CC BY
9
О киллинговых полях...
УДК 530.145:514.7
О киллинговыхполях на 2-симметрических лоренцевых м ногоо бразиях
Д.Н. Оскорбин, Е.Д.Родиооов,И-В.Эрнст
Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)
Killing Fieldson 2nymmetricLorentzianManifolds
D.N. Oskorbin, E.D. Rtdiottov, IV.Ernst Altai State University (Barnaul, Russia)
Описаны поля Киллинга на четырехмерных 2-симметрических лоренцевых многообразиях. Поля Киллинга играют важную роль в исследовании со-литонов Риччи, которые впервые были рассмотрены I? Гамильтоном. Солитоны Риччи являются обобщением эйнштейновых метрик на (псевдо)римановых многообразиях. Уравнение солитона Риччи изучалось на различных классах многообразий многими математиками. В частности, было найдено общее решение уроавнения солитона Риччи на 2-симмет-рических лоренцевых многообразиях размерно-стичетыре, доказана раярешичястьэтогорчаензния ворорсечгсимметричгскихроре нцеоох мн осонбра-зий. Р^-^^^н^'^ь ынор]^]ьы^]янэа-^чорыб^ прчыкмныни нсрмалнныхяооынинат Оцид^ия нало-^е^^13оныэ^]^^агоо е с^р^пи^з^сз коясса —
ыоыхве тсронх^ыоания ар^ез^г^юр^лри^грхь^^схнлеИ, ы^жетын^1^я:лнхыеденоз: зрарнперьнн ролеспроето-нс^ ;в1^,ыыр что бошо зделано В.НлобкерТ. Т^ехонрехоы^. Опиразрн на этoбpeзчPPт ыт,найде ноозщчеизшез ннеыаPнoйпиcтeмысифЧзонхннхыынын уравнение чыырнcленaнPзмчpнoпхь алгебры кхннхыоанcя рр-оей. Peзрнохпбы,иеложтноыел наеберщрйpа0ббе, изодолжрют нсследованиязолитоновничеинаир-еенцeвыыеfflбгое0иенины.
Ключевые слова: киллингово поле, многообразие %кера,лоренцевомногообразие,к-симметрическое мносообразп^, системакос^снат.
DOI 10.14258/izvasu(2019)1-16
In AefoHowin. pap£^]^,wedesi^ri^be KiHingftelds on 2-symmetric Lorentzian manifolds of dimension four. Killing fields play an important role in the study of Ricci solitons which were introduced by R. Hamilton. Ricci solitons are the generalization of the Einstein metrics on (pseudo)Riemannian manifolds. Ricci soliton equation was studied by many mathematicians on different classes of manifolds. In particular, in the recent authors papers, solvability of the Ricci soliton equation on 3-symmetric Lorentzian manifolds was proved, and the general solution ce theRéceipplitonequption on 2-symmetric dprentzibn manibplds wps dssseibed.
WedeicribeKtllingfiplga usipg Brlrkmannnormal eoordCnales rghied idiston ihp clansf Lorentzian biaplPal(^;s, thr so-cplied pn-weabs. CPe sdstem sqUiffermCd ewealioiisthat corresponds toCheKilllnc tquaiiea ctR me reduted tdb s^mplsi"pasnc. TOiswai Pone nprdSlCjloPk^apiiT. reSlteer. Bp^pc^ylsn their nesuli, the g^^^i^al ralutionstthe sdstemwas found, thedimesbionoP ais^^stsbr^dSlbllmgOiel dosses; ceCculatsd. dde reeultsslpted in ^has pae>er centlmc ac^th(эrrreesardn onnlcetsolitons on Lorentzian manifolds.
Key words: Killing field, Walker manifold, Lorentzian manifold, k-symmetric manifold, coordinate system.
