CC BY
22
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование № 4 (56) 2017
УДК 681: 513
А. А. Воевода, К. М. Бобобеков
DOI: 10.26731/1813-9108.2017.4(56). 84-99
Новосибирский государственный технический университет, г. Новосибирск, Российская Федерация Дата поступления: 16 октября 2017 г.
РЕШЕНИЕ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПРИ ПОЛИНОМИАЛЬНОМ СИНТЕЗЕ РЕГУЛЯТОРОВ
Аннотация. При модальном синтезе многоканальных линейных систем с использованием левыгх/правых полиномиальных разложений в основе метода лежит решение матричного полиномиального уравнения, называемого диофантовым уравнением. При решении его переходят от полиномиальных описаний к эквивалентным числовым матрицам. При этом возникающее матричное не полиномиальное эквивалентное уравнение, как правило, имеет матрицу пониженного ранга (вырожденную матрицу). Для решения такой системы уравнений необходимо осуществить перенос линейно-зависимых строк с соответствующими неизвестными в правую часть. Кроме того, для перехода к квадратной матрице при неизвестных удалить линейно-зависимые столбцы этой матрицы и соответствующие столбцы из правой части уравнения. После решения «усеченной» системы уравнений необходимо вернуться к исходной системе. При этом получаем решение линейной системы с дополнительными ограничениями. Как правило, эти ограничения накладываются на вид желаемой характеристической матрицы и на полиномиальные матрицы, соответствующие полиномиальному разложению многоканального регулятора. Рассматриваются различные случаи задания объекта, соответствующие вырожденной и невырожденной полиномиальной матрице «знаменателя» объекта. Иллюстрация расчетов, для исключения громоздких выкладок, проводится на примере объекта невысокого порядка. Предлагаемая методика иллюстрируется на примере синтеза двухканальной системы.
Ключевые слова: линейные системы, вырожденная матрица, матричные передаточные функции, матричное полиномиальное представление, желаемый характеристический полином, модальный синтез регулятора, переходные процессы.
A. A. Voevoda, K. M. Bobobekov
Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk, the Russian Federation Received: October 16, 2017
SOLUTION OF AN OVERDETERMINED LINEAR SYSTEM OF EQUATIONS FOR POLYNOMIAL SYNTHESIS OF REGULATORS
Abstract. In modal synthesis of multichannel linear systems using left / right polynomial expansions, the method is based on the solution of a matrix polynomial equation, called the diophantine equation. In its solution, one needs to pass from polynomial descriptions to the equivalent numerical matrices. In this case, the emerging matrix non-polynomial equivalent equation, as a rule, has a reduced-rank matrix (a degenerate matrix). To solve such a system of equations, it is necessary to transfer linearly dependent rows with the corresponding unknowns to the right-hand member. In addition, in order to proceed to a square matrix for unknowns, one needs to remove the linearly dependent columns of this matrix and the corresponding columns from the right side of the equation. After solving the "truncated" system of equations, it is necessary to return to the original system. In this case, we obtain a solution of the linear system with additional constraints. As a rule, these constraints are superimposed on the form of the desired characteristic matrix and on the polynomial matrices corresponding to the polynomial decomposition of the multichannel regulator. The article discusses various cases of the task object corresponding to singular and not singular polynomial matrix "denominator" of the object. An illustration of the calculations, in order to avoid cumbersome calculations, is carried out by the example of an object of a small order. The proposed technique is illustrated by the example of synthesis of a two-channel system.
Keywords: linear systems, degenerate matrix, matrix transfer functions, matrix polynomial representation, desired characteristic polynomial, modal regulator synthesis, transient processes.
Введение
Задача модального синтеза многоканальных систем автоматического управления может быть решена с использованием различных описаний. Чаще применяют математический аппарат на основе пространства состояний [13-15, 18, 19], при этом для оценки вектора состояния вводят в обратную связь наблюдатель полного порядка [7], выход которого подается на вход статического многоканального регулятора. Устройство управления в данном случае состоит из двух блоков -
84
наблюдателя и статического звена. В каком-то смысле это недостаток данного метода: во-первых, наблюдатель - это динамическая система того же порядка, что и объект; во-вторых регулятор и наблюдатель расположены в обратной связи, что затрудняет обеспечение статического режима системы управления. Для понижения порядка может быть использован наблюдатель пониженного порядка [6].
Альтернативный подход - это использование матричных передаточных функций [13-15, 18,
©А. А. Воевода, К. М. Бобобеков, 2017
Информатика, вычислительная техника и управление
Modern technologies. System analysis. Modeling, 2017, Vol 56, no.4
19] или матричных полиномиальных представлений [13-15, 18, 19]. Каждое из этих направлений также имеет свои достоинства и недостатки. На взгляд авторов, второе направление, а именно использование матричных полиномиальных представлений, кажется наиболее перспективным [16, 17]. В данной работе, которая является продолжением исследований, начатых в работах [1-3, 6, 8, 12, 13], исследуются вопросы, связанные с синтезом регуляторов на основе матричных полиномиальных представлений. Одна из проблем, возникающих при такой постановке задачи, - это необходимость решения переопределенной системы линейных уравнений, а именно, решение матричного полиномиального так называемого дио-фантового уравнения. При решении переопределенной линейной системы переходят от полиномиального описания объекта к системе матричных уравнений с числовыми коэффициентами. Это приводит к существенному увеличению размеров матриц и, как правило, к вырождению системы линейных уравнений. Под этим подразумевается вырождение матрицы, составленной из коэффициентов матричной передаточной функции объекта. При решении такой системы необходимо из матрицы коэффициентов исключить линейно-зависимые строчки и столбцы. Далее преобразованная система уравнений с уже невырожденной матрицей коэффициентов может быть решена. После чего необходимо с учетом найденного решения вернуться к исходной переопределенной системе уравнений. Это приводит к ограничению на выбор желаемой характеристической матрицы системы и на параметры регулятора. Другими словами, приходим к задаче решения системы линейных уравнений с ограничениями. Такой подход в некоторых частных случаях рассматривался в работе [1]. При этом не акцентировали внимание на возникающих дополнительных ограничениях, накладываемых на выбор параметров характеристической матрицы и определяемой структуры регулятора. Кроме того, в зависимости от исключаемых линейно-зависимых строк и столбцов матрицы коэффициентов, возможны различные варианты решения задачи синтеза регулятора. Вышеуказанные рассуждения продемонстрированы на двухканальном объекте при различных вариантах задания параметров объекта, приводящих к различного рода вырождению матриц, описывающих объект.
Постановка задачи
Поставлена задача уточнить методику синтеза многоканальных регуляторов, при использовании полиномиальных матричных разложений,
изложенную в предыдущих публикациях. В последнее время при анализе и синтезе многоканальных систем автоматического управления используют матричные передаточные функции, где в значительной степени обобщаются формулы преобразования одноканальных систем. Например, если обозначить матричные передаточные функции регулятора и объекта через Wr (5) и Wob (5), то справедливы следующие соотношения:
Wcl (5) =(I + Wr (5)Wob (5)У% Wob (5)_r (5) =
= (I + Wob (5)_r (5)f Wob (5)_r (5) = < ((Wob (5)_r (5))-1 (I + Wob (5)_r (5)))~% = ,
= ((Wob (5)Wr (5) + I) (Wob (5)Wr (5))-% =
= Wob (5)Wr (5) (I + Wob (5)Wr (5))-% где WcL (5) - передаточная функция замкнутой системы. В данной работе используется полиномиальное матричное описание как объекта
Wob (5) = Nr (5 ^^(5) - правое полиномиальное
разложение, так и регулятора Wr (5) = ^(5)Xt (5)-левое полиномиальное разложение. При использовании полиномиальных разложений, которые нашли также широкое распространение при исследовании САУ, также в значительной степени формулы структурных преобразований одноканальных систем обобщаются на многоканальные системы
Wcl (5) = (X-1 (5)7 (5)D(5) N-1 (5) +1)"% = = (X_1 (5)(7 (5)D(5) + X (5) N(5)) N (5) )"% =
= Nr (5) (7 (5) Dr (5) + Xj (5) Nr (5)У1 Xt (5), что упрощает исследование многоканальных САУ.
Если проанализировать примеры синтеза регуляторов в данной постановке, можно заметить, что не всегда удается получить желаемую характеристическую матрицу системы. По-видимому, это вызвано преобразованиями переопределенного матричного полиномиального диофантового уравнения. В данной работе обращено внимание на преобразование матричного полиномиального диофантового уравнения и проверку корректности этих преобразований. В результате вычислений обращено внимание на то, что некоторые матрицы, входящие в описание объекта, могут быть вырожденными. Это вносит дополнительные трудности при решении задачи синтеза, в частности, в некоторых случаях возникают трудности при попытке матричного моделирования объекта. В ка-
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование № 4 (56) 2017
честве примера взят двухканальныи неустоичивыи объект, что позволяет избежать громоздких вычислении. Последовательность синтеза многоканальных регуляторов рассматриваемым методом можно подробно отследить по работе [1], где исследуется модальныИ метод синтеза двухканаль-ного регулятора для механической системы, описываемой тремя дифференциальными уравнениями второго порядка, что при описании объекта в пространстве состоянии соответствует матрице А шестого порядка. Здесь подразумеваем стандартное описание
у = Ах + Ви , у = Сх .
