CC BY
32
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №5_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.946
Д.Х.Сафаров, М.Г.Файзиев О СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 27.02.2015 г.)
В работе установлена связь между системой уравнений потенциальных векторных полей и некоторым классом неклассических систем уравнений первого порядка, предложен метод решения начальных и смешанных задач для одной неклассической системы в областях пространства Я4.
Ключевые слова: эллиптическая система уравнений - неклассическая система уравнений - система уравнений составного типа - гиперболическое уравнение - гармоническая функция -характеристический определитель - уравнение Лапласа - начально-краевые задачи.
Введение. В настоящей работе рассматривается некоторый класс систем дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка неклассического типа, связанный с системой уравнений теории векторных полей
йУи(Х ) = 0, тоШ{ Х) = 0, (1)
которой удовлетворяет градиент гармонической функции трёх независимых переменных, где и(X) = (и, V, м>) - искомая вектор-функция переменной X е Я3.
Система (1), хотя и является переопределённой системой уравнений, иногда рассматривается как простейшая эллиптическая система уравнений первого порядка, обобщающая систему уравнений
Коши - Римана в пространстве Я3.
Запишем систему (1) в развёрнутом виде
их + Уу + = 0, V " = 0,
и2 -=0, иу -у =°. Вычёркивая одно из уравнений этой системы, получим неклассическую (составную) систему
их + Уу + = 0, иу - ух = 0, иг - = 0, (2)
являющуюся трёхмерным аналогом более общей двумерной системы первого порядка, для которой в работе [1] А.Джураева построена соответствующая теория краевых задач в ограниченных областях плоскости переменных х, у .
Обобщением системы (1) на пространство Я" относительно вектор-функции 11 (X) = (//, ,//2,. ••,//„ ) является переопределённая система
Адрес для корреспонденции: Сафаров Джума Холович. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail:[email protected]
^ ди А ди 8uj , . . . —
У—L = 0, —L--- = 0, i ^ /, i, / = 1, n. (3)
/ J --S 7 л л 7 J ^ ^ J ^ V/
дхг. дх. дхг.
Аналогично системе (2), если из переопределённой системы (3) вычеркивать "лишние" уравнения, то получится следующая определённая система n уравнений в Rn относительно n неизвестных функций и1(Х),и2(Х),...,ип(Х)
У*-=0, f--|u-=0, J=т (4)
дх дхг dXj
характеристическая форма которой имеет вид
следовательно, эта система при n > 3 в каждой точке пространстве Rn является составной системой. При n = 2 система эллиптическая. Системы (2) и (4) рассматривались многими авторами (см., например, [2-4] и имеющуюся там библиографию).
Далее, если ввести ещё одну искомую функцию s(х, y, z), добавив ко второму уравнению системы (1) слагамое grads, получим определённую систему
divU = 0,
(5)
grads + rotU = 0,
которая называется системой Моисила - Теодореску (см. [5]).
Исследованию системы (5) посвящено много работ, как отечественных так и зарубежных авторов (см., например, [2,3] и имеющуюся там библиографию). В работе [6] рассматривалась обобщённая система уравнений Моисила - Теодореску с сингулярными коэффициентами при младших членах и найдены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи Дирихле для этой системы.
Другой важной и ещё менее исследованной системой является система [4]
д s
— + divU = 0, д t
(6)
^ ди тт Л
grads +---rotU = 0,
д t
которая так же получается из системы уравнений векторных полей (1) путём вложения в пространство R4 и добавлением в первое уравнение системы производной по t вновь введённой скалярной функции s(t, X) и вычитанием из второго уравнения системы градиента скалярной функции и производной по t вектор-функции U(t, X) , где div, grad, rot - соответственно операторы дивергенции, градиента и ротора по X е R3, s(t, X) - искомая скалярная, U(t, X) = (и, v, w) - искомая вектор-функции.
Характеристическая форма системы (6) имеет вид
^(4,4,4,4) = (42 +14 | 2)(42-14 I 2), I4 I 2= 42 +42 +4
Следовательно, система (6) в каждой точке пространства Я4 является неклассической (составной) системой.
Заметим, что трёхмерный аналог системы (6) рассмотрен в работах [7,8] (см. также [4]). Ниже для неклассической (составной) системы (6) будем исследовать задачи с начальными условиями в полупространстве и начально-краевые (смешанные) задачи в цилиндрической области.
1. Задача с начальными условиями. Найти в полупространстве Я4 = {(¿,X) : t > 0,X е Я3} решение ?,и системы (6), удовлетворяющее при t = 0 начальным условиям
?(0, X) = ), ? (0, X) = р(X), X) = 0 (7)
и(0,X) = %(X), Шуи(0,X) = щ(X), (8)
где р е С3(Я3) , р е С2(Я3), щщ е С"(Я3) .
