Начально-краевые задачи для неклассических систем уравнений второго порядка с переменными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №7_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.946

Б.А.Рахмонов

НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКЛАССИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 19.12.2013 г.)

В работе для многомерной неклассической системы уравнений второго порядка с переменными коэффициентами доказывается однозначная разрешимость граничных задач в ограниченных и в неограниченных пространственных областях.

Ключевые слова: неклассическая система уравнений - система уравнений составного типа - характеристический определитель - начально-краевые задачи - вырождающиеся гиперболические системы - интегральный оператор.

В (т +1) - мерном пространстве Ят+1 = х): х е Ят, t е Я] рассмотрим систему уравнений

д 2и

- ШДи + (1 + Ш)^тй(Оп>и) = 0, п > 0, (1)

дt

где их) = (щ,щ,...,ит) - искомая вектор-функция, Д,grad,- операторы Лапласа, градиента и дивергенции по х е Ят. Характеристический определитель системы (1) имеет вид

,...,£,) = (42 + 1£12)(42-^ |£|2)т-1, |£|2 = £ + £ + ...+£.

Следовательно, при п = 2к +1 в полупространстве t < 0 система (1) эллиптична, а в полупространстве t > 0 является системой составного типа [1,2]. При п = 2к система (1) в обоих полупространствах имеет как вещественные, так и мнимые характеристики. При t = 0 система характеристически вырождается.

Задача: В полупространстве Я™+1 = х) : х е Ят, t > 0] для системы (1) рассмотрим следующую начальную задачу: найти регулярное в Ят+1 решение системы (1), стремящееся к нулю на бесконечности и удовлетворяющее начальным условиям

и (0, х) = Ф( х), (2)

гоЮ1 (0, х) = Т( х), (3)

Адрес для корреспонденции: Рахмонов Бахтовар Абдуганиевич. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]

где Ф(x), x) - заданные достаточно гладкие и стремящиеся к нулю на бесконечности функции.

Действуя на (1) операциями div и rot по x е Rm, заметим, что функция со(t, x) = divU удовлетворяет уравнению

Я2

О? + А^ = 0, (4)

ot

а вектор-функция t, x) = rotU удовлетворяет системе вида

д2в

- tn Д0 = 0. (5)

dtz

Тогда задача (1)-(3) распадается на задачу Коши

0(0, x) = rotO( x), 0(0, x) = x) (6)

для вырождающейся гиперболической системы (5) и на задачу Дирихле со(0, x) = divO( x) для уравнения Лапласа (4).

Задача Дирихле для уравнения Лапласа однозначно определяет функцию со(t, x) при t > 0

[3].

Рассмотрим задачу Коши для вырождающейся системы (5) с начальными условиями (6). Задача (5)-(6) заменой

1 n

у = (1 - a)t 1-a, a =-< 1

n + 2

приводится к задаче

. д20 a д0 n

M-^0 —д0 = 0, (7)

ду y dy

0(0, x) = rotO, lim 1 — = W( x). (8)

^ 1 - a ) ду

Легко видеть, что общее решение уравнения (7) при 0 < a < 1 из класса C2(Щ+1) C(Щ) представимо в виде [4,5]

0( У, x) = Tma (f) + yl-aTma_a (g), (9)

где

•f)=-T \T7f0*• = II^^ Ii|J = Ё«•

Am,a |i=1 (1- | # | ) 2 k=1

/(х) = У(х1, х2,..., хт ), g (х) = g(x1, х2,..., хт ) - произвольные непрерывные вектор-функции точек гиперплоскости у = 0, \ £ \= 1 - сфера с центром в начале координат и радиусом 1. Формула (9) даёт возможность решать задачу Коши (7)-(8).