В указаннои работе [1] исследуется несколько вариантов синтезируемого регулятора и приведены соответствующие проверки на допустимые характеристические матрицы. В результате этих исследовании предложена процедура синтеза регулятора, сводящаяся к перебору различных вариантов, позволяющих перейти от диофантового переопределенного уравнения к невырожденному уравнению. К сожалению, эта процедура не до конца формализована и, кроме того, упущены некоторые возможные варианты синтезируемого регулятора.
В даннои работе исходное описание объекта - правое полиномиальное матричное взаимно простое разложение Вг (5) и <г (5). Выбор правого разложения объекта предполагает, что описание регулятора будем искать в виде левого полиномиального матричного взаимно простого разложения У1 (5) и Х1 (5). Выбранньш вид разложении объекта и регулятора позволяет получить удобное для вычислении характеристическое матричное уравнение системы. Для отработки методики синтеза и исключения громоздких выкладок взят в качестве объекта двухканальныи неустоичивыи объект.
Пусть дано описание двухканального объекта через полиномиальное матричное правое разложение:
О (5) =
( ~ 1 1 " 0 ^
а115 + "12 5 "12
11 10 11 + И 0
V "215 "21 "22 5 + "22 У
Г 0 0
N (5) = пи 0 К12 0
V К21 "22 У
(1)
Далее рассмотрим несколько случаев задания Д и 00, соответствующие различным видам вырожденности и невырожденности полиноми-альнои матрицы «знаменателя» объекта, что приводит к необходимости вариации требуемых исследовании.
Пример: невырожденный случай
ае^Д) * 0
Зададим значения параметров двухканального объекта, например объект, содержащии интегратор:
(
О (5) =
1
2 ^
5 - 2 25 + 4
, N (5) =
Г 2 0^
3 1
(2)
В данном случае ае1;(Д) * 0 и ае!н(00) = 0. Вырождение второго детерминанта не усложняет задачу. Уравнение объекта по входу и выходу запишется так:
- 2 V Г и }
Vи2 у
(3)
О- (5)
Реализация уравнения (3) в матричном виде приведена на рис. 1. При реализации этои структуры предполагается невырожденность матрицы
Бг (5), то есть полагаем ае! (5) * 0 . (----------------
Рис. 1. Структурная схема многоканального объекта, представленная в виде правого матричного полиномиального разложения
Воспользуемся рис. 1 и запишем выход первого блока
2(5) = 0-1(5)и(5), (4)
откуда
Вг (5)2(5) = и (5). (5)
В (5) подставим значение (2) полиномиальнои матрицы Бг (5):
(015 + 00) 2(5) = и(5). (6)
Из уравнения (6) навдем г(5):
г(5) = 01-15- (-002(5) + и(5)) . (7)
Запишем уравнение выхода объекта у(5) = N^(5). В нашем случае <г (5) = <0, тогда
у(5) = N0 2(5). (8)
Реализация объекта в полиномиальном виде в соответствии с уравнениями (7) и (8) приведена на (рис. 2).
П1-М мо
Рис. 2. Структурная схема объекта (7) и (8) в матричном виде
Modern technologies. System analysis. Modeling, 2017, Vol 56, no.4
Кроме того, у этого объекта специфическое свойство - det(Д) Ф 0 и det(.D0) = 0, что позволяет реализовать матричное моделирование объекта. Ниже исследуется вопрос синтеза регулятора для такого объекта, что позволит уточнить методику синтеза по сравнению с ранее известными публикациями [1-8, 12, 13].
Синтез регулятора
Для данного объекта рассмотрим задачу синтеза двухканального регулятора. Передаточная функция объекта в виде правого полиномиального разложения определяется по формуле:
жоЬ (?)=< до;1??). (9)
В соответствии со сказанным во введении при правом полиномиальном разложении регулятор записываем в виде левого полиномиального разложения:
Wr (?) = Г1-1(?)Х1 (?). (10)
Характеристическая матрица системы может быть записана следующим образом:
( Д (?) >
<7 М !ь (?)) ад
= ОД. (11)
Учтем размеры матриц YL (?), Xt (?) и С (?) :
a (?)=
Jl1(?@ Jl2(?) Л!??) N22 (?@
Л
) х, (?) =
' X„(?) Xi:(?)
y X21(?) Y22(?)
Л
С (?) =
ГCii(?) ^12 (?)
V C21(?) C22(?).
Л
(12)
цы D1, D0 и N0
A =
Г1 1 ï %2
A =
N0 =
Г 2 0^
3 1
. (14)
Л
Г N11 (?) N12 (?) N21 (?) N22 (?)
x„(?) y12 (?) ^ X21(?) X22(?)
1
? - 2 3
? - 2 ^ 2? + 4
1
(?)
Л
(15)
ни полиномов регулятора равными нулю. Здесь deg() - обозначение степени соответствующего
полинома. В развернутом виде 7- (?) и Х1 (?) следующие:
a (?)=a =
Г №
' п
У
V 21
N
N
0 Л
, X (?) = X =
V-0 ^
Г0 X X
11 %2
0 0
X X
V2% 22 /
.(16)
Зададим диагональный вид характеристической матрицы системы, в которой полюса равны {-1,-1}:
(1 0^ (1 0^
С (?) = С1? + С0 =
0%
0%
(17)
Из уравнения (2) несложно получить матрицы Dr (?) и Nr (?) в виде матричных полиномов:
Dr (?) = D? + D0,Nr (?) = N0. (13) Воспользуемся уравнением (2) и выпишем матри-
( 1 -2^
ЧУ ) V. У
Подставим матрицы Dr (?), Nr (?) и С (?) (12) в (11):
Подставим уравнения (14), (16) и (17) в (11):
70(Д? + Д) + Х 0 <0 = С,? + С0. (18) Раскроем (18):
а, д?+а д + х0 <0=с?+с, . (19)
Приравнивая коэффициенты при ? с одинаковыми степенями в левой и правой частях, получим систему линейных уравнений, которую можно записать:
а д=с, (20)
7Д + Х0 <0 = С0. (21)
Из уравнения (20) найдем 70, что возможно ввиду невырожденности Д, и подставим в (21), что позволяет найти Х0:
70 = СД-1, Х0 = (С -ад)^ (22)
Здесь предполагается, что det(<0) Ф 0 . Эти вычисления легко выполняются в МаАаЬ:
( 2 -П
71 (?) = 70 = 1 ,
V 1 1)
(-13,5 8Л . 9 -5).
Далее выполним проверку - а именно подставим вычисленные матрицы 71 (?), Х- (?) (23) и Д (?), <г (?) из (2) в (11):
7г (?)Д (?) + Х- (?) <г (?) = С (?).
После подстановки указанных матриц в левую часть предыдущего уравнения и вычислений получим:
( 2 -1У ? +1 ? -2 ^ (-13,5 8 V2 0^
X (?) = X0 =
(23)
= С11(?) ^12 V V С21(?) С22(?)
Зададим степени матриц 7- (?) и Х1 (?) . С учетом того, что deg с^ (?) = 1,
degу. (?) = deg х (?) = 0 для Vу, выберем степе-
? +1 0 ^ = п 1 . (24)
V 0 ?+1)
Проверка показала, что характеристические полюса системы равны {-1, -1}, и очевидно, что задача
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование № 4 (56) 2017
автономизации каналов, если учитывать только характеристическую матрицу, выполнена. Итак, перейдем к моделированию системы.
Примечание. Нельзя задавать полюса системы произвольно например, если задать полюса системы равными {-1, -2, -3, -4}, то есть матрицу С(5) задать вида
С (5) =
( ,
■2 ^ 4
получим матрицы регулятора Г0 и Х0 следующие:
(1 0 ^ (-6 4 ^
а =
10
Х о =
-8 6
Как видим, с такими значениями матриц Г0 и Х0 регулятор нереализуемый ввиду вырожденности 70,а ао вырождается из-за вырожденности С1 (22).
Моделирование системы. Перепишем уравнение регулятора (10) в виде
V = Х0? ,
"иув!
