Регуляризация уравнений движения пятимерной кеплеровой задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1.Вып. 3.1999

УДК 521.1

Регуляризация уравнений движения пятимерной кеплеровой

задачи 1

С. М. Полещиков

Дано применение ¿-преобразованиям восьмого порядка к регуляризации уравнений движения пятимерной задачи двух тел. Рассмотрены канонический и неканонический случаи. Установлено соответствие между решениями пятимерной кеплеровой задачи и решениями восьмимерного гармонического осциллятора при специальном выборе начальных условий.

1. Введение, ¿-преобразования, определяемые ¿-матрицами второго порядка [1] совместно с временным преобразованием позволяют регу-ляризовать уравнения движения плоской задачи двух тел и привести их к уравнению двумерного осциллятора. При этом между траекториями плоской задачи Кеплера и движениями двумерного осциллятора устанавливается взаимно однозначное соответствие.

¿-преобразования, порождаемые ¿-матрицами четвертого порядка, определены в четырехмерном пространстве [2] и, если их ранг равен трем, они применимы к регуляризации трехмерной задачи двух тел. В регулярных переменных уравнение движения совпадает с уравнением четырехмерного осциллятора. Несовпадение размерностей конфигурационных пространств двух задач (задачи Кеплера и четырехмерного осциллятора) приводит к неоднозначности между их решениями. Однако специальный выбор начальных условий выделяет решения гармонического осциллятора, соответствующие решениям задачи двух тел. В работах [3], [4] определены ¿-преобразования восьмого порядка

х =¿(11)11, х,иеИ8, (1)

1 Работа выполнена при поддержке научного фонда Сыктывкарского лесного института

© Полещиков С. М., 1999.

где

Матрица ¿(и) определяется соотношениями

1т(и)1(и) = Х(и)1т(и) = |и|2£, V и € к8,

Ди)у = Л(у)и, Уи,у€К8,

(3)

Как показано в [3], [5], матрица 3 может быть только двух видов

При 3 — образ соответствующего ¿-преобразования совпадает с И.1. Для нашей цели этот случай не представляет интереса. Поэтому в дальнейшем будет рассматриваться только случай 3 —

Можно показать [4], что все матрицы Аг,..., А8 ортогональные, элементы набора {А.1,..., А5} - симметрические матрицы и антикоммути-руют между собой, элементы набора {Ав, А7, А8} - кососимметрические матрицы и так же антикомму тируют между собой. Кроме того, элементы первого множества коммутируют с элементами второго множества.

Сходные свойства ¿-преобразований четвертого и восьмого порядков позволяют надеяться на возможное применение последних к задаче регуляризации уравнений движения.

2. Неканонический случай. Из определяющего соотношения (3) с 3 = ./5,3 следует тождество

Следовательно, это преобразование можно применить к регуляризации уравнения движения в пятимерном пространстве. В силу аналогий в свойствах ¿-матриц восьмого и четвертого порядков форма уравнения движения должна иметь такой же вид, как и уравнение трехмерной задачи двух тел. Поэтому рассмотрим динамическую систему, определяемую уравнением

3 = Зи = сНаё{1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1}, 3 = Л,3 = <11аё{1, 1, 1, 1, 1, -1, -1, -1}.

(Х(и)и). = 0, ¿ = 6,7,8, \/и € й-8-

х + 4* = о, г = |х|, хея5.

г

(4)

Уравнение (4) является обобщением уравнения относительного движения задачи двух тел на пятимерный случай. Естественно называть это уравнение уравнением относительного движения пятимерной кеп-леровой задачи.

Если в правой части этого уравнения стоит ненулевой вектор €

И5, то

х+^х = са, (5)

и это уравнение движения назовем возмущенным. Пусть

х(0) = х0, х(О) = х0, Хо, х0 € й5 (6)

начальные условия уравнения (5). Из теоремы единственности решения дифференциального уравнения вытекает, что, если в уравнении (5) вектор имеет координаты = Яъ = 0 и выбраны нулевые начальные условия для четвертой и пятой компонент векторов х, х

я,-(0)=0, ¿,-(0) = 0, г = 4,5,

то движение, описываемое этим уравнением, происходит в трехмерном подпространстве (жх, Х2, хз) пространства К5. Эти траектории будут совпадать с траекториями трехмерной задачи двух тел при согласовании начальных условий.

