Решение не сильно эллиптических систем дифференциальных уравнений в частных производных Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика

Рис. 8. Формы главных колебаний

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

1. Гарг В.К. Динамика подвижного состава. М. : Транспорт, 1988. 391 с.

2. Гозбенко В.Е., Хоменко А.П. Изменение динамического состояния упругосвязанных систем. депонированная рукопись № 1379-В2002 23.07.2002

3. Вершинский С.В. Динамика вагона. М. : Транспорт, 1991. 360 с.

4. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Гозбенко В.Е., Соболев В.И., Димов А.В., Драч М.А., Титов А.А., Богатов М.Ю., Солодов Г.С., Банина Н.В., Донская Е.Ю., Лукьянов А.В., Засядко А.А., Кузнецов Н.К. Особенности моделирования динамических процессов в задачах управления колебаниями сложных технических объектов. депонированная рукопись № 255-В2005 22.02.2005

5. Гозбенко В.Е. Методы управления динамикой механических систем на основе вибрационных полей и инерционных связей. Москва, 2004.

6. Гозбенко В.Е. Управление динамическими свойствами механических колебательных систем. Иркутск, 2000.

7. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Упырь Р.Ю., Гозбенко В.Е., Фомина И.В. Мехатроника виброзащитных систем. элементы теории. депонированная рукопись № 738-В2009 27.11.2009

8. Воротилкин А.В., Каргапольцев С.К., Гозбенко В.Е. Математическая модель динамического взаимодействия в системе "колесо-рельс" с учетом их лубри-кации. депонированная рукопись № 152-В2006 13.02.2006.

9. Ахмадеева А.А., Гозбенко В.Е. Рациональное задание числа степеней свободы динамической модели грузового вагона. Системы. Методы. Технологии. 2011. № 12. С. 25-28.

УДК 517.956

Черняева Татьяна Николаевна, к. ф.-м. н., доцент кафедры «Математика», Иркутский государственный университет путей сообщения,

тел. 89149158175, e-mail: chetn2005@yandex.ru РЕШЕНИЕ НЕ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

SOLUTION NON-STRONGLY ELLIPTIC OF SYSTEMS OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

T. N. Chernyaeva

Аннотация. В статье рассматриваются результаты исследований разрешимости задачи Дирихле для некоторых классов систем дифференциальных уравнений в частных производных специального вида. Проводится сравнение полученных разными авторами результатов разрешимости задачи Дирихле в зависимости от вида систем дифференциальных уравнений в частных производных, наличия в них дополнительных возмущений в виде параметров и в зависимости от вида областей, в которых рассматривается постановка задачи Дирихле. Особое внимание уделено результатам исследований профессора А.И. Янушаускаса. Приведены выводы о возможности разрешения задачи Дирихле для эллиптических по Петровскому систем уравнений в частных производных второго порядка, не удовлетворяющих требованию сильной эллиптичности по Вишику в различных областях и с различными границами этих областей.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, система, эллиптичная система, кососимметрическая составляющая, параметр, задача Дирихле, дифференциальное уравнение в частных производных.

Abstract. The article discusses the results of studies of solvability of the Dirichlets problem for some classes of systems of differential equations of a special form. A comparison of the obtained by different authors results of solvability of the Dirichlets problem depending on the type systems of partial differential equations, the presence of additional perturbations in the form of parameters and depending on the kind of areas where we consider the statement of the Dirichlets problem. Special attention is paid to the research results of Professor A. I. Yanushauskas. Conclusions about the possibility of solving the Dirichlets problem for elliptic systems of Petrovsky on partial differential equations of second order satisfying the requirement of strong ellipticity of Vishic in different areas and with different borders of these areas.

Keywords: differential equation, system, elliptic system, skew-symmetric component, parameter, Dirichlets problem, partial differential equation.

Введение

Важным разделом теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория краевых задач для эллиптических уравнений и систем уравнений. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка различного вида рассматривались многими авторами [1-6 и другими]. Для одного эллиптического урав-

нения с частными производными второго порядка с достаточно гладкими коэффициентами все классические граничные задачи, которые корректны для уравнения Лапласа, фредгольмовы.