Ы Оу11 и Ы Ош1
-) *
2
\¥оЪ
Рис. 4. Структурная схема системы регулирования
Переходные процессы в системе для случаев >(Е) = (1 0) и у(Е) = (0 1) приведены на рис. 5. Как видим, система устойчивая, время переходного
процесса примерно 3-4 сек и перерегулирование отсутствует. Хотя С(5) диагональная, система неавтономная, что вызвано недиагональностью матриц - числителей объекта Ыг (5) = <0 и регулятора
ХI (5) = Х0. 20
Л л
? 27
О)1
УД."
>
где е = V - у . Отсуда
и = Г-1 Х{)е . (25)
Здесь предполагаем, что det(70) Ф 0 (23). Соответствующая структурная схема изображена на рис.3. Очевидно, что передаточная функция регулятора соответствует одной числовой матрице. Если взять Г0 = I, то получим ограничение на выбор С(5), а именно, обязаны задать Сх = (20).
0 2 4 6
Рис. 5. Переходный процесс системы, когда на входе
(1 0)Е и (0 1)Е
Рассмотрим более сложный случай, а именно, det( Д) = 0 и det( Я0) Ф 0.
Пример: невырожденный случай
det(Д)) Ф 0 и det(Z)1) = 0 Выбираем второй вариант параметров объекта
(0,55 +1 5 -1 ^ (2 0^
Д (5) =
< (5) =
31
(26)
Рис. 3. Структурная схема регулятора в матричном виде
Структурная схема системы приведена на рис. 4, где первый блок соответствует регулятору _ (5), а второй блок - объекту ЖоЬ (5). На рис. 4 V, е, и, у - векторы размерностью два. Структурная схема объекта в матричном виде приведена на рис. 2.
5 - 2 25 + 4
ч V ч /
Воспользуемся рис.1 и запишем выходной сигнал первого блока г(5) = 0-1(5)и(5) и подставим значение полиномиальной матрицы Д (5):
(0,55 + 1 5 - 1 У 5 - 2 25 + 4
V У
Детерминант матрицы Д (5) равен 75 + 2 , и, следовательно, можем вычислить вектор г :
, . (25 + 4 - 5 + 1 ^
я;1 (5) = det-1( Д (5))
С г > V г2 у
4 (и ^
VР2 у
1
( 25 + 4
7 5 + 2
-5 + 2
ч
- 5 + 1 ^
0,55 +1
-5 + 2 0,55 +1
ч 7
= ( (25 + 4)/75 + 2 (-5 +1) /75 + 2 ^
= ч (-5 + 2) / 75 + 2 (0,55 +1) / 75 + 2 Итак, получили
'(25 + 4)/75 + 2 (-5 +1)/75 + 2
(-5 + 2)/75 + 2 (0,55 +1) /75 + 2
(г ^ ((
V г2 у
(и1 ^
Vи2 у
или
Modern technologies. System analysis. Modeling, 2017, Vol 56, no.4
г 7? + 2 v 0 7? Уравнение
0 Y z ï
V z2 y
Г 2? + 4 -? + 2
- ? +1 Y P
0,5?-в
1
Л
V P2 y
.(27) матрично-
2
(27) запишем полиномиальный вид
Q(?)z(?) = D(?)u(?) . (28)
Воспользуемся уравнением (27) и «развернем» матрицы Q(?) и D(?) :
Q(?) = Q1? + Qo, D(?) = Dx? + Do . (29)
Тогда уравнение (28) принимает вид
(Q1? + Qo) z(?) = ( Dx?+Do)p(?). (30)
По уравнениям (30) запишем реализацию z(?)
z(?) = Qr1 (Dp(?) + ?1 (-Qoz(?) + DoU(?))) . (31) Запишем уравнение выхода объекта j(?), для чего воспользуемся рис. 1 :
X?) = Nr (?) z(?) =
= Nr (?)Q- 1 (DU(?) + ?" 1 (-Qoz(?) + DoU(?))) . (32)
Здесь
Q =
Г 7 0 ï 07
D0 =
Q0 =
Г 4 1ï
2
Г2 0ï , D Г2 - ï
0 2, ' ï - 1 0,5 y
V y Г2 0ï V
, N = 1 y (33)
V 3
Уравнению (32) соответствует структурная схема, приведенная на рис. 6.
A =
Г 0,5 1 ï 1
D0 =
Г1 - 1 ï
-2 4
, <0 =
Г2 0ï
. (35)
3
ч / ч / ч /
Учтем размеры матриц Y: (?) , XL (?) и С (?) из ( 1 2) и Dr (?) и Nr (?) из (35) и подставим в ( 1 1 ):
(o,5? + 1 ? - П
Г N11 (?) N12 (?) N2 1 (?) N22 (?)
X1 (?) X2 (?)ï
X2 (?) X22 (?)
12 (?)
? - 2 3
ï
2? + 4 1
(36)
= ( с 1 (?)
V С2 1(?) С22(?))
Зададим степени матриц 7- (?) и Х- (?). Аналогично рассуждениям, приведенным выше степень регулятора выберем на единицу меньше степени объекта, то есть полагаем д(с@ (?)) = 1, д(Уу (?)) = 0 и д(Ху (?)) = 0. Получим формулы ( 1 6). Характеристическая матрица системы
С (?) = С1 ? + С0 =
Г1
с1
V 21
„1 Л
Г с0
с0
V2
0
(37)
22 у V 2 1 22 У
Подставим уравнения (35), ( 1 6) и (37) в ( 1 1 )
Yo(D ? + Do) + Xo No = d? + Q. (38) Раскроем формулу (38):
Yo D ? + Yo Do + Xo No = C ? + Co . (39) Приравнивания коэффициенты при ? с одинаковыми степенями в левой и правой частях, получим систему линейных уравнений (39), которую можно записать:
( D ! D Ï
(a ! х0 )
0 ¡<0
= (С1 I С0 ) :
Рис. 6. Структурная схема объекта (32) в матричном
виде
Здесь предполагается невырожденность Qx.
Синтез регулятора. Для объекта рис. 6 рассмотрим задачу синтеза двухканального регулятора. Передаточная функция объекта в виде правого полиномиального разложения определяется по формуле (9) и регулятора - в виде левого полиномиального разложения ( 1 o).
Характеристическая матрица системы может быть записана в виде ( 1 1 ). Из уравнения (26) несложно выписать матрицы Dr (?) и Nr (?) в виде матричных полиномов
Dr (?) = D ? + Do , Nr (?) = No. (34) Воспользуемся уравнением (26) и запишем значения Dx, Do и No :
или
Здесь
J = К.
(40)
(4 1)
J=(a ! X0 )=
к = (с ! С ) =
г № - и
У
V 2 1
N„
0
f ï 1 1 0 0
с с 1 с с
11 2 1 11 2
1 1 ! 0 0
с с с с
V2 22 1 2 1 22 y
(D ! A ï 0~j <0
ï
( 0,5 1 0 0
2 1 2 0 0
3 1 -2 2 3
4
- ï
(42)
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование № 4 (56) 2017
Таким образом, первая часть задачи решена, а именно, составили уравнение, описывающее систему «объект - регулятор» (41), где входящие в это уравнение матрицы 3 , ЭТ и К приведены в (42). Эта система уравнений должна быть решена относительно неизвестных, входящих в 3 . Однако, в данном случае, размер матрицы ЭТ равен 4 х 4 и ее ранг равен трем.
Решение системы (41) состоит из двух этапов: на первом этапе из матрицы ЭТ «удаляем» линейно-зависимые строчки и столбцы с целью приведения матрицы ЭТ к невырожденному виду. Под словом «удаляем» подразумеваем выделение произведения соответствующих строчки и столбца из матриц 3 и ЭТ и перенос в правую часть. Это соответствует первому преобразованию диофанто-вого уравнения. Второе преобразование состоит в вычеркивании линейно-зависимых столбцов из матриц ЭТ и соответствующих столбцов из К . Это позволит обратить преобразованную матрицу ЭТ и получить решение в «усеченной» системе (41). При этом преобразованию подлежат и матрицы 3 и К . На втором этапе необходимо вернуться к исходной системе (41), для чего восстанавливаем «выброшенные» строчки и столбцы в преобразованных матрицах 3 , ЭТ и К .
Приведение системы (41) с матрицей ЭТ к невырожденному виду (первый этап преобразований). В матрице ЭТ найдем линейно-зависимые столбцы и строки. В нашем случае 1-й и 2-й столбцы матрицы ЭТ линейно-зависимые, и строки с первой по четвертую линейно-зависимые. В уравнение (41) подставим значения матриц 3 , ЭТ и К из (42):
( 0,5
( у0
* п
У
V 21
У, -
У,
0
1 0 0
1 2 0 0
1
-2 2 3
—11 4 0 1
( с1 11 с% %2 ! с0 11 с0 1 %2
с1 V 21 с% 22 с0 1 21 с0 22 У
(43)
Вспомним, что вторая строка из матрицы ЭТ линейно-зависимая и выделим другим цветом второй столбец матрицы 3 и вторую строчку матрицы ЭТ :
+ ( .У22 У (1 2 — 2 4) = К .
