CC BY
69
УДК 517.9
ДИНАМИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ «ШУМОВ»
А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк, Ю.В. Худяков
Ранее была предложена новая концепция «белого шума», под которым понимается производная Нельсона - Гликлиха винеровского процесса. Данный подход распространяется и на другие «шумы», которые в совокупности составляют пространство «шумов». В этих пространствах посредством математической модели измерительного устройства, представленной уравнениями леонтьевского типа, производятся точные динамические измерения «шумов». В качестве примера измерен «шум», имеющий вид импульса, амплитуда которого является гауссовой случайной величиной. Приведены точные результаты измерения.
Ключевые слова: винеровский процесс, производная Нельсона - Гликлиха, «белый шум», динамические измерения, пространство «шумов».
Введение
Принято считать, что история изучения белого шума (БШ) восходит к теории броуновского движения А. Эйнштейна и М. Смолуховского. Из этой теории следует, что смещение частицы в броуновском движении пропорционально V, где t - время. Поэтому скорость частицы пропорциональна (2 VÖ_1 и, стало быть, не определена в момент времени t = 0. Следующий шаг в этом направлении был сделан Н. Винером, который предположил, что смещение частицы определяется случайным процессом, впоследствии получившим его имя. Итак, винеровским называется случайный процесс ^(i), обладающий следующими свойствами:
(W1) ^(0) = 0 почти наверное (п.н.), и выборочные траектории tä(t) п.н. непрерывны;
(W2) математическое ожидание E^u>(t)^ = 0, и автокорреляционная функция
Е ((^(t) — ^(s))2 j = |t — s|;
(W3) выборочные траектории tä(t) п.н. недифференцируемы при всех t е [0, +о>) и на любом сколь угодно малом промежутке имеют неограниченную вариацию.
Обычно под белым шумом (БШ) понимают обобщенную производную винеровского процесса (так как «обычной» производной в силу (W3) не существует). Именно в таком смысле БШ выступает, например, в линейных стохастических дифференциальных уравнениях вида
dx = (Sx + y)dt + А8ш. (1)
Здесь в правой части символом 5ю обозначен обобщенный дифференциал от винеровского процесса ^(i), т. е. БШ. Первым уравнения вида (1) начал изучать К. Ито, затем к исследованиям подключились Р.Л. Стратонович и А.В. Скороход. Их подходы различаются, главным обра-
гт
зом, в трактовке интеграла J0 A8tä(t), который возникает в правой части (1) после интегрирования. Подход Ито - Стратоновича - Скорохода возник и долгое время развивался в конечномерных пространствах (см. например [1, 2]). Однако в последнее время появились удачные попытки распространения данного подхода на бесконечномерную ситуацию [3, 4]. Кроме того, необходимо отметить новое направление, возникшее в школе И.В. Мельниковой [5, 6]. Здесь уравнение (1) рассматривается в виде
х = Sx + у + ш, (2)
где все производные рассматриваются в пространстве Шварца. Таким образом, обобщенная производная винеровского процесса в правой части (2) - аддитивный БШ.
Наш подход к измерению динамически искаженных сигналов в качестве математической модели измерительного устройства (ИУ) использует уравнения леонтьевского типа [7]
Lx = Мх + у, (3)
где L и М - квадратные матрицы, причем detL = 0. Если воспользоваться известной теорией Кронекера - Вейерштрасса (см. например [8], гл. 12), то в случае регулярности пучка ßL — М систему (1) можно привести к эквивалентной системе
Lx = Мх + у, (4)
где матрицы Ь = й1ад{ЫУ1,ЫУ2, ...,ЫУк, 1г], М = йЬад{\т,5}, Ыу. - жордановы клетки порядка V), _/ = 1, к, с нулями на главных диагоналях; 1г и 1т - единичные матрицы, I = п — т, т = у]; ^ - квадратная матрица порядка I. В (4) т компонент вектор-функции х = х(£)
соответствует выходному сигналу, а остальные компоненты характеризуют состояние ИУ; вектор-функция у = у(£) моделирует входной сигнал. То же самое необходимо сказать про их прообразы из (3).
