Исследование системы, обобщающей классическое уравнение теплопередачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

Л.С.Сергиенко

Исследование системы, обобщающей классическое уравнение теплопередачи

Высокий уровень развития современной вычислительной техники дает возможность достаточно быстро решать задачи повышенной степени сложности с огромным числом переменных. Возникающая в связи с этим возможность численной реализации на ЭВМ многомерных систем дифференциальных уравнений позволяет неограниченно увеличивать размерность моделируемых многообразий, оценивать полномасштабное поведение рассматриваемых объектов в перспективе, переходить от локальных исследований к глобальным,

Одним из способов улучшения результатов математического моделирования является увеличение количества учитываемых факторов, влияющих на ход процесса теплопроводности. При этом возникает проблема определения условий однозначной разрешимости получаемых задач в новых многомерных моделях. Характер разрешимости граничных и начальных задач для системы дифференциальных уравнений существенно сложнее, чем для одного уравнения, и требует специальных дополнительных исследований в зависимости от типа системы.

Характеристика системы

Рассматриваемая параболическая система дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка

AU - Xgrad divU - a2Ut, (1)

где U = (uj,...,ип), Uj=uJf,X), j=l,...,n, X=(xll,.,,xn)l является многомерным общением известного кинетического уравнения или уравнения диффузии, которое встречается при моделировании процессов переноса массы или энергии в однородной среде. При А=0 и п=1 система (1) представляет классическое уравнение теплопроводности, которое «даёт хорошее количественное согласие с опытом», но «недостаточно точно качественно описывает механизм передачи тепла» [3, с. 267]. Запишем систему (1) в матричном виде:

a2Ut = L-U,

где L(X) - квадратная матрица, элементами которой являются линейные операторы

oXtdXj dxi ,=i охг .

Симметричный дифференциальный оператор L, стоящий в правой части уравнения (1), при Л<1 является сильно эллиптическим [4]. А.И.Янушаускасом в [11] приведены результаты исследования характера разрешимости классических граничных задач для частного случая системы (1) при а=0, которая встречается в изотропной теории упругости [5]. В этом случае при л-1 происходит вырождение типа системы, а при Х>1 эллиптический по И.Г.Петровскому оператор 1 не удовлетворяет условию сильной эллиптичности. Непрерывное изменение параметра А в области (1; +<х>) осуществляет гомотопию семейства систем ДА)-U - 0, зависящих от Я, к случаю эллиптической системы при Я=2 с двумя независимыми переменными, для которой классические постановки граничных задач в отдельных случаях становятся некорректными [12], Например, А.В.Бицадзе показал в [4], что для системы L(2) • U = 0 нарушается не только фред-гольмовость, но и нётеровость первой краевой задачи Дирихле на плоскости. В частности, им доказано, что для тс,сой системы однородная задача Дирихле в любом круге имеет бесконечное множество линейно независимых решений [1, 2].

Исследуем систему (1) при ненулевых значениях параметров а и Я. Практический интерес представляют решения, являющиеся суперпозицией волн с одинаковой частотой колебаний

и J (/, X) = о J (X) cos со t + w¡ (X) sin Cú t, (2)

переменные амплитуды которых связаны системой 2п уравнений

д ди

-A ü¡ +Л--—- + a2cow¡ — 0 , j—l,...,n,

дх ¿=] охк

(3 г ^И'1

-Д^, + Я-V—- + а2сои. = 0, /=!,..„п.

Характеристической матрицей системы (3) является симметрическая клеточная матрица Л =

в [0]

[0] в

, в которой

симметрическая матрица В при а = d;2 +... + ^2п имеет вид

-cr + Л^2 Л^2

В =

Mflfin-X

ЧгЪ

1 ^Аг

Элементарными преобразованиями матрица А приводится к форме А

(Я-1 )сг (Л - l)o<J2 О -о-

В,

+ Ч2п~\ ¿¡п

-СГ + Щ \

В, [0] [0]

(Я - 1)о£„

о . о

, где

0

о

<7

Так как матрицы А и Ai эквивалентны, их собственные числа совпадают:

М\ = М„+1 = (я -1) сг, = -CT, /=2,..., п, п+2, 2п.

Следовательно, система (3) при Я<1 сильно эллиптична, при A=i параболически вырождается, а при 2>i является системой гиперболического типа.

Влияние начальных условий

Обозначим Е = {t > 0}и отнесём к классу M(R"J ограниченные функции f(X) е С1 ), а к классу M1(R")

функции /(X) € с ограниченными производными первого порядка.

Задача 1, Найти стремящееся к нулю при t—»со решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям:

«Д-о = //*)> 7 = И)

где все fj - заданные в классе M1(RnJ функции. Теорема 1

Если л<1, то задача 1 имеет единственное решение в классе

Q = c(Ra x[0,oo))nC2'](R" x[0,oo))nM'(R"). Доказательство. Из системы (1)

л - d ^duk 2 du, .

