Обобщенные KS-преобразования 4-го порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1.Вып.2.1996

УДК 521.1

Обобщенные КЗ-преобразования 4-го порядка 1 С. М. Полещиков, А. А. Холопов

Определены матрицы, порождающие обобщенные преобразования Кустаанхеймо-Штифеля (КБ-преобразования) четвертого порядка, и описана, структура этих матриц. Исследована совместность определяющих соотношений. Доказана теорема о ранге К,8-преобразования и дана классификация обобщенных КБ-матриц.

1. Введение. Уравнение движения задачи двух тел с массами М и т в относительной системе координат имеет вид

сРх 7 (гп + М) . о . .

+ ^Г = ' (1Л)

где г = |х| — расстояние между телами, 7 — гравитационная постоянная.

КЗ-преобразование было использовано в работах [1, 2] для регуляризации уравнения (1.1), т.е. для устранения особенности при х = 0, формулами

<1.1 = г (1т,

х = Ци)и , х,и е Я4, (1.2)

где г — новая независимая переменная, Ь(и) — КБ-матрица, равная

Ци) =

( и\ —112 —Щ Щ \

112 щ —щ —щ

из щ щ и2

\ щ -из щ -Щ )

(1.3)

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований (грант 95-02-03763а).

© Полещиков С. М., Холопов А. А., 1996.

Можно убедиться, что матрица (1.3) обладает следующими свойствами,

L(u)LT(u) = Н2£, ~ (1.4)

(L(u)v)i = (L{v)u)u г = 1,2,3, .(1.5)

(!(»).),--(L!r)»),. (1.6)

Здесь и, v - произвольные векторы из R^i?—единичная матрица четвертого порядка. Уравнение (1.1) в новых переменных и будет иметь вид

d2u h

где h — зависящая лишь от начальных условий величина (постоянная интеграла энергии).

Из (1.6) следует х<\ = (Ь(и)и)4 = 0, поэтому (1.2) задает отображение из четырехмерного пространства переменных и в трехмерное пространство переменных х. Матрица (1.3) -— не единственная с указанными свойствами.

Назовем все матрицы L(u) со свойствами (1.4)-(1.6) обобщенными KS-матрицами.

В данной работе дается структура и способ построения всех обобщенных IvS-матриц. Кроме того, показано, что распределение знаков "три плюс один" в правых частях (1.5), (1.6) вполне закономерно.

2. Определяющие соотношения. Заметим, что из (1.5), (1.6) следует линейность L(u) относительно гг. Пусть строки матрицы L(u) записаны в виде uTAi, uJА?,, иТиТА4 соответственно, где ит — вектор-строка, А{, i = 1,2,3,4 — матрицы 4 х 4:

Ь{и)

( итА, \ ИТА<2 итА3 \ итАЛ )

(2.1)

Условия (1.5), (1.6) дают, что А\, А2, А3 — симметрические, а А\ — кососимметрическая матрицы

А\ = Л]Т, Л2 = V, Аз = А3Т, = -А,т, (2.2)

Подставляя (2.1) в (1.4), получаем ортогональность матриц А{ и кососимметричность произведений А{А^Т, г ф 3. С учетом (2.2)

получаем, что матрицы Д; должны удовлетворять также соотношениям

= = = (2.3)

А1А2 + А2А1 = О, Л|Л3 + Ак!, = 0, А2Аз + А3А2 = 0, (2.4) А1А4 = А4А1, А2А4 = А4А2, А3А4 = А4А3. (2.5)

Обратно, любые четыре матрицы А\, Л2, Аз, А4, связанные соотношениями (2.2)-(2.5), по формуле (2.1) задают обобщенную КЗ-матрицу. ' '

Приведем соотношения (2.2)-(2.5) к соотношениям для четырех кососимметрических матриц. Пусть

Л1 = К\К4, Л-2 = А'-^А ь Аз = А'зА"), А4 = А'4. (2.6)