Теперь, если в (3) в правой части окажется аддитивный БШ, то он, очевидно, окажется и в правой части (4) (возможно, с некоторым матричным множителем слева). Система (4) разбивается на две независимые части, первая из которых решается интегрированием (как например, (1) или (2)), а вторая - многократным дифференцированием правой части. Подход Ито -Стратоновича - Скорохода нам кажется здесь малоперспективным потому, что уж если первая производная винеровского процесса вызвала столько дискуссий, то сколько дискуссий вызовет вторая, третья и т. д. производные?! Трудности использования подхода Мельниковой -Филинкова - Альшанского заключаются в том, что все рассмотрения проводятся в локальновыпуклых пространствах, а нам в теории оптимальных измерений [9] приходится опираться на теорию оптимального управления уравнениями соболевского типа (см. например [10], гл. 7), которая развита в гильбертовых пространствах.
Выход авторами видится в использовании вместо обобщенной производной винеровского процесса производной в среднем. Основы теории таких производных заложил Нельсон [11], а саму теорию до ее нынешнего состояния развил Ю.Е. Гликлих [2]. Одним из важнейших объектов этой теории является симметрическая производная в среднем случайного процесса называемая еще текущей скоростью этого процесса. В дальнейшем, краткости ради, именно эту производную будем называть производной Нельсона - Гликлиха, причем обозначение этой производной возьмем из [9]. Например, производную Нельсона - Гликлиха винеровского процесса ^(£)
мы будем обозначать символом 05ш(Ь) = ^(£).
Перечислим преимущества такой замены. Во-первых, производная Нельсона - Гликлиха в случае детерминированного (т. е. неслучайного) гладкого процесса совпадает с «обычной» производной точно так же, как обобщенная производная совпадает с «обычной» производной гладкой функции. Во-вторых, производная Нельсона - Г ликлиха винеровского процесса ш (£) посчитана и имеет следующий вид: ^(£) = (2£)_1^(£). Именно этот случайный процесс мы называем «белым шумом» («БШ»), обращая внимание на кавычки. Как и обобщенная производная винеровского процесса, наш «БШ» в силу (W2) имеет нулевое математическое ожидание. Наконец, в-третьих, если винеровский процесс ^(£) моделирует смещение частицы в броуновском движении, то согласно теории Эйнштейна - Смолуховского его выборочные траектории п.н. эквивалентны ^1. Отсюда ^(0 п.н. эквивалентно (2-^)_1, что просто-таки совпадает с «обычной» производной броуновского движения.
И хотя исследования белого «БШ» еще только начинаются [9, 12] и далеки от завершения, в данной статье мы делаем следующий шаг - вводим в обиход пространства «шумов», которые состоят из случайных процессов, имеющих производные Нельсона - Гликлиха определенного порядка. Данное нововведение позволит рассматривать все «шумы» (включая «БШ») с единой точки зрения. Определение пространств «шумов» мы приводим в первой части статьи, а также устанавливаем их непустоту. Во второй части статьи мы рассматриваем математическую модель ИУ, причем как детерминистскую, так и стохастическую. В третьей части мы разместим пример ИУ, имеющий реальный прототип [13]. Здесь же обсуждается понятие динамического измерения. В заключение для полноты картины отметим перенос подхода Ито - Стратоновича - Скорохода на уравнения соболевского типа [14, 15].
