CC BY
11
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №9_
МАТЕМАТИКА
УДК 517:948.9:669.548.55
М.Нурублоев
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА СОСТАВНОГО ТИПА В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Российско-Таджикский (Славянский) университе1
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан З.Д.Усмановым 31.05.2017 г.)
В работе для одной системы уравнений 2п-го порядка составного типа в четър пространстве исследуется начально-краевая (смешанная)
иверсит
.Д.Усмановым 3i.oj.2oi/ г.)
составного типа в четырехмерном я) задача.
иа уравнений составного типа, характе
Ключевые слова: смешанная задача, итерация, система уравнений составного типа, характеристическая форма.
Исследование разрешимости краевых задач для систем дифференциальных уравнений с част-
цач для систем дифференциальных уравнени югомерных пространствах вида:
- м (м...(ми )...) = 0
Х"г О/
юдаются новые эффекты разрешимое
ными производными высокого порядка в многоме
MmU = M (M...(MU )...) = 0 --(1)
является актуальным, так как здесь наблюдаются новые эффекты разрешимости краевых задач, отличных от случая МЦ = 0. Например известная система А.В.Бицадзе [1] = 0, для которой зада-
5 z'
д
ча Дирихле является некорректной, определяется итерацией оператора Коши-Римана _
Естественно возникает интерес к исследованию систем уравнений, левая часть которых порождена итерацией конечного порядка дифференциального оператора М.
В работе [2] в пространстве R4 переменных (^ х), х е R3 рассмотрена система
О*. |+grad,,_ ^
— + grad;2 + rot и ■
........$ - «-о '"
где (р1, ( - искомые скалярные, и = (и1, и2, и3), 3 = (и4, и5, и6) - искомые вектор-функции. Характеристическая форма систе
jC
орма си
< ^)-(г2г)2(г^г), цг+^з2,
системы (2) имеет вид
и следовательно, в каждой точке пространства R4 является системой составного типа, причем она обладает двумя семействами двукратных вещественных характеристик, состоящих из конусов
Адрес для корреспонденции: Нурублоев Мавлон. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.М.Турсун-заде, 30, Российско-Таджикский (Славянский) университет. E-mail: [email protected]
t - х = const, t + х = const,
-2 , „2
Система вида (2) среди других рассмотренных в [2] систем первого порядка является более общей и по структуре решения сильно отличается. Она, во-первых, в случае, когда ср1 (?, х) = ср2 (?, х) = 0, превращается в систему уравнений Максвелла, описывающую распространение электромагнитных волн в среде при отсутствии зарядов и токов. Во-вторых, в «стационарном» случае, то есть в случае, независящем от времени (, - на систему уравнений Моисила-Теодореску.
В данной работе рассматривается система составного типа высшего порядка вида (1) в случае, когда т = 2 п
M 2nU = 0,
где
М
матричный дифференциальный
(3)
ратор,
яющии
вектору
и = (и1, и2, и3, (рх, и4, и5, и6, (р2) левые части системы (2), а п - любое натуральное число. Отметим, что система (3) при п = 1 исследована в работе [3], где для нее поставлена и исследована харак-
> вид системы (3) через основные оп
теристическая задача. Здесь нам удается записывать вид сис торного анализа и нетрудно проверить, что она имеет вид
A>, = 0, (j = 1,2
3) через оснс
С = I
n = 2k
о ^
2 — rot
a t
f
где e = (u,
д2 + 4 роим ) „ + [Д 2 + 4 р0Ш1 J -2£(д 2+4У} Чд 2+4
Дnфj = 0, (j = 1, 2) для остальных п
операторы век-
(4)
n-1
Y
у
A5 = 0
A u = 0
(5)
оператор Лапласа по всем переменным, а k - натуральное число. ограниченная односвязная область в И3, а О = х):? > 0, х е G} - цилиндри-
связная об
ческая область с боковой поверхностью £ = х): х е Г = 5G}.
ледуем
Для системы (3) в О Задача. Найти в О р
условиям
следующую начально-краевую (смешанную) задачу. е решение системы (3), удовлетворяющее при / = 0 начальным
), div fk (х) = 0, dive х) = 0, k = 0, m-1,
= gk (х), j = 1,2, k = 0, m -1,
2
а на боковой поверхности £ - краевым условиям
dlv^s = 0, р = /, j = 1,2, (7)
где ^ (х), ¡^к (х), / (х) — заданные достаточно гладкие вектор-функции
N.
