Матрицы с эквивалентными системами строк и столбцов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Нетрудно видеть, что матрица С^г> + Cn(2) является матрицей смежности графа на qn вершинах, полученного в результате объединения графов G(1) и G(2) . Компонентами связности этого графа являются: петля в нулевой вершине и графы с матрицами смежности (J + Jk + J2 + (J2)7), 1 < k < n. Дефект матрицы Сп(Г) + Cn(2) равен количеству компонент связности объемов вида 3j + 1 (без учета нулевой вершины). Для подсчета этого количества воспользуемся формулами (6) при t = 1. Как нетрудно видеть, кратность Lk вхождения в граф компоненты объема k может быть вычислена по формулам:

l = J (q -1)2 qn-(k+1), 1 < k < n,

[q -1, k = n.

Обозначим u = (n - 1)mod3, 0 < u < 3. Вычисляя количество компонент связности размера 3j + 1, получаем

n+1 2

г л\2 q -q ,

(q-1) —+q-1,

(n-1)/

S 4j+1 =

j=0

q -1

если u = 0,

n+1 u-1

(q -1)2

q -1

если u = 1,2.

Для завершения доказательства осталось

заметить, что

S (1,2)

n

n

= q

S Lj+1.

j=0

Библиографический список

1. Бухараев, Р.Г. Основы теории вероятностных автоматов / Р.Г. Бухараев. - М.: Наука, 1985. - 288 с.

2. Барашко, А.С. О ранге и статистическом отображении сильносвязного автомата / А.С. Барашко // Кибернетика.

- 1987. - № 4. - С. 56-60.

3. Никонов, В.Г Запреты k-значных функций и их связь с проблемой разрешимости систем уравнений специального вида / В.Г. Никонов, Н.В. Никонов // Вестник РУДН. Прикладная и компьютерная математика. - 2003.

- Т. 2. - № 1.

4. Мельников, С.Ю. Спектры неориентированных графов де Брейна и верхняя граница числа независимости для таких графов / С.Ю. Мельников // Дискретная математика. - 1995. - Т. 7. - Вып. 4. - С. 140-144.

5. Строк, В.В. Циркулянтные матрицы и спектры графов де Брейна / В.В. Строк // Укр. мат. журн. - 1992. - Т. 44.

- № 11. - С. 1571-1579.

6. Цветкович, Д. Спектры графов. Теория и применение / Д. Цветкович, М. Дуб, Х. Захс. - Киев: Наукова думка, 1984 - 383 с.

7. Hong Y.P., Horn R.A. On simultaneous reduction of families of matrices to triangular or diagonal form by unitary congruence. - Linear and multilinear algebra, 1985, v.17, N3-4, p.271-288

МАТРИЦЫ С ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ СИСТЕМАМИ СТРОК И СТОЛБЦОВ

А.М. ВЕТОШКИН, проф. каф. прикладной математики МГУЛа, канд. техн. наук

1. Матрицы, имеющие разложение на множители A = XUX

Для вырожденных матриц часто оказывается полезным скелетное разложение: A = XY, где X(n х k) и Y(k х n) матрицы ранга k [1]. В скелетном разложении второй сомножитель, (в данном случае Y) имеет то же ядро, что и сама матрица: kerA = kerY. Действительно, возьмем xekerA, тогда XYx = 0. Откуда получим (XX) Yx = 0. Так как матрица X*X невырожденная, то Yx = 0. Отсюда следует, что kerA с kerY. То, что kerY с kerA очевидно. Заметим, так же, что первый множитель скелетного разложения X отвечает за образ матрицы: im A = im X.

Ниже рассматривается класс матриц, имеющих скелетное разложение вида: A = XUX , где U - невырожденная.

Теорема 1

Пусть A квадратная матрица порядка n имеет ранг равный k, 0 < k < n. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

а) A имеет представление A = XUX , где X(n х k) матрица полного ранга, U - невырожденная матрица (k х k);

б) Ядро матрицы A равно ядру матрицы A * (kerA = kerA*);

в) Ядро матрицы A ортогонально ее образу (kerA L imA).

Доказательство

Из а) следует б). Пусть A = XUX . Тогда kerA = kerX*, а kerA* = kerX*. Поэтому kerA = kerA*.

То, что б) влечет в) есть следствие известного факта: kerA* = (imA)L [1].

