О разрешимости видоизмененной задачи Дирихле для многомерной эллиптической системы с параболическим вырождением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

О РАЗРЕШИМОСТИ ВИДОИЗМЕНЕННОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ МНОГОМЕРНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ПАРАБОЛИЧЕСКИМ ВЫРОЖДЕНИЕМ

л

© Г.А. Тренёва1

Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Принадлежность системы с переменными коэффициентами к тому или иному гомотопическому классу зависит от точки области, в которой рассматривается система. Многообразие вырождения разбивает первоначальную область на части. Представляет интерес изучение влияния такого вырождения на характер разрешимости граничных задач. В работе рассмотрена система n дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с вещественным параметром Л > 0, эллиптичная везде, кроме двух плоскостей: х„ = 0, х„ = Л, на которых происходит параболическое вырождение. Доказано, что видоизмененная задача Дирихле для этой системы разрешима, и решение ее единственно. Библиогр. 5 назв.

Ключевые слова: эллиптические системы; вырождение; видоизмененная задача Дирихле.

ON SOLVABILITY OF MODIFIED DIRICHLET PROBLEM FOR MULTIDIMENSIONAL ELLIPTIC SYSTEM WITH PARABOLIC DEGENERATION G.A. Trenyoval

Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

Depending on the point of domain where the variable-coefficient system is considered it is referred to one or another homotopic type. Degeneration manifolds split the original region into parts. The study of the degeneration effect on the solvability nature of boundary value problems is important. The paper examines the system of n differential equations of second order partial derivatives with a real parameter of Л > 0. This system is elliptic everywhere, except two planes of х„ = 0, х„ = Л,, where the parabolic degeneration occurs. It is proved that the modified Dirichlet problem is solvable for this system, and its solution is unique. 3 sources.

Key words: elliptic systems; degeneration; modified Dirichlet problem.

Для одного эллиптического уравнения в частных производных второго порядка в достаточно малой области с гладкой границей задача Дирихле с любыми непрерывными граничными данными всегда разрешима и ее решение единственно. Аналогичные факты имеют место и для сильно эллиптических систем уравнений второго порядка. Такие системы встречаются в стационарной изотропной теории упругости. В настоящее время системы с многими независимыми переменными, не удовлетворяющие условию сильной эллиптичности по Вишику, еще недостаточно изучены. Для математики исследование таких систем важно и актуально. Интересные результаты для не сильно эллиптических систем с параметром или с младшими производными получены в работах А.И. Янушаускаса [5], Е.А. Головко, Г.А. Тренёвой [3], Л.С. Сергиенко [4] и др. Но в теории эллиптических систем еще много неясных вопросов. Одним из них является вопрос о том, как влияет структура системы на разрешимость задачи Дирихле.

Рассмотрим п систему дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с п независимыми переменными х, / = 1, ..., п и веще-

ственным параметром Л (пусть для определенности Л > 0):

" Я"' (1)

-ХпАи] + АШ ^ = 0 , j = i.....„.

где - оператор Лапласа,

V52 ¡=1 1

Характеристический определитель системы (1) имеет вид

- Хп)

I-

■ i=1

Следовательно, система эллиптична всюду, кроме На этих плоскостях происходит параболическое вырождение. Введем обозначение

Я = Щ=:

дщ dxi

(2)

Продифференцируем j-е уравнение системы (1)

по :

duj д2 V-1 дщ

" дХ: дХ? i—l дх; ' 1 '¡=i

j = 1 ,...,п - 1;

Чренёва Галина Александровна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, тел.: 89025660327, e-mail: galkatren@gmail.com

Trenyova Galina, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Department of Mathematics, tel.: 89025660327, e-mail: galkatren@gmail.com

-Ди„ - х„ А

дип д2 V-1 дщ дхп дх2 ¿-I дх1 '

Сложим полученные соотношения (Я-я:п)ДЯ = Дип. Умножим обе части этого равенства на хп, с учетом л-го уравнения системы ( 1 ) получим:

- ^„)ДЯ = X

дН

дхп'

(3)

В результате придем к системе, рассматриваемой совместно с уравнениями (2), (3):

(4)

дН

х„Аи< = А —, / = 1 ,...,п,

п 1 дх] 1

Будем решать краевую задачу в произвольной конечной области 2), ограниченной плоскостями хп = О , хп = X .

