CC BY
8Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2019. Том 26, № 3
УДК 514.765
О РАЗМЕРНОСТЯХ ПРОСТРАНСТВА ПОЛЕЙ КИЛЛИНГА НА 2-СИММЕТРИЧЕСКИХ ЛОРЕНЦЕВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ Д. Н. Оскорбин, Е. Д. Родионов, И. В. Эрнст
Аннотация. Исследованы поля Киллинга на к-симметрических лоренцевых многообразиях. Множество решений уравнения Киллинга образуют алгебру Ли кил-линговых полей. Представленное исследование сфокусировано прежде всего на размерности этой алгебры. Рассмотренные лоренцевы многообразия, называемые обобщенными пространствами Кахена — Уоллаха, имеют удобную систему локальных координат. В локальных координатах описано общее решение уравнения Киллинга на локально неразложимых 2-симметрических лоренцевых многообразиях, которые являются обобщенными многообразиями Кахена — Уоллаха, что было показано А. С. Галаевым и Д. В. Алексеевским. Дано явное описание всех возможных размерностей алгебры киллинговых полей на 2-симметрических лоренцевых многообразиях малых размерностей.
Б01: 10.25587/8УРи.2019.19.57.004 Ключевые слова: векторные поля Киллинга, обобщенные пространства Кахена — Уоллаха, к-симметрические многообразия, лоренцева геометрия.
1. Введение
В данной работе исследуется уравнение полей Киллинга на обобщенных пространствах Кахена — Уоллаха. После приведения необходимых определений изучаются уравнения полей Киллинга. Следуя работе [1], это уравнение можно свести к системе матричных уравнений. Далее приведено решение этой системы в случае пространств Кахена — Уоллаха размерностей 4, 5, 6, найдены размерности пространства решений уравнения Килланга во всех рассмотренных случаях. Из результатов работ [2-4] следует, что наш результат охватывает все локально неразложимые 2-симметрические лоренцевы многообразия. Анализ полученных результатов позволяет выдвинуть гипотезу о размерности алгебры Киллинга обобщенных пространств Кахена — Уоллаха.
2. Основные определения и обозначения
Определение. Псевдоримановым многообразием называется гладкое многообразие , на котором задан гладкий невырожденный симметричный метрический тензор д. Если метрический тензор имеет сигнатуру (1, п — 1), то (Ж, д) называется лоренцевым многообразием.
© 2019 Оскорбин Д. Н., Родионов Е. Д., Эрнст И. В.
Определение. Лоренцево многообразие (Ж, д) называется рр-волной, если на Ж существует такое векторное поле V = 0, что
д(У,У) = 0, VV = 0, И |у±Лу± = 0.
Определение. Псевдориманово многообразие (Ж, д) называется симметрическим порядка к, если
V1" К = 0, Vk-1R = 0,
где к > 1 и К — тензор кривизны (М, д).
Для римановых многообразий из условия Vk К = 0 вытекает, что VR = 0. Однако лоренцевы к-симметрические пространства существуют при всех к > 2.
Локально неразложимые 1-симметрические лоренцевы многообразия описаны Кахеном и Уоллахом в [1], 2-симметрические лоренцевы многообразия исследованы в работах [2-4]. Отметим, что они являются многообразиями Уокера [5,6].
Определение. Векторное поле К на (псевдо)римановом многообразии (Ж, д) называется полем Киллинга, если выполняется равенство
Ьк д = 0, (1)
где Ькд — производная Ли метрического тензора вдоль поля К.
Определение. Обобщенное пространство Кахена — Уоллаха порядка й — это лоренцево многообразие (Ж,д) = (Кп+1,д) с метрикой вида
п п ё
д = 2йуйи + ^(йхг)2 + аъз (и)хгж3 (йи)2, А = (а3 (и)) = ^ Нкик, (2) ¿=1 ¿3=1 к = 0
где Нк — симметрические постоянные матрицы п х п, Н — невырожденная диагональная матрица.
