О разрешимости задачи Дирихле для многомерной эллиптической системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Андрей Александрович Кожевников, зам. директора института

НГИУВ - филиал ФГБОУ ДПО РМАНПО Минздрава России

Эл. почта: [email protected] Россия, Новокузнецк

Andrey Aleksandrovich Kozhevnikov

Deputy Director of the Institute

NSIFTPh - Branch Campus of the FSBEIFPE

RMACPE MOH Russia

Е-mail: [email protected]

Russia, Novokuznetsk

УДК 517.956 Е.А. Головко1, Г.А. Тренёва2

1 Иркутский государственный университет 2Иркутский национальный исследовательский технический университет

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ МНОГОМЕРНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами могут моделировать процессы в изотропной теории упругости. Они принадлежат разным гомотопическим классам в зависимости от точки области, в которой рассматриваются. Многообразия вырождения разбивают первоначальную область на части. Целью работы является изучение влияния такого вырождения на характер разрешимости граничных задач.

Ключевые слова: эллиптические системы; вырождение; видоизмененная задача Дирихле.

Е.А. Golovko1, G.A. Treneva2

1 Irkutsk State University 2Irkutsk National Research Technical University

ON THE SOLVABILITY OF THE DIRICHLET PROBLEM FOR A MULTIDIMENSIONAL ELLIPTIC SYSTEM

Systems of differential equations with variable coefficients can to simulate processes in isotropic elasticity. They belong to different homotopic classes depends on the domain point at which this system is considered. The degeneration manifolds split the original region into parts. The aim is to study the influence of such degeneration to the solvability character of the boundary value problems. Keywords: elliptic systems; degeneration; modified Dirichletproblem.

Для сильно эллиптических систем уравнений в частных производных второго порядка в достаточно малой области с гладкой границей задача Дирихле с любыми непрерывными граничными данными всегда разрешима и её решение единственно. Такие системы встречаются в стационарной изотропной теории упругости. В настоящее время системы с многими независимыми переменными, не удовлетворяющие условию сильной эллиптичности по Вишику, ещё недостаточно изучены. Для математики исследование таких систем важно и актуально. В [1] рассмотрена многомерная система с переменными коэффициентами

д n du ■

-Auj = ° j = I'-'" ,

dxj i=1 dxi

которая эллиптична при Л(X) ф 1, а при Л(Х) < 1 сильно эллиптична. При Л(X) = 1 система вырождается, причем ее характеристический определитель обращается в ноль тождественно. Доказано, что задача Дирихле для этой системы в полупространстве E :{xn > 0} и в шаре

при Л(X) ф 1, Л(X) ф 2, Л(Х) е С1а(Б и Г) фредгольмова.

Исследована разрешимость видоизмененной задачи Дирихле в двумерном пространстве для подобных систем с матрицей Л^) следующих видов:

2 2 2

Л(X) ф х2 в полукруге D :{x1 + (Х2 -1) < R , - R < X1 < R, X2 > 1},

Л(Х) = х2 + х22 в круге Б: (х^ + х22 <Я2,Я > 1},

Л(X) = /(х15 х2) в области Б : {f (х15 х2) > 1} с границей Г :{/(х1, х2) = 1} и

Л(Х) = х2к +1 в полупространстве Н :{х2 > 0} и в полосе Б :{0 < х2 < И},

д д -Аи + ^ ~дкх (их1 + Ух2) + ^ (их1 + Ух2) = 0

д д + & Т- К + ^ + g2— К + ^ ) = 0

дх1 дх2

в области Б: {4(f -1)(gг -1) - (^ + & )2 > 0}.

В [2] доказана фредгольмовость задачи Дирихле в ограниченной области с ляпуновской границей для многомерной эллиптической системы при Л ^ 1, Л ^ 2

д n n ди- n

— L[Uj ] + ^XX aik (X) f^ + X dxj i=ik=1 dxk k=1

X bjk (X) ^ + Cjk (X)

1=1 dx

= fj (X), j = 1,..., n,

где

L[uj] = X-д- Xaik(X)^, j = 1,...,n,