Произведем устранение особенности уравнения (5), расположенной в начале координат. Для этого применим /.-преобразование восьмого порядка ранга пять (1) и временное преобразование

Ж = т(1Т (7)

Из (2) имеем г = |и|2. Рассмотрим билинейное произведение

и * V = /(и)у, /(и) =

В отличии от четырехмерного случал выражение и * V теперь представляет собой трехмерный вектор. Из ортогональности матрицы ¿(и) (см. свойство (2)) следуют тождества

/(и)/т(и) = |и|2£з, /(и)£т(и) = |и|2£зх8,

где

1 ( 0 0 0 0 0 1 0 0

-£■3x8 = ! 0 0 0 0 0 0 1 0

1 (о 0 0 0 0 0 0 1

Так как матрицы А6, Ат, Ag кососимметрические, то имеем свойство

и * V = —V * U.

Отсюда вытекает тождество

/(u)u = u * u = О3, О3 = (0,0,0)т, Vu G R8. Соотношение

ц * V = 03

назовем билинейным. Для произвольных векторов u, v, удовлетворяющих билинейному соотношению выполняется равенство

L(u)v = L(v) и.

Рассмотрим уравнение движения в восьмимерном пространстве

» h lui2 ,, . Л , и, — 2|u'|2 _8

+ 2U= 2 1 (U)Q' Н= |ц Д ' UG (8)

В этом уравнении пятимерный вектор Q дополнен до восьмимерного нулевыми координатами. Вид уравнения (8) подсказывается аналогией с четырехмерным случаем [6].

Теорема 1 . Решение уравнения (8) с начальными условиями

u(0) = uo, u'(0) = и'0,

определяемыми из

Хо = L{ u0)u0,

Uo = ^T(uo)xo, 1 j

при помощи преобразования (1), (7) переходит в соответствующее решение уравнения (5) с начальными условиями (6).

Векторы Х0,х0 в (9) дополняются до восьмимерных нулевыми компонентами. Условия (9) по аналогии с четырехмерным случаем назовем К S-начальными условиями. Доказательство теоремы опирается на Лемму.

Лемма 1 . Величина u(r)*u'(r) является интегралом уравнения (8). При выборе начальных условий (9) значение этого интеграла равно нулю.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вычислим производную от и * и' в силу уравнения (8). Имеем

* u') = u' * u' + u * u" = u * (— ^-u + ^¿T(u)Q) =

2

= r-l(u)LT(u)Q = jE3x8Q = 03.

Следовательно, u * u' = const первый интеграл этого уравнения. Этот интеграл эквивалентен трем скалярным интегралам. Поскольку в начальный момент

и(0) * и'(0) = ^(Uo)IT(Uo)Xo = ^3X8X0 = Оз,

то -интеграл и * и' имеет нулевое значение для каждого момента фиктивного времени т. Лемма доказана.

Из леммы вытекает, что на решениях уравнения (8), удовлетворяющих ^¿'-начальными условиям, выполняется перестановочность векторов ц, и'

Ц и)и' = 1(и>.

Доказательство теоремы. Пусть и(т),и'(т) - решение уравнения (8) с начальными условиями (9). Подставим его ¿-образ в левую часть уравнения (5). Так как

X = ix' = ^(L(u')u + L( u)u') = ^(u)u', (10)

то имеем

X+ ^x =

= ~L(n) in" + ^-LT(u)L(u')u' - ^lu' + f u) = г* V ur r 2r /

2

r

M -2|u

/12

= -L(u) u" + " 0 ' u = ~L(u)-L1 (u)Q = Q,

2|u

2 „, s r

r2 4 '2

то есть получили правую часть уравнения (5). Во втором равенстве было использовано тождество [7]

¿т(и)£^) + 1т(у)£(и) = 2(и, V)Е, Vи, V е И8.

Осталось проверить соответствие начальных условий. Вектор ио переходит в Хо по определению первого равенства (9). Далее в силу (10) находим

х(0) = ^~1(и(0))и'(0) = —^¿(и„)£т(ио)х() = хо.

Что и требовалось доказать.

