К вопросу о разрешимости задачи Дирихле для одного класса многомерных эллиптических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517956

К ВОПРОСУ О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА МНОГОМЕРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Е.А.Головко1, Г.А.Тренёва2

1Институт математики, экономики и информатики, Иркутский государственный университет, 664003, Иркутск, ул. К. Маркса, 1.

Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

В работе исследуется вопрос о разрешимости задачи Дирихле в полупространстве для эллиптических, по Петровскому, систем определенной структуры, содержащих младшие производные. Задача сводится к исследованию одного уравнения с частными производными второго порядка с помощью преобразования Фурье. Показано, что наличие младших производных в системе, в отличие от одного уравнения эллиптического типа, существенно влияет на разрешимость граничных задач. Библиогр. 3 назв.

Ключевые слова: эллиптические системы; задача Дирихле; младшие производные; преобразование Фурье.

ON THE PROBLEM OF SOLVABILITY OF DIRICHLET PROBLEM FOR ONE CLASS OF MULTIDIMENSIONAL

ELLIPTIC SYSTEMS

E.A. Golovko, G.A. Treneva

Institute of Mathematics, Economics and Computer Science, Irkutsk State University,

1. C.Max St., Irkutsk, 664003.

National Research Irkutsk State Technical University,

83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.

The article examines the problem on the solvability of the Dirichlet problem in a semispace for elliptic (according to Pe-trovsky) systems of the definite structure, containing minor derivatives. The problem is reduced to the study of an equation with the partial derivatives of the second order with the help of the Fourier transform. It is shown that the presence of minor derivatives in the system, unlike one elliptic equation, significantly affects the solvability of boundary-value problems. 3 sources.

Key words: elliptic systems; Dirichlet problem; minor derivatives; Fourier transform.

Важным разделом теории уравнений с частными производными является теория краевых задач для эллиптических уравнений и систем. Эллиптические по Петровскому системы уравнений в частных производных второго порядка, не удовлетворяющие условию сильной эллиптичности по Вишику, до настоящего времени в прикладных задачах не возникали, хотя сильно эллиптические системы с параметром встречаются в стационарной изотропной теории упругости. Однако для математики исследование таких систем представляет значительный интерес, что подчеркивалось ещё на третьем Всесоюзном математическом съезде [1]. В настоящее время достаточно полно исследованы эллиптические системы с двумя независимыми переменными, а также сильно эллиптические системы с любым числом независимых переменных. Интересные результаты для не сильно эллиптических систем с параметром получены в работах А.И.Янушаускаса [2], Т.Н.Сыренной [3], Ш.Б.Халилова [4] и др. Но в теории эллиптических систем ещё много неясных вопросов. Одним из них является вопрос о том, как влияет структура системы на разрешимость

задачи Дирихле.

В настоящей работе изучается влияние младших производных на разрешимость задачи Дирихле для системы определенной структуры. Рассмотрим систему

rr 0 д ^ ды, dUj

-L[u ] + Л.-> с,—'- + л—- = 0,

jJ j dx-t! ' дх, Идхк (1)

j = 1,n , к е {1,...,n},

n д2

где L = Y c,—- c, > 0 - эллиптический оператор

,=i дх,

второго порядка; ,вещественные параметры; ы (х1;...,xn), j = l,...n,- неизвестные функции.

Введем обозначения

H = ± с,

1=1 дх,

(2)

Продифференцируем каждое у -е уравнение системы (1) по ху, умножим на е] и сложим результаты:

1Головко Елена Анатольевна, кандидат физико-математических наук, доцент, тел.: (3952) 510408, e-mail: elena-golovko@mail.ru

Golovko Elena, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, tel.: (3952) 510408, e-mail: elena-golovko@mail.ru

2Тренёва Галина Александровна, кандидат физико-математических наук, доцент, тел.: (3952) 428296. Treneva Galina, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, tel.: (3952) 428296.

V Л п 5 2 Н + дН п

м дх] дхк

Применим к последнему уравнению преобразование Фурье по переменным х1,..., хп-1:

д2 Н П-1

спЛ -1)—Н-Xс^Л -1)£Н + 'МН = о,

дхп ;=1

где Н - преобразование Фурье функции Н; ' -мнимая единица.