Тогда из (2.2)—(2.5) получаем

А;2 - А7 = — А',-, г = 1,2,3,4, (2.7)

К,А'2 + А,А'! = 0, А',Л'3 + А'зА'1 = О, А',А3 + Л'3Л'2 = 0, (2.8) К\К4 — АдА'ь А*2 А'4 = К4 К2, А"з А'4 = А'4А'з. (2.9)

Таким образом, произвольная обобщенная КЗ-матрица определяет четыре кососимметрические ортогональные матрицы четвертого порядка со свойствами (2.7)—(2.9) и, наоборот, произвольный набор четырех матриц А'1 — Л'4 со свойствами (2.7)-(2.9) по формулам(2.6) и (2.1) дает обобщенную КЭ-матрицу.

3. Группа базисных единиц в М4(И). Очевидно, что в кольце целочисленных квадратных матриц второго порядка ортогональ-. ными являются матрицы

и их противоположные —е, —к, —гп, —г. Обозначим £2 = {е, А;, т, г'}. Множество £.4 является базисом в Мз(К):

Множество £2 —£2 является группой с операцией умножения матриц, единицей е и таблицей Кэли:

е2 = А'2 = 2 = —г2 = е, ек = ке ~ к, еш = те = т, ег = ге = г, тк = —кт = г, гги = —гт = /с, г/с = —Л/ = т. (3-3)

Рассмотрим тензорные произведения матриц (3.1): .

е®А= (¡¡°),*®А = (Го') (3'4)

и обозначим их через

£ = е®е, Г = г©г, С — е® к, _ Н = е 0 гп, I = к ® е, «/ = т © т, Л" = т © к, £ = т 0 е, Л/ = А: 0 т. N = к 0 А;, I! = е 0 г, V = { 0 к, IV = г © т, А' = г 0 е, 1' == А: © = т © г,

а их множество (множество базисных единиц ) через ¿'4. Операции умножения, транспонирования, обращения задаются формулами . (¡,д, 5, г е £2):

(/ ®з)(д®1) = }-д® зг, (/ © я)т -/'"-.V1 = (/;•. (3.5)

\ Приведем ряд утверждений, справедливость которых проверяется непосредственно.

Утверждение 1. £4 является базисом в

Представление произвольной матрицы А 6 А^Л) в базисе £4 получается аналогично (3.2) при предварительном разбиении на блоки 2x2. . . •

Утверждение 2. Матрицы (3.4) являются ортогональными, десять из них (Е,..., АО — симметрические, шесть (Ц,..., Z) —' кососимметрические.

Утверждение 3. Множество £4 У —£4 является группой 32 порядка относительно операции умножения матриц.

Рассмотрим множества единиц Т\ = (V, V, 1У), Т2 = (Д", У, С! •= (±£, ±17, ±У, ±И/Г), С2 = (±Е, ±Х, ±у,±г).

Из приведенной ниже' таблицы умножения кососимметрических , матриц видна справедливость следующих утверждений.

Утверждение 4. Множества С\, С2 являются подгруппами группы £4 У —£4.

Таблица 1

и V W X У Z

и -Е W -V F _/ —L

V -W -Е и -G -J М

W V -и -Е -Н к -N

X F -G -Я -Е Z -Y

У -I -J к -Z -Е X

Z -L М —N У -X -Е

Утверждение 5. Множества Т\ и Т2, так же -как и подгруппы G], G'i, коммутируют между собой.

Утверждение б. Произвольная ортогональная кососимме-трическая матрица 1С: /Ст = —/С., К2 = —Е равна либо

- К, = aU + bV + сИ\ . a2 + b2 + c2^ 1. (3.6)

либо

К. = аХ + bY + cZ, а2 + Ь2 + с2 = 1, (3.7)

то есть представляется единичным вектором а = (а, Ь, с)т и лежит в одном из двух линейных трехмерных подпространств

Li = C{U, I/ И7}. Ь2 = £{А\ У, Z}.

