CC BY
20
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2009, том 52, №5_____________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.946
Д.Х.Сафаров
ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан З.Д. Усмановым 13.02.2009 г.)
В работе конструируются многомерные аналоги уравнений теории упругости при помощи неклассических систем уравнений первого порядка и для полученных систем находятся корректно поставленные начальные и начально-краевые задачи [1-2].
Обозначим через (и, %2, %) составляющие вектора смешения, а через Л и /л -
обычные постоянные упругого вещества. Основные уравнения теории упругости в простейшем случае изотропной среды представляют собою следующую систему трех уравнений второго порядка относительно функций (их, и2, и3) от независимых переменных
Ненаписанные члены уравнений системы (1) не содержат производных второго порядка. Они могут зависеть от искомых функций и их производных первого порядка. Все функции и независимые переменные будем считать вещественными.
Характеристический определитель системы (1) определяется формулой
Следовательно, в зависимости от значений коэффициентов Л, ц и р система (1) принадлежит разным типам систем уравнений с частными производными второго порядка. Например, в случае, когда Л + 2^>0, /л>0 система (1) гиперболична, если р>0, эллиптична, если р< 0, а в случае, когда Л + 2^>0, /и<0 система (1) при любом рф 0 не принадлежит традиционным классическим типам уравнений и систем, то есть эта система в каждой точке пространства Я4 наряду с комплексно сопряженными характеристиками имеет и вещественные. Последний случай для уравнений теории упругости, по-видимому, обнаруживается впервые. Такие системы принято называть неклассическими(или составными) системами уравнений с частными производными [1-2].
Как известно, дифференциальный оператор -А + 2graddiv (А -оператор Лапласа), обобщающий оператор Бицадзе, получается из квадрата оператора Мойсила-Теодореску, а полученная при этом система
(г, х1, х2, х3) (см. [3]):
(к = 1,2,3).
(1)
ХЛЛ Л Л) = [(Л+2^) I Л І2 -<][^ I Л І2 р2]2, I Л 12= Л+Л+Л
8 3 8м
—Auk + 2 —= 0 (к = 1,2,3) (2)
8хк = 8xt
является трехмерным аналогом системы Бицадзе [4].
Система (2) связана с системой (1) следующим образом: если смешение упругой системы стационарное, то есть вектор смешения не зависит от переменной t, то при частных значениях коэффициентов ц = —1, X = 3 система (1) совпадает с системой (2). Это соответствует случаю эллиптичности системы (1) (ц = —1 <0, X + 2ц = 3 — 2 = 1>0 и р = 0 ).
С другой стороны, из системы (2) путем ее вложения в пространство R4 переменных
8 Ч
(t, x , x , x ) с добавлением к левой ее части р——, к = 1,2,3 , получается неклассическая
1 2 3 8t
система уравнений
8 Ч 8 -Д 8и
р-к- = -&Чк + 2--'£~Ч, (к = 1,2,3) (3)
8t к 8х, 7=18х
к г 1 г
с характеристическим определителем
Ж.,£,£,£)=(р%2+1 % і2)2« — і л і2), і л 12=%2+%2+%32,
где оператор Лапласа А берется по х, х2, хз. Следовательно, система (3) является неклассической (составной) системой, эквивалентной системе (1) при ц = —1, X = 3 .
Систему вида (3) можно получить (см. [5]) с помощью неклассических систем уравнений первого порядка по способу получения трехмерного аналога системы А.В.Бицадзе (2).
Рассмотрим общую систему уравнений, записанную в векторной форме относительно вещественной вектор-функции U(t, X) = (u, U, • • •, мя) :
р^2т т
р—— = —AU + Xgrad(divU), (4)
8t
где р и X - вещественные постоянные, A, grad, div - соответственно операторы Лапласа, градиента и дивергенции по X є Rn . Характеристический символ системы (4) имеет вид
n
x(z,„z,,z2,.,zn) = (р%+%|!Г(р£ + (1—X)|z |2), %|2=£%!.
г=1
Следовательно, при X <1 эта система эллиптична, если р > 0, и гиперболична, если р < 0. При X >1 и любом р ф 0 система (4) является системой составного типа.