Всякое обобщенное пространство Кахена — Уоллаха порядка й является рр-волной и (й + 1)-симметрическим многообразием. Из теоремы Ву (см. [7]) следует, что любое лоренцево многообразие локально может быть представлено в виде прямого произведения некоторого риманова многообразия ( 1, д1) и локально неразложимого лоренцева многообразия (Ж2, д2). Все рассматриваемые далее лоренцевы многообразия предполагаются локально неразложимыми.
3. Уравнение полей Киллинга
Пусть (Ж, д) — пространство Кахена — Уоллаха порядка й размерности п + 2 > 4, X — векторное поле на многообразии (Ж, д) с метрикой рр-волны
п
д = 2йуйи + )2 + Н (ж1,. .. ,хп ,и)(йи)2,
¿=1
координаты которого V (у, ж1 ,...,жп, и), Х3- (у, ж1,..., жп, и), и (у, ж1 ,...,жп,и), где V, X3, и — гладкие функции.
Запишем уравнения полей Киллинга на (Ж, д):
2иу = 0,
ихз + Хц« = 0,
ии + V« = 0,
2ХзХ = 0' Х3Х + Хг,хэ = 01
них- + + Vxj = 0, 2ииИ + 2К + Х3 Нхэ + иЯ„ = 0.
В работах [8, 9] описан общий алгоритм нахождения полей Киллинга на обобщенных многообразиях Кахена — Уоллаха.
Теорема. Пусть X — векторное поле Киллинга с координатами
V(у,х1,. .. ,хп,и), Хц(у,х1,. .. ,хп,и), и(у,х1, .. . ,хп,и)
(V,Х3, и — гладкие функции) на обобщенном многообразии Кахена — Уоллаха (с£^П+2, д) размерности п + 2 > 4 с метрикой
п / п \ ё
д = 2<у<и + ^""^(¿хг)2 + | (и)х1х3 I (¿и)2, ац ^^ Икцик.
г=1 \г,3=1 / к=0
Общее решение уравнения Киллинга имеет вид
и = 0,
Хг = Ьг(и) + /гк хк, V = —Ь)1(и)х1 + с,
где с € К — произвольная константа, функции ЬДи) определяются системой дифференциальных уравнений ЬДи) = (и)Ьц (и), (fik) — постоянная кососим-метричная матрица, коммутирующая с А = (оц). Размерность пространства полей Киллинга не меньше 2п + 1 и не больше 2п + 1 + 1-1.
Видно, что размерность пространства решений уравнения Киллинга полностью определяется размерностью пространства матриц Е = (/ц), коммутирующих с А.
Записывая это в виде уравнения, получим
0 = [Е, А] = ¡Е,^ Ик¿к] = ]Т[Е, Ик
Воспользовавшись тем, что полиномиальная функция тождественно равна нулю тогда и только тогда, когда все ее коэффициенты равны нулю, получим эквивалентную систему уравнений:
[Е, Ик] = 0, к = 0,...,<, (3)
Е — кососимметричная матрица, Иi — симметричные матрицы, И — невырожденная диагональная.
4. Поля Киллинга на 2-симметрических лоренцевых многообразиях
Пусть ( , д) — локально неразложимое 2-симметрическое лоренцево многообразие размерности п + 2 > 4.
Следующая теорема А. С. Галаева и Д. В. Алексеевского (см. [2]) позволяет выбрать систему локальных координат на .
Теорема. Пусть (Ж, д) — локально неразложимое лоренцево многообразие размерности п + 2 > 4. Тогда (Ж, д) является 2-симметрическим тогда и
1п
только тогда, когда существуют локальные координаты у, ж1,..., ж , и такие, что
где НЩ — ненулевая диагональная вещественная матрица с диагональными элементами Л1 < • • • < Хп, Ноц — симметричная вещественная матрица.
Таким образом, задача описания полей Киллинга на 2-симметрических ло-ренцевых многообразиях сводится к случаю, когда ( , д) — обобщенное многообразие Кахена — Уоллаха порядка й =1.
Обозначение. Пусть Ш С V — линейное подпространство, — ортогональный проектор на Ш, : Ш ^ V — вложение. Образ вложения 50 (Ш) ^ 50(V), задаваемого формулой X ^ ◦ X о п^, будем обозначать через 5о(Ш). В дальнейшем будем опускать символ композиции отображений «о».