Используя интегральное представление (9) и граничные условия (8), увидим, что

0(0, х) = / (х) = гоф х),

д0 д д

д0 = -д- Тта (/) + (1 - а) у - Тт,2-а (g) + У^ £ Т.,,-, (g),

ду ду ду

У Т д^Г У Т д^ „Л1-а,

. )Л м )л -Tm,a(f) + (1 -aTaTm2_a(g) + 1 - a J dy v 1 - a J oy

^ Га )У ly^l-a (g )-

lim 1a O (1 - a)1-ag (x),

y^o v 1 - a J oy

(1 - a)1-ag( x) = x), g( x) = (1 - a)a-( x). Тогда решение задачи (7)-(8) даётся формулой

O( y, x) = Tma (™tO) + ^) Tm,2-a (П (10)

Переходя к переменной t, решение задачи (5)-(6) представим

W, x) = Tm,a (rot®) + t • Tm,2-a (П (11)

Таким образом, функции O(x, t) и co(x, t) определены однозначно. Тогда при фиксированном t > 0 переопределённая система с заданными правыми частями

divU = o(t, x), rotU = O(t, x) (12)

при выполнении условия divO = 0 совместна и её решение представляется в виде

и(t,x) = ---grad f ^^ +

(m-2)i |£-x|m 2

1 f O(t,^)

■rot

iO^ di, (13)

(т-2) \а\ £т х

где \ ст \ - площадь поверхности единичной сферы в Ят .

Покажем, что формула (13) является также решением задачи (1)-(3). Из (13) с учётом (4) и (5)

имеем

5 2и

Ои (г, 4)

2 --Г^ +-1-гаг Г 2

дг2 (т - 2) |а|ё Г-л Г ь (т - 2) |а| Г-л Г

Л4 =

_1_ятА Аа( г4)

(т - 2) |а|й л Г

= - grad А

1

(т - 2) | а |

-га г

гпА0( г ,4)

\4- л |т-2

Л4 =

1- Г^М^

ОЧ I _ I Г 1С .. г-2 Ь

-г пга гА

(т - 2) | а | ^ | 4 - л ,1_г О(г, 4)

■ /Г I Г

(т - 2) | а | Гт 14 - л |

^4

= - gradю- гпга О = -(gradю+t пгОв).

То есть

д2и дг2

= -(grada + гпга гО),

а с другой стороны, применяя к (13) операцию гп А - (1 + гп )grad(Л^), получим

гпАи - (1 + гп) grad (Л^и) = гngrad А

1-

ол | | Г |е „ г-2

+г пго гА

(т - 2) | а | | 4 - л 1_Г О(г,4)

/Т I Г

1 кт

л

(т - 2) | а I г | 4 - л

л4

-(1 + гп) graddiv

-(1 + гп) graddiv

grad

-1

(т - 2) | а | I |4-л Г2 4

I

Л

У

го г-

. л- I Л

О( г ,4)

(т - 2) |а1 Гт |4-л Г

Л

^4

Таким образом,

= tngradю-гпюгО - (1 + гп)gradю = -(gradю+гпюг0).

гпАи - (1 + гп (сЧуи) = -( гпюгО).

(14)

(15)

Из равенств (14) и (15) следует, что формула (13) удовлетворяет системе (1). Полагая в (13) г = 0 и принимая во внимание равенство 0(0, л) = гогФ и равенство со(0, л) = Л/'уФ, увидим, что формула (13) удовлетворяет начальному условию (2):

U^x) = -grad——^—— | т"0"^dt + 1

O(0,)

(m - 2) |и| i|t-x 1

rot /О,—

div®

-1-grad f

(m-2)|^|S ¿|t-x

-dt +

(m - 2) M \t-x

1 с rot® -rot I -r- dt =

(m - 2) И ht-x|m-2 '

= - graddiv

^ f

■ /Т i J

®(t)

(m - 2) |a| m |t-x |

-dt

(

+rotrot

f

■ /Т I J

®(t)

(m - 2) | и | R, 11 - x

im-2

dt

= - graddiv

f

.9^1/rl J

®(t)

(m - 2) | и | •I 11 - x

im-2

dt

+graddiv

f

I /-г I J

®(t)

(m - 2) |и1 Jm |t-x |

-dt

+A

-1

® (t)

(m - 2) | и | RRm 11 - x |

-dt

= ®(x).

Далее, в силу второго равенства (6) имеем

U (t, x) = -grad-1-f dt + rot-1-f -Ый-.