1. Пространства шумов
Пусть О, = (П, ^, Р) - полное вероятностное пространство, М” - конечномерное векторное пространство, наделенное борелевской о-алгеброй. Измеримое отображение ^:П ^ М” назовем случайной величиной, множество случайных величин обозначим символом Р = Р(Л;М”). В
этом множестве выделим пространство 12 = 12(^;М”) = 1(ёР: I ||^(^)||^Р(^) < +ю>, где
(. □ ) через ||'|| обозначена евклидова норма в Мп. Пространство Ь2 заведомо непусто, так как содержит гауссовы случайные величины. Пусть далее - некоторая о-алгебра на П, причем
с <Л; обозначим через П0 = (П,<А0,Р) соответствующее полное вероятностное пространство. Подпространство 1° = ¿°(^о;Мп) замкнуто в 12, обозначим через П:Ь2 ^ Ь02 ортопроектор.
Определение 1. Пусть ^ 6 Ь2. Случайная величина 6 1° называется условным математическим ожиданием ^ относительно <А0 и обозначается Е(^1<А0).
Из определения 1 непосредственно вытекает, что Е(^1<А) = ^ и Е(^|^0) = Е(^), если
= {0, ^}.
Пусть с М - некоторый промежуток, —от<£<т<+от. Рассмотрим следующие ото-
бражения: /:^ V, которое каждому £ 6 ставит в соответствие ( 6 V и д:Р хй ^ М”, которое каждой паре (^, ш) ставит в соответствиие ^ (^) 6 М”. Случайным процессом мы называем отображение ^: х П ^ М”, имеющее вид ^ = ^(£, ^)) = д(/(£),ш). Таким образом, при
каждом фиксированном £ 6 случайный процесс ^ = ^(£/) является случайной величиной, т.е. ^(¿, • ) 6 V, а при каждом фиксированном ш6П случайный процесс ^ = ^( • , ш) называется (выборочной) траекторией. Множество случайных процессов мы обозначим символом Р = 7(31 х ^; М").
С каждой случайной величиной ^ 6 V мы связываем о-алгебру <А^ с ^, т.е. минимальную о-подалгебру <А, относительно которой ^ измерима. <А^ называется а-алгеброй, порожденной ^. Эквивалентное определение <А^ - это минимальная о-алгебра, содержащая прообразы всех борелевских множеств в Мп при отображении ^:П ^ Мп. С каждым случайным процессом ^ 6 Ф мы связываем три семейства о-подалгебр о-алгебры Л.
- прошлое , порожденное случайными величинами т^(з,• ) при всех £ < 5 < V;
- будущее Т, порожденное случайными величинами ^(5, • ) при всех £ < 5 < т;
- настоящее М^1, порожденное случайной величиной ^(£, • ).
Все о-алгебры считаем полными, т.е. содержащими множества вероятности нуль.
Напомним, что случайный процесс ^ 6Р называется случайным процессом с п.н. непрерывными траекториями, если для почти всех (п.в.) ш 6 П траектории ^ = ^( • , ш) непрерывны на . Во множестве V выделим пространство СЬ2 случайных процессов, чьи траектории п.н. непрерывны на [г,т], а случайные величины ^(£, • ) 6 Ь2 при всех £ 6 [£,т]. Заметим, что если £,16 М+ (= {0} и М+), то пространство СЬ2 содержит винеровский процесс. Переобозначим еще краткости ради = Е(р\Ж1Р').
Определение 2. Пусть ^ 6 СЬ2, производной в среднем справа £^(£, • ) (слева Д*^(£, •)) случайного процессацв точке £ 6 (£, т) называется случайная величина
„„с..) = Ит £;>
' д^о+ 1 \ м )
^(£, ■) — ^(£ — Д£, ■ )\\
^*,6 0 = лИш_Е,'у Д(
если предел существует в смысле равномерной метрики на Мп. Случайный процесс ^ называется дифференцируемым в среднем справа (слева) на (е, т), если в каждой точке і Є (г,т) существует производная в среднем справа (слева).