Таким образом, система (4) при X>1 является многомерным неклассическим обобщением основных уравнений теории упругости (1).
При рассмотрении задач в полупространстве для системы (4) в случае Л > 1 и любом рф 0 следует отыскивать соответствующие данной системе правильные начальные условия. Поэтому естественно ожидать, что задача нахождения правильно поставленных начальных и краевых условий в смешанных задачах является задачей более сложной и следует ожидать, что для разных систем существенно разными корректно поставленными будут не только начальные, но и начально-краевые задачи.
1. Докажем, что если р>0, Л >1, то для системы (4) корректна в
полупространстве Я"+1 = {(г, X): г > 0, X є Яп} задача c начальными условиями
для эллиптической системы (8).
Решая задачу Коши (7), (9), найдем функцию ©(¿, X) при г > 0. Решая задачу Дирихле (8), (10), найдем вектор-функцию у (г, X) при г > 0, причем й\уу(г, X) = 0 .
Если 0(г, X) и у (г, X) известны, то, зафиксировав г > 0, решим переопределенную систему с заданными правыми частями:
При выполнении условия й1\у(г, X) = 0 система (11) совместна и ее решение представляется в виде (см. [1])
и (0, X ) = / ( X ),
(5)
(6)
д 2®
р-д®- = (Л-1) А®,
дг
(7)
(8)
где обозначено ®(г, X) = divU, у (г, X) = гои.
Пусть р > 0, Л >1. Тогда задача (4) - (6) распадается на задачу Коши
®(0, X) = divf(X), ® (0, X) = g( X)
(9)
для волнового уравнения (7) и на задачу Дирихле
у(0, X ) = гої/ (X)
(10)
divU=®(г, X), гоги = у(г, X).
(11)
где \а | - площадь поверхности единичной сферы в Rn.
Нетрудно проверить (см. [2]), что формула (12) является также решением поставленной задачи (4) - (6).
Таким образом, имеет место следующая
Теорема 1. Если f (X) и g(X) достаточно гладкие в Rn функции, то начальная задача (4) - (6) имеет единственное (классическое) решение, непрерывно зависящее от начальных данных и представимое в виде (12).
Однако при р < 0, Л >1 задача с начальными условиями (5) - (6) для системы (4) не будет корректной, так как при этом уравнение (7) превращается в эллиптическое уравнение, а задача Коши (9) для него некорректна. В этом случае “подходящими” начальными условиями будут
U (0, X) = (р0( X), rotU (0, X) = ¥(X). (13)
При этом для (теперь эллиптического) уравнения (7) из (13) получим в полупространстве Rn++l задачу Дирихле с граничным условием
0(0, X) = divp0(X), (14)
а для гиперболической системы (8) - задачу Коши с начальными условиями
v(0,X) = rotp0(X), V (0,X) = W(X). (15)
Таким образом, функции 0(t, X) и v(t, X) однозначно определяются как решения задач (7), (14) и (8), (15) соответственно. Тогда из переопределенной системы (11) при выполнении условия ее совместности получим формулу (12).
2. Пусть G - ограниченная область в Rn, а Г - ее граница. В цилиндре Q ={(t,X) \ t > 0, X е G} с границей S = {(t, X)\ t > 0, X еГ} рассмотрим следующую
начально-краевую задачу: найти в Q решение U(t, X) системы (4) (rotU(x>,X) = 0),
удовлетворяющее при t = 0 начальным условиям (5)-(6) и краевым условиям
divU |5=0, rotU |5=0, (16)
(n,Ut(0,X)) = р(X), X еГ, (17)
где n - единичный вектор нормали в точке X еГ, а функции f (X), g( X) и p(x)
предполагаются заданными функциями класса Cш.