Найдем производную от /г вдоль решения уравнения (8)

|и| 1и1

Если Q = 0. то /г - интеграл восьмимерного осциллятора

// ^

В переменных х, х, t величина Н имеет вид

н = а |х|2

2 '

то есть является интегралом энергии уравнения (4).

Собирая уравнения, относящиеся к движению в R8, приходим к системе

u" + fu = ^LT(u)Q,

h' = -2QTL(u)u', (n)

t'= |u|2.

Эта система имеет восемнадцатый порядок. Начальные условия для переменных и, и' вычисляются по формулам (9). Для h,t берутся значения

г M |хо|2 „

h0 =---¡r-, t о = 0.

г о 2

Если возмущающее ускорение содержит потенциальную часть с потенциалом V

9V „

то вместо h можно ввести другую переменную hn = h — V. Введем обозначение Vc(t, u) = V(i,x(u)). Так

kclk

дх

-~1 = 2lik(u), г = 1,..., 5, дик

то

= Y = 2 Vыu)— duk ^ dxi duk 1 dxi

¿ = 1 4 = 1

или в матричной форме

ldV6 rT/ ,dV

m = L(12)

Здесь

= дК\г 9V = (dV dV_ Q Q чт

du \дщ ' " ' ' dusy ' dx \dxi ' ' ' '5 dx5: ' ' /

Производя замену переменной в системе (11), приходим к новой системе регулярных уравнений движения

u" + if и = ~^(|u|2Vc) + F,

A'B = -|u|2^-2FTL(u)u', t' = |u|2.

3. Канонический случай. Уравнение (5) может быть записано в эквивалентной канонической форме

. дНа . дНа .

,Г' = "¿¡¡Г"' ^ = ~ дх~ г = 0,..., 5, (13)

где

На = H + уо — -|у|2 — — + V(i,x) + î/o, (У = х) 2 г

^о = -yTF, (14)

х, у, F G R5 и для переменных хо, уо приняты начальные значения

хо(0) = 0, уо(0) = -Я( 0, х(0), у(0)). (15)

Следующий этап состоит в регуляризации уравнений этой канонической системы. Напомним, что прй выборе силы F0 вида (14) величина На является интегралом системы (13). При начальных условиях (15) переменная х0 совпадает с физическим временем хо = t, а переменная Уо равна отрицательной энергии : yo(t) = —H(t) и, значит, Ha(t) ■— О для всех t.

В системе (13) перейдем к новой независимой переменной т по формуле

dt = vdr, v = и(х0,х,уо,у). (16)

В результате приходим к системе

dxi дНь dyi дНь , л

- + vFi, г = 0,... ,5 (17)

(¿Г дуг 7 Ат дх{ с гамильтонианом

Нь = иНа = и(^ + у0 + 7(ю,х) -

Решения системы (13) получаются из решений системы (17) при соответствующем выборе начальных условий.

Устраним особенность в уравнениях (17), порожденную центральной силой притяжения. Для этого перейдем в системе (17) к новым переменным <7о?Ч>Ро,Р по формулам

хо = Яо, Уо ~ Ро, х = Л(ч)я, у = ¿:Л(ч)р,

где ^реИ8, Л(я) - матрица вида

/ итАх \

Л(и) =

\ итЛ5 /

Найдем выражение гамильтониана Нь в новых переменных. Введем трехмерный вектор

1 1 р = (ри Рг, Рз)т = * Р = ^(q)p-

Отсюда

(У1,---,У5,Р1,Р2,Рз)Г = —L{ q)p. Вычислим квадрат модуля этого составного вектора

W' + IpP-^WIPI"-^.

Следовательно, новый гамильтониан примет вид

Нс = 7 Й|р|2 + Po,q|2 + iq|2yc(90'q)" Щр(ч *р)2 ~ м)'

Для дальнейшего потребуется теорема, устанавливающая соответствие между решениями гамильтоновых систем различных порядков. Введем векторные величины

7, = (х0, • • ,,хп,у0,...,уп)Т, V? = (д0,.. .,дт,р0,... ,рт)Т,

Z = —(Уо, . . ■ ,Уп,Хо, . . . ,Хп)Т, ¥ — —(Ро, • • • , Ртп, Яо, ■ ■ • ■> Ят)Т _ /дН дН дН

