Краевые задачи для многомерных неклассических систем уравнений с частными производными произвольного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2016, том 59, №5-6_

МАТЕМАТИКА

УДК 917.946

Д.Х.Сафаров, С.С.Мирзоев КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ НЕКЛАССИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПРОИЗВОЛЬНОГО

ПОРЯДКА

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан З.Д.Усмановым 16.11.2015 г.)

В работе рассматриваются задачи типа задач Дирихле и Коши в полупространстве для многомерных неклассических систем уравнений с частными производными произвольного (высшего) порядка и доказывается их однозначная разрешимость.

Ключевые слова: задача Дирихле, задача Коши, однозначная разрешимость, многомерные неклассические системы, полигармонические уравнения.

Изучение специального класса неклассических систем уравнений с частными производными произвольного (высшего) порядка весьма важно с точки зрения приложений. Многие задачи математической физики, например теория упругих тел, приводят к системам уравнений рассматриваемого класса [1].

В полупространстве Е" = х) | х £ Е", ^ > 0} рассмотрим неклассическую систему уравнений произвольного порядка (см. [2,3])

д2( т—! )

д 2ти д 12т

_ и 1 _

_ р2т(п-1) (р2 . | г \2\т

]=1 д^т—1)

grad(сИ\и) =0, т > 1 (1)

с характеристическим определителем , ■>"" % ) = ¿о + I £ I )"

д2

где II(I,х) = (//,,//2,• ■■,/'„) - искомая вектор-функция, Д=—- + Дх, Д1;,^г/т/,б//\' - операторы

дХ

Лапласа, градиента и дивергенции по х £ Еп.

Через Н(Еп) обозначим пространство обобщённых функций, содержащих все (Еп) — функции и их производные (в смысле распределения [4]), а через Н(Еп) - пространство обобщённых функций, зависящих от вещественного параметра ^ и принадлежащих Н(Еп) при каждом ^ > 0, причём они могут расти по ? (при ^ ), но не быстрее некоторой её степени.

Задача П. Найти решение и(¿, х) системы (1) в полупространстве ЕП, принадлежащее классу Ht (Еп ) и удовлетворяющее условиям

Адрес для корреспонденции: Сафаров Джума Холович, Мирзоев Собирчон Содикович. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail:safarovdh@mail.ru; sobirjonm@mail.ru

0rU -

—- U = ( (x) , x e Rn , r = 0,2m -1, (2)

of

где (r (x) - заданные функции класса H(Rn) .

Нетрудно заметить, что операции div и rof преобразуют систему (1) соответственно к следущим соотношениям:

A mc = 0, (3)

f0^ <4>

где обозначено c(f, x) = divU, Q(f, x) = rofU. Тогда задача D с условиями (2) распадается соответственно на задачу Дирихле

dra

|,=о = div( (x), r = 0, m -1 (5)

of

для полигармонического уравнения (3) и на задачу Коши

О r Q _

— f=0 = rof(r (x), r = 0,2m -1 (6)

of

для уравнения (4).

Задача Дирихле (3), (5) однозначно разрешима и определяет функцию c(f, x) при f > 0 через функцию Грина полигармонического уранения в полупространстве (см. [5-7]). Решая задачу (6), (4), однозначно определим функцию 0(f, x) при f > 0.

Предположим, что функции c(f, x) и 0(f, x) известны. Тогда, зафиксировав f > 0, решим переопределённую систему с заданными правыми частями (см. [3,4]):

divU = c(f, x), rofU = O(f, x) . (7)

Как известно (см. [4], стр. 367 ), система (7) при выполнении условия divO = 0 совместна и её решение представляется в виде

U(f, x) =--1-grad f C(f)2 -1-rof f O(f)2 , (8)

V' ' (n - 2) | а Г R-x Г- (n - 2) | с | rR | ^ - x Г ()

где | а | - площадь единичной сферы в Rn .

Формула (8) является также решением задачи D, ибо, с одной стороны, замечая, что уравнение (3) простым преобразованием получается из соотношения (см. [2])

,2m,A (

О 2mc

О f

2m

—2(m-j) ^

У AJ-1 .. A c = 0, (9)

¿—t Я/2( m-J) x ' V /

VJ=1 of J

в силу (9) и (4) из (8) получим

d2mU

д t2 т

dt2

(n - 2)\a\gradi\í-x\-2

d; +

1

(n - 2) И

д2 m в

д t2 т

\Z-x

-d; =

í m p¡2(m-j) Л

Z Aj-1 0

V j=1

dt2(

m-j)

grad A x

-1

(n - 2) \ и \ J \ d - x

f

a(t,%)

■d;