4-V-'
ч
Переносим направо со знаком минус произведение второго столбца матрицы 3 на вторую строчку матрицы ЭТ. Это произведение обозначим ч и перенесем направо:
31ЭТ1 =К — ч.
е
Правую часть уравнения обозначим через е :
=е.
Итак, получили
(44)
(У0 ! х0 п х° 1 %2
У0 ( 21 х0 1 21 х0 22 У
(с1 — У0 11 ^ 12 с%— %2 2у0 ! 12 |
с1 — У0 ((21 ^22 с%— 2 22 2 2у0 | ^ 22 1
(0,5 1 1 —11
0 0 (22 0 2 0 3 °у /
-2 У0
" 1:
с0 + 2 у0
I0 — 4У0 1
с0 — 4 у0
22 22 У
.(45)
Для того чтобы матрица ЭТ1 была квадратной, следует выбросить линейно-зависимый первый столбец - пометим его другим цветом и обозначим преобразованную матрицу ЭТ1 через ЭТ2. Кроме того, следует выбросить первый столбец матрицы е - пометим этот столбец также другим цветом. После удаления первого столбца из е обозначим ее е1. Тогда уравнение (45) после удаления выделенных столбцов принимает вид
/1
( у0 ! х0 1 11 х° 1 %2
У0 ( 21 х0 1 21 х0 22 У
%— %2 2 У0 %2 с0 + 11
%— 222 2 2 У0 2 222 с0 + 22
—Л 0 1
■2 У0
" 1:
2 У0
с0 — 4У0 1 %2 %2
с0 — 4 у0
22 22 У
а
Или кратко можем записать предыдущее уравнение так:
^2=е,- (46)
Сейчас матрица ЭТ2 невырожденная и, следовательно, можем найти параметры регулятора, входящие в :
^ = е1эт—1.
Вычислим правую часть предыдущего уравнения, для чего можем воспользоваться символьными вычислениями в пакете МаАаЬ. В результате получим:
^ =
( с1 — 2 у0 11 ~ \1
с
V 22
1 — 2 У0
0,5с0 — 1,5с0 — 2с1 + 11у0
11 12 12 ^ 12
0,5с0 — 1,5с0 — 2с1 + 11у0
-с1 — 6У0 1
с0 + с1 — 6 у
0
22 у
Информатика, вычислительная техника и управление
Modern technologies. System analysis. Modeling, 2017, Vol 56, no.4
Ряд неизвестных параметров регулятора, входящих в J1, найдены. Оказалось, что они зависят от элементов характеристической матрицы К . Кроме того, в правую часть вошли два параметра регулятора и у С . Мы выполнили первый этап преобразований диофантового уравнения.
Сейчас приступим к выполнению второго этапа преобразований диофантового уравнения, а именно следует возвратиться к исходному уравнению (4 1 ), или в развернутом виде (40). Для этого перейдем от к ^ и от ^ к ^, для чего вспомним первый выброшенный столбик матрицы и первый выброшенный столбик матрицы Q . В результате получим уравнение с входящими в него матрицами и Q :
г I1 - : у0
0,5с0 - 1,5с0 - 2с1
I - 2 у'
V 22
0,5с0 - 1,5с0 - 2с1
2% 22 22
о 0,5 1 1
с + с
22
с1 - 6 у %2 %2
1 - 6у0
22 22
0 0
+ %% у 0 %2
+ %% у 0
22
-1Л ~0
1
У
( „1
с - у
11 ^ 12
с1 - у0
1 0 с - 2 у
%0
с% - 2 у 0
il * •
22 I
с0 + 2 у0
11 ^ 12
с0 + 2 у0
">1 т
си - 4у %2
с0 - 4у
22
0
Для того чтобы вернуться от J1 к J и от к ЭТ в матрице , следует добавить вторую строку и в матрице J1 добавить второй столбик, которые пометим для удобства другим цветом. Эти «элементы» необходимо забрать из матрицы Q :
Г с1 - 2у0
%0
с% - 2 у 0
V 22 22
у
у
0,5с° - 1,5с0 - 2с1 + 11у0
11 11 11 •'Л'
0,5с° - 1,5с0 - 2с1
%% у 0
✓ -у
с0 + с1 - 6 у
0 Л
-с1 - 6 у0
22 22 У
Г 0,5 1 0 0
1 1
2 -2
0 2
0 3
-1Л
4 0 1
Г с1 11 с1 12 ! с0 1 11 с0 Л 12
с1 V 21 с1 22 ! с0 1 21 с0 22 У
Г О/2
(О/2
.,0 Л
Г с1 11 с1 12 ! с0 1 11 с° Л 12
с1 V 21 с1 22 ! с0 1 21 с0 22 У
(47)
Для выполнения равенства необходимо, чтобы совпадали соответствующие элементы левой и правой матриц. Элементы вторых блоков левой и правой матриц совпадают. Для выполнения равенства в (47) необходимо и достаточно выполнения двух условий:
(с1 ) / 2 = с1 , (с1 ) / 2 = с1 .
\ 12 / 11 ? V 22' 21
Запись выше приведенных формул предполагает,
„1
„1
„1
что с и с являются функциями с и с соот-
11 21 12 22
ветственно. Тогда характеристическая матрица системы может быть записана следующим образом:
(
(С С ) =
(с1 ) U 2 с1
4 12 ' 12
(с1 ) U 2 с1
0
(48)
Таким образом, как следует из предыдущей формулы, не все характеристические матрицы системы могут быть заданы.
Вспомним, что J определяет параметры регулятора:
(a х )=
Г с1 - 2у0
10 с1 - 2 у 0
V 22 22
у
у
0,5с0 - 1,5с0 -2с1 + 11у0 с0 + с1 - 6у0 ^
11 12 12 12 12 12 12
0,5с0 - 1,5с0 - 2с1 + 11у0 с0 + с1 - 6у0
21 22 22 22 22 22 2
В формулу регулятора вошли параметры характеристической матрицы с (шесть параметров) и
еще два параметра у С, уС2, которые можно задавать произвольно.
Пример задания характеристической матрицы системы. Выпишем характеристическую матрицу (48) в полиномиальном виде:
С (?) =
Г с1 _1
2
1
Л
-? + с
с1 ? + с0
с1 ?
(49)
Например, зададим следующие параметры характеристической матрицы с учетом ограничений,
приведенных в (49), то есть задаем с0 = с0 = 0,
Выполним умножение матрицы J на ЭТ :
00 с = с = 1
и
с1 = с1
= 2, тогда можем записать
характеристическую матрицу системы в полиномиальном виде
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование № 4 (56) 2017
с (5) =
(5 +1 25 Л
5 25+1,.
ч У
Получили по контурам характеристические полиномы 5 +1 и 25 +1, а перекрестные связи между контурами - 5 и 25, что соответствует дифференцированию. В установившемся режиме достигнута автономизация контуров, если анализировать только С(5). Но полиномиальные матрицы N(5) и X (5) нарушают автономизацию. Тогда
(& Х0 ) =
( 2 — 2 у0
^ и
У,
11/ — 3,5 2 — 6 У 0 1
11у0 — 5,5 2 — 6 у0
22 22 У
2 — 2 уи уи
ч 22 ^ 22 ,
Следует отметить, что если у0 и у0 выберем
равными нулю, получим следующие значения параметров регулятора:
(& X ) =
(2 0 2 0
—3,5 —5,5
21 3
Как оказалось, матрица & - выродилась. Другими словами, не всякие значения «свободных» параметров у°°2 и у02 можно задавать. Вычислим
_зам (5):
_зам (5) = <(5)С-Х(5)X(5) =
(2 01(5 +1 25 У1 (—3,5 21
3 1
25 +1
—5,5 3
В установившемся режиме передаточная функция замкнутой системы равна
_( 2 0 у 1 0 У1 (—3,5 2 ^
_зам (5)5_0 _
31
0 1
V—5,5 3 У
(2 01 31
(—3,5 21 —5,5 3
(—7 —16
41 9
Таким образом, статический режим неудовлетворительный. Для получения качественного статического режима необходимо в регулятор ввести интеграторы, либо соответствующим образом увеличить коэффициенты усиления по контурам. Более универсальный подход состоит в использовании так называемых двухпараметрических регуляторов [6].
Первый вариант регулятора: вырожденный случай. Можем взять, в частности, у0 и у02 равными нулю:
0 ! 0,5с0 — 1,5с0 — 2с1 с0 + с1 1
. (50)
(с1
3 _
с1
V 22
0
0,5с0 — 1,5с0 — 2с1
с0 + с1
22 22 У
Легко сделать проверку: если подставим (49) в (41) и выполним умножение 3ЭТ, получим урав-
нение (48), что подтверждает справедливость сделанных утверждений.