нг A'w :

Для преобразования

\дхо,'",дхп,ду0,--',дуп;

/дК дК дК дК\т

•со = ж0(д0,Ч,Ро,р), Уо = Уо(?о,Ч,Ро,р), х = х(9о,Ч,Ро,р), У = y(?o,q,PthP),

где х, у € Rn, q, р G Rm (m > п), и его матрицы Якоби введем обозначения

z = f(w)

(18)

/ §SL

dq0

dq о

\ Э90

дхр дхр 9qm dpa

дхп Эхп

dqm дро

iüä. М

9qm dpa

SM. §bta

dqm dpa

ä£SL \

dpm

dxn 9pm

Jm.

9pm /

Рассмотрим гамильтоновую систему порядка 2n + 2

dz

где

dr

</an+2 ~

¿2п+2(Нг + Z),

(19)

О -Еп+1 \

, -еп+1 о ;'

Еп+1 - единичная матрица порядка и + 1. Составим новую гамильто новую систему порядка 2т + 2

<£г

Jlm-\-%{Kw + F)

(20)

функцией Гамильтона К(ут) я #(f(w)) и силами F = tJZ. Пусть w =s w(r) - решение системы (20) с начальными условиями

г = 0, w° ss w(Q).

Теорема 2 [6]. Для того чтобы вектор-функция

я = ГЫг)) (21)

была решением уравнения (19) с начальными условиями

Т = 0, 2° =

достаточно, чтобы вдоль траектории ш = w(r) матрица Якоби преобразования (18) удовлетворяла уравнению

= ^2п+2- (22)

Доказательство. Найдем производную от (21) вдоль траектории системы (20). Имеем

т~ — ^Т- — Ыгт+2%НЯ + ~ 32п+2 (Нъ + 2).

ат ат

Что и требовалось доказать.

Таким образом, для установления соответствия между решениями системы

¿Ц] дНс ¿Р] дНс

"з где

¿т др; ' ёт дqj

+ Р,-, 0,...,8, (23)

5 дх.

г=0 Нз

и решениями системы (17) надо проверить выполнение условия (22), которое может быть записано через скобки Пуассона

{«¿, хк} = 0, {х{, ук} = {у.", Ук} = 0 (24)

для г, к = 0,... ,5.

Переменные Х{ не зависят от переменных рг. Поэтому первое условие (24) выполнено. Так как при г = 0 или А; = 0 соотношения (24) удовлетворяются тождественно, то остается проверить второе и третье соотношения для значений индексов г,&=1,...,5. В этом случае они могут быть записаны в матричной форме

1

({У» У*}) = 2]^б(А(ч)рятАт(Ч)-Л(Ч)ЧртЛт(Ч) -|Ч|2(Л(Р)Лт(Ч)-ЧтР^5)).

Следовательно, второе условие (24) выполняется. Правая часть равенства (25) по теореме из [7] равна некоторой кососимметрической матрице, отличной от нулевой в общем случае. Однако, если в каждый момент г будет выполняться равенство

то по следствию к упоминавшейся теореме из [7] эта матрица обратится в нулевую. Поэтому остается проверить, что величина Я * р является интегралом системы (23). Тогда при специальном выборе начальных условий будет справедливо соотношение (26) и тем самым проверка третьего условия (24) завершится.

Для множителя у в (16) рассмотрим два случая, которые приводят к устранению особенности и разделению переменных в невозмущенной задаче

В первом случае независимая переменная г совпадает с фиктивным временем, во втором случае — с обобщенной эксцентрической аномалией [6].

Лемма 2 Величина Я*р является векторным интегралом системы

Доказательство. Установим вспомогательные соотношения. Имеем

Я * р = 03,

(26)

г

V = г, и = ———.

V 2у0

(23).

Поэтому

(28)

(27)

Используя свойства матриц А\,..., Аз получаем

АТ(Ч)Л(Ч) = |Ч|2Е - /т(Ч)/(я),

(29)

/(р)Лт(Ч) = -/(ч)Лт(р). (30)

Покажем теперь, что справедливо тождество

я = р* (7т(я)ч*р) + ч* (/Т(р)р*ч) = 03. (31)

Действительно, применяя (29), (30), имеем

Я = /(р)/т(Ч)/(Ч)р + /(Ч)/Т(Р)/(Р)Ч =

= /(р)(|я|2р - Ат(я)Л(ч)р) + /(я)(|р|2я - Лт(р)Л(р)я) = = -/(р)Лт(Ч)Л(Ч)р - /(Ч)Лт(р)Л(р)Ч = 03.