Доказательство. Из утверждения 2 следует, что 1С имеет вид

/С = -uU + vV + wW + хХ + yY + zZ.

Тогда (см. таблицу 1)

/С/Ст = -/С2 — Е — (и2 +1»2 + w2 + а-2 + у2 + z2)E+.

+2 (-ux.F + vxG + wxH + uyl + vy.J — wyK + uzL — vzM + wzN).

Из однозначности разложения по базису получаем равенство и2 + v2-f- га2 + х2+у2 -f z1 =; 1 и систему их = 0, vx = 0, wx = 0, иу — О, vy = 0, wy = 0, uz = 0, vz = 0, wz == 0, то есть или и == v — w = О или х — у == z = 0. Утверждение доказано.

Из приведенных выше утверждений следует,что линейные оболочки #1 = С{Е, U, V, И7} и Я-2 = £{E,X,y,Z] являются подалгебрами алгебры M4(R). Каждая из них изоморфна алгебре кватернионов Н, а алгебра Mj(R) — Н\ ■ Н2 изоморфна тензорному квадрату Н©Н алгебры кватернионов (что является хорошо известным

фактом). Ортогональные косостшметрйческне матрицы являются кватернионами-векторами в алгебрах Н\ и Н-2. Вектор а из (3.6), (3.7) будем называть представляющим вектором матрицы /С.

В дальнейшем под нормой, скалярным и векторными произведениями кососимметрических ортогональных матриц одного и того же пространства А,- будем понимать длину, скалярные и векторные произведения соответствующих представляющих векторов:

||/С|| = '|а|, (Л'ь А'2) = (аьа2), К у х К2 = а, х а2.

Будем говорить, что матрицы А'[, А*2, А';! образуют репер, если их представляющие векторы образуют ортонормированный репер. Прозведение матриц К\ и А'2 находится по формуле

А',А"2 = — (А"], К->)Е + А", (3.8)

где К' — матрица из А,; с координатами К\ х А'2.

Подчеркнем, что введенные понятия относятся к кососнмметри-ческим ортогональным матрицам, принадлежащим одному и тому же пространству А/.

4. Структура обобщенных КБ-матриц. Из утверждения 6 следует, что искомые матрицы (2,7)-(2.9) принадлежат каждая либо ¿1, либо А2,

Утверждение 7. Пусть ортогональные кососимметрические матрицы, К\, А'2 взаимно антикоммутативны: + А^А') = 0.

Тогда они принадлежат одному и тому же подпространству Ь{, а представляющие их векторы являются ортогональными: (Л'ь А"2) = 0.

Доказательство. Принадлежность антикоммутативных матриц К 1,1(2 одному и тому же пространству следует из коммутативности А] и А2- Действительно, если А"] Е Ь\, А'2 6 А2, то А"] А*2 + А'2А'[ = 2А'] А2 = 0- Но ортогональные матрицы не могут быть вырожденными. Ортогональность представляющих векторов следует из (3.8): А'] А"2 + А'2А'] = —2 (Л'1, А'2)Е = 0.

Рассмотрим теперь условие (2.8). Из утверждения 7 получаем, что А'],А"2,А'з образуют репер в Ь\ (или А2). Так как произведение антикоммутативных кососимметрических матриц соответствует векторному произведению представляющих векторов, то на самом деле Л'з = ±/мА'2.

Условие (2.9) в то же время показывает, что К4 должно принадлежал ь "альтернативному" пространству Ь<> (или Ь\ ). Получаем окончательно: .