Второй вариант регулятора: невырожденный случай. Можем сделать дополнительную проверку справедливости вышеприведенных формул для более общего случая, а именно, если вы-
г 0 0 п 0 0 111
берем с _ с _ 0 и с _ с _ с _ с _ 1.
1 1 1 11 11 11 11 11
тогда
получим:
с1 _ 2с1 _ 2, с1 _ (с1 ) / 2 _ 0,5.
11 11 7 11 х и '
Характеристическая матрица может быть получена из (49):
С(5) _
5+1 V 0,55 5
25 1 1
(51)
Подставим значения с0 и с1 в уравнение 3 и по-
V V
лучим параметры регулятора, которые зависят от
о о У и У :
11 ^ 11
3_(&0 ¡X)_
( 2 — 2 У0
11
У,-
11у0 — 3,5 2 — 6 у° 1
•'12 ^ У.
11у0 — 3,5 2 — 6 у°
^ 11 7 ^1-
1 — 2 У У°
22 2
Отметим, что если зададим значения символьных переменных равными
у0 _2/6, у0 _3,5/11,
12 22
то получим «числитель» регулятора диагональный:
3 _(&0 ¡X )_
(1,333 0.333 0,364 0,318
0,167 0 1 ,1
и определитель «знаменателя» регулятора не равен нулю:
аека) _ 2 У 02 — У0. Параметр у° нельзя брать равным 2у02, иначе dеt(70) _ 0. Вычислим определитель Х0 :
ае!(Х) _ 22у0 — 22у0 + 21^ — 21у° . Нельзя брать параметры у0 и у02 равными, иначе dеt(Х0) _0 . Если положить у" _0 и у02 _ 0 , то получим вырожденные матрицы & и Х0. Пусть
у0 _0 и у0 _0 ,5, тогда
12 22
(2 0 ! —3,5 21 0 0,5 | 2 —Г .
\ ' I У
Проверяем передаточную функцию замкнутой системы с такими параметрами для Е ^ да. Для этого в начале найдем передаточную функцию замкнутой системы:
_зам (5) _ <(5) (&(5)П(5) + X(5)N(5)X(5) _
_ N(5)С 0 (5)X(5) _
3 _(&0 ¡X )_
Modern technologies. System analysis. Modeling, 2017, Vol 56, no.4
( 2 OY5 +1 3 1
0,55 5 + 1
J у 4
( "(155 + 7)/(25 +1) -(755 + 34) / (85 + 4)
25 Y1 (-3,5 2 ï 2 -1
4 ï
5
(52)
Отсюда
W (5 = œ) =
зам \ '
( -7,5
W3+ (5 = 0) =
4 ï
-9,375 5
( -7 4ï
v-8,5 5j
В этом случае статический режим не вырожденный, но установившийся режим не удовлетворительный. После того как нашли параметры регулятора, перейдем к моделированию системы.
Моделирование системы. Для реализации регулятора запишем уравнение в виде
V = boG :
или
(2 0
0 ï 0,5
(и \
V U2 J
(-3,5 2
2 ï(G ï
-1
V G2 J
Найдем уравнение, связывающее вход и выход регулятора:
Г2м1 = -3,5е1 + 2е2 [0,5м2 = 2е1 - е2
или
ÎMj = - 1,75gj
i u2 = 4е1 - 2е2
(53)
В матричном виде это соответствует
(-1,75 1 У еД?) ^
и?,?) = О0е(?) =
-2
е2 (5)
V 2
Уравнению (53) соответствует структура, приведенная на рис. 7.
1^0
\ U uve>-►
Л
С (5) =
1
0,55
25 ï 5 + 1
V ' /
имеет устойчивые «элементы» и имеются перекрестные положительные связи и, кроме того, система статическая, можно объяснить характер процессов. Установившиеся значения вычисляются по формуле _зам (? = 0) и начальные значения -_ (? ^ да).
зам У / .
1 А
Jh.
Ь
t —>
ал
h-
h V
t —>
а)
Рис. 7. Структурная схема регулятора в матричном виде для невырожденного случая
Структурная схема системы приведена на рис. 4, где первый блок соответствует регулятору _(?) (рис. 7) и второй блок - объекту _0ь(?). Структурная схема объекта в скалярном виде приведена на рис. 6.
Переходные процессы в системе для случаев >(Е) = (1 0)' и у(Е) = (0 1)' приведены на рис. 8. Как видим, система устойчивая, время переходного процесса примерно 4 сек, перерегулирование отсутствует. С учетом того, что характеристическая матрица системы
б)
Рис. 8. Переходный процесс системы: а)у(/) = (1 0)'; б)у(0 = (0 1)н Интересно отметить, что по второму каналу система статическая, что легко объяснить из анализа передаточной функции замкнутой системы (52). И, наконец, перейдем к вырожденному случаю. Пример - вырожденный случай: ае^Д) = 0 и ае^Д) = 0 Рассмотрим значения параметров объекта, соответствующие вырожденному случаю
(0,5? +1 ? - 2 ^ (2 0^
Д (5) =
5 - 2 25 + 4
И< (5) =
31
(54)
Уравнение объекта по входу и выходу запишется так:
(2 0ï(0,55 +1 5 - 2 ï
5 - 2 25 + 4
Д-1( 5 )
ГиЛ
V U2 J
(55)
Воспользуемся рис. 1 и формулой (5):
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование № 4 (56) 2017
5 - 2 V е
( е V ( р V
V е2 у
VР у
' 0,55 + 1
5 - 2 25 + 4
\ у
Детерминант матрицы Бг (5) равен 85, следовательно, можем вычислить вектор е :
А-1 (5) = ае!-1( а (5))
1 ( 25 + 4
85
( 25 + 4 -5 + 2 V -5 + 2 0,55 +1
ч '
-5 + 2 V
-5 + 2 0,55 +1 ( (5 + 2)/45 (-5 + 2)/85V (-5+ 2)/85 (5+2)/168
(1/25 1/45 V ( 1/4 -1/8 V +
( 0,5
1/45 1/85 у
0,25 V 1
- +
у0,25 0,125 у
-1/8 1/16 ( 0,25 -0,125Л у-0,125 0,0625у
У(5) = < (5)е(5) =
(2 0^
V & 1 у
V & 1 у
(2 0У( 0,5 & 1
(015~° + 0„)Ы(5) =
VV 0,25 0,125
0,25 V 1
5
( 0,25 -0,125"1(5)V ч "2(5)
у-0,125 0,0625 уу
(( 1
^1,75 0,875 у
0,5 V 1 . ( 0,5
5
у 0,625 -0, & 125 уу
-0,25 р (5) V ч"2(5)
Характеристическая матрица системы
записывается в виде (11). Из уравнения (54) несложно выписать матрицы Аг (5) и <г (5) в виде матричных полиномов
А (5) = вх5 + Б0,ЫГ (5) = <0. (58)
Воспользуемся уравнением (54) и выпишем значения Д, А0 и <0 :
(0,5 1V ( 1 -2 V (2 0 V
А =
1
А =
-2 4
V ^ у
<0 =
&1
. (59)
Учтем размеры матриц У1 (5) , Х1 (5) и С(5) из (12) и подставим значения матриц Аг (5) и <г (5) в характеристическую матрицу (11):
(0,55 +1 5 - 2 V
5
= 015- + 00. (56)
Таким образом, г(5) = (015~1 + 00)и(5) . Далее вычислим передаточную функцию объекта, а именно, вспомним связь между у(5) и г(5):
(2 0^
е(5) =
(У11(5) У12(5) У21(5) У22(5)
Х„(5) Х12(5) V ^21(5) х22(5)
5-2 &
25 + 4 1
С„(5) V С21(5)
с12(5) V С22(5).
(60)
= (015~1 + 00)р(5). (57)
Объект представляет собой двухканальное ПИ-звено, вырожденность матриц 01 и 00 не влияет на работоспособность модели и, соответственно, объекта. В общем случае ае! 0Х ф 0 и ае! 00 Ф 0 и система управления данным объектом, например, обеспечение заданных полюсов по первому и второму контурам, легко реализуется.
Синтез регулятора. Рассматриваем задачу синтеза двухканальных систем для вырожденного случая. Передаточная функция объекта в виде правого полиномиального разложения определяется по формуле (9). Регулятор запишем в виде левого полиномиального разложения (10).