Итак, пусть случайный процесс ^ Є СЬ2 дифференцируем в среднем справа (слева) на (£, т). Его производная в среднем справа (слева) тоже будет случайным процессом, который мы обозначим символом Иц ф*^). Если случайный процесс ^ Є СЬ2 дифференцируем в среднем как справа, так и слева на (е, т), то можно определить симметрическую (антисимметриче-скую) производную в среднем = і(£ + 0*')'ц{рА'ц = і(£* — £)^). В дальнейшем, краткости ради,симметрическую производную в среднем случайного процесса будем называть производной Нельсона - Гликлиха и обозначать ^, т.е. = ^. Через ^(й) обозначим k-тую произ-
6 Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника»
водную Нельсона - Гликлиха случайного процесса ^, к = 2,3,.... Отметим, что если траектории случайного процесса ^ п.н. непрерывно дифференцируемы в «обычном смысле» на (е, т), то их производная Нельсона - Гликлиха совпадает с «обычной» производной. Так, например, обстоит дело со случайным процессом ^ = a sin(^t), где a - гауссова случайная величина, £ М+ -некоторая фиксированная константа, а t£M имеет физический смысл времени. Введем в рассмотрение пространства CkL2, к £ N, случайных процессов из CL2 , чьи траектории п.н. непрерывно дифференцируемы по Нельсону - Гликлиху на (е, т) до порядка к включительно.
Теорема 1 (Ю.Е. Гликлих). Пусть ш - винеровский процесс, тогда w(fc)(t) =
= (—1)k+1(2t)~k<ti(t) при всех t £ М+ и к £ N.
Здесь w(1)(t) = ш. Из теоремы 1 немедленно вытекает, что «БШ» ш £ СгЬ2, если е, т £ М+ (= {0} U М+). Именно поэтому мы предлагаем впредь пространства CkL2, к £ N, именовать пространствами «шумов». Заметим еще, что «черный шум» (т. е. «абсолютная» тишина) - случайный процесс, чьи траектории п.н. совпадают с точкой нуль, - тоже лежит в СкЬ2 при любом к £ N и любом [е, т] .
2. Математическая модель ИУ
Пусть L и М - квадратные матрицы порядка п. Согласно [8, гл. 12] пучок ^.L — М будем называть регулярным, если det (aL — М) Ф 0 при некотором а £ С. Если пучок — М регулярен, то L-резольвента (uL — M)_1 матрицы М будет в точке те иметь либо устранимую особую точку, либо полюс порядка р £ N. Считая устранимую особую точку полюсом порядка нуль, назовем регулярный пучок ^.L — М ^-регулярным, р £ {0} U N.
Итак пусть пучок ^.L — М р-регулярен, р £ {0} U N. Рассмотрим уравнения леонтьевского типа
Lx = Мх + у, (5)
где у = y(t) некоторая вектор-функция, которая в дальнейшем будет определена. Вектор-функцию х = x(t) назовем решением системы (5), если она удовлетворяет этой системе. Решение х = x(t) системы (5) назовем решением задачи Шоуолтера - Сидорова
[RLa(M)Y’+1(x(0) — x0) = 0 (6)
для системы (5) (или просто - решением задачи (5), (6)), если оно удовлетворяет (5), (6). Заметим, что задача (6) для системы (5) в случае detL = 0 предпочтительнее, нежели задача Коши х(0) = х0 [13]. (В случае detL Ф 0 обе эти задачи совпадают). Подробности см. в [16].
Если пучок juL — М р-регулярен, р £ {0} U N, то существуют проекторы
Р=^Ь i я£(м)^,и Q=¿7 j ££(МЖ (7)
У У
где R^(M) = (pL — M)_1L - правая, а L^(M) = L(pL — M)_1 - левая L-резольвенты матрицы М. Замкнутый контур у с С ограничивает область, содержащую все корни многочлена det(uL — М) = 0.
Лемма 1. Пусть пучок — Мр-регулярен, р £ {0} U N, тогда dim ker Р = dim ker Q, LP = QL, MP = QM.