Au -Я-> —-= а —j = 1,...,и

у z—/ dt

дх ; öx^

" du

для функции F(t, X) — У—— получаем уравнение

й*/

а2 — + (Я - l)AF = 0 dt

(5)

с начальным

" of

условием ^U^^^t1)'

7=1 ах J

Последняя задача для параболического уравнения (5) при л<1 и g(X)e М(дЕ) имеет единственное решение в классе Т =

Считая далее Р^,Х) известной функцией, систему (1) можем представить в виде

ди

-А и: + а

J dt

aF

ox j

(l - A)AF является уравнением параболического типа с обратным

Задача (4) для последней параболической системы имеет единственное решение в классе 05 [5]. Теорема 2

Если л>1 и Р |,=0 = 0, то задача 1 имеет единственное решение в классе Т,

2 дР

Доказательство. При Х>1 уравнение а —

д1

ходом времени [9]. Так как Р^, Х)—> 0 при {—>0, то из принципа максимума для параболических уравнений получаем, что в области £ переменная р({,Х) = 0, следовательно, задача Коши с нулевыми начальными условиями для системы (5) будет иметь единственное решение в классе Г, отсюда вытекает, что задача 1 также корректна в этом классе,

Влияние режима на границе области

Исследуем развитие эволюционного процесса, моделью которого является система (1), в полупространстве Р = {хп > О} в момент времени, достаточно удаленный от начального, когда влияние исходного состояния настолько

ослабевает, что им практически можно пренебречь и рассматривать поведение искомых функций только в зависимости от условий на границе области исследования:

и.. (г, Х)\Хая0 = (р. (/, ), } = 1,..., п -1,

" duj

х„ =0

Рассмотрим случай, когда граничные функции задаются в виде гармоник с нулевыми начальными фазами с одинаковой постоянной частотой и переменными амплитудами

<Pj ~ Р cot, j=l,,..,n-l,

у/ = q{xx)cos cot.

Отнесем к классу Ф(R") все функции f(X) множества CfR"), убывающие при | X |-> оо вместе со своими производными быстрее любой степени \Х\"] [8], и поставим следующую задачу:

Задача 2. В области Р найти ограниченное на бесконечности решение системы (1) в виде (2), которое будет удовлетворять граничным условиям

v№)\Xn=o = Pj(x\>->xnA), Wj(x) 1^0 = 0. 7=1,.

" ди j-|

jc„=0

f^L

7=1

= 0,

(6)

где заданные функции д и р/, /=],..., п-1 принадлежат классу Ф(Йп'1), Теорема 3.

При Я Ф1 существует единственное в классе С2 (р)пС'(?)п ф(дР) решение задачи 2. Доказательство. Из системы (3) для новых неизвестных

к =

(7)

к=1 GXk

получаем соотношения

и систему

(Я - 1)Д# + а2 со в = 0 , (Я -1 )ЛО - - О - Диу + Я-^- + Я2£У VI/, =0, у = 1,...,Л-1,

дх

Ат^, + Я

7 дх

(Я - 1)АЯ + а2со 0 = 0,

2 А • 1 1

-а сои; =0,7 = 1,...,и-1

, где

(Я-1)А£-я2«# = 0.

С [0]

Характеристическая матрица системы (9) имеет вид Э = ^ ^

-сг 0 ... О О

О -о- ... О О

С =

О 0 ... -сг О О 0 ... О (Я-Осесть диагональная матрица размерностью {п + 1)х (п + 1). Собственные числа матрицы 0 равны

И у = ~сг, у = 1,..., п,п + 2,...,2п +1, //п+1 = =(Я~1)сг,

следовательно, система (9) при Х< 1 сильно эллиптична.

Если в (п+ 1)-ом и (2п+2)-ом уравнении системы (9) знак в обеих частях уравнений поменять на противоположный, то система (9) будет и при Х>1 удовлетворять определению сильной эллиптичности.

Построим решения системы (8), ограниченные во всех точках полупространства Р = {хп > 0} и удовлетворяющие на его границе требованиям

Н{х)!,„„„=<?(*,,.., *„.,), о(х)|^,0=о. (10)

Система (8) в спектральных характеристиках преобразования Фурье по переменным хх>...,хп_х

+оо +оо

К.....¡(п-1) \н{тх ,...,г„_,,х„)х

-оо -со

^.....V, ,*„)] = V, , )

принимает вид

(я -1)--^ -р2{л~ + = 0 •

дхп

{Л-\)^-р2(Я-\)0-а2соН^01 дхп

где /72 = + +

Определяя при ХФ1 ограниченные на бесконечности решения последней системы, удовлетворяющие условиям

,••■>£„-] 9 хп )|ля=о ~ 0' Ш Е>п-\ > хп )|^=0=: П-] )'

находим

(П)

= со8/?х„. (12)

Здесь )= Рх ^ , >•••>^«-1)], а и /? - положительные корни системы алгебраических уравне-

нии

а2-Р2 = р2, 4а2р2(Л-\)2 = а4*;2,

а

4 2 2

+ М +Р

. р

>Р4+М2-Р1 2 а4й>2

2 " V 2 " (Я-1)2 Считая далее Я и б известными, применим преобразование Фурье по переменным к системе

2 3дН . 1

дх/

Ам>,+ а2бОО: = Я-, / = 1,...,л,

и граничным условиям (5). В спектральных характеристиках Фурье с учетом (12) получаем задачу

£/• (б V,, ) 1,п=0 = Р] V,). 7 = 1,-...,Л -1.