Зададим степени матриц (5) и Х1 (5) на единицу меньше степени объекта. Пусть д(с@(5)) = 1, д(Уу(5)) = 0 и д(ху(5)) = 0 (16). Характеристическая матрица системы имеет вид (&7). Подставим уравнения (59), (16) и (17) в (11) и раскроем
а Д5+а а + х0 <0=сХ5+с0. (61) Приравниванием коэффициенты при 5 с одинаковыми степенями в левой и правой частях (61). Получим систему линейных уравнений, которую можно записать также в виде (40) или в свернутом виде (41). Здесь
• = (а ! Х ) =
1 2 & 4
(У0 ^ 11 У102 ! х0 11 х° V 12
У0 V 21 У0 22 х0 1 21 х0 22 у
МС ! С ) =
(I1 11 с1 12 ! с0 1 11 с0 V 12
с1 V 21 с1 22 ¡с0 1 21 с0 22 у >
(А А V
0 V <0 у
1
( 0,5 1 о о
2 1 2 0 о
&
1
-2
2 &
4
-2 V
4 0 1
(62)
Таким образом, первая часть задачи решена, а именно, составили уравнение, описывающее систему «объект - регулятор» (41), где входящие в
Modern technologies. System analysis. Modeling, 2017, Vol 56, no.4
это уравнение матрицы 3 , ЭТ и К приведены в (62). Эта система уравнений должна быть решена относительно неизвестных, входящих в 3 . Однако в данном случае размер матрицы ЭТ равен 4 х 4 и ее ранг равен трем.
Далее следует приступить к решению переопределенной системы уравнений.
Приведение системы уравнений с матрицей ЭТ к невырожденному виду (первый этап преобразований). В матрице ЭТ найдем линейно-зависимые столбцы и строки. В нашем случае 1-й и 2-й столбцы матриц ЭТ линейно-зависимые и, кроме того, строки с первой по четвертую линейно-зависимые. В уравнение (41) подставим матрицы 3 , ЭТ и К из (62):
( у0 и
У,-
у У,
,о Л
( 0,5 1 0 о
1 2 0 о
1
-2 2 3
-2 Л
4
0
1
(с1 11 с1 12 ! с0 1 11 с0 Л 12
с1 V 21 с1 22 ! с0 1 21 с0 22 У
(63)
Отметим, что вторая строка из матрицы ЭТ линейно-зависимая. Выделим другим цветом второй столбец матрицы 3 и вторую строчку матрицы ЭТ и преобразуем уравнение (63):
3%ЭТ% + (N2 У°2У (12 - 2 4) = К .
Перенесем направо со знаком минус произведение второго столбца матрицы 3 на вторую строчку матрицы ЭТ :
3%ЭТ% = N - д .
Правую часть уравнения обозначим через Q : 3%ЭТ% = Q .
Итак, получили
(64)
( у0 J 11 ! х0 1 11 х0 Л %2
у0 V 21 ! х0 1 21 х0 22 У
Л
( с1 - № 11 12 с%-%2 2у0 ! 12 1
с1 - № V 21 ^22 с%- 2 22 2 2у0 ! J 22 1
(0,5% 1 -2 Л
0 0 V0 0 2 0 3 °у /
си + 2уи си - 4у
il 11 ю ~ ■
о Л
■2 У0
- 4 у0
.(65)
Следует выбросить линейно-зависимый первый столбец - пометим его другим цветом и обозначим преобразованную матрицу ЭТ1 через ЭТ2. Кроме того, следует выбросить первый столбец матрицы
Q - пометим это столбец также другим цветом. После удаления первого столбца из матрицы Q обозначим ее Q1. Тогда уравнение (65) после удаления выделенных столбцов принимает вид
1 -2 ^
(у%0% J и ! х0 1 11 х0 Л %2
у0 V 21 ! х0 1 21 х0 22 У
J
( 1
О О
( с1
С
V 22
- 2 У
J 12
1 - 2 у0
с +
2 №
12
2 У0
со - 4У 1:
со - 4У
il s
о
22 У
Ql
Кратко можем записать предыдущее уравнение в виде (46). Сейчас матрица ЭТ2 невырожденная и, следовательно, можем найти параметры регулятора, входящие в :
3, = ЦЭТ-1. В результате получим:
(Уо ^ и
У
о
(с1
с
V 22
- 2 У о
12
1 - 2 У о ✓ il
0,5с0 - 1,5с0 - 3,5с1 +14У0 с0 + 2с1 - 8у'
11 12 12 12 12 12
0,5с0 - 1,5с0 - 3,5с1 +14у0 с0 + 2с1 - 8у
il il il «^и il il г
0 Л 12 0 22 У
Неизвестные параметры регулятора, входящие в , зависят от элементов характеристической матрицы К . Кроме того, в правую часть вошли два параметра регулятора у° и у°. Первый этап преобразований диофантового уравнения выполнен.
Для выполнения второго этапа преобразований диофантового уравнения, следует вернуться к исходной переопределенной системе уравнений. Восстановим выброшенные столбцы в матрицах ЭТ1иQ :
( с1 - 2 у0
Т) ^ \1
с1 - 2 у0
V 22 22
с0 + 2с1 - 8 у
т> 11 ~ ■
с0 + 2с1 - 8 у'
il il * ■
0,5с° - 1,5с0 - 3,5с1 +14у0
11 12 12 12
0,5с° - 1,5с0 -3,5с1 +14у0
2% 22 22 2
0 0,5 _1 _1 -2Л 0 0 2 0
0
22 У
0 0 3 1
( с1 - у0 11 ^ 12
с1 - у0
V 2% 22
%0
с% - 2 у 0
- 2 У0
0 , 1 0 0 Л •
с + 2 у с - 4 у
11 11 10 ~ ■
0 Л
■2 У0
✓ 1.
- 4 у0
✓ 1.
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование № 4 (56) 2017
Добавим в матрицу второй столбик и в матрицу ЭТХ вторую строку, которые пометим другим цветом. Это соответствует исключению у%2 и N22 из матрицы Q :
Гс1 - 2 №
11 11
С
V 22
1 - 2 №
N..
0,5с0 - 1,5с0 - 3,5с1 +14№
11 7 12 12 12
0,5с0 - 1,5с0 - 3,5с1 +14№
и и 11 * 1'
с0 + 2с1 - 8№ 1 12 12
с0 + 2с1 - 8 у
и 11 ^
о
22 У
Г 0,5 1 о о
11
2 -2 0 2 0 3
-2 1 4 0 1
Г с1 11 с1 12 ! с0 1 11 с0 1 12
с1 V 21 с1 22 ¡с0 1 21 с0 22 У
Г с1 - 2 у0
11 ^ 11
с1 - 2 у0
V 22 22
У,
У,
+ 2с1 - 8у0 1
=с° =0.
о о с = с
С (5) =
соответствует дифференцированию. В установившемся режиме достигнута автономизация контуров, если только анализировать С(5). Но полиномиальные матрицы N(5) и X(5) нарушают авто-номизацию:
(5) = N (5)С-1?*) X (5) = Г5 +1 25 V1 Г-6,5 41
Г 2 0 V 5-
3 1
-5,5 5
5 25 + 1
ч / ч У ч /
В установившемся режиме передаточная функция замкнутой системы равна
Г 2 0 V1 0 У1 Г-6,5 4 1
((5 = 0) =
31
0 1
-5,5 5
ч / ч / ч 7
Г2 0V-6,5 41 Г-13 8 1
31
-25 17
В результате умножения матриц 3 и ЭТ получим (47). Необходимо выполнение двух условий:
(с1 ) / 2 = с1 , (с1 ) / 2 = с1 .
12 11 22 21
Характеристическая матрица системы может быть записана в виде (48).
Могут быть вычислены параметры регулятора:
-5,5 5
ч / ч 7 / ч /
Так как не диагональные элементы не нулевые, в системе присутствует в установившемся режиме влияние перекрестных связей.
Первый вариант регулятора: вырожденный случай. Можем взять, в частности, у0 и у0
равными нулю: 0
Гс1
3 =
с1
V 22
0
0,5с° - 1,5с0 - 3,5с1
11 12 12
0,5с0 - 1,5с0 -3,5с1
с +
2с
1
2с1
1
.(66)
0,5с0 - 1,5с0 - 3,5с1 +14у0
11 12 12 12
0,5с0 - 1,5с0 - 3,5с1 +14у0 с0 + 2с1 - 8у0
21 22 22 22 22 22 ^22 У
Как видим, параметры регулятора зависят от коэффициентов характеристической матрицы с*
(шесть параметров) и еще двух параметров у^,
у02, которые можно задавать произвольно.
Пример задания характеристической матрицы системы. Выпишем характеристическую матрицу (47) в полиномиальном виде (49). Например, зададим следующие параметры характеристической матрицы с учетом ограничений, приведенных в (49), то есть задаем, например,
Легко сделать проверку, что если подставим (49) в (41) и выполним умножение 3 -ЭТ , получим уравнение (48), что подтверждает справедливость сделанных утверждений. Особенностью данного варианта является вырожденность матрицы &, что, в частности, не позволит реализовать матричную модель регулятора.