Ограниченные на бесконечности решения этого уравнения имеют вид

Н = А(#„...,

где к - положительный корень уравнения

(3)

к2си (Л -1) - X с] Л -1)£ + = 0. (4)

]=1

Система (1) в терминах преобразования Фурье по х1,..., хп-1 примет вид

д й, й, (п-

.2

п ~ п \ |=1

дх„ с

X с£2 + 1 =

(5)

] ] Ав-кх'

д2йп йп ( П-1

] = 1, п -1,

- - ^(X с£ + М | =

дхп сп \ ;=1 '

-Л„к

(6)

■Ав-

Однородная система, соответствующая системе (5),(6), имеет решение

= А, (£,...,0

кхп

где к - положительный корень уравнения

п-1

кЧ = X с1£ + 'Мк >

I=1

А(£,...,£п-1), ] = 1,и - произвольные функции.

Ограниченные на бесконечности решения неоднородной системы (5),(6) можно представить в виде

Л/ ' ' А / -ктп -Их„ \

Дв п -в п),

й ] = й0 ,2,

сп (к2 - к2)'

] = 1, п -1,

(7)

ЛкА

(- кхп - кхп \ в п -в п).

сп (к2 - к2)'

Задача. Найти регулярное в полупространстве Б :{хп > 0} решение системы (1), удовлетворяющее на границе этого полупространства условиям:

й]\х„ =0 = /] > ] = 1п , (8)

где (х1,...,хп-1) - заданные достаточно гладкие функции.

Под регулярным решением здесь понимается непрерывное вплоть до границы хп = 0, дважды диф-

ференцируемое в области Б и стремящееся к нулю на бесконечности решение системы (1).

Подставив решения (7) в граничные условия (8), предварительно применив к ним преобразование Фурье по х1,..., хп-1, однозначно определим все функции А]. _

й]и=0 = У] = А] ^—^п-Л ] = 1п •

Для отыскания функции А(£1,...,£п_1) запишем равенство (2) в терминах преобразования Фурье. Учитывая равенство (3), получим

п-1 дй Ав-кхп =X с; ■ £ ■йI + си —.

1=1 дх„

Подставим в последнее равенство выражения (7) для й1:

Ав~

X с1' ' //- кс« Л-

-X

Л£с,А , ЛпккА

|"Г сп (к2 - к2) к2 - к2

Лпк2

в- +

Ав~

1=1 сп(к2 - к2) к2 - к2

Из последнего равенства после преобразований получим

А

(1 -Лп) X Л +Лп X с£ + 1£Лп

(9)

= Я ^•••^п-Л где я (£1,•••,£n_l) =

= сп (к+к)(к+к(Лп -1)) ^ с ■ £ ■ £ - кспI ^ •

Пусть А(£1,...,£п-1) - преобразование Фурье некоторой функции ю, т.е. А = ю. Тогда, применив к уравнению (9) обратное преобразование Фурье по переменным £1,...,£п-1, будем иметь

-1 д2ю

X с

д гЛ -Лп)+Лп}-

|=1 дх|

дю

(10)

-ЛМ^Г = Р ( х1'...' хп-1)

Если для всех I = 1,п Л,(1 -Л,,) + Лп = 0, то из (10) получим уравнение

о дю

дх

(11)

При условии интегрируемости функции Р по хк оно имеет решение, зависящее от одной произвольной функции (п-2) переменных. Следовательно, и задача (1), (8) в этом случае имеет решение, зависящее от одной произвольной функции. При этом приходится требовать повышенной гладкости от функций / из граничных условий (8).

и

с

}

Если условия X,(1 -Хп) + Хп = 0, I = 1,п не выполняются, то возможны различные случаи.

Утверждение 1. Если уравнение (10) эллиптично, то задача (1), (8) разрешима и ее решение единственно.

Справедливость этого утверждения вытекает из единственности решения уравнения (10) в этом случае [5].

Утверждение 2. Если уравнение (10) гиперболично, то однородная задача Дирихле для системы (1) не имеет ограниченных на бесконечности решений.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим задачу Дирихле для системы (1) с однородными граничными условиями

w.

0= 0, j = 1,n .

Тогда в уравнении (10) функция ^(х1;...,хп-1) = 0 . Приведя его к каноническому виду, получим

— д2 а д2 а + -1 в да = 0

где Ву - некоторые постоянные.

Разделяя переменные а = X(пп-1 )у(г/1,..пп-2), придем к двум уравнениям:

2 д V

Аг + в2у + X Bj — = 0;

дП

j=1 ~-,j n2 ^

(12)

X" + Вп-1 X ' + р2 X = 0. Заменой неизвестной функции

. п-2

- 2 — Вп V = ф(пх,...Лп-г)е 2'= первое из уравнений (11) приводится к виду

Аф + Г2ф = 0,

п-2 В2

где у2 = в -—-2-, и имеет решение

2

ф = Р, (П.-П-2) Y

(-• 41

n-4

xJ

(-• 41i

где Р\ (n1;...,nn-2) - однородный гармонический поли-

n-2 (У 4t 1

ном степени I, t = ХП, J n-4 — - функция

i=1 l+~ I 2 J

Бесселя первого рода.