Целью данной работы является рассмотрение результатов исследований разными авторами условий разрешимости задачи Дирихле для некоторых классов систем дифференциальных уравне-

нии в частных производных специального вида в различных областях с применением аппаратов различных методов исследовании этоИ разрешимости. Приводятся основные результаты таких проведенных исследовании и самим автором статьи.

Постановка задач исследований и основные результаты

Задача Дирихле для любого эллиптического уравнения второго порядка общего вида

^ д 2и ^ ди,

£ а, (X+ £Ъ, (X) -1 + с(Х)и - /(X)

,, м дх, дх, ,=1 дх,

с достаточно гладкими коэффициентами а, (X), Ъ, (X), с(X) в области Б с достаточно

гладкоИ границеИ Г также всегда фредгольмова, а при с(X) < 0 она имеет единственное решение [6].

В 1937 г. И.Г. ПетровскиИ выделил класс систем, которые называют теперь эллиптическими по Петровскому [6]. СвоИства разрешимости классических граничных задач для этого класса систем существенно отличаются от случая одного уравнения. Уже в 1948 г. А.В. Бицадзе построил пример эллиптическоИ по Петровскому системы двух уравнениИ второго порядка, для котороИ нарушалась нетеровость задачи Дирихле в круге и в полуплоскости [1]. В вещественноИ форме эту систему можно записать так

д_ дх д_

ду

-Ди + 2—(их + Vу ) - 0,

-Ду + 2—(их + Уу ) - 0,

л д2 д2

где А - —- +--- - оператор Лапласа в евклидо-

дх2 ду2

вом пространстве Я2.

Существование такоИ системы показало, что требование эллиптичности по Петровскому для исследования проблем разрешимости задачи Дирихле необходимо усилить и более тонко классифицировать такие системы по характеру разрешимости граничных задач. Поэтому в 1950 г. М.И. Вишик [3] усилил эллиптичность по Петровскому требованием сильноИ эллиптичности, сузив класс эллиптических по Петровскому систем выделением тех, для которых классические граничные задачи всегда нетеровы. Запишем такую систему в матричном виде:

(-1)п ££ А^)(X)

,-1 1-1

д2 и( X)

дх. дх.

' 1

+ Ти - /(X), (1)

где

X - (х1,..., хп ), А^')(X)

ли)

л-1,...,

, и( X) - (иД X),..., ит (X)),

матрица вектор-

/ (X) - / X),..., /т (X)) функция.

Представим каждую из матриц А(Л1')(X) в виде суммы симметрическоИ и кососимметриче-скоИ матриц

А(,') (X) - С(г'л (X) + К(г'л (X) ,

где С -1(А + А*) и К - 1(А - А*) (А * - матрица, транспонированная (сопряженная) относительно А).

Система (1) называется сильно эллиптиче-

п

скоИ в точке X, если матрица £ С ^1 -'(X )««,

,, 1 -1

где С(г'1')(X) - симметрическая часть матрицы А(1,1)(X), является положительно определенноИ (отрицательно определенноИ) для любых деИстви-тельных чисел а^...,«п, не обращающихся в нуль одновременно [3].

Среди не сильно эллиптических систем есть системы, для которых граничные задачи являются корректными, и есть системы, для которых их корректность нарушается.

Элементарным случаем не сильно эллипти-ческоИ системы является система уравнениИ в частных производных второго порядка общего вида

, д ^ д и,

-Дм. + X-£ —- 0, 1 -1,...,

д х, д х1

п,

(2)

где X - вещественныИ параметр, и которую можно считать модельноИ, сравнивая результаты исследованиИ другого вида не сильно эллиптических систем с данноИ. Система (2) при x ф 1 эллиптична по Петровскому, при x < 1 - сильно эллиптическая, при x > 1 - не является сильно эллиптическоИ, а при x -1 система (2) вырождается [1]. При x - 2 и п - 2 система (2) является системоИ А.В.Бицадзе в вещественноИ форме. Задача Дирихле для системы (2) при x ф 2 фредгольмова в лю-боИ области с гладкоИ границеИ [2, 7, 4, 5, 8, 9, 10]. Разрешимость краевых задач для систем типа (2) для различных областеИ исследовалась в работах А.И. Янушаускаса, Г.В. ВасильевоИ, Е.А. Головко и других авторов [2, 11, 4, 5, 8, 9, 10]. Результаты исследованиИ задачи Дирихле для не сильно эллиптических систем специального вида в различных областях приведены также в работах [12, 13, 14]. Приведем основные постановки задач и результаты исследованиИ некоторых из этих авторов.