Введение
Проз Кхннхеон зеих чзкррчырз рроз, ррирк кррр-Чрор ереирхи хр нркнньоыя хррмзичхР. Прое Кхо-нхоон хорныи чнжыны орох ч хеензнPчнохх ер-нхррорч Рхыых, ччзнзооыя Р. бнмхньррорм (ем. [1,2]). Cрнхрроы Рхыых хеензнPнннхеь ч онбриня мырохя мнрзмнрхкрч (ем., ынрчхмзч, рбррч [3]).
* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант №18-31-00033мол_а).
В общем случае задача исследования и классификации солитонов Риччи является достаточно сложной, поэтому она рассматривается при некоторых ограничениях на многообразие. К числу многообразий с такими ограничениями относятся 2-симметрические лоренцевы многообразия, которые были исследованы Д.В. Алексеевским, А.С. Галаевым [4, 5].
ТзвестияАитГА. Математика и механика. 2019. № 1 (105)
В данной работе найдены размерности алгебр киллинговых полей на 2-симметрических лорен-цевых многообразиях размерности 4.
Основные определения
Определение 1. Псевдоримановым многообразием называется гладкое многообразие М, на котором задан гладкий невырожденный симметричный метрический тензор д. Если метрический тензор имеет сигнатуру (1, п — 1), то (М, д) называется лоренцевым многообразием..
Определение 2. Пусть (М,д) - псевдорима-ново многообразие размерности п, V - соответствующая связность Леви-Чивита. Тензор кривизны опеределим как И(Х^)Z = [VY, Vх]Z + V[x,Y]Z и тензор Риччи как г(Х^) = ^(У и Я(Х, V^), где X, Y, Z,V - гладкие векторные поля на М.
Определение 3. Векторное поле К на (псев-до)римановом многообразии (М,д) называется киллинговым, если С к д = 0, где С к д - производная Ли метрики д в направлении поля К.
Определение 4. Гладкое распределение V на М называется параллельным, если для любых векторных полей X € V, Y € ТМ имеем VYX € V.
Определение 5. Псевдориманово многообразие, допускающее гладкое параллельное распределение изотропных векторов, называется многообразием Уокера (см. [6,7]).
Определение 6. Пусть R - тензор кривизны метрики д. Если
VR = 0, V2R = 0,
то (М,д) называется 2-симметрическим псевдоримановым многообразием (см. [4]).
Определение 7. Лоренцево многообразие (М,д) называется рр-волной, если на М существует такое векторное поле V = 0, что
д(У,У )=0; VV = 0;И ^ ^ = 0.
Если к тому же выполнено условие VU И = 0 Уи € Vто (М, д) называется плоской волной.
Система координат. Уравнение киллин-гова поля
Следующая лемма позволяет использовать удобную систему координат на рр-волнах.
Лемма 1 (см. [8]). Пусть (М,д) - рр-волна и р € М. Тогда в некоторой окрестности и точки р существуют локальные координаты ф = (и, х = (х1,... ,хп),и) и функция к € С'^(ф(и)) такая, что Л = к(и, х) не зависит от V и имеет место равенство
Эти координаты называются координатами Бринкмана. Более того, систему координат можно выбрать так, чтобы к(и, 0) = 0, дХ (и, 0) = 0 для всех и в окрестности 0. Такие координаты называются нормальными кооди-натами Бринкмана.
Рассмотрим лоренцево локально неразложимое 2-симметрическое многообразие (М,д) размерности 4. Следующая теорема К. С. Галаева и Д. В. Клексеевского позволяет выбрать систему локальных координат на М:
Теорема 1 (см. [4]). Пусть (М,д) - локально неразложимое лоренцево многообразие размерности п + 2. Тогда (М,д) является 2-симметрическим тогда и только тогда, когда существуют локальные координаты м,х1,... ,хп ,и такие, что
д = 2(1го(1и + + (Щи + )х1х:> (¿и)2, (1)
¿=1
где Н = (H¿j) - ненулевая диагональная вещественная матрица с диагональными элементами \1 < ••• < К, F = (F¿j) - симметричная вещественная матрица.
