существуют такие замкнутые множества Г) С Кг, что Г) С Оаj £ и(Кг), ^г = {Г!,..., Гт.} — покрытие пространства Кг и
Положим
N Ы = Кг. (28)
Е) = ^(Г) а, (29)
Фг = е ,...^тг а. (зо)
Из (28)—(30) вытекает, что Фг £ ЕхрК(X). Поскольку X £ 5-К--тё, существуют такие открытые в X семейства иг = (Щ,..., ит.), г = 1,...,п, что С и), N (иг) С Кг и
X = иг) Щ. (31)
Положим иг = Щ и...ии.т и Ег = и.. .иЕ^. Равенство (31) переписывается в виде X = их и.. .иип. Существуют такие замкнутые множества Вх,..., Вп, что Ег С Вг С Щг и
X = Вх и ... и Вп. (32)
Согласно лемме 2, существуют такие отображения дг : X — сопКг, что
дгР = Ыр. , (33)
Е] С д-х (Оа)а С и;,
д-\аг) П Вг = 0. (34) Здесь Оаг — звезда вершины аг в конусе сопКг, а аг — его вершина. Получаем отображение
п
д = д 1 Д ... Адп:Х^ Дсоп(^) = соп(*™=1 К^.
Из (32) и (34) вытекает, что д(Х) С соп^*^г=1 К^ \ {(ai, ■ ■ ■, ап)}. Поэтому из (33) и предложения 7
вытекает несущественность семейства fi,...,fn. □ Следствием теоремы 2 является
Теорема 3. Пусть L — полиэдр и [L] — класс всех симплициальных комплексов, являющихся три-ангуляциями полиэдра L. Тогда L-wid= S-[L]-wid. □
5. Включение S-wid С L-wid. Теорема 4. Для любого класса L имеем S-widc L-wid. Доказательство. Пусть X £ S-wid и пусть даны отображения f : X ^ conLj, i £ N, Li = L. Возьмем бинарное покрытие Q¿ = {Ol,Oj} конуса conL¿: Ol = conLj \ L¿, Oj = conLj \ }, где a^ — вершина конуса conLj. Положим Uj = f- (Oj), щ = {Щ,Щ}. Поскольку X £ S-wid, существуют такое n и такие открытые в X семейства v i = {Vj, Vj}, что
[V/] С Uj, 1 < i < n; (35)
[VÍ П [Vj] = 0; (36)
un=i{vj U Vj) = X. (37)
Положим
Fi = [Vj] U f-l(Lj). (38)
71(
отображение gi : X ^ conLi, что
Поскольку [УЦ] С /i O1, из (35), (36) и (38) вытекает, что [У^] П Fi = 0. Поэтому существует такое —>
дг\рг = /ы, (39)
е дг [У!]. (40)
Из (35), (38)-(40) вытекает
аьг/дг ([У/] и [У2г0. (41)
п
Обозначим джойн через В и положим д = д\ Д ... Адп : X —ПсопЬг = соп(13). Вершину конуса
г=1
соп(В) обозначим через а и покажем, что
а/д(X). (42)
Из предложения 6 вытекает, что а = (а^1,..., аь„) = (а1,..., ап). Пусть х е X. Согласно (37), точка х принадлежит одному из множеств У г. Согласно (41), имеем дг(х) = а^, откуда свойство (42) и вытекает. Применение предложения 7 завершает доказательство в силу (38), (39) и (41). □
Замечание 2. Включение С ^-'шё из теоремы 4, вообще говоря, является строгим. В самом
деле, по теореме А. Н. Дранишникова [9, теорема 7.10] существует такой сильно бесконечномерный компакт X, что МР2 е АЕ(X). Значит, всякое отображение / : X — соп(МР2) несущественно. Следовательно, X е МР
Работа поддержана РФФИ (грант № 09-01-00741) и РНП (грант № 2.2.1 3704).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александров П.С. Предисловие к русскому переводу // Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности. М.: ИЛ, 1948.
2. Левшенко Б.Т. О сильно бесконечномерных пространствах // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ., Астроном., Физ., Хим. 1959. № 5. 219-228.
3. Скляренко Е.Г. Несколько замечаний о бесконечномерных пространствах // Докл. АН СССР. 1959. 126. 1203-1206.
4. Скляренко Е.Г. О размерностных свойствах бесконечномерных пространств // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1959. 23.197-212.
5. Федорчук В.В. Слабо бесконечномерные пространства // Успехи матем. наук. 2007. 62, № 2. 109-164.
6. Постников М.М. Лекции по алгебраической топологии. Теория гомотопий клеточных пространств. М.: Наука, 1985.
7. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М.: Наука, 1977.
8. Fedorchuk V. V. Finite dimensions modulo simplicial complexes and АЖД-compacta // Matem. Vesnik. 2009. 61, N 2.
9. Dranishnikov A.N. Cohomological dimension theory of compact metric spaces // Topology Atlas Invited Contributions. 2001. 6, N 3. 1-61.
Поступила в редакцию 17.11.2008
УДК 511
О СУММЕ ХАРАКТЕРОВ ДИРИХЛЕ ОТ МНОГОЧЛЕНА ПО ПРИВЕДЕННОЙ СИСТЕМЕ ВЫЧЕТОВ
В. Н. Чубариков1
Получена корневая оценка для суммы характеров Дирихле от многочлена axn + b по приведенной системе вычетов.
1 Чубариков Владимир Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: chubarik!@mech.math.msu.su.