Механика

В работе [12] рассмотрена система Ли = \НХ + ц Ну -ц2 Н2.

Ду = ХНу + цзН2 -ц Нх, (3)

дн = ХН + ц 2 Нх з Ну .

где введено обозначение

Н = ^ + Уу + . (4)

Эта система эллиптична при х ф 1, а функция Н в этом случае гармонична. Исследована в

шаре Е: {х2+у2+22<1| задача Дирихле с граничными условиями

Г = /1. У Г= /2. Н| Г= /3. (5)

где Г - сфера: {х2 + у2 + = 1}. а /и/2./3 -дифференцируемые функции.

Получены следующие результаты: если

Хф 2 +—. п = 1,2'..., то задача Дирихле для систе-п

мы (1) всегда разрешима и ее решение единственно. Если Х = 2 + — , то задача Дирихле - фред-п

гольмова. Если Х = 2 + — и если ц2 + ц2 + ц\ ф 0,

п

то одно линейно- независимое решение у однородной задачи и одно условие разрешимости у неоднородной задачи. А при х = 2 от функций /г надо требовать существование вторых производных [12, с. 314].

Результаты исследований задачи Дирихле для системы (3) в полупространстве Е: {ах + Ьу + 02 > 0} с граничными условиями (5), где Г: плоскость ах + Ьу + 02 = 0 , а /1. /2. /3 -достаточно гладкие функции, стремящиеся к нулю на бесконечности, приведены в работах [13, 14]: задача Дирихле для не сильно эллиптической системы (3) в полупространстве Е с граничными условиями (5) при любых ц. ц2. ц3. х ф 2 и дифференцируемых функциях /1. /2. /3 всегда разрешима и ее решение единственно. А при х = 2 нарушается условие нормальности задачи Дирихле (условие Шапиро- Лопатинского) [15].

В работе А.И. Янушаускаса [9] в пространстве размерности п = 2к переменных (X. У).

X = (х1.....хк ).У = (у1.....ук ). рассмотрена система уравнений

1 д° Ш а -Ли. + Х--ц-= 0.

дх. ду .

] у ]

.дО дН . -Ду. +Х-+ ц-= 0. ] = 1....к.

3 ду1 дх]

(6)

где

о=Х (^). Н=Х (-ди

1=1

1=1

ду,-

ду, ■ + —-).

дх,

(7)

При х ф1 и ц Ф1 система (6) эллиптична по Петровскому и все компоненты любого решения системы (6) с такими Х и ц являются бигармониче-скими функциями. Поставлена задача Дирихле для системы (6) с граничными условиями

|Г = Р, . У1 |Г = ё,. 1 = (8)

где р1 и ёг предполагаются непрерывно дифференцируемыми функциями, граница к к Г: {н > 0}. Н = X(ах + Р,у,). X(а2 + Р2) = 1.

1=1 1=1

В работе [9] доказано, что если выполнено условие (х-2)(ц-2)(2- х-ц) >0 и Хф 1, цФ 1, то задача Дирихле (8) с непрерывно дифференцируемыми граничными данными для системы (6) в любом полупространстве Е: Н > 0} всегда разрешима и ее решение единственно в классе ограниченных на бесконечности функций [9, с. 1437]. А для любой ограниченной области О с гладкой границей Г задача Дирихле с непрерывно дифференцируемыми граничными данными фредгольмова [9, с. 1441].

В работе А.И. Янушаускаса [8] рассмотрена система уравнений

, д ^ д и, .

-Ди,. +Х,. --X —'- = 0. ] = 1.....п.

^^ я v

] ] д х^^ д х,.

(9)

Для задачи Дирихле для этой системы (9) в полупространстве Е: {уп > 0} с граничными условия-

ми

уп=0

= /,(Уl'...'Уn-l)' ] = 1.....П, (10)

получены следующие результаты: если в системе (9) параметры Х 3 удовлетворяют неравенствам

х, < и = 1.....П.