Нетрудно заметить, что система (6) равносильна следующей системе уравнений второго
порядка
^ - Л? = 0,
* (9)
и + Ли - 2%гайй1уи = 0,
где А, ^аШ, Шу - соответственно операторы Лапласа, градиента и дивергенции по X е Я3.
Сразу заметим, что первая компонента X) решения задачи определяется однозначно как решение задачи Коши с начальными условиями (7) для волнового уравнения - А? = 0 и представляется формулой Пуассона [9].
Для определения вектор-функции и(¿, X) = (и, V, м) рассмотрим второе уравнение системы
(9) с начальными условиями (8). Применяя к этому уравнению операторы <Иу и rot по X е Я3, относительно скалярной функции ю(1, X) = Шуи получим волновое уравнение
б - Ас = 0 (10)
и относительно вектор-функции у(1;, X) = гои - уравнение Лапласа
у« + АУ = 0. (11)
Тогда задача с начальными условиями (8) распадается на задачу Коши
с(0,X) = (X), с(0,X) = щ(X) (12)
для волнового уравнения (10) и на задачу Дирихле
v(0, X) = rotW,(. X) (13)
для уравнения Лапласа (11).
Задачи (10), (12) и (11), (13) однозначно определяют функции o(t, X) и v(t, X) при t > 0 соответственно (см.[9,10]). Кроме того очевидно, что divv(t,X) = 0 . Тогда, зафиксировав t > 0, решим переопределённую систему с заданными правыми частями
divU = <Ot, X), rotU = v(t, X). (14)
При выполнении условии divv(t, X) = 0 система (14) совместна и её решение представляется в виде [2]
U(t,X) = -i-grad f df+-Lrotdf, (15)
) k! g £ |f-X| f k| ¿|f-X| f ( )
где | k | - площадь поверхности единичной сферы в R3.
Нетрудно проверить (см. [2]), что формула (15) является также решением задачи (6)-(8). Таким образом, имеет место следующая
Теорема 1. Если функции ( е C3(R3), ( е C2(R3), е Cш(R3), то начальная задача
(6)-(8) однозначно разрешима и её решение представляется в явном виде. Одним из возможных обобщений системы (6) является система
(16)
гр — + Шуи = 0, дг
+ гр — - гоги = 0, д г
характеристический определитель которой имеет вид
Л&ь= а2'£ +1£ №'£2-1 £ I2), I £ 12= £2 + £ + £2-
Следовательно, система (16) в каждой точке пространства Я4 \ {г = 0} является системой составного типа, а на гиперплоскости г = 0 вырождается.
2. Видоизменённая начальная задача. Рассмотрим следующую задачу с видоизменёнными начальными условиями: найти в полупространстве Я4 решение £, и системы (16), удовлетворяющее видоизменённым начальным условиям
д £
£(0,X) = /0(X), 11тгр д_ = /¿X), (£(«,X) = 0), (17)
г^0 д г
и (0, X) = g0(X), 11тг^у ^ = ^ X), (18)
г^0 д г
где X е Я3, fo(X) е С3(Я3), /.(X) е С2(Я3) , g1(X) е С"(Я3) .
Из системы (16) относительно компонентов - и и решения получатся соотношения
(tp Ё!)- Лв = 0,
а t дt (19)
Л Л7 7 ^ '
^ д (^ —) + ли - 2graddivU = 0. дt дt
Посредством замены переменной г = / (1- р) соотношения (19) преобразуем в систему
д2? л л
—7-А? = 0, д Г
д (20)
д и
-^р- + ли - 2 graddivU = 0,
а условия (17), (18) - в условия
д V
-(0,X) = /0(X), 11ш— = /[(X), -(",X) = 0, (21)
г^0 д г
и(0,X) = X), Ишкйуди = &(X). (22)
г^0 д г
Следовательно, задача с видоизменёнными начальными условиями (17)-(18) сведена к начальной задаче (6)-(8), рассмотренной выше. Далее, рассуждая также как и в случае задачи (6)-(8), получим утверждение теоремы 1.
3. Начально-краевая задача. Пусть G - ограниченная область в Я3, а Г - её граница. В
цилиндре О, = {(^X) : t >0,X е Я3} с боковой поверхностью ^ = {(^,X) : t >0,X еГ}
рассмотрим следующую начально-краевую задачу: найти в решение -,и системы (6),
удовлетворяющее при t = 0 начальным условиям (7)-(8) и граничным условиям
-(^ X) | = 0, Шуи |5 = 0, гоШ |5 = 0, гоШ(да, X) = 0, (23)
(п,и((0,X)) = р(X), X (=Г, (24)
где " - единичный вектор-нормали в точке X еГ, а функции щ0,щ е С" (Я3), р е С" (Г).