Обозначим границу области 2) через Г = Г„ и 1\ и Гя, где Г0 - часть плоскости {хп = О } с границей <5Г0, Гя - часть {хп = X} , а Гх - оставшаяся боковая граница.

Краевые условия:

и;-|г = /¡(х1,...,х„), у = 1,...,п - 1; (5)

^^оиГ! = /п(х1,...,хп); (6)

ип|5Г0=/п+1(х1,...,хп-1,О), (7)

где заданные дважды непрерывно

дифференцируемые функции.

Найдем условия существования и единственности решения третьей краевой задачи (5), (6), (7) для системы (1) и выведем формулы для этого решения.

Решим сначала первую краевую задачу для вырождающегося дифференциального уравнения с частными производными (3) при неоднородном условии (6)

Приведем уравнение (3) к следующему виду:

¿(Я) = = ^ - хп)д + 2(хп - ^ = 0. (8)

Уравнение (8) эллиптично при 0 < хп < X и пара-болично при

Пусть П0 - множество всех непрерывных в 2) функций, имеющих ограниченные кусочно-непрерывные первые производные и обращающихся в нуль в некоторой граничной полоске области 2). Через Су обозначим градиент функции 17(х1,...,хп):

„ , др ди *

Су =(—,...,—), а множество, составленное из

кдх1' ' дхп

элементов Ср , у е П0, через Д ное произведение, полагая

Введем в скаляр-

и

{ С и, Су} = I ^

хп(Х хп)

ди ди

дх, дхъ

-йХ.

в ¡Л=1

Функция хп(Х - хп) непрерывна в Ъ для любой точки Х е 2) и любых чисел &, £п= 1 > 0:

п

Г(Х,О = хп(Х-хп)£й&>0 ,

¡Л=1

а для

и Гя F(x0,f) = 0. Отождествим элемент с градиентом от предельной функции у (Х) : Су е Д, Д - замыкание в норме { Су, Си }. Обозначим П множество всех функций у(Х) : Су е Д. СП = Д, то есть П - область определения оператора градиента.

В уравнении (8) коэффициенты ( ) и 2(хп -X) непрерывно дифференцируемы в 2) п (хп > ), где , а при выполнены неравенства

0

<х^г ¡(Х)&) <С^(Х,0; с хп < хп хп) < С х„ ,

1£1'

£-1 > 0.

где Г(Х) = ( I¡(X)) - непрерывно дифференцируемое поле векторов; |Т(Х)| = 1 ; (п(Х) > к > 0; с, С - постоянные. В окрестности Г0

-С2

2 (хп -X) <--г,

|1 пхп1

а в окрестности Гя

-С2

2 (хп - X) >-

|| || |

Следовательно, первая краевая задача состоит в нахождении решения уравнения (8) именно при условии (6): на Гя никаких граничных условий не задается [2].

Освобождение граничных условий можно доказать и другим образом. Решения уравнения (3), которые не имеют изолированных особых точек на плоскости , как функции переменного при , в

основном ведут себя как решения обыкновенного дифференциального уравнения X[хn<p"(хn) - '(хп)] = то есть оба остаются ограниченными при :

= ^х^ + с2. А при хп — X - 0 одно из решений уравнения [( ) ( ) ( )] не ограничено: = -с11 пЦ - хп| + с2. Следовательно, нужно исключить участок границы хп = X. Однозначно разрешима только следующая задача: найти регулярное в области 2) решение уравнения (3), остающееся ограниченным при и принимающее заданное непрерывное значение ( ) на (кроме ).