Дополняя вектор Г тремя нулевыми координатами, запишем каноническую силу системы (23) в матричной форме

р0 = яо, Р = 2 иЬт(ц)¥.

Вычислим производную от я * р в силу системы (23). Учитывая последовательно (27), (28), (12), (31) находим при и = г

й, , , ^ , днс днс

—(я * р) = я * р + Я * Р = * Р - Ч* --1- Я * Р —

ат о р с/я

/Т(Ч) , ^ , „ „ , /о ~ , О-Т/ , ,

= (р * (¿T(q)q* р) + q* (¿t(p)p * q))--2W(q)£T(q)|^ + 2W(q)IT(q)F = 2г2ЕЛх8(~~ + f) = 0:

При v = —т=== во всех слагаемых добавляется множитель —А=. Сле-

л/2ро у/2 ро

довательно, я * Р — const - первый интеграл системы (23). Лемма доказана.

Приведем формулы нахождения начальных условий для системы (23), при которых в начальный момент будет выполняться соотношение (26). Пусть даны начальные условия (6). По этим условиям находим из уравнения х = ¿(q)q какое-либо значение вектора Яо и расстояние

го = |х0|2.

Полагаем <?0 = 0, у0 = х0 и находим значения для обобщенных импульсов

р0 = 2Лт(яо)уо, Ро = ~^|Уо|2 + — - У(0,хо).

I Г о

Проверим, что при т = 0 выполняется билинейное соотношение (26). Дополняя вектор уо до восьмимерного нулевыми координатами, находим

Чо * Ро = ¿(Чо)ро = 2/(яо)1т(до)уо = 2г0Езх8Уо = Оз-

Заметим, что величина я * р входит в гамильтониан Нс в виде квадрата длины этого вектора (я* р)2. Поэтому система (23) может быть заменена на другую

¿т др3' йт дqj ''' ' '

с гамильтонианом

где и = г или и — £— у/Ъро

Начальные условия для этой системы определяются по тем же формулам, что и для системы (23).

В заключении отметим, что при и = X— в невозмущенном слу-

v ¿ро

чае (V — О, Г = 0) нами установлено соответствие между решениями восьмимерного гармонического осциллятора с гамильтонианом

и решениями пятимерной задачи двух тел с гамильтонианом

при выполнении А'¿'-начальных условий.

Литература

1. Полещиков С. М., Холопов А. А. Введение параметров в пре-образвании Леви-Чивита и их применение // Астрономический журнал. 1996. T. 73. №6. С. 947-952.

2. Полещиков С. М., Холопов А. А. Обобщенные KS-npe-образования 4-го порядка//Вестник Сыкт. ун-та. Сер.1. 1996. Bun.2. С. 201-212.

3. Полещиков С. М. Применение непрерывного векторного поля на семимерной сфере. Часть 1. Построение преобразования // Деп. в ВИНИТИ 18.05.94. М249-В94. 20 с.

4. Полещиков С. М. L-матрицы восьмого порядка // Труды Сыктывкарского лесного института. 1997. Т. 1. С. 8-14-

5. Жубр А. В. KS-преобразования и инволюции нормированных алгебр // Вестник Сыкт. ун-та. Сер.1. 1996. Вып.2. С. 43-58.

6. Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. М.: Наука, 1975. 304 с.

7. Полещиков С. М. Алгебраические свойства ¿-матриц восьмого порядка // Труды Сыктывкарского лесного института. 1997. Т. 1. С. 22-26.

Summary

Poleshchikov S. M. The regularization of motion equations of five-dimensional Kepler problem

We give the application ¿-transformations of the eighth order to a regularization of the motion equations of five-dimensional two-body problem. The canonical and uncanonical cases are considered. The correspondence between solutions of five-dimensional Kepler problem and solutions of eight-dimensional harmonic oscillator with the special choice of the initial conditions is established.

Сыктывкарский лесной институт Поступила 12.10.98