ритом
Теорема. Задача корректно поставлена, то есть она имеет и притом единственное решение, непрерывно зависящее от начальных данных.
и прито
Укажем схему доказательства теоремы.
гтом вторы
Скалярные искомые функции р. (?, х), (j = 1, 2) с учетом вторых условий (6) и (7) задачи определяются как решение задачи Дирихле для полигармонического уравнения Дпр = 0 .
Применяя к уравнениям систем (4), (5) операцию убеждаемся, что скалярная функция .(1, х) = div (0(1, х) удовлетворяет в О уравнению
□ 2п.= 0, (7')
где П = —^ — Д волновой оператор,
ю0,
Решая в О уравнение (7) с у
получим, что всюду
+ах2 тА ^
') с условиями
*1,=0 = £= ^ 0.
N х) = 0
Тогда из (4), (5) с учетом (8) получаем, что вектор-функция 0(1, х) = (и(?, х), х)) в О явля-
ниями уравнений
П 2по = 0 при п = 2к и П2(п = 0 при остальных четных п. (9)
ется решен
¿V ^ Т .
ения общего р
шение ур
троим представления общего решения систем (4), (5) при помощи представления реше-
ний уравнений (9). Всякое решение уравнений (9) можно представить в виде
о (1, х) = |У—1рк (и х), при п = 2",
(
(10)
к=1
2(п—1)
о( 1, х)= ^ (1, х), при п = 2к, (11)
к=1
И
где рк (?, х), , х) - произвольные решения волнового уравнения.
Подставляя значение <у(?, х) из (10) и (11), в системах (4), (5) получаем, что рк (?, х) и щк (?, х) удовлетворяют соотношениям
d< - rot у/к = 0, + rot<k = 0, к =
1, n.
jL •
(5) получ;
div <pk (t, x) = 0, div щк
дt дt Кроме того, из условия (6) задачи и уравнений систем (4), (5) получаем
^ „ £
Таким образом, для определения рк (?, х) и щк , х) в О с учетом (6) получили следующую на-
%'=0 )
в Q с учетом (6) получили следующую
чально-краевую (смешанную) задачу для системы Максвелла в вакууме [4]
<-rot¥k = 0, div< = 0
dt
д¥к
акууме [4] акууме [4]
+ rot <
гу ^
^к = 0, div^k = 0,
Эта задача всегда разрешима и имеет единственное решение [4]. Теперь легко видеть, что решение исходной задачи строится по формулам (10) и (11), где рк (?, х) и щк , х) решение однозначно разрешимой смешанной задачи системы (12).
АЗ ч<у
Л
.В. Некоторые классы у
Поступило 31.05.2017 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. - М.: Наука, 1981.
2. Джураев А.Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. - М.: Наука, 1987, 414 с.
3. Нурублоев М. Характеристическая задача для одной неклассической многомерной системы второго порядка. - Сб. науч. тр. «Корректные краевые задачи для неклассических уравнений». -Новосибирск, 1990, с. 11-15.
4. Курант Р. Уравнения с частными производными. - М.: Мир, 1964. - 830 с.
ными п тными п
М.Нурублоев
МАСЪАЛАИ ОМЕХТА БАРОИ СИСТЕМАИ МУОДИЛАИ ТАРТИБИ ОЛИИ ТИПИ ТАРКИБЙ ДАР ФАЗОИ ЧОРЧЕНАКА
Донишго^и (Славянин) Россияю Тоцикистон
Дар макола барои системаи муодилаи тартиби олии типи таркибй дар фазой чорченака масъалаи омехта тадкик карда шудааст. Исбот карда шудааст, ки масъалаи гузошташуда хдлли
ягона дорад.
Калима^ои калиди: масъалаи омехта, итератсия, системаи муодилаи типи таркибй, фори характеристики.
V
' муодилаи
M.Nurubloev
MIXED PROBLEM FOR SYSTEM OF HIGHER-ORDER EQUAT COMPOSITE TYPE IN FOUR-DIMENSIONAL SP
Russian-Tajik (Slavonic) University
In this work, an initial-boundary (mixed) problem for a system of higher- order equations of a composite type in four-dimensional space is investigated. It is showed that the posed problem has a unique solution.
Key words: mixed problem, iteration, system of equations of composite type, characteristic form.
^ V V N/
«Р
A Jv JV £