В обратную сторону - из в) следует б),

в) означает, что для произвольного вектора x е kerA

158

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

и произвольного вектора у выполняется x*(Ay) = 0. Или y*(A*x) = 0. Так как вектор у произвольный, то A*x = 0. Получили, что kerA с kerA*. Из того, что размерности подпространств kerA и kerA* совпадают, следует, что и сами подпространства совпадают.

Для завершения доказательства потребуется следующее утверждение:

Лемма

Если матрицы A и B имеют одинаковые размеры, то kerA = kerB тогда и только тогда, когда A = UB, где U - невырожденная матрица.

Доказательство

леммы

Пусть kerA = kerB. Это означает, что столбцы матриц A* и B* задают одно и тоже подпространство, ортогональное подпространству kerA. Ясно, что матрицу B* можно преобразовать в матрицу A * невырожденной матрицей R: A* = B*R. Откуда следует: A = R*B, при этом U = R*.

В обратную сторону: пусть A = UB. Возьмем x е kerB, тогда Bx = 0, следовательно UBx = 0, или Ax = 0. Таким образом kerB с kerA. Аналогично. Пусть x е kerA, тогда Ax = 0, следовательно U'lAx = 0, или Bx = 0. Получили, что kerA с kerB, следовательно kerA = kerB.

Из б) следует а). Пусть A имеет скелетное разложение A = XY, где X(n х k) и Y(k х п) матрицы ранга k. В скелетном разложении второй сомножитель имеет тоже ядро, что и сама матрица: kerA = kerY. Аналогично, для сопряженной матрицы имеем скелетное разложение: A* = Y*X, поэтому kerA* = kerX*. Применив лемму, получим, что существует невырожденная матрица U такая, что Y = UX, а значит A = XY = X(UX). Что и требовалось доказать.

Нормальные матрицы имеют ортонормированный базис из собственных векторов. Собственные векторы, соответствующие нулевым собственным значениям, составляют базис ядра нормальной матрицы. Собственные векторы, соответствующие ненулевым собственным значениям, составляют базис образа такой матрицы. Таким образом, для нормальных матриц ядро ортогонально образу. И значит, для них существует разложение

A = XUX, (1)

где X(n х k) матрица полного ранга;

U - невырожденная матрица (k х k).

Для важных случаев нормальных матриц - эрмитовой и косоэрмитовой - получим теорему.

Теорема 2

Пусть матрица A имеет скелетное разложение A = XY*, где X,Y матрицы размера п х k (0 < k < п) и rank(A) = rank(X) = rank(Y) = k. Для того, что бы A была эрмитовой (косоэрмитовой) необходимо и достаточно что бы существовала невырожденная эрмитова (косоэрмитова) матрица U размера k х k такая, что Y = XU.

Таким образом, для того, чтобы матрица A была эрмитовой (косоэрмитовой), необходимо и достаточно, чтобы для нее существовало разложение (1) с эрмитовой (косоэрмитовой) невырожденной матрицей U.

Необходимость следует из теоремы 1, так как эрмитова (косоэрмитова) матрица нормальна. Достаточность очевидна.

Из теоремы 2 следует соответствующее предложение для действительных матриц. Ввиду его важности сформулируем его отдельно.

Теорема 3

Для того, чтобы (п х п) матрица A ранга k (0 < k < п) была симметрической (кососимметрической) необходимо и достаточно, чтобы существовало разложение:

A = XUXT, (2)

где X(n х k) матрица полного ранга, U невырожденная симметрическая (кососимметрическая) матрица размера k х k.

Для действительных матриц разложение (1) приобретает вид (2). Оно означает, что матрица A имеет эквивалентные системы строк и столбцов.

В класс матриц, имеющих разложение (1), кроме нормальных матриц, очевидно, попадают и невырожденные матрицы. Но эти два множества не исчерпывают этот класс. Следующая матрица не является нормальной, вырождена, но имеет эквивалентные системы строк и столбцов

A =

(1

0

0

1

1

0

0 ^ 0

0 У

Разложение (1.1) является скелетным разложением на множители с особыми свойствами kerA = kerA*. Его имеет смысл использовать для вырожденных матриц.

Представление (1) не является единственным. Выполнив невырожденное линейное преобразование X = YP столбцов матрицы X, получим представление A = Y(PUP*)Y. (Мы можем, в частности, выбрать P так, чтобы столбцы Y были

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

159

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

ортонормированными Y*Y = I). Во всех случаях одним и тем же будет подпространство, натянутое на столбцы матриц X, Y.