Ввиду р-регулярности пучка ^.L — M можно, не теряя общности, считать detM Ф 0. (Действительно, сделав в (5) замену z(t) = x(t)at, где а не является корнем многочлена det(uL —
М)=0, придем к системе вида (5), причем в правой части будет матрица M'=M—aL. Очевидно, detM' Ф 0.)
Построим матрицу (1„ — Р)М~г(1п — Q)L(ln — Р) = Н.
Лемма 2. Пусть пучок /лЬ — М р-регулярен, р £ {0} U N, detM Ф 0, тогда матрица Н нильпотентна степени не выше р.
Лемма 3. Пусть пучок /лЬ — М р-регулярен, р £ {0} U N, detM Ф 0, тогда существует квадратная матрица А порядка п, такая, что AQL = LPA = diag{Om, 1г} с точностью до перестановки строчек и столбцов, где т =dim ker Р , I = п — т.
Замечание 1. Как следует из лемм 1-3, в случае 0-регулярности пучка /J.L, — М ker Р= ker L.
Наконец,
иІ = іЬ I «¿(М>^, (8)
Ї
где контур у такой же как в (7). Как нетрудно видеть, семейство [иг'Л Є М} образует группу, причем ее единица = Р.
Теорема 2. Пусть пучок — Мр-регулярен, р Є {0} и М, detM Ф 0, у Є С”([0, т); М”). Тогда для любого х0 Є Мп существует единственное решение х Є С”([0, т); Мп), которое к тому же имеет вид
р Ґ
х(£) = — ^ НкМ~1(1п — Q)y(k■>(t) + иҐх0 + J Ut~sЛQy(s)ds.
к=о о
Теперь рассмотрим стохастическую модель ИУ, в качестве которой выступит стохастическая система уравнений леонтьевского типа
1?7 = Мц + ш, (9)
где матрицы Ь и М такие же как выше. Случайный процесс ^ Є СгЬ2 мы назовем решением
(9), если на (£, т) он удовлетворяет (9) (в смысле Нельсона - Гликлиха). Решение ^ = ^(0 системы (9) назовем решением задачи Шоуолтера - Сидорова
ШМ)У+1(гі(е) — О = 0, (10)
если он вдобавок удовлетворяет (10) при некоторой случайной величине ( Є і2.
Теорема 3. Пусть пучок — М р-регулярен, р Є {0} и М, detM Ф 0. Тогда для любого ш Є СР+1Ь2 и любой независимой от ш ( Є і2 существует единственное решение задачи (9),
(10), которое к тому же имеет вид
р і
гі(Ь) = — ^ НкМ~1(1п — Q)ш°k)(t) + иг~Ц + I Ut-sЛQш(s)ds.
к—О £
Здесь матрицы Q, Vі, Л имеют тот же смысл, что и в теореме 2. Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству теоремы 2 и поэтому опускается. Рассмотрим еще один полезный в дальнейшем результат.
Следствие 1. Пусть пучок — М 0-регулярен, detM Ф 0. Тогда для любого ш Є С1Ь2 и любой независимой от ш £ Є Ь? существует единственное решение задачи
Кг\(е) — 0 = 0 (11)
для системы (9), которое к тому же имеет вид
г
^(0 = — М~1(1п — Q)ш(t) + иг~£% + J Ut~sЛQш(s)ds.
£
3. Пример ИУ
В качестве примера возьмем уже неоднократно опробованную [7, 13] математическую модель ИУ, где п = 3, матрицы І = йіад{1,1,0},
/т1 0 0 \ т — т-^ 0 0\
М = ¡т2 т3 0 1, ріЬ — М = I — т2 ^ — т3 0 1.