Второй вариант регулятора: невырожденный случай. Можем сделать дополнительную проверку справедливости вышеприведенных формул для более общего случая, а именно
0 0 0 0 1 1 с = с = 0ис = с = с = с = 1, тогда
12 21 11 22 11 22
с1 = 2с1 = 2, с1 = (с1 )/2 = 0,5.
12 11 21 22
Характеристическая матрица будет равна
(С: С0) =
Г1
ч 0,5
0 1 1
(67)
= 1 и с1 = с" = 2. В результа-
те характеристическая матрица системы в полиномиальном виде может быть записана так:
Г 5 + 1 25 Л 5 25+1,.
ч У
Получили по первому и второму контурам характеристические полиномы 5 +1 и 25 +1, а перекрестные связи между контурами - 5 и 25, что
Подставим значения с0 и с1 в уравнение 3 и по-
у у
лучим параметры регулятора, которые зависят от
00 у и у :
11 ^ 11
з = (& ! X ) =
Г 2 - 2 у0
у
1 1 » »
1-2у у.
14у0 -6,5 4-8у0 1
12 12
14у0 - 5 3 - 8у0
22 22 У
Modern technologies. System analysis. Modeling, 2017, Vol 56, no.4
Пусть y0 = 0 и y0
j n it
= 0,5 тогда
h=(a ¡x )=
r 2
-6,5 2
4 ï -%
= Г 2
= v &
Г -(21s--(105s -
0 Y s +1
1
0,5s
У ч 7
13) / (2s H 70) / (8s -
(s = 0) =
0 ï
0%
Г—6,5
4 ï -%
Л
r2 0
4 YG ï
V G y
VP2 y
— 1
Л
VG2 y
(68)
Регулятор
le
yH
I
Объект
I H^Hi
1
— ► +
s г* +
(y
С (s) =
0
,0 0,5 ,(?) = < (?)С-(?) X (?) = 2? у1 (-6,5 4
? + О I 2 ■1) (12? + 8)/(2? +1) л 1-4) (15? +11)/ (2? +1), ' В установившемся режиме передаточная функция замкнутой системы равна
( 2 0У 1
-1 0,5s
2s ï s +1
V ' /
включает устойчивые «элементы», присутствуют перекрестные положительные связи и, кроме того, система статическая' Это объясняет характер процессов'
3 1
Ч У ч
_( -13 V17,5 11,
Моделирование системы рассматривается в следующем разделе'
Моделирование системы: не вырожденный случай. Для реализации регулятора запишем уравнение в виде У0и _ Х0е , или
А А
" /
I............
V v=(0 k
v=(1 of У2 h
V.........
i I , ->—1—
0 ¥ и 1_(-6,5 V 0,5Ли2 ) I 2 -1,
Связь между входом и выходом регулятора следующая:
(2 0 у1 (-6'5 4 V* 0 0,5
Уравнению (68) соответствует структура, приведенная на рис' 3' Структурная схема системы приведена на рис' 9, где первый блок соответствует регулятору _(?) и второй блок - объекту ЖоЬ(?).. Структурная схема объекта соответствует уравнениям (57)'
Рис. 9. Структурная схема системы регулирования
Переходные процессы в системе для случаев >(Е) = (1 0)н иу(Е) = (0 1)н приведены на рис' 10' Как видим, система устойчивая, время переходного процесса 4-5 сек, перерегулирования нет' Характеристическая матрица системы
2 4 6 3
Рис. 10. Переходные процессы системы: >(Е) = (1 0)н
и.К0 = (0 1)н
Как видим, из переходных процессов динамические свойства системы соответствуют заданной характеристической матрице' Для удовлетворения хорошего статического режима можно ввести в регулятор двухканальный интегратор'
Заключение
При модальном синтезе многоканальных линейных систем наряду с использованием методов пространства состояний, матричных передаточных функций нашли распространение матричные полиномиальные методы описания и синтеза [1-5, 8, 10-17]' Наиболее трудоемкую часть синтеза регуляторов при использовании матричных полиномиальных методов составляет решение полиномиального диофантового уравнения, которое обычно преобразуется в матричное линейное уравнение с числовыми коэффициентами и матричными неизвестными [1-6, 8-10]' Для многоканальных систем типичная трудность решения такого уравнения состоит в вырожденности числовой матрицы при матричных неизвестных' Так, например, в [1], где исследуется вопрос синтеза двухканального регулятора, стабилизирующего систему из трех масс и трех упругих элементов, матрица коэффициентов при неизвестных имеет размеры 16 х 16 при ранге, равном 15' Для перехода к невырожденной системе имеется значительный произвол, приводящий к различным вариантам регулятора и к различным ограничениям на характеристическую матрицу системы' В данной работе сделана попытка систематизировать и алгоритмизировать методику синтеза регулятора' Предлагаемая методика продемонстрирована на примере тщательного анализа получаемой избы-
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование № 4 (56) 2017
точной матрицы для двухканального объекта. Приведен алгоритм исключения из числовой матрицы при неизвестных избыточных строк и столбцов с последующим решением уже не переопреде-
ленной матрицы и последующим пошаговым возвратом к исходной переопределенной системе.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Воевода А.А, Шоба Е. В. О разрешимости задачи автономизации многоканальной системы. Ч. 1. 11 Сб. науч. тр. НГТУ. 2010. № 2 (60). С. 9-16. з Их же. О разрешимости задачи автономизации многоканальной системы. Ч. 2. 11 Сб. науч. тр. НГТУ. 2010. № 3 (61). С. 41-50 з Их же. О разрешимости задачи автономизации многоканальной системы. Ч. 3. 11 Сб. науч. тр. НГТУ. 2010. № 4(62). С. 3-12 ; Их же. О разрешимости задачи автономизации многоканальной системы. Ч. 4. 11 Сб. науч. тр. НГТУ. 2011. №3(65). С. 11-18.
2. Воевода А.А., Бобобеков K.M. Синтез двухканальной системы полиномиальным методом: обеспечение астатизма 11 Сб. науч.
тр. НГТУ. 2016. № 1. (83). С. 7-19.
3. Бобобеков K.M. О структурных преобразованиях многоканальных линейных систем в матричном полиномиальном представ-
лении 11 Науч. вестн. НГТУ. 2017. № 2 (67). С. 7-25.
4. Воевода А.А. Стабилизация двухмассовой системы: модальный метод синтеза с использованием полиномиального разложе-
ния 11 Науч. вестн. НГТУ. 2010. № 1 (38). С. 195-198.
5. Воевода А.А., Чехонадских А.В., Шоба Е.В. Модальный метод синтеза с использованием полиномиального разложения: раз-
деление движений при стабилизации трехмассовой системы 11 Науч. вестн. НГТУ. 2011. № 2(43). С. 39-46.
6. Шоба Е.В. Модальный метод синтеза в пространстве состояний с наблюдателем пониженного порядка: о возможности обес-
печения статического режима 11 Сб. науч. тр. НГТУ. 2010. № 4. (62). С. 175-182.
7. Воевода А.А., Шоба Е.В. Стабилизация двухмассовой системы: модальный метод синтеза в пространстве состояний 11 Сб.
науч. тр. НГТУ. 2010. № 1. (59). С. 25-34.
8. Воевода А.А., Бобобеков K.M. Расчет параметров регулятора для стабилизации перевернутого маятника по углу отклонения
11 Сб. науч. тр. НГТУ. 2016. № 3. (85). С. 18-32.
9. Воевода А .А., Бобобеков K.M. Полиномиальный метод синтеза ПИ(Д)-регулятора для неминимально фазового объекта 11 Сб.
науч. тр. НГТУ. 2015. № 4. (82). С. 7-20.
10. Воевода А.А. Стабилизация двухмассовой системы: полиномиальный метод синтеза двухканальной системы 11 Сб. науч. тр. НГТУ. 2009. № 4. (58). С. 121-124.
11. Бобобеков K.M. Полиномиальный метод синтеза одноканальной двухмассовой системы 11 Сб. науч. тр. НГТУ. 2016. № 4. (86). С. 25-36.
12. Гайдук А.Р., Kолоколова КВ. Синтез систем автоматического управления неустойчивыми многомерными объектами 11 Науч. вестн. Новосиб. гос. техн. ун-та. 2017. № 1 (66). С. 26-40.
13. Doyle JX., Francis В., Tannenbaum A. Feedback control theory 11 Macmillan Publishing, 1990. 198 p.
14. ^м Д.П. Теория автоматического управления. Т.1. Линейные системы. M. : Физматлит, 2003 288 с.
15. Chen, С. T. Linear System Theory and Design, Third Edition I C.T. Chen. New York Oxford, 1999. 334 р.
16. Вороной В.В. Полиномиальный метод расчета многоканальных регуляторов пониженного порядка : дис. ... канд. техн. наук. Новосибирск, 2013. 173 с.