Вычислим превдообратную матрицу A+ [1] для матрицы A = XUXT. После простых выкладок получим:

A+ = X(X*X)-1 U-1 (X*X)-!X.

Таким образом, A+ также имеет разложение (1) с тем же первым множителем X. Если столбцы матрицы X ортонормированны, то псевдообратная матрица имеет особенно простое представление A+ = XUX.

Отметим еще одно интересное свойство матриц, определяемых (1)

A+A = A+A = X(X*X)-1X.

Последняя матрица X(X*X)-1X* задает ортогональное проектирование на подпространство, натянутое на столбцы матрицы X, и не зависит от матрицы U.

2. Представление ортогональных и унитарных матриц

В данном разделе разложение на множители (1-2) используется для получения полезного представления ортогональных и унитарных матриц.

Рассмотрим представление (2) для кососимметрической матрицы: A = XUXT. Здесь матрица U кососимметрическая, невырожденная, четного порядка. Применив к А преобразование Кэли [1], мы получим ортогональную матрицу Q = 2(A + I)-1 - 1 = 2(XUXT +I)-1 - I. Последнее

выражение можно преобразовать, используя формулу Шермана-Моррисона-Вудбери [2]: Q = 1 - 2X(U~l +XX)-lX. Заметим, что матрица U"1 также кососимметрическая.

Это выражение для ортогональной матрицы можно рассматривать под различными углами зрения:

- как обобщение преобразования Кэли. Непосредственной проверкой можно убедиться в ортогональности матрицы:

Q = 2X(C + XX)~lX -1, (3)

для произвольной матрицы X полного ранга и произвольной кососимметрической C.

- как обобщение матрицы Qr задающей отражение от подпространства, натянутого на столбцы матрицы X

Qr = I - 2X(XTX)-1Xr;

- и как разложение вида (2) для нормальной матрицы Q -1.

Следующее предложение формулирует результат, получаемый из рассмотрения данного примера применения разложения (2).

Теорема 4

Матрица Q(n х п) будет ортогональной тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде: Q = 2X(C +XTX)-lXT-1, где матрицаХ(п х k) - полного ранга, C(k х k) - кососимметрическая. При этом k равно числу собственных значений Q, отличных от -1, матрица C имеет ранг, равный числу комплексных собственных значений Q.

Доказательство

Пусть Q ортогональная матрица. Хорошо известно [3, С. 133-134], что ортогональную матрицу можно представить в виде

Q = S ■ diag{

1

'1

-s \

\ s

V m

1,..,1, -1,..,-1} ■ ST

(4)

где матрица S ортогональная; c = cosqx, s. = smqx для некоторого угла ф. и 1 < j < m; k число собственных значений Q отличных от -1; 2m число комплексных собственных значений Q. Число единиц в диагональной матрице (4) равно k - 2m, число минус единиц равно п - k.

Рассмотрим матрицу

Q +1 = S ■ diag{ ..,

(1 + c . -s . ^

s. 1 + c.

J J J

,..,2,..,2,0,..,0}-.

Пусть матрица Y составлена из первых k столбцов матрицы S . Тогда

Q +1 = 2Y ■ diag{ ..,— 2

1 (1 + c. -s Л

1 J J

1 + c

,1,..,1} ■ YT

Или

j J

f

+

Q +1 = 2Y ■ [diag{ .., 12 +

0 s. /(1 + c.) ^

' ' ,..,1,..,1}]-1 ■ YT . (5)

-s. /(1 + c.)

0

В результате получаем, что Q = 2Y(K + 1k)-Y - In,

где K кососимметрическая матрица ранга 2m

f

K = diag{ ..,

0

s. /(1 + c.) ^

,.,0,..,0}.

- s. /(1 + c.) 0

Выполним любое невырожденное преобразование P столбцов матрицы Y: X = YP. Тогда получим:

Q = 2XPl(K + 1k)-1P-TXT - 1п = 2X(PTKP +

+ PTP)-1X - 1п = 2X(C + XTX)-1XT - 1n. (6)

Здесь C = PTKP - кососимметрическая матрица, PTP = XX, так как столбцы Y- это столб-

c

c

m

s

160

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

цы ортогональной матрицы S. Мы видим из (6), что невырожденное преобразование столбцов матрицы X не меняет общий вид представления (3) ортогональной матрицы, матрица C претерпевает конгруэнтную трансформацию, оставаясь кососимметрической.