Второе из уравнений (12) имеет ограниченные по переменной r¡n_1 решения X = a cos впп-1 + b sin впп-1 только при условии Bn-1 = 0. В противном случае это

уравнение, а следовательно, и однородная задача Дирихле для системы (1) не имеют ограниченных на бесконечности решений.

Утверждение 3. Если уравнение (10) ультраги-перболично, то однородная задача Дирихле для системы (1) не имеет ограниченных на бесконечности решений.

Приведем уравнение (10) к каноническому виду

^ д2 а ^ д2 а ^ да Л

X—т -X—т+X— = о.

j=1 дПj j= m дПj j=1 дПj Разделим переменные а = X (п,... Пт-1)Y (Пт,...-1),2 < m < n - 2 , получим два уравнения

m-1 дХ

АХ + Р2 X + X B -= 0;

£ j дп

n-1 дУ

ay+р2У + X Bj — = 0.

j=m дП,

(13)

- 1—' Вп --2— Вп

Заменой X = фе 2 •=1 , У = фг 2™ уравнения (13) приводятся к уравнениям

т-1

Аф + Уф = 0, п2 = в2 Вп;

1=1

а^+г2> = 0, ^ = в2 Вп,

/= т

решения которых имеют вид

ф = Р (h,-,Vm-l)

Y

, HI J

( /л 1

YV11

xJ

Я1

A +~

t = Xn2

9 = P (т ,-П-1)

r n

Í /TV4-" У2Я 2

2

v /

xJ

У2

К

n-1

'2 =!п2.

1-т

Таким образом, уравнения (13) не имеют ограниченных во всем пространстве переменных п1,.. ,пп-1 решений.

Утверждение 4. Если уравнение (10) параболич-но, однородная задача Дирихле для системы (1) не имеет ограниченных на бесконечности решений.

Приведя уравнение (10) к каноническому виду, получим

^ д2а да

— -- + В-= 0, т < п.

у=1 дп дп

Возможны два случая:

а) к е {1,2,...,т}. Пусть для определенности к = т . Разделяя переменные а = v(п1,...,пm-1 )• X (пт), получим уравнения

Аv + в2v = 0, X" + BX '-Р2 X = 0, решения которых имеют вид

2

1=1

X

2

n-4

2

P ( '

■^Ш ' (14)

2 \ / X = с/*" + с^*- ,

где у1Л = 1 (-ВВ2 + 4в ) •

Функция X(г/") не является ограниченной. Следовательно, однородная задача Дирихле для системы (1) и в этом случае не имеет ограниченных решений. Ь) к £ {1,2,...—}. Разделяя переменные

ю=у(п1,-,Лт )■ X (п), получим

Д V + р2у = 0, ВХ'-р2Х = 0. Первое из этих уравнений имеет стремящееся к нулю на бесконечности решение вида (14), а второе -ограниченных во всем пространстве переменных П1,...,пп-1 решений не имеет. Таким образом, справедлива Теорема. Если ЛД1 -Лп) + Лп ф 0, , = 1,п , уравнение (10) эллиптично, то задача Дирихле (1), (8) имеет единственное решение в классе дважды дифференцируемых в области Б и стремящихся к нулю на бесконечности функций. Если же это уравнение гиперболично, ультрагиперболично или параболично, то однородная задача Дирихле для системы (1) ограниченных на бесконечности решений не имеет.

Библиографический список

1. Гельфанд И. М., Петровский И.Г., Шилов Г.В. Теория систем дифференциальных уравнений // Труды третьего всесоюзного математического съезда. М.: Изд-во АН СССР, 1958. Т. 3. С. 65-72.

2. Янушаускас А. И. Граничные задачи для эллиптических уравнений в частных производных и интегродифференци-альные уравнения. Иркутск: Изд-во ИГУ, 1997. 168 с.

3. Сыренная Т.Н. О влиянии структуры эллиптической по Петровскому системы на разрешимость задачи Дирихле в шаре // Краевые задачи. Иркутск: Изд-во ИГУ, 1997. С.54-59.

4. Халилов Ш.Б. К теории краевых задач для многомерных эллиптических по Петровскому систем уравнений в частных производных // Межд. конф. «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная памяти И.Г.Петровского (Москва, 2007): сборник тезисов. С.136-137.

5. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830 с.