Заметим, что описанная в этой теореме система координат является нормальной системой координат Бринкмана с функцией Л = 1 (H¿jи + F¿j )x¿xj.
Применив эту теорему при п =2, получим локальную систему координат (V, х, у, и) на многообразии М размерности 4.
Уравнение киллингова поля
Для того чтобы записать уравнение киллингова поля, воспользуемся следующей теоремой:
Теорема 2 (см. [8]). Пусть (Мп+2,д) - локально неразложимое 2-симметрическое лорен-цево многообразие. Тогда в нормальных координатах Бринкмана (м,х1,..., хп, и) решения уравнения Сх д = 0 имеют следующий вид:
К = (с — ом — Фх)ду + (Ф + Fx)¿д¿ + (аи + Ь)ди, (2)
где о, Ь, с € Ж^ € зо(п) и Ф : и и Ф(и) € Жп является решением уравнения:
ФТх — grad(h)Т(Ф + Fx) — (ои + Ь)к — 2ок = 0. (3)
Замечание. Для интересующего нас случая п = 2 введем следующие обозначения:
12 х = х ,у = х ; F =
0 / —/ 0
д = 2du(dv + (к о ф)du)
¿хх ¿хх .
Перейдем к формулировке и доказательству основной теоремы.
О килгииговыхпо<тах.
Теорема 3. Пусть (М,д) - 2-симметрическое лоренцево многообразие размерности 4 с выбранной нормальной системой координат Бринкмана (V,х,у,и) в окрестности и. Тогда:
Если матрицы Нц, Fij - скалярные, то всякое киллингово поле в нормальных координатах Бринкмана имеет вид К = (с — ф 1(и)х — ■ф2(и)у)ду + (фг(и) — fy)дx + (ф2(и) + /х)ду, где f,c е К, фг(и) - решение уравнения фг(и) — 2(Нц и + Fii)фi(u) = 0.
Если хотя бы одна из матриц Н^ц, F^j не скалярная, то всякое киллингово поле в нормальных координатах Бринкмана имеет вид К = (с — фх(и)х — ф 2(и)у)ду + фх(и)дх + фъ(и)ду, где с е М и
ФЧ(и) — 2(Н22и + F22)ф2(u) — 2F12ф1(u) = 0;
ф'1(и) — 2(Нпи + Fll)фl(u) — 2F12ф2(u) = 0.
Доказательство
Воспользовавшись теоремой 1, получим нормальные координаты Бринкмана (V, х,у,и), в которых метрика примет вид:
д = 2(1го(1и + dx2 + dy2 + 2Н(х, у, и)((1и)2, где к(х, у, и) =
^((Нци + F11)x2 + 2F12xy + (Н22и + F22)y2).
Запишем уравнение (3): — 2(Н22иу + F12X + F22У)( — fx + ф2(и)) + ф2(и)у — —2(Нцих + F11x + F12y)(fy + ф1 (и))+ +ф'{(и)х — (аи + Ъ)(Нцх2 + Н22У2) — —2а((Нци + Fll)x2 +2Fl2xy + (Н22и + F22)y2) = 0.
Соберем коэффициенты при х,у и приравняем их к нулю:
— 2(Н22и + F22)ф2(u) + ф2 (и) — 2Fl2фl(u) = 0;
—2Fl2ф2(u) — 2(Нци + Fll)фl(u) + ф'!(и) = 0;
2f (Н22и + F22) — 2f (Нии + Fll) — 4о^12 = 0;
2fFl2 — (аи + Ь)Нп — 2а(Нпи + Fll) = 0;
—2fFl2 — (аи + Ъ)Н22 — 2а(Н22и + F22) = 0.
Четвертое и пятое уравнения являются полиномиальными по и, поэтому коэффициенты левой части равны 0. В частности, собрав коэффициенты при и, получим:
—3аН11 = 0, —3аН2
0.