= У = 1.....л-1.

/7-1

+

¿=1

бЬс.

^р-Лч).

пЧ

+

А А

А = 1

дгй=0

дх„

для системы

а2{5

J

Т?2^. ах" соб, 7=1,...,га-1,

сЬс;

- - /?2*3И - ага)ч>п = Яде ах" (-асоБрхп - р$т рхп),

д2й д2м>

-- р2й] + а2сои1 =

(¡а со

2ар{\ - Я)

е~аХя этрхп, 7=1-1,

« А

-р + я =

Я ¿У

е (р соэ рхп - а вт /Зхп),

дх] * "н " "х 2а/? (1 - Я)

которая легко деформируется к виду

д4уу д2\Ь ■ / \

' -2р2-^ + [р4 + а4со2р1=1^г(Л-2)е~ах» соврх», 7=1 ,...,«-1

а4^

ох ,2

~~2р2 —+ [р4 + а4со2^п =г(2~ЛУах"(аы$рхГ1+рыпрх»), дх„ дх„

а со

о;. =

л2 л

О

-е-^БтРхп--Т- + Р я,

' 2ар п дх2 '

7=1 ,...,«-1,

а2 со

2 ар

е (/? со б Рхп -а$трхп)

д2м> ~дх1

> 2 л - + р у,п

(13)

(14)

где г =

Лqa2co 1-Я

Ограниченные на бесконечности частные решения Wj9 _/= системы линейных дифференциальных

уравнений с постоянными коэффициентами (14) определяются методом подбора по виду правой части системы. С учетом граничных условий (13) с точностью до произвольных функций С ), у = — 1,

Wj = е

Я-1

С, sin+ cos+

а со

*Л-1

4 а1 со

cosßxn, 7=1,...,я-1,

где v =

,]р4 + + р2

г =

4 4 4 2

р + а со - р

- положительные корни соответствующего характе-

ристического уравнения.

Подстановкой найденных функций й,, ) = 1,..., п -1 и их производных в выражениях для д], 7 = 1,..., я ~ 1 из системы (14) определяются

е I С - cosrxn - ig.q

,Л-1 .

а2«

Sin TJC.

Из граничного условия (13) £. и0 = р/ (£, 7 = 1,...,и -1, получаем С; = . Следовательно, группа

решений Wji0j, ] — 19...9п — 1 системы (14) определяется условиями (13) единственным образом,

Аналогичными методами находятся с точностью до произвольных функций ) и )

решения системы (14)

w

Л — 1

п = е~™п (Сп sin тхп + Dn cos тхп) + q —— е~ах" (ß sin ßxn + a cos ßxn),

а1 со

дп - 2rve (Сп cos rxn - Dn sin rxn).

Подстановкой найденных функций в граничные условия для производных (13) получаем систему для определения неизвестных С„ и Dn:

(«2-/?2)(л-1).

а2со

C„T-D„v =

1 (

Cnv + DS = — I Я-^кРк

\

а со

к-

Так как главный определитель системы (15) отличен от нуля

г2 +i/2 =^р4 +aW* О,

произвольные функции Сп и Dn, а следовательно, и решение задачи 2 определяются единственным образом.

Библиографический список

1, Бицадзе A.B. Об единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными II Успехи мат.наук. - 1948. - Т. 3, № 8, - С, 211-212,

2. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, - М.: Наука, 1966,

3, Владимиров В,С, Уравнения математической физики, - М.: Наука, 1976,

4. Михлин С.Г. Курс математической физики, - С-Пб: Издательство «Лань», 2002.

5. Михлин С,Г, Спектр пучка операторов в теории упругости II Успехи математических наук. - 1973. - Т. 28-3 (171). - С. 43-82.

6. Сергиенко АС, О разрешимости граничной задачи для системы уравнений в частных производных второго порядка, вырождающейся во всем пространстве // Вестник Новосибирского государственного университета, Серия: математика, механика, информатика. 2002. - Т. 2, вып. 2, - С. 60-63,

7, Сергиенко АС, О постановке задачи Дирихле в обыкновенном бицилиндре для эллиптической системы с тождественно равным нулю определителем // Симметрия и дифференциальные уравнения. - Красноярск: Институт математического моделирования СО РАН, 2002. - С, 136-200.

8, Сергиенко АС. О постановке корректных задач для вырождающихся моделей стационарных процессов, протекающих в соленои-дальном поле скоростей II Неклассические уравнения математической физики. - Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, СО

• РАН, 2002. - С. 26-230,

9. Терсенов С,А. Введение в теорию уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени, - Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1982,

10, Тихонов А.Н., Самарский А,А, Уравнения математической физики, - М.: Наука, 1976.

11. Янушаускас А,И, Граничные задачи для эллиптических уравнений в частных производных и интегро-дифференциальные уравнения, - Иркутск: Изд-во иркут, ун-та, 1997,

12, Янушаускас А,И, Задача о наклонной производной теории потенциала. - Новосибирск: Наука, 1985.