í m p2(m-j) ^

Z Aj-1 d

а с другой стороны,

f

ZA

j-1

V j= f,

d2(m-j) ^

grad (divU) = ZA

^ m d2(m-j) ^

V j=

dt2(m-j )

grad A x

V J=

1

dt2(

m- j )

grada, (10)

in-2

(n-2) \и \ fx

d;

+

ZA

j-1

V j=1

d2(m-j) ^

m-j)

graddiv

1

(n - 2)\и\

-го1

JM)

x

Л f

in-2

d;

Zaj

d2( m-j) ^

V j=1

dt2(

m-j')

grada. (11)

Складывая равенства (10) и (11), убеждаемся в том, что формула (8) удовлетворяет системе (1).

Далее, из (8) с учётом (5), (6) и равенства то№о1 = graddiv — А следует, что вектор-функция и(¿, х) удовлетворяет условиям (2):

d rU

dtr

да

d tr

t=0

(n -2)\a\gmd

t=o

m - 2

■d; +

1

гГОП

ar в d tr

t=o

n - 2

^ gradl

(n - 2) \ и \

\й-x\n-2

(n - 2) H""J|£-1 . r rot^(;)

d% =

(n - 2)\и\ f-x\n-2

1 С r

-1-graddiv f 2 _ , . o., ot , 2

(n - 2)\\\S In-x\nn " (n - 2)|f - xn

-rotrot

\

d% = d% =

1-graddiv f —dd; ---1-graddiv f

r

(n - 2)\и\°""" """"" f- x\"-22 ' (n - 2)|\\ g — An

-A,

f

?Млг1 J

<Pr (d)

in-2

(n-2) \и\ fn\;-x

d;

= VÁx) •

Таким образом, имеет место следующая

Теорема 1. Задача П в классе функций Н (Еп) однозначно разрешима и её решение выписывается в явном виде (8).

Аналогичный результат имеет место и в случае, когда в задаче П условия (2) заменены

условиями П :

0rU -

div—— = (pr (x), x е Rn , r = 0,m -1, of

drU -

rof-|i=0 = щг (x) , x е Rn, div^r = 0, r = 0,2m -1.

dfr

Заметим, что при r = 0 и m = 1 из задачи D , как частный случай, следует задача, рассмотренная в работе [3].

Поступило 17.1.2015 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сафаров Д.Х. Об одном обобщении уравнений теории упругости. - ДАН РТ, 2009, т.52, №5, с. 338-343.

2. Сафаров Д.Х., Мирзоев С.С. Представление общего решения многомерных неклассических систем уравнений высшего порядка. - ДАН РТ, 2015, т.58, №4, с.285-290.

3. Сафаров Д.Х. Неклассические системы уравнений. - Душанбе: Дониш, 2008, 431 с.

4. Джураев А.Д. Метод сингуляных интегральных уравнений. - М.: Наука, 1987, 416 с.

5. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. - М.: МИР, 1966, 350 с.

6. Кальменов Т.Ш.,Немченко М.Ю. Представления функции Грина задачи Дирихле для полигармонических уравнений в полупространстве. - Вестник Национальной академии наук РК, 2008, №5, с. 3-7.

7. Begehr H. Biharmonic Green functions. - Le Mathematiche, 2006, v. LXI, pp. 395-405.

Ч,.Х.Сафаров, С.С.Мирзоев

МАСЪАЛАХРИ КАНОРЙ БАРОИ СИСТЕМАМИ БИСЁРЧЕНАКАИ ГАЙРИКЛАССИКИИ МУОДИЛА^О БО ^ОСИЛА^ОИ ХУСУСИИ

ТАРТИБИ ИХТИЁРЙ

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар мадола барои системахои бисёрченакаи гайриклассикии муодилахо бо хосилахои хусусии тартиби ихтиёрй масъалахои канории намуди масъалахои Дирихле ва Коши мавриди тахкик карор ёфта, яккимата халшавандагии онхо исбот карда мешавад.

Калима^ои калиди: масъалаи Дирихле, масъалаи Коши, %алшавандагйи ящимата , системахои бисёрченакаи гайриклассикии муодила%о, муодила%ои бигармоникй.

D.Rh.Safarov, S.S.Mirzoev BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR MULTIDIMENSIONAL NONCLASSICAL SYSTEMS OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS OF ARBITRARY ORDER

Tajik National University

In this paper, we consider problems such as the Dirichlet and Cauchy-type problem in a halfspace for multidimensional nonclassical systems of partial differential equations of arbitrary (higher) order and prove their unique solvability.

Key words: the Dirichlet problem, Cauchy problem, unique solvability, multidimensional nonclassical systems, polyharmonic equation.