Теорема 1. Произвольная обобщенная КЗ-матрица имеет вид (2.1), (2.6), где ортогональные кососимметрические матрицы Л*1, Л'2, Л'з, Л'4 равны либо

+ + 11 || == 1, г' = 1,2,3,

К а = хХ + у У + г г, ЦК4Ц = 1, (4.1)

либо

- к{*=х{Х. + у{¥ + ||Л"г|| = 1, ¿ = 1,2,3,

К4 = ии + г>У + иЛУ, ||/¿'41| = 1, (4,2)

примем К\, К2, Л'з образуют репер.

Обратно, произвольные четыре кососимметрические матрицы вида (4.1) или (4.2) задают КЗ-матрицу по формулам (2.1),(2.6).

Как видно из (4.1), (4.2), семейство обобщенных КЗ-преобразова-внй является нятппараметрнческим ( произвольный репер — три параметра, произвольный единичный вектор К4 два параметра). Топологически оно изоморфно 03 х 52 х О1. Другой способ введения ¡параметров описан в [3]. • 1

з, Ранг КБ-преобразования. Пусть теперь в определяющих формулах (1.5), (1.6) выбрано произвольное распределение знаков:

(£(ф)г- = (Ци)и)г, г == 1,. ^.

~ -(Ь(ь)и)^, з = р + 1,... ,4.

Число р £ {0,1,2,3,4} будем называть рангом КЗ-преобразования.

Теорема 2(о ранге КЗ-преобразования). Условие ортогоналъ-жости (1.4) и условия (5.1). (5.2) совместны лишь при р = 1 или

= 3. • '

Доказательство. Случай р = 3 рассмотрен выше и дает обоб-нные КЗ-матрицы.

а) Случай р = 0 дает Ь(и)п = 0 для всех и € И4, что противоре-(1.4).

(5.1)

(5.2)

b) Случай-1! = 1. Из (2.1), (2.G), (5,1), (5.2) получаем? (2,7) и соотношения

К2К3 + Л'зД'2 « О1, А2.А4.+ K4IC2 = 0, А'з A4 + А'4А'з = 0, Ä'iA'2 + A'aA'i = 0, A'iA3 + А'зА'1 = 0, K\I¿t == К4Щ.

Тогда тройки матриц (Аь А'2, А'3) и (А2, А'з, Л'4) образуют репер в одном и том же пространстве ( L\ или А2). Это возможно, если только А"4 = ±A'i. Тогда А\ = ± A'i A'i = а матрицы А2, А3, А4 образуют репер. Это возможный случай. КЗ-преобразование сводится к проектированию на первую координату.

c) Случай р = 2. Из (2.1), (2.6), (Sil), (5.2) получаем (2.7) и соотношения

АчЛ'2 + A'2A'i = 0, А*¡А'з + А'зА'1 - 0, А2А'3 + Л'3А"2 = 0, А'зА'4 + А'4А"З = 0, A'IA4 = А'4 A'i, А'2А4 = К4К2.

Тогда A'i, А'2, А'з образуют репер в пространстве Ai(A2), а А'4 коммутативно с А'] н А'2. Тогда или A4 — ±А'ь А'4 = ±Л'2, или А'4 принадлежит альтернативному пространству A2(Li) (см. утверждение 5). Первое невозможно, так как А'|, Л"2 антнкоммутатнвны и поэтому А'] ф ±К2. Второе невозможно, так как Л'4 и А'з антнкоммутатнвны и должны принадлежать одному пространству. Этот случай невозможен.

d) Пусть, наконец, р — 4 и пусть снова Ai = К\А4, А2 = А'2А4, = А'з A4, где теперь Ац симметрическая. Тогда вместо (2.7)-(2.9)

получим

Kf = -E, A',T = -A'¿, ¿ = 1,2,3, Al=A4A4T = E, (5.3)

A'i А'2 + A2A'i = 0, А, А'з + А'3А1; = 0, А2А3 + А3А2 = 0, (5.4)

A'iA4 + А4КХ = 0, К2А4+А4К2 = 0, А3А4 + A4 А'з = 0. (5.5)

Из (5.3)-(5.4) следует, чаю--. К2, Щ. образуют репер, например, в Ь2. Пусть

А4 = еЕ + fF + gG + h.H + il + jJ + kK + IL + rnM + nN.