Обозначим через Й1 множество непрерывно дифференцируемых в 2) функций /. Замыкание множества Й 1 градиентов С/ обозначим через состоит из градиентов функций /, имеющих в области 2) обобщенные первые производные и < «. Со-

ответствующее множество функций / обозначим через

Пусть дана функция , для которой билинейная форма

В(/,у)=- { С/, Су} +

д[

где у е П , непрерывно зависит от элемента у, измеряемого в метрике ||у||2 = {Су,Су}. Множество таких функций обозначим через .

Обобщенным решением однородного уравнения

(7) назовем функцию , для которой ( )

—о

при любой функции у е П . Очевидно, Я е П2. Если коэффициенты уравнения (8) гладкие, то все его обобщенные решения являются дважды непрерывно дифференцируемыми в решениями уравнения (8).

Первая неоднородная краевая задача (6), (8) состоит в нахождении решения Н уравнения (8), принимающего на Г„ и Г1 те же значения, что и заданная

функция [п е й2: [п - Н = ж е й, и остающегося ограниченным при хп — Я.

При сделанных допущениях эта задача имеет единственное решение:

Н = ™ = Ч- Е + К*)-1 д, (9)

где К* - оператор, сопряженный с оператором К:

317 "

{ ви,Кву} = - и,2(хп -ЯЯ)-—

дхг,

+ [ - 2 и, у] =

= -2

ду

и, (Хп-Я) — + у

дх„

Действительно, при [п е й2 в пространстве градиентов Й уравнение (8) можно реализовать в виде В([,у) = {д,ву}, где д е Й, и найти такую функцию

™ е й, чтобы В([п -ю,у) = 0, у е й или В([п,у) = В(ц/, у).

По известной функции Н определим функции ц, ] = 1 ,...,п-1 из уравнений Пауссона (4) и краевых условий задачи Дирихле (5). Приведем уравнения (4) к следующему виду:

п . .

. , V-1 3 / ЗиЛ ди, дН

М(и^1д7\Хп^)-д7п=%, 1 = 1.....П

Для доказательства того, что решения уравнений (4) принимают наперед заданные непрерывные значения на плоскости достаточно показать, что существует барьер [1]. Будем искать барьер в виде

а(х1,..., хп) = хп ^ (х 1 - Х1, о) + . . . ^(хп -1 -- Хп - 1о 0 0</3<1.

Проверим выполнение четырех свойств:

1. Функция а(х1,...,хп) непрерывна в полукруговой окрестности точки

((х1 о о ,... , хп -1 , о ,0 ) (х1 - Х1, 0) + . . . + (хп -1 - Хп -1, о ) +

х1< р2 , хп> 0.

2. а( О = 0.

3. а(х1,..., хп) >0 во всех других точках окрестности.

4. М(а) = хп2(п - 1) + /3(13 - 1)хП-1 < 0 всюду в полукруговой окрестности точки 0.

Кроме того, решения уравнений (4) как функции переменного хп при хп — 0 в основном ведут себя как решения обыкновенного дифференциального уравнения:

дН

хпр "(хп) =

X X 1

Г Г 1дН (р(хп) = Я I I — — йхпйхп ,

0 О " 1

1 = 1,...,п,

то есть ограничены при выполнении условия

Н1Хп=о = 0. (10)

Следовательно, существуют решения задач Дирихле (4), (5) в обычной постановке, исключать условие при не нужно.

В окрестности Г0 при а = 1 выполнены неравенства:

< х1 I¡(Х)Ь) < с2г(х,() = с21 хп(2;

С Хп < Хп < С Хп,

-1 <

¡=1 -с2

^ПхпГ

Значит, первая краевая задача для уравнений (4) определяется с помощью перехода к сопряженному оператору:

М* Е

/ о \ о дх1 \ " дх^ дхп '

Эта задача с однородными граничными условиями имеет единственное решение для любых правых ] = 1,...,п - 1, квадратично суммируе-

частей

дН дх;'

мых с весом 5 1 в области Ъ: [5 1и,и] = 5 1иийх < оо . Решение дается формулами:

Ид

М~

дН

дх.