ЧСі с2 — 1/ V —сг —с2 1/
Мы считаем, что т1т3 Ф 0, тем самым условие detM Ф 0 выполняется само собой. Кроме
того, простоты ради, считаем тг Ф т3. Из этих условий находим ¿-спектр аь(М) = {т1,т3}
матрицы М и заключаем, что пучок ^.Ь — М 0-регулярен. Находим ¿-резольвенту матрицы М
(^ — т3 0 0ч
т2 \і — тх 0),
—с1(р. — т3) + с2т2 с2(р — т3) 1/
где Д^= гїе^І — М) = (и — тг)(^ — т3). Отсюда сразу вытекает, что
т^1 0 I
М-1 = ( —т2т]"1тз1 тз1 I
-с-^тщ1 — с2т2т]"1тз1 с2т^[1 —
По формулам (7), где контур у с С ограничивает область, содержащую точки тг и т3, находим проекторы
/1 0 0\ /1 0 0\
Р = 10 1 01 и ^ = 10 1 0 1.
\С! с2 0/ \0 0 0/
Поскольку ЬР = QL, то можно положить Л = Ь (или А = Q, если угодно!) Затем по формуле (8) построим
/ ет^ 0 0^
(ет1{ - ет3гл ет3г 0
и = I т1-т3
(ет1г - ет31) + Сгетг1
Как нетрудно проверить, семейство [иг'Л 6 М} является группой, причем проектор Р -единица этой группы, т.е. Р = У0.
Наконец, в качестве правой части в (9) возьмем «шум» ^(0 = со1(а sm(fit), 0,0), где а -случайная величина, распределенная по нормальному закону, моделирует амплитуду входного импульса, а Р 6 М+ - его частоту. Исходя из рассуждений (3), (4) и вида матриц Ь и М , выходной сигнал, т. е. динамическое измерение входного сигнала ш, будет иметь вид
х3(0 = с1х1(£) + с2х2(0, (12)
где
хг(£) = е™'1(г_£)^1 + а sin(^s)ds, (13)
и
Х2(г;) = еш3(1-в')^2 +--^2---------------- ет3(г-£)^^1 +
— Ш3
+ т^-т 5т(^5^5 (14)
моделирует состояние ИУ. Понятно, что в (12) в силу инженерного смысла должно быть |сх| + |с2| Ф 0 (иначе выходного сигнала мы не получим!) Формулы (12)-(14) получены из формулы решения задачи (9), (11) в следствии 1 и в совокупности дают точное решение этой задачи с теми матрицами Ь и М, что описаны выше, а также случайным процессом ш и некоей случайной величиной ^ 6 Ь2, % = (^1, ^2,^з), причем ^ и независимы от а. Случайная величина ^3 нас не интересует, поскольку обнуляется в силу условия (11). Интегрируя (13), (14) и подставляя в (12), окончательно получим
х3(0 = | С1 +:г1^Ь-)ет^-£) -:^^Г^еШъ(1~£ + сгеШъ(1~£')Кг +
2 2 ' (m1 sin(^t) + р cos(^t))(emi(t £) — 1)—
(т3 Sin(^f) + Р C0S(^Î))(em3(t"£) — 1). (15)
Полученный результат оформим в виде следующего утверждения.
Предложение 1. Пусть тг Ф т3, т1т3 Ф 0, |сх| + |с2| Ф 0, тогда в модели ИУ (9), (11) точное динамическое измерение на [е, т] «шума» w(t) = col(a sin(fit), 0,0) при случайных начальных данных и (f2 , независимых от а, будет иметь вид (15).
Литература
1. Arato, M. Linear Stohastic Systems with Constant Coefficients. A Statistical Approach /M. Ara-to. - Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer-Verlag, 1982.
2. Gliklikh, Yu.E. Global and Stochastic Analysis with Applications to Mathematical Physics / Yu.E. Gliklikh. - London; Dordrecht; Heidelberg; N.Y.: Springer, 2011.
3. Da Prato, G. Stochastic equations in infinite dimensions / G. Da Prato, JZabczyk. - Cambridge: Cambridge University Press, 1992.