Перейдем к решению системы (3). Ограничимся для начала случаем одного уравнения. Обозначим Н = Н1.
Лемма. Пусть V = ф V\i — разложение в сумму корневых подпространств,
соответствующее оператору Н. Тогда множество решений уравнения [.Р, Н] = 0 есть внутренняя прямая сумма ф50(У^) С 50(V).
Замечание. При выборе ортогонального базиса в V, соответствующего корневому разложению, матрица H примет диагональный вид. Матрица оператора F примет блочно-диагональный вид: блоки будут кососимметрическими матрицами порядков dim V\i.
Доказательство. Любой оператор F е 0so(V\i) имеет вид
n
g = 2dvdu + ^(dxj )2 + (H^j u + H0ij- )xj xj (du)2,
(4)
i=i
где Fj е so(V\i). Для H имеем аналогичное разложение:
Отсюда видно, что
[И, Е] = ]Т \г1уХг ИУЛ1, Ег]пуХг = 0,
поскольку тождественный оператор id коммутирует с любым другим оператором.
Пусть [И, Е] = 0, или, раскрыв по определению коммутатора, ИЕ—ЕИ = 0. Тогда если V € V\i для некоторого г, то И(Ег>) = Е(Иу) = Е(А. у) = А.(Еу). Таким образом, Еу € V\i по определению корневого подпространства. Следовательно, Е € фso(VAi) Лемма доказана.
Следствие. Размерность пространства решений уравнения (3) равна I] , где ^ = сМшУа;-
г
Прямыми вычислениями доказывается следующая
Лемма. Пусть V = ф V. — прямая сумма ортогональных пространств,
г
Е = Е 1Vлi ЕгПуХг €0*о(^),
I I
И = (Из) — симметричная матрица, представленная в блочном виде, соответствующем данному разложению, И.ц : Vj ^ VI. Тогда уравнение [Е, И] = 0 эквивалентно системе уравнений
[Е., Иш] = 0, Е.Иц — ИцЕз = 0, г = 3.
Перейдем к рассмотрению уравнения [Е, А(и)] = 0 в малых размерностях.
Случай размерности 4, п = 2. Этот случай разобран в работе [10].
Теорема [10]. Пусть (Ж,д) — 2-симметрическое лоренцево многообразие размерности 4 с выбранной нормальной системой координат Бринкмана (у, х, у, и) в окрестности и. Тогда
если матрицы (И2ц), (И1.3-) скалярные, то всякое киллингово поле в нормальных координатах Бринкмана имеет вид
К = (с — ф 1(и)х — 1р2(и)у)д« + (ф1 (и) — /у)дх + (Ф2 (и) + /х)ду,
где /,с € К, ф. (и) — решение уравнения
ф. (и) — 2(И2Ши + Иш)ф.(и) = 0;
если хотя бы одна из матриц (И1.3-), (Иоц) не скалярная, то всякое киллин-гово поле в нормальных координатах Бринкмана имеет вид
К = (с — ф1(и)х — ф>2(и)у)д« + ф1(и)дх + Ф2 (и)ду,
где с € К и
Ф2'(и) — 2( И 122и + Ио22)ф2(и) — 2Ио12ф1(и) = 0,
V>1'(u) - 2(Hiiiu + Hoii)V>i(u) - 2Hoi2^2(u) = 0.
Случай размерности 5, n = 3. В этом случае есть несколько возможностей.
• Hi = diag(a, b, c). Пользуясь леммой, получим, что F = 0.
• Hi = diag(a, a, 6). В этом случае
( 0 f 0 \ F = ( -f 0 0 I ,
V 0 0 0/
размерность пространства решений равна 0 либо 1.
• Hi = diag(a, a, a). Тогда исходная система уравнений сводится к одному уравнению. Эта ситуация полностью описывается леммой. Возможные размерности пространства решений 0, 1, 3.
Случай размерности 6, n = 4.
• Hi = diag(a, b, c, d).
• Hi = diag(a, a, b, c).