Пусть р > 0, Л > 1. Применяя к (4) операции div и rot, для скалярной функции 0(t, X) = divU получаем смешанную задачу
0(0, X) = divf, © (0, X) = g(X), 0 \S =0 (18)
для волнового уравнения (7), а для вектор-функции у(г, X) = гоЮ - задачу Дирихле
у(0, X) = го$, И5=0, Кда, X) = 0 (19)
для эллиптической системы (8)
Смешанная задача (18) для волнового уравнения (7) однозначно разрешима и в цилиндре О определяет функцию ©(г, X). Решая задачу Дирихле (19) для системы (8),
определим вектор-функцию у(г, X), причем эта функция в силу того, что
Жуу (0,X) = 0, &уу \з=0,
удовлетворяет условию й1уу(г, X) = 0 в О . Тогда неоднородная система теории векторных
полей (11) при фиксированных I будет совместной и ее решение можно представить в следующем виде (см. [1 - 2]):
и (г, X) = Н (г, X) + grad
-1 г ®(г,£) ) 1 г у(г,£) . ,
I----- ——г d£ + гог----------------------I----- ——т d£, (20)
і\ї- ГГ-2 У\п-2
(п - 2) | а | * | £ - X | ^ (п - 2)|а|^-X\n
где вектор-функция Н(г, X) - решение однородной системы (11) (при фиксированных г); ее можно определить из требования о том, что формула (20) должна удовлетворять системе (4) и условию (17).
Таким образом, имеет место следующая
Теорема 2. Если f (X), g(X) є С” (О), р(X) є С” (Г), то начально-краевая задача (4)-(6), (16)-(17) имеет и притом единственное регулярное решение класса С ’(Я}
представимое через решения И^) задачи Неймана для гармонической в G функции, решения ®(г, X) смешанной задачи (18) для волнового уравнения (7) и решения у(г, X) задачи Дирихле (19) для эллиптической системы (8).
Пусть теперь р < 0, Л >1. Тогда для системы (4) смешанная задача с начальными
условиями (5)-(6) и краевыми условиями (16)-(17) не будет корректно поставленной. В этом
случае “подходящими ” условиями будут начальные условия (13) и краевые условия (16)-(17), из которых получим задачу определения решения ®(г, X), теперь уже эллиптического уравнения (7), удовлетворяющего граничному условию Дирихле
®(0, X) = divр0(X), ® |5=0, (21)
и задачу определения решения у(г, X) гиперболической системы (8), удовлетворяющего начально-краевым условиям
у(0, X) = гоір^, у (0, X) = ¥(X), у|5 =0, у(”, X) = 0. (22)
Далее, рассуждая аналогично первому случаю, получим следующий результат.
Теорема 3. Если р (X),щ(X) є С” (G), р(К) є С” (Г), то начально-краевая задача (4),(13), (16)-(17) имеет и притом единственное регулярное решение класса С представимое через решения И^) задачи Неймана для гармонической в G функции, решения ®(г, X) задачи Дирихле (21) для эллиптического уравнения (7) и решения у (г, X) начально-краевой задачи (22) для гиперболической системы (8).
Таджикский национальный университет Поступило 13.02.2009 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Джураев А.Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. - М: Наука, 1987, 415 с.
2. Сафаров Д.Х. Многомерные неклассические системы уравнений с частными производными. Душанбе: Дониш, 1996, 230 с.
3. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. 4, ч. 2. - М.: Наука, 1981, 550 с.
4. Янушаускас А.И. Задача о наклонной производной теории потенциала. Новосибирск: Наука СО, 1985,262 с.
5. Сафаров Д.Х. Неклассические системы уравнений (на таджикском, русском и английском языках). Душанбе: Дониш, 2008, 431 с.
Ч,.Х.Сафаров ОИД БА ЯК УМУМИЯТДОДИ МУОДИЛА^ОИ НАЗАРИЯИ ЧАНДИРЙ
Дар макола бори нахуст ошкор мегардад, ки муодилах,ои назарияи чандирй барои киматх,ои муайяни коефисентх,о ба системах,ои гайриклассикии муодилах,о бо х,осилах,ои хусусии тартиби дуюм низ таалук доранд ва барои онх,о масъалах,ои дуруст гузошташуда дар нимфазо ва сохди силиндрй мавриди таджик; карор меёбанд.
D.Kh.Safarov ON A GENERALIZATION OF THE ELASTICITY THEORY EQUATIONS
In this article for the first time determine then equations of theory of elasticity admit non-classical generalization and for receive of non-classical of systems of equations consider statement well-posed problem in half-space and in cylindrical domain.