Компонента X) решения задачи определяется однозначно как решения начально-краевой задачи (см.[10])
s(0,X) = р,(Х), ^(0,X) = Р1(Х), s(t,X) |5 = 0, s(«,X) = 0 (25)
t
для волнового уравнения -и - А- = 0, где р0 (X) |г = 0.
Применение операции div и rot ко второму уравнению системы (6) приводит теперь начально-краевую задачу к эквивалентной начально-краевой задаче
o(0,X) = divщ(X), o(0,X) = щ(X), o(t,X)|^=0 (26)
для волнового уравнения (10) относительно скалярной функции o(t, X) = divU и к задаче Дирихле
v(0, X) = rotщ(X), v(t, X)^=0, v(®, X) = 0 (27)
для уравнения Лапласа (11) относительно вектор-функции v = rotU, в которой гоЩ0 (X) |г= 0.
Начально-краевая задача (26) для волнового уравнения (10) однозначно определяет в цилиндре функцию o(t, X) , а задача Дирихле (27) для уравнения Лапласа (11) - гармоническую
в цилиндре вектор-функцию v(0, X), причём эта функция в силу того, что divv(0, X) = 0 и divv \s = 0 удовлетворяет условию divv(t, X) = 0 в . Тогда неоднородная система уравнений потенциальных векторных полей с заданными правыми частями
divU = o(t, X), rotU =v(t, X) (28)
при фиксированных t будет совместной и её решение можно представить в виде (см. [2])
U(t, X) = H(t, X)- grad-L dt, + rot-L d% , (29)
| ¿ X 1 M GX \
где вектор-функция H(t, X) - решение однородной системы, соответствующей системы (28) (при фиксированных t); её можно определить из требования о том, что формула (29) должна удовлетворять второму уравнению системы (9) и условию (24). Далее, применяя метод, разработанный в работах [2,4] (см., например, [4], стр. 279), получим следующий результат.
Теорема 2. Начально-краевая задача с начальными условиями (7)-(8) и краевыми условиями (24)-(25) для системы (6) корректна в цилиндрической области Qt и решение выписывается в явном виде.
Поступило 02.03.2015 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Джураев А.Д. Системы уравнений составного типа. - М.: Наука, 1972.
2. Джураев А.Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. - М.: Наука, 1987, 415 с.
3. Янушаускас А.И. Многомерные эллиптические системы с переменными коэффициентами. -Вильнюс : Москлас, 1990, 180 с.
4. Сафаров Д.Х. Неклассические системы уравнений. - Душанбе: Дониш, 2008, 431 с.
5. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. - М.: Наука, 1966, 204 с.
6. Сафаров Д.Х. Обобщённая эллиптическая система уравнений с сингулярностью на границе. -ДАН РТ, 2014, т.57, №3, с. 192-196.
7. Сафаров Д.Х. Об одном аналоге системы Мойсила - Теодореско. - ДАН СССР, 1984, т.277, №5, с.1070-1073.
8. Safarov D.Kh. The initial boundary value Problem for Nonclassical systems of Equations of the first order. - Abstract of the second Congress ISAAC'99, 1999, рр.195-199. Fukuoka - Japan.
9. Бабич В.М., Капилевич М.Б., Михлин С.Г. и др. Линейные уравнения математической физики. -М.: Наука, 1964, 367 с.
10. Курант Р. Уравнения с частными производными. - М.: МИР, 1964, 830 с.
ЧД.Сафаров, М.Г.Файзиев ОИД БА СИСТЕМАМИ МУОДИЛА^ОИ ДИФФЕРЕНСИАЛЙ БО ^ОСИЛА^ОИ ХУСУСИИ ТАРТИБИ ЯКУМ
Донишгох^и миллии Тоцикистон
Дар макола робитаи байни системаи муодилахои майдони потенсиалии векторхо ва як синфи системахои гайриклассикии муодилахои тартиби якум мукаррар карда шуда, тавассути он методи халли масъалахо бо шартхои ибтидой ва масъалахои омехта барои як системаи
гайриклассикй дар сохахои мухталифи фазои R4 баррасй мегардад.
КалимаХоОи калиди: системахои эллипсй - системахои гайриклассикй - системахои намуди таркибй - системахои гиперболй - функсияхои гармоники - масъалахои омехта.
D.Kh.Safarov, M.G.Fayziev ON SYSTEMS OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE FIRST ORDER
Tajik National University
In this paper is established a connection between the system of equations potential vector fields and a class of non-classical systems of equations of the first order and a method for solving initial and mixed
problems for non-classical systems in domains of space R4 .
Key words: elliptic systems - non-classical systems - systems of the composite type - hyperbolic systems -harmonic functions - initial and mixed problems.