Пусть теперь матрица Q имеет представление (3). Нам надо доказать, что QQT = I. Подставим (3) в последнее равенство, получим, что надо доказать такое тождество:

2X(C + XX)-1XX(CT + XTX)-XT =

= X(C + XTXylXT + X(CT + XTXylXT. (7)

Преобразуем левую часть этого равенства X(C + XX)-1 [(C + XX) - C] (CT + XTX)-1XT + +X(C + XX)-1 [- CT+(CT+XTX)] (CT+XTX)-lXT =

=X(CT+XXyX - X(C+XrX)-1C(CT+XXylX +

+ (C + XTX)-1CT(CT + XX)-lX+X(C+XXylX =

= X(CT + XTX)-1XT + X(C + XTX)-1XT -- X(C + XX)-1 (C + CT) (CT + XTX)-1XT. (8)

Последнее слагаемое в последнем выражении (8) равно нулю в силу кососимметричности матрицы C. Теорема 4 доказана.

Аналогичное предложение можно сформулировать для унитарных матриц.

Теорема 5

Матрица Q(n х п) будет унитарной тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде: Q = 2X(C + XX)-X - I, где матрица X(n х k) - полного ранга, C(k х k) - косоэрмитова. При этом k равно числу собственных значений Q, отличных от -1, матрица C имеет ранг, равный числу комплексных собственных значений Q.

Ход доказательства этой теоремы повторяет ход доказательства теоремы 4, только (4) будет иметь такой вид

Q = Sdiag{..,cj + is,..,1,..,1, - 1,.., - 1}S*, (9) где S унитарная матрица; c. + is. - комплексное собственное значение Q и 1 < j < m; k число собственных значений Q, отличных от -1. Число единиц в диагональной матрице (9) равно k - m, число минус - единиц равно п - k. А (5) будет иметь такой вид

Q + I = 2 Y [ diag{..,1 - isj/(1 +

+ Cj),..,1,..,1}]-17* = 2Y(Ik + K)1 Y*, (10)

где K диагональная матрица с чисто мнимыми величинами на диагонали, то есть косоэрмитова.

Сформулируем еще одну родственную теорему.

Теорема 6

Если унитарная (ортогональная) матрица задается выражением Q = 2X(C +X*X)-X* -1 (Q =

=2X(C +XX)-XT - I), где матрица X(n х k) - полного ранга, то C - косоэрмитова (кососимметрическая).

Для этого достаточно доказать, что из выполнения равенства (7) следует кососимметричность. Равенство (2.5) будет выполнено, если выражение в последней строке (8) буде равно нулю: X(C + XX)-1(C + CT) (CT + XTX)-lXT = 0. (11) Умножим (11) слева на XT и справа на X, учитывая, что матрица XTX невырожденная, получим, что C + CT = 0. Точно так же теорема 6 доказывается для комплексного случая.

3. Блочные отражения

Важным случаем ортогональных матриц являются матрицы отражения [1]. Матрица отражения может быть задана таким выражением: Q = I - auuT, где и - вектор столбец; а = 2/uTu. Эта матрица обладает многими замечательными свойствами. Например, она симметрическая и ортогональная, кроме того оказывается, вектор u можно выбрать таким образом, чтобы у вектора результата Qx нужные координаты стали нулевыми.

Менее известными являются «блочные отражения» - ортогональная матрица Q действует на матрицу, обнуляя в ней матричный блок:

Q • E = F;

E =

Г Е ] Г F1

; F =

_ e2 _ 0

(12)

где Е1 и F1 квадратные матрицы.

Блочным отражениям посвящены следующие работы: в [5] и [6] показано, как строить ортогональную, симметрическую матрицу Q, выполняющую обнуление матричного блока- (12); та же задача решена в [4], только не требуется симметрии матрицы Q. (Заметим, из теоремы 6 следует, что ортогональная матрица Q будет симметрической, только если C = 0).

Попробуем применить представление (3) для решения задачи преобразования матрицы E в матрицу F. Надо найти матрицы X(n х k) и C(k х k) - кососимметрическую так, чтобы выполнялось: 2X(C + XTX)~1XTE = F +E = S. (13)

Из (13) следует, что span(S) с span(X). Далее будем считать, что X = S и матрица X полного ранга.

Рассмотрим разложение столбцов матрицы E по базису, образованному столбцами X плюс базис подпространства ортогонального дополнения к span(X): E = XG + H, здесь G квадратная матрица порядка k, а XTH = HTX = 0.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

161