) = 1,...,п-1,

где М * = в*( - Е + К*)в;

г ду {К*Су,Си} = I хп ——и <1Х.

А) ®хп

Решение неоднородных уравнений (4) при неоднородных краевых условиях (5) представляется в виде:

ип = ип 1+ц 0, } = 1 ,...,п-1, (11) где - единственное решение однородных уравнений при неоднородных краевых условиях (5).

Функцию определим по известным , , из соотношений

ди, 1

дх„

X дН

АЫп=Т~:

лп илп

= н-т^=<р.

(12) (13)

Решение уравнения (12) принимает наперед заданные непрерывные значения на плоскости , то есть исключать граничное условие при не

нужно. Направляющие косинусы нормали к точкам плоскости хп = 0 равны нулю. Значит, нарушается фредгольмовость задачи о наклонной производной.

Проигнорируем равенство (13)

ип = СР с1хп + тр(х1,...,хп - О и подставим в (12):

д<р

Аип= — + I Л'рйхп + Д 'ф,

(14)

где

ц— 1. >' =1

з2 _ _ з2

дх} дх2'

Из соотношения

дер г д2<р

дх2

п j VAn

О

+ I А(dxn =

= A'ip +

дер

дх.

« х„=0

I

с учетом равенства

Zdu; V-1 о

-~1 = АН - ) —Ащ =

öXi L-i öXi

i=1 i=1 n-1 n

_ Xyd2H

Xv La дх2

Получим

дер

A«B=A>+ —

" ¡=1 i

+ I (АН

Худ2Н]

tAdxf,

dt.

Преобразуем подынтегральное выражение, используя формулу (3) и соотношение для А ':

X X д2Н АН-—АН +——

хп о Хп

-X дН

хп-Х X д2Н -

Хп Хп О Хп

X д2Н д /1 дН<

-X ÖH X д'Н ^ д /1 дН\

Ху\ $ Xу* Xу* $ Xу* $ Xу* д Ху\ /

Имеем

А ип = Д 'xfi +

дер дх„

+ 1

/1 дН\

Ыл =

д /1 дН dt

X дН /0(р ХдН\ =--+ А 'ib + [— +--)

х„ дх„ \dt t dt /

д<р ЯöЯ^

Следовательно, функция \р(х1,...,хп _ О определяется из уравнения

+ + = 0. (15)

Теорема. Краевая задача (5), (6) для системы (1), где Н, ¡¡, ] = 1 ,...,п - непрерывные, дважды непрерывно дифференцируемые функции, ограничена при хп — X и равна нулю при хп = 0 , разрешима, ее решение и¡, ] = 1 ,...,п-1 единственно и находится по формулам (9), (11), а компонента ип - по формуле (14) с точностью до функции ф(х1,...,хп_ 0, определяемой уравнением Пуассона (15).

Следствие. Если граница 1\ и Гц однозначно проектируется на часть Г0 плоскости хп = 0 , то есть хп = к(х1 ,...,хп_Д и задано условие (7) на границе <5Г0 ип1ёГо = Iп+^(х-^,...,хп), то компонента ип определяется единственным образом.

Статья поступила 29.11.2013 г.

Библиографический список

1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 262 с.

2. Вишик М.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Математический сборник. 1954. Т. 35 (77). № 3. С. 513-568.

3. Головко Е.А., Тренёва Г.А. К вопросу о разрешимости задачи Дирихле для одного класса многомерных эллиптических систем // Вестник Иркутского государственного техни-

ческого университета. 2011. № 2. С. 237-240.

4. Сергиенко Л.С., Баенхаева А.В. Первая краевая задача для стационарного уравнения класса Шрёдингера // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2011. № 10. С. 275-281.

5. Янушаускас А.И. Граничные задачи для эллиптических уравнений в частных производных и интегродифференци-альные уравнения. Иркутск: Изд-во ИГУ, 1997. 168 с.