Подставив в равенства (5.5) выражения- (4.2), получим систему относительно матриц А4Х + ХА4, A4Y + YA4,A4Z + ZA4 :

xíÍAaX + XA4) + y\(A4Y + У A4) + zx{A4Z + ZA4) = 0, x2(A4X + XA4) + y2{A4Y + YA4) + z2(A4Z + ZA4) = 0, x3(A4X + XA4) + ys(A4Y + Y A4) + z3(A4Z + ZA4) = 0.

В координатах базиса £4 все 10 числовых систем имеют нулевые решения, так как определитель систем не равен нулю в силу (5.4) (он равен ±1). Поэтому А4Л' + Л"А4 - 0, А4У + УЛ4 = 0, А4Я + ЯА4 = 0. Равенство А4Л' + ХАЛ = 0 дает (см. таблицу 1) е = / = д к = 0, так как Л" коммутативно с Е, Г, С, Н. Равенства Л4У + УА4 = 0, A4Z + ZA4 = 0 дают г = 3 = к = 0 и / = т — п =0 соответственно. Отсюда А4 г= 0, что невозможно. Теорема 2 доказана.

6. Подобие обобщенных КБ-матриц. Рассмотрим линейное преобразование в пространстве параметров и : и = Бй. Тогда КЗ-преобразование х = Ь(и)и имеет вид х = Ь(й)й, где

- Ь{у)-=Ь(ЗУ)£. (6.1)

В обозначениях (2.1), (2.6) получаем равенства

А,- — 5тЛ/5, А',- = 5тА'г-5, ¿ = 1,2,3,4. (6.2)

Утверждение 8. Матрица Ь(у) из (6.1) является обобгценной К Б-матрицей тогда и только тогда, когда, Б— ортогональна.

Доказательство. Необходимость. Из (1.4) получаем равенства

\у\2Е = Цу)1т{у) = Ьт{у)Цу) = Эт Ьт (Зу)ЦЗу)3= Зт 5(5г;|2.

м4

Следовательно, = « 5 = Гпг-гг, или |5г»| = |г>|, то есть 5

ортогональна.

Достаточность. Из (6.2) получаем, что Л,-, А'г ортогонально подобны соответственно матрицам А;, А',- с одной и той же матрицей подобия 5. Тогда для Кг выполняются (2.7)-(2.9), то есть Ь(у) является КЗ-матрицей. Утверждение доказано.

КЗ-матрицу Ь(у) из (6.1) естественно назвать подобной КЗ-матрице Ь(у) (с матрицей подобия 5).

Для подобия двух произвольных КЗ-матриц Ь(и),Ь(и) необходимым условием является одинаковая ориентация реперов из (4.1), (4.2), так как подобие матриц К\, А'1 и К2, К2 с одной и той же матрицей подобия влечет подобие произведений К\К2 и А'1 А'2, а ориентация реперов равна знаку в равенствах А'3 = ±Л'[А'2, Л'з = ±К\А'2. Например, две КЗ-матрицы, определяемые равенствами А'1 = Л', К2 — У, А'з = К4 = и и К1 = X, А*2 = У, Л'з = —Z, К4 = II, не являются подобными.

Различием ориентацпй реперов исчерпывается различие классов эквивалентности ортогонального подобия.

Теорема 3(о подобии обобщенных KS-матрнц). Две обобщенные КЗ-матрицы подобны тогда и только тогда, когда они одинаково ориентированы.

Лемма. 1. Обобщенные KS-матрицы (4,1) подобны стандартной KS-матрице, задаваемой четверкой ( U, V, ±.W. А'). 2. Обобщенные КS-матрицы (4.2) подобны стандартной KS-матрице, задаваемой четверкой (X, Y, ázZ, U). Знак в четверке равен знаку ориентации KS-матрицы. .