• Hi = diag(a, a, a, b), — эти варианты не дают новых размерностей. Имеем
( 0 fi2 fi3 0 \
F = fi2 0 f23 0 I
-fi3 -f23 0 0 .
V 0 0 0 0/
Воспользуемся леммой 2. Получим уравнения (в обозначениях леммы 2): [Fi, Hoii] = 0, FiHoi2 — Hoi2F2 = 0.
Если Ho = 0, то имеем размерность 3. Размерности 0 и 1 также возможны. Покажем, что случай размерности 2 невозможен. Возможные размерности пространства решений первого уравнения 0, 1, 3. Поэтому для размерности 2 необходимо, чтобы первое уравнение выполнялось тождественно, т. е. когда Hon — скалярная матрица. Второе уравнение может быть записано следующим образом:
0 — Ho34 — Ho24 \ I f 23 \ Ho34 0 —Hoi4 I ( fi3 I =0.
Ho24 Ho14 0 f12
Если размерность пространства решений равна 2, то ранг матрицы этой системы равен 1. Это невозможно, так как ранг кососимметрической матрицы должен быть четным.
• Hi = diag(a, a, b, b). Тогда
f12 0 0 \ 0 0 0 I
0 0 f34 I . 0 -f34 0 )
0
fi2 0 0
( x 0 z -st
0 x t sz
z t y 0
\ -st sz 0 y
Возможные размерности 0, 1, 2. Отметим случай, когда оставшееся уравнение порождает нетривиальное соотношение между /12 и /34:
Яп
где ж, у, 4 — попарно различные числа, в = ±1. Равенство Н1] = 0 эквивалентно /12 = в/з4. • Н1 = diag(a, а, а, а). Аналогично с п =3. Возможные размерности — 0, 1, 2, 3, 6, 10. Итак, доказана
Теорема. Множество возможных размерностей алгебры киллинговых полей на 2-симметрическом локально неразложимом лоренцевом многообразии размерностей п + 2 = 4, 5, 6 равно
2n + í+YJdl{dl~í) :di€N, £><n
Гипотеза. Теорема верна для 2-симметрического локально неразложимого лоренцева многообразия произвольной размерности n + 2 > 4.
ЛИТЕРАТУРА
1. Cahen M., Wallach N. Lorentzian symmetric spaces // Bull. Amer. Math. Soc. 1970. V. 76. P. 585-591.
2. Galaev A. S., Alexeevskii D. V. Two-symmetric Lorentzian manifolds //J. Geom. Phys. 2011. V. 61, N 12. P. 2331-2340.
3. Blanco O. F., Sanchez M., Senovilla J. M. Structure of second-order symmetric Lorentzian manifolds // J. Eur. Math. Soc. 2013. V. 15. P. 595-634.
4. Galaev A. S., Leistner T. Holonomy groups of Lorentzian manifolds: classification, examples, and applications // Recent developments in pseudo-Riemannian geometry. Ziirich: Eur. Math. Soc., 2008. P. 53-96 (ESI Lect. Math. Phys.).
5. Walke A. G. On parallel fields of partially null vector spaces // Quart. J. Math., Oxf. Ser. 1949. V. 20. P 135-145.
6. Brozos-Vázquez M., Garcia-Rio E., Gilkey P., NikceviC S., Vázquez-Lorenzo R. The geometry of Walker manifolds. Morgan & Claypool Publ., 2009 (Synth. Lect. Math. Stat.; Book 5).
7. Wu H. On the de Rham decomposition theorem // Ill. J. Math. 1964. V. 8, No. 2. P. 291-311.
8. Blau M, O'Loughlin M. Homogeneous plane waves // Nucl. Phys. 2003. V. 654. P. 135-176.
9. Oskorbin D., Rodionov E., Ernst I. Ricci solitons and killing field on k-symmetric Lorentzian spaces // Classical and modern geometry: Mat. Int. Conf. dedicated to V. T. Bazylev's 100th Anniv. Moscow: MPSU, 2019. P. 31-32.
10. Oskorbin D., Rodionov E., Ernst I. Killing fields on 2-symmetric Lorentzian manifolds // Izv.
Altaisk. Gos. Univ. 2019. V. 1. P. 95-98.