'^ ) g (m - 2) |и| |t-xT2 Ь (m - 2) |и| |t-x|m

Ut(0, x) = - grad- ^ - j"0fTdt + rot^^ J O(0,t) (m-2) |^|Jm |t-x | fm-OWsriJ

(m-2)|и| i™ |t-x|

-dt,

-dt,

rotUt (0, x) = rot

grad

-1

(m - 2) | и | Rm |t- x

i

" (0,t)

dt

+rot

rot-

f

/Т I J

¥(t)

(m - 2) | и | Rm 11 - x

im-2

dt

rotrot

f

.9M л- I J

Y(t)

У Л

(m - 2) | и I-m 11 - x

im-2

dt

rotUt (0, x) = rotrot

f

.9M л- I J

Y(t)

(m - 2) |и| m |t- x |

-dt

Отсюда, учитывая равенство rotrotU = graddivU - AU, будем иметь

то есть функция и(г,л) , определяемая формулой (13), удовлетворяет также начальному условию (3). Таким образом, имеет место следующий результат.

Теорема. Если Ф(л) и ¥(л) достаточно гладкие в Я" функции, то начальная задача (1)-(3) однозначно разрешима и её решение представимо в виде (13), где ((г, л) - решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа (4), а 0(г, л) - решение задачи Коши для вырождающейся гиперболической системы (5).

Пусть О - ограниченная область в Я", а Г - её граница. В цилиндре О = {(г, л) : г > 0, л е О} рассмотрим смешанную задачу: найти в цилиндре О( решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям (2)-(3) и граничным условиям

где п - единичный вектор нормали в точке х е Г, а заданные функции Ф( Л" ), Т( Л" ) е С°°, Н -

боковая поверхность цилиндра.

Действуя аналогично случаю задачи (1)-(3), смешанную задачу (1)-(3), (16)-(17) сведём к задаче Дирихле (о\н= 0, ((0,л) = ЛуФ(л) для уравнения Лапласа (4) и к смешанной задаче

0(0, л) = юг Ф,0(0, л) = ¥( л), 0\н= 0, 0(да, л) = 0 для вырождающейся гиперболической системы (5), а граничное условие (17) - к условию Неймана для гармонической функции.

Доказано, что смешанная задача (1), (2)-(3), (16)-(17) однозначно разрешима и её решение представляется в явном виде.

1. Джураев А.Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. - М.: Наука, 1987, 415 с.

2. Сафаров Д.Х. Неклассические системы уравнений. - Душанбе: Дониш, 2008, 431 с.

3. Курант Р. Уравнения с частными производными. - М.: МИР, 1964, 830 с.

4. Gilbert R.P. Function Theoretic Methods in Partial Differential Equations. - Acad. Press, New York-London, 1969.

5. Раджабов Н.Р. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. - Душанбе: Изд-во ТГУ им. В.И.Ленина, часть 1, 1980, 127 с.

divU \н= 0, rotU \н= 0, rotU (да, x) = 0,

(16)

(и,С/,(0,*)) = Т(*), xgy,

(17)

Поступило 30.12.2013 г.

ЛИТЕРАТУРА

Б.А.Рах,монов

МАСЪАЛАХО БО ШАРТ^ОИ ИБТИДОЙ ВА КАНОРЙ БАРОИ СИСТЕМАМИ ГАЙРИКЛАССИКИИ МУОДИЛА^ОИ ТАРТИБИ ДУЮМ БО КОЭФФИСИЕНТ^ОИ ТАГЙИРЁБАНДА

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар макола масъалахо бо шартх,ои ибтидой ва канорй барои як системаи гайриклассикии муодилах,ои тартиби дуюм мавриди тадкик карор гирифта, исбот карда меша-вад, ки ин масъалахо яккимата хдлшаванда мебошанд ва хдлли онх,о ба намуди ошкор дода ме-шаванд.

Калима^ои калиди: системаи муодилауои гайриклассикй - системаи муодилауои намуди таркиби -муайянкунандаи характеристики - масъалаи ибтидою канори (омехта) - системаи гиперболии махсшаванда - оператори интегралы..

B.A.Rahmonov

MIXED BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR THE NON-CLASSICAL SYSTEM OF EQUATIONS OF SECOND ORDER WITH VERIABLES COEFFICIENTS

Tajik National University

In this article for the non-classical system of the Partial Differential Equations considers the statement of the well-posed problem in a half-space and in a cylindrical domain.

Key words: non-classical systems of equations - systems of equations of composite type - characteristic form - mixed value problems - degenerate hyperbolic systems - integral operator.