Доказательство леммы. Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично. По теореме Эйлера одинаково ориентированные трехмерные реперы совмещаются поворотом вокруг некоторой оси, задаваемой единичным вектором Ь = (Ь1,Ь2,Ьз)~Г на угол в. Этот поворот в алгебре кватернионов задается преобразованием v —> qvq, где единичный- кватернион q дается формулой [4]

q — с + sb,

где с = cos(él/2), s = sin(0/.2). Кватернион q легко выражается в терминах матрицы В = (bij) коэффициентов разложения '(4.1):

IÚ = Ь{ i U + bl2V + baW, г = 1,2,3. Справедливы формулы

\/1 + tr В . УЗ - tr В С=~2-5 =-2-'

где tr В — след матрицы В.

Вектор b является собственным вектором В, соответствующим собственному числу А = 1. Если В является диагональной (с единицей на к-м месте), то b — единичный орт (с единицей на к-м месте). Если В не является диагональной (в этом случае 0 < s, с < 1), то

b = —-(623 ~ Ь32, Ьз1 ~ bi3i, bu ~ b2\)T.

4.sc

Кватерниону q в Н\ соответствует ортогональная матрица

Q' = cE + s{b1U + b2V + b3W), (6.3)

сопряженному д- матрица Ц . Итак, существует такая, что

$кх = я'к2 = уд1, <укъ =

Ортогональную матрицу Я" подобия К4 и Л" в пространстве Н2 можно задать, например, формулой

{ г' V у

/ом'! ТУ- при К4 Ф -А',

72(1 + (А4,А)) (6.4)

У при К4 == —X.

Равенство С}" К а — А'ф" проверяется непосредственно,-Искомой матрицей подобия является

Я^Я'Я" = Я" Я'. (6.5)

Аналогично строится матрица подобия для КБ-матриц второго типа. Лемма доказана.

Доказательство теоремы 3. Необходимость была показана выше. Пусть Ь(и),Ь(и)— одинаково ориентированные КБ-матрицы и пусть О, Я :— их матрицы подобия стандартным КБ-матрицам из леммы, построенные по формуле (6.5).

Если Ь(и),Ь(и) одного типа, то есть реперы (К\,К2,К$) и (К\,К2, А';;) находятся в одном пространстве, то матрица 5 = ЯТЯ является искомой матрицей подобия.

Пусть Ь(и),Ь(и) разного типа. Тогда достаточно установить подобие стандартных КБ-матриц: четверки ({7, V, X) с четверкой (А", У, и) (знаки совпадают). Вычисления с использованием таблицы 1 показывают, что такое подобие возможно с ортогональной матрицей

Р = а(Е - А + «/ + АО + 0(Х + и - М + К),

где а2 + р2 = 1/4. Тогда искомая матрица подобий равна Б = ЯГРЯ-Теорема 3 доказана. '

Литература

1. Kustaanheimo P., Stiefel E. Perturbation theory of Kepler motion based on spinor regularization /J J. Reine Angev. Math. 1965. V. 218.P. 204-219.

2. Штифель E., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. М.:Наука, 1975, 304 с.

3. Полещиков С.М. О семействе KS-преобразований. Сыктывкар, 1993. 27 с.Деп. в ВИНИТИ 12.11.93,№2787-В93.

4. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. М.: Наука, 1973. 144 с.

Summary

Poleshcliikov S. М., Kholopov A. A. Generalized KS-transfor-mations of 4-th order

Generalized Kustaanheimo-Stiefel transformations (KS-transforma-tions) are definded. The structure of KS-matrix is described. The compatibility of- determinative conditions is investigated. The KS-transformation range theorem is proved and the classification of all fouth order ICS-matrices is given.

Сыктывкарский университет ' Поступила 15.12.95