Матрица Н ненулевая, следовательно, а = 0. Перепишем третье уравнение:
f ■ (Н22 — Hn)u + F22 — Fn)=0.
Отсюда видно, что f = 0, если хотя бы в одной из матриц Н, F диагональные элементы различны.
Случай неравных элементов. Пусть хотя бы в одной из матриц Н, F диагональные элементы различны. Тогда четвертое и пятое уравнения примут вид: ЬНц = bH22 = 0. Получили, что b = 0. Теперь исходная система уравнений сведена к первым двум уравнениям:
ф'^(у) — 2(H22U + F22 )Ф2 (u) — 2F12ф\ (u) = 0;
ф'{(п) — 2(Hnu + Fп)фг(и) — 2F12 ф^(и) = 0.
Эта система ОДУ разрешима, размерность пространства ее решений равна 4. Изоморфизм на R4 можно задать так:
Ф = (ф1,ф2) ^ (ф1(0),ф1 (0),ф2(0),ф2 (0)).
Запишем киллингово поле, воспользовавшись теоремой 2
K = (с — ф i(u)x — ф2(и)у)дь + ф1(и)дх + ф2(и)ду.
В итоге размерность пространства киллинговых полей равна 5.
Случай равных элементов. Рассмотрим случай, когда в обеих матрицах Н, F диагональные элементы равны, т. е. Н11 = H22,F11 = F22. Сложим четвертое и пятое уравнения: —2ЬНц = 0. Нц = 0, следовательно, b = 0. Запишем четвертое уравнение (которое, заметим, эквивалентно пятому): fF12 = 0. Если F12 = 0, то получим, что f = 0 и решения будут иметь тот же вид, что и в первом случае. Если F12 = 0 , то f может быть любым вещественным числом, поскольку f не входит в оставшиеся уравнения системы. Дальнейшие рассуждения повторяют уже рассмотренный случай. Запишем решение:
K = (с — фф1(и)х — ф 2(u)y)dv +
+ (ф1(и) — fy)dx + (ф2(и)+ fx)dy.
Легко видеть, что в этой ситуации размерность пространства киллинговых полей равна 6.
Заключение В результате проведенных исследований найдена размерность алгебры киллинговых полей на четырехмерных 2-симметрических лоренцевых многообразиях. Данные результаты продолжают исследования Д.В. Алексеевского и А.С. Галаева по 2-симметрическим лоренцевым многообразиям, а также исследования солитонов Риччи в работе [9].
ТзвестияАииГА. Математик а и механика. 2019. № 1 (105)
Библиографический список
1. Hamilton R. S. The Ricci flow on surfaces // Contemporary Mathematics. 1988. V. 71.
2. Hamilton R. S. Three manifolds with positive Ricci curvature //J. Diff. Geom. 1982. V. 17.
3. Cao H.-D. Recent progress on Ricci solitons // Advanced Lectures in Mathematics. 2010. V. 11.
4. Alekseevsky D.V., Galaev A.S. Two-symmetric Lorentzian manifolds // Journal of Geometry and Physics. 2011. V. 61, N. 12.
5. Галаев A.C. Группы голономии лоренцевых многообразий и супермногообразий // Математический сборник. 2013. T. 204, 9.
6. Brozos-Vazquez M., Garcia-Rio E., Gavino-
Fernandez S. Locally conformally flat lorentzian gradient Ricci soliton // Journal of Geometric Analysis. 2013. V. 23, N 3.
7. Walker A.G. Canonical form for a Riemannian space with a parallel field of null planes // Quart. J. Math. Oxford, 1950. V. 1, N 2.
8. Globke W., Leistner T. Locally homogeneous pp-waves // Journal of Geometry and Physics. 2016. V. 108.
9. Оскорбин Д.Н., Родионов Е.Д., Эрнст И.В. О солитонах Риччи на 2-симметрических четырёхмерных лоренцевых многообразиях // Известия Алтайского гос. ун-та 2017. N 4 (96).