17. Шоба Е.В. Mодальный метод синтеза многоканальных динамических систем с использованием полиномиального разложения : дис. ... канд. техн. наук. Новосибирск, 2013. 192 с.
18. Гайдук А.Р. Теория и методы аналитического синтеза систем автоматического управления (полиномиальный подход). - M. : Физматлит, 2012. 360 с.
19. Александров А.Г. Синтез регуляторов многомерных систем. M., 1986. 263 с.
REFERENCES
1. Voevoda A.A, Shoba E. V. O razreshimosti zadachi avtonomizatsii mnogokanal'noi sistemy. Ch. 1. [On the solvability of the problem of autonomization of a multichannel system. Part 1]. Sb. nauch. tr. NGTU, 2010, No. 2 (60), pp. 9-16. ; Ikh zhe. O razreshimosti zadachi avtonomizatsii mnogokanal'noi sistemy. Ch. 2. [On the solvability of the problem of autonomization of a multichannel system. Part 2]. Sb. nauch. tr. NGTU, 2010, No. 3 (61), pp. 41-50 ; Ikh zhe. O razreshimosti zadachi avtonomizatsii mnogokanal'noi sistemy. Ch. 3. [On the solvability of the problem of autonomization of a multichannel system. Part 3]. Sb. nauch. tr. NGTU, 2010, No. 4(62), pp. 3-12 ; Ikh zhe. O razreshimosti zadachi avtonomizatsii mnogokanal'noi sistemy. Ch. 4. [On the solvability of the problem of autonomization of a multichannel system. Part 4]. Sb. nauch. tr. NGTU, 2011, No. 3(65), pp. 11-18.
2. Voevoda A.A., Bobobekov K.M. Sintez dvukhkanal'noi sistemy polinomial'nym metodom: obespechenie astatizma [Synthesis of a
two-channel system by a polynomial method: providing astaticism]. Sb. nauch. tr. NGTU, 2016, No. 1. (83), pp. 7-19.
3. Bobobekov K.M. O strukturnykh preobrazovaniyakh mnogokanal'nykh lineinykh sistem v matrichnom polinomial'nom predstavlenii
[On structural transformations of multichannel linear systems in a matrix polynomial representation]. Nauch. vestn. NGTU [Scientific Bulletin ofiNSTU], 2017, No. 2 (67), pp. 7-25.
4. Voevoda A.A. Stabilizatsiya dvukhmassovoi sistemy: modal'nyi metod sinteza s ispol'zovaniem polinomial'nogo razlozheniya [Stabi-
lization of a two-mass system: a modal synthesis method using polynomial resolution]. Nauch. vestn. NGTU [Scientific Bulletin of NSTU], 2010, No. 1 (38), pp. 195-198.
5. Voevoda A.A., Chekhonadskikh A.V., Shoba E.V. Modal'nyi metod sinteza s ispol'zovaniem polinomial'nogo razlozheniya: raz-
delenie dvizhenii pri stabilizatsii trekhmassovoi sistemy [Modal method of synthesis using polynomial decomposition: separation of motions with stabilization of a three-mass system]. Nauch. vestn. NGTU [Scientific Bulletin of NSTU], 2011, No. 2(43), pp. 39-46.
[Щ] Информатика, вычислительная техника и управление (S L
A4 «0 Modern technologies. System analysis. Modeling, 2017, Vol 56, no.4 r
6. Shoba E.V. Modal'nyi metod sinteza v prostranstve sostoyanii s nablyudatelem ponizhennogo poryadka: o vozmozhnosti obes-pecheniya staticheskogo rezhima [Modal method of synthesis in the space of states with an observer of a lower order: on the possibility of ensuring a static regime]. Sb. nauch. tr. NGTU, 2010, No. 4. (62), pp. 175-182.
7. Voevoda A.A., Shoba E.V. Stabilizatsiya dvukhmassovoi sistemy: modal'nyi metod sinteza v prostranstve sostoyanii [Stabilization of
a two-mass system: a modal synthesis method in the state space]. Sb. nauch. tr. NGTU, 2010, No. 1. (59), pp. 25-34.
8. Voevoda A.A., Bobobekov K.M. Raschet parametrov regulyatora dlya stabilizatsii perevernutogo mayatnika po uglu otkloneniya
[Calculation of the regulator parameters for stabilizing the inverted pendulum with respect to the deflection angle]. Sb. nauch. tr. NGTU, 2016, No. 3. (85), pp. 18-32.
9. Voevoda A.A., Bobobekov K.M. Polinomial'nyi metod sinteza PI(D)-regulyatora dlya neminimal'no fazovogo ob"ekta [Polynomial
method for synthesizing a PI (D) -regulator for a nonminimum phase object]. Sb. nauch. tr. NGTU, 2015, No. 4. (82), pp. 7-20.
10. Voevoda A.A. Stabilizatsiya dvukhmassovoi sistemy: polinomial'nyi metod sinteza dvukhkanal'noi sistemy [Stabilization of a two-mass system: a polynomial method for synthesizing a two-channel system]. Sb. nauch. tr. NGTU, 2009, No. 4. (58), pp. 121-124.
11. Bobobekov K.M. Polinomial'nyi metod sinteza odnokanal'noi dvukhmassovoi sistemy [Polynomial method of synthesis of a singlechannel two-mass system]. Sb. nauch. tr. NGTU, 2016, No. 4. (86), pp. 25-36.
12. Gaiduk A.R., Kolokolova K.V. Sintez sistem avtomaticheskogo upravleniya neustoichivymi mnogomernymi ob"ektami [Synthesis of systems for automatic control of unstable multi-dimensional objects]. Nauch. vestn. Novosib. gos. tekhn. un-ta [Scientific Bulletin of Novosib. State Techn. Univ-ty], 2017, No. 1 (66), pp. 26-40.
13. Doyle J.S., Francis B., Tannenbaum A. Feedback control theory. Macmillan Publishing, 1990, 198 p.
14. Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. Vol.1. Lineinye sistemy [Automatic control theory. Vol. 1. Linear systems]. Moscow: Fizmatlit Publ., 2003,288 p.
15. Chen, C. T. Linear System Theory and Design, Third Edition. New York Oxford, 1999, 334 p.
16. Voronoi V.V. Polinomial'nyi metod rascheta mnogokanal'nykh regulyatorov ponizhennogo poryadka : dis. ... kand. tekhn. Nauk [Polynomial method for calculating multichannel regulators of lower order. Ph.D. (Engineering) thesis]. Novosibirsk, 2013, 173 p.
17. Shoba E.V. Modal'nyi metod sinteza mnogokanal'nykh dinamicheskikh sistem s ispol'zovaniem polinomial'nogo razlozheniya : dis. ... kand. tekhn. Nauk [Modal method of synthesis of multichannel dynamic systems using polynomial expansion. Ph.D. (Engineering) thesis]. Novosibirsk, 2013, 192 p.
18. Gaiduk A.R. Teoriya i metody analiticheskogo sinteza sistem avtomaticheskogo upravleniya (polinomial'nyi podkhod) [Theory and methods of analytical synthesis of automatic control systems (polynomial approach)]. Moscow: Fizmatlit Publ., 2012, 360 p.
19. Aleksandrov A.G. Sintez regulyatorov mnogomernykh system [Synthesis of regulators of multidimensional systems]. Moscow, 1986,263 p.
Информация об авторах
Воевода Александр Александрович - д. т. н., профессор кафедры автоматики, Новосибирский государственный технический университет, г. Новосибирск, e-mail: [email protected]
Бобобеков Курбонмурод Мулломиракович - аспирант кафедры автоматики, Новосибирский государственный технический университет, г. Новосибирск, e-mail: kurbonl [email protected]
Для цитирования
Воевода А. А. Решение переопределенной линейной системы уравнений при полиномиальном синтезе регуляторов / А. А. Воевода, К. М. Бобобеков // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2017. -Т. 56, № 4. - С. 84-99. -DOI: 10.26731/1813-9108.2017.4(56).84-99.
Authors
Alexander Aleksandrovich Voevoda — Doctor of Engineering Science, Prof., the Subdepartment of Automatics, Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk, e-mail: [email protected]
KurbonmurodMullomirakovich Bobobekov — Ph.D. student, the Subdepartment of Automatics, Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk, e-mail: [email protected]
For citation
Voevoda A.A., Bobobekov K.M. Reshenie pereopredelennoi lineinoi sistemy uravnenii pri polinomial'nom sinteze regulyatorov [Solution of an overdetermined linear system of equations for polynomial synthesis of regulators]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern Technologiess. System Analysis. Modeling], 2017. Vol. 56, No. 4, pp. 84-99. — DOI: 10.26731/1813-9108.2017.4(56).84-99.