либо

неравенствам

Х] <2. j = 1.....П.то задача Дирихле (10) для системы (9) в любом полупространстве Е разрешима для любых дифференцируемых данных и ее решение единственно [8, с. 229]. В этой же работе для системы (9) задача Дирихле приведена в следующей постановке: в ограниченной области О с гладкой границей Г найти регулярное решение u1'...'un системы (9), непрерывно дифференцируемое в замкнутой области О и Г и удовлетворяющее условиям

И] IГ= /]. j = 1.....п (11)

на границе Г. Здесь / - заданные непрерывно

дифференцируемые на Г функции. При помощи аппарата сингулярных интегральных уравнений получен следующий результат: задача Дирихле

и

(11) для системы (9) в любой выпуклой области D с гладкой границей Г фредгольмова, если все X. < 1 либо xJ < 2 [8, с. 234].

Заключение

Исследованы вопросы разрешимости граничных задач для некоторых классов эллиптических по Петровскому систем. Для этого данные задачи сводятся к задачам и уравнениям, которые уже изучены и для которых существуют результаты (подробнее методы такого сведения этих задач рассмотрим в следующей статье).

Эллиптические по Петровскому системы уравнений в частных производных второго порядка, не удовлетворяющие условию сильной эллиптичности, до настоящего времени в прикладных задачах не возникали. При x < 1, то есть сильно эллиптическая система (2), встречается в стационарной изотропной теории упругости (при n = 3 она представляет собой уравнения равновесия в проекциях перемещения в задаче о свободных колебаниях), а при n = 3, X > 1, то есть не сильно эллиптическая система вида (2), физического смысла не имеет. Но для математиков исследование таких систем представляет значительный интерес.

В приложениях не сильно эллиптические системы могут возникнуть в результате линеаризации нелинейных уравнений либо в результате разделения переменных.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981-448 с.

2. Васильева Г.В. В Интегральные-дифференциальные уравнения и их приложения. Иркутск: ИГУ, 1988 . с. 119-124.

3. Вишик М.И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений. Мат. сб., 1995. Т. 29. №3. С. 615-677.

4. Янушаускас А.И. Задача о наклонной производной теории потенциала. Новосибирск: Наука, 1985. 262 с.

5. Янушаускас А.И. Граничные задачи для эллиптических уравнений в частных производных и интегро-дифференциальные уравнения. Иркутск : ИГУ, l997. 168 с.

6. Miranda C. Partial Differential Equations of Elliptic type. Berlin-Heidelberg - N.Y., 1970. 370 p.

7. Халилов Ш.Б. Задача Дирихле для одной многомерной эллиптической системы уравнений в частных производных//Исследования по многомерным эллиптическим системам уравнений в частных производных. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1986. С. 119-128.

8. Янушаускас А.И. Задача Дирихле для эллиптической по Петровскому системы уравнений второго порядка // Сибирский математический журнал, 1999. Т. 40. №1. С. 226-234. Новосибирск : Ин-т математики.

9. Янушаускас А.И. Задача Дирихле для эллиптической по Петровскому системы уравнений четного числа уравнений второго порядка // Сибирский математический журнал, 1998. Т. 39. №6. С. 1435-1443. Новосибирск: Ин-т математики.

10. E.et F.Cosserat. // Comptes Rendus des sйances de l'Acad.d.Sciences Francaise, 1898. V. 126, p. 10891091.

11. Головко Е.А. Задача Дирихле для не сильно эллиптической системы уравнений второго порядка// Дифференциальные уравнения и их применение. Вильнюс, 1997. Вып. 40. С. 9-15.

12. Сыренная Т.Н. Задача Дирихле в шаре для не сильно эллептической системы//Доклады Академии Наук , 1997. Т. 354. №3. С. 313-315.

13. Черняева Т.Н. Задача Дирихле для одной системы дифференциальных уравнений в частных производных/Современные технологии. Системный анализ. Моделирование, 2015. №2 (46). С. 32-34. Иркутск: ИРГУПС.

14. Черняева Т.Н., Миндеева С.В. Возможности решения задачи Дирихле для некоторых классов систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка // В мире научных открытий. Сер.: Естественные и технические науки , 2014. №12 (60). С. 568-571.

15. Шапиро З.Я. Об эллиптических системах уравнений с частными производными // Докл. АН СССР, 1945. Т.46. №4. С. 146-149.