4. Kovacs, M. Introduction to stochastic partial differential equations / M. Kovacs, S. Larsson // Processing of “New Directions in the Mathematical and Computer Sciences ”, National Universities Commission. Abuja. Nigeria. October 8-12. 2007. Publications of the ICMCS. - 2008. - V. 4. - P. 159-232.
5. Melnikova, I.V. Abstract Stochastic Equations II. Solutions in Spaces of Abstract Stochastic Distributions / I.V. Melnikova, A.I. Filinkov, M.A. Alshansky // Journal of Mathematical Sciences. - 2003.-V. 116, no 5. - P. 3620-3656.
6. Melnikova, I.V. Generalized solutions to abstract stochastic problems / I.V. Melnikova, A.I. Filinkov // J. Integ. Transf and Special Funct. - 2009. - Vol. 20, no. 3-4. - P. 199-206.
7. Shestakov, A.L. Optimal Measurement of Dynamically Distorted Signals / A.L. Shestakov, G.A. Sviridyuk // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». - 2011. - Вып. 8. - № 17 (234). - С. 70-75.
8. Gantmacher, F.R. The Theory of Matrices / F.R. Gantmacher. - AMS Chelsea Publishing: Reprinted by American Mathematical Society. 2000.
9. Shestakov, A.L. On Optimal Measurement of the «White Noise» / A.L. Shestakov, G.A. Sviridyuk // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». - 2012. -№ 27. - С. 99-108.
10. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Tokio: VSP, 2003.
11. Nelson, E. Dynamical Theories of Brownian Motion / E. Nelson. - Princeton: Princeton University Press, 1967.
12. Гликлих, Ю.Е. Изучение уравнений леонтьевского типа с белым шумом методами производных в среднем случайных процессов /Ю.Е. Гликлих //Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». - 2012. - № 27. - С. 24-34.
13. Шестаков, А.Л. Численное решение задачи оптимального измерения / А.Л. Шестаков, А.В. Келлер, Е.И. Назарова //Автоматика и телемеханика. - 2012. - № 1. - С. 107-115.
14. Замышляева, А.А. Стохастические неполные линейные уравнения соболевского типа высокого порядка с аддитивным белым шумом / А.А. Замышляева // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». - 2012. - Вып. 14. - № 40. - С. 73-82.
15. Загребина, С.А. Уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной с белым шумом / С.А. Загребина, Е.А. Солдатова // Обозрение приклад. и пром. математики. - 2012. - Т. 19. Вып. 2. - С. 252-254.
16. Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа /Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина //Известия Иркутск. гос. ун-та. Серия «Математика». - 2010.-Т. 3, № 1. - С. 104-125.
Шестаков Александр Леонидович, д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой информационно-измерительной техники, Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск), admin@susu.ac.ru
Свиридюк Георгий Анатольевич, д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой уравнений математической физики, Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск), sviridyuk@74.ru
Худяков Юрий Владимирович, аспирант кафедры уравнений математической физики, Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск), hudyakov74@gmail.com
Bulletin of the South Ural State University Series “Computer Technologies, Automatic Control, Radio Electronics”
2013, vol. 13, no. 2, pp. 4-11
DINAMIC MEASUREMENT IN SPACES OF “NOISE”
A.L. Shestakov, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, admin@susu. ac. ru
G.A. Sviridyuk, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, sviridyuk@74.ru
Yu. V. Hudyakov, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, hudyakov74@gmail. com
The new concept of the «white noise» was proposed by the authors, it is understood by the Nelson - Gliklikh’s derivative of the Wiener process. This approach extends to other «noise», which together make up the space of «noise». Precise dynamic measurement «noise» produced in these spaces through a mathematical model of the measuring device provided by the equations of Leontief type. As an example, the measured «noise» having the form a pulse, the amplitude of which is the Gauss random variable. The results of measurements are precise.
Keywords: the Wiener process, the Nelson - Gliklikh’s derivative, «white noise», dynamic measurement, space of «noise».