Поступила в редакцию 1 августа 2019 г. После доработки 23 августа 2019 г. Принята к публикации 3 сентября 2019 г.
Оскорбин Дмитрий Николаевич, Родионов Евгений Дмитриевич ,
Эрнст Игорь Владиславович
Алтайский государственный университет,
кафедра математического анализа,
пр. Ленина, 61, Барнаул 656049
[email protected], [email protected], [email protected]
Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2019. Том 26, № 3
UDC 514.765
ON DIMENSION OF THE SPACE OF KILLING FIELDS
ON k-SYMMETRIC LORENTZIAN MANIFOLDS
D. N. Oskorbin, E. D. Rodionov, and I. V. Ernst
Abstract: We study the Killing equation on fc-symmetric Lorentzian manifolds. Solutions of this equation form a Lie algebra called the algebra of Killing fields. Our consideration is focused primarily on the dimension of the Lie algebra of Killing fields. The Lorentzian manifolds we consider in this article are the generalized Cahen—Wall-ach spaces, which are convinient to use because of the coordinate system they have. Using these coordinates, we describe the general solution of the Killing equation on locally indecomposable 2-symmetric Lorentzian manifolds, which are generalized Cahen— Wallach spaces, as was proved by A. S. Galaev and D. V. Alekseevsky. Finally, we give an explicit description of all possible dimensions of the algebra of Killing fields on 2-symmetric Lorentzian manifolds of small dimensions.
DOI: 10.25587/SVFU.2019.19.57.004
Keywords: Killing vector fields, generalized Cahen—Wallach spaces, fc-symmetric manifolds, Lorentzian geometry.
REFERENCES
1. Cahen M. and Wallach N., "Lorentzian symmetric spaces," Bull. Amer. Math. Soc., 76, 585— 591 (1970).
2. Galaev A. S. and Alexeevskii D. V., Two-symmetric Lorentzian manifolds," J. Geom. Phys., 61, No. 12, 2331-2340 (2011).
3. Blanco O. F., Sanchez M., and Senovilla J. M., "Structure of second-order symmetric Lorentzian manifolds," J. Eur. Math. Soc., 15, 595-634 (2013).
4. Galaev A. S. and Leistner T., "Holonomy groups of Lorentzian manifolds: classification, examples, and applications," in: Recent Developments in Pseudo-Riemannian Geometry, pp. 53-96, Eur. Math. Soc., Zürich (2008) (ESI Lect. Math. Phys.).
5. Walker A. G., "On parallel fields of partially null vector spaces," Quart. J. Math., Oxf. Ser., 20, 135-145 (1949).
6. Brozos-Väzquez M., Garcia-Rio E., Gilkey P., NikceviC S., and Vazquez-Lorenzo R., The Geometry of Walker Manifolds, Morgan & Claypool Publ. (2009) (Synth. Lect. Math. Stat.;
5).
7. Wu H., "On the de Rham decomposition theorem," Ill. J. Math., 8, No. 2, 291-311 (1964).
8. Blau M. and O'Loughlin M., "Homogeneous plane waves," Nucl. Phys., 654, 135-176 (2003).
9. Oskorbin D., Rodionov E., and Ernst I., "Ricci solitons and Killing fields on fc-symmetric Lorentzian spaces," in: Classical and Modern Geometry (Mat. Int. V. T. Bazylev's 100th Anniv. Conf.), pp. 31-32, MPSU, Moscow (2019).
© 2019 D. N. Oskorbin, E. D. Rodionov, I. V. Ernst
10. Oskorbin D., Rodionov E., and Ernst I., "Killing fields on 2-symmetric Lorentzian manifolds," Izv. Altaisk. Gos. Univ., 1, 95-98 (2019).
Submitted August 1, 2019 Revised August 23, 2019 Accepted September 3, 2019
Dmitrii N. Oskorbin, Eugene D. Rodionov, Igor V. Ernst Altai State University, 61 Lenin Street, Barnaul 656049, Russia [email protected], [email protected], [email protected]