References
1. Arato M. Linear Stohastic Systems with Constant Coefficients. A Statistical Approach. Berlin;; Heidelberg; N.Y., Springer-Verlag, 1982.
2. Gliklikh Yu.E. Global and Stochastic Analysis with Applications to Mathematical Physics. London; Dordrecht; Heidelberg; N.-Y., Springer, 2011.
3. Da Prato G., Zabczyk J. Stochastic equations in infinite dimensions. Cambridge, Cambridge University Press, 1992.
4. Kovacs M., Larsson S. Introduction to Stochastic Partial Differential Equations. Processing of «New Directions in the Mathematical and Computer Sciences», National Universities Commission. Abuja. Nigeria. October 8-12. 2007. Publications of the ICMCS. 2008, vol. 4, pp. 159-232.
5. Melnikova I.V, Filinkov A.I., Alshansky M.A. Abstract Stochastic Equations II. Solutions in Spaces of Abstract Stochastic Distributions. Journal of Mathematical Sciences. 2003, vol. 116, no 5, pp.3620-3656.
6. Melnikova I.V., Filinkov A.I. Generalized Solutions to Abstract Stochastic Problems. J. Integ. Transf. and Special Funct. 2009, vol. 20, no. 3-4, pp. 199-206.
7. Shestakov A.L., Sviridyuk G.A. Optimal Measurement of Dynamically Distorted Signals. Vestnik Yuzhno-Ural’skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya «Matematicheskoe modelirovanie i pro-grammirovanie». 2011, no. 17 (234), pp. 70-75.
8. Gantmacher F.R. The Theory of Matrices. AMS Chelsea Publishing, Reprinted by American Mathematical Society. 2000.
9. Shestakov A.L., Sviridyuk G.A. On Optimal Measurement of the «White Noise». Vestnik Yuzh-no-Ural’skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya «Matematicheskoe modelirovanie i programmiro-vanie». 2012, no. 27, pp. 99-108.
10. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht; Boston; Tokio, VSP, 2003.
11. Nelson E. Dynamical Theories of Brownian Motion. Princeton, Princeton University Press, 1967.
12. Gliklih Yu.E. The Study of Equations of Leontief type with White Noise Methods Derived an Average of Random Processes [Izuchenie uravnenij leont'evskogo tipa s belym shumom metodami proizvodnyh v srednem sluchajnyh processov]. Vestnik Yuzhno-Ural’skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya «Matematicheskoe modelirovanie i programmirovanie». 2012, no. 27, pp. 24-34.
13. Shestakov A.L., Keller A.V., Nazarova E.I. Numerical Solution of the Optimal measurement problem [Chislennoe reshenie zadachi optimal'nogo izmerenija]. Automation and Remote Control. 2012, no. 1, pp. 107-115.
14. Zamyshlyaeva А.А. Stochastic Partial Linear Equations of Sobolev type of High Order with Additive White Noise [Stohasticheskie nepolnye linejnye uravnenija sobolevskogo tipa vysokogo por-jadka s additivnym belym shumom]. Vestnik Yuzhno-Ural’skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya «Matematicheskoe modelirovanie i programmirovanie». 2012, no. 40, pp. 73-82.
15. Zagrebina S.A., Soldatova Е.А. Equation of Barenblatt-Zheltova-Kochina with White Noise [Uravnenie Barenblatta-Zheltova-Kochinoj s belym shumom]. Obozrenie priklad. i prom. matematiki. 2012, vol. 19, issue 2, pp. 252-254.
16. Sviridyuk G.A., Zagrebina S.A. The Showalter-Sidorov problem as a Phenomena of the Sobolev type Equations [Zadacha Shouoltera-Sidorova kak fenomen uravnenij sobolevskogo tipa]. Izvestiya Ir-kutskogo gosudarstvennogo universiteta, seriyaMatematika. 2010, vol. 3, no. 1, pp. 104-125.
Поступила в редакцию 18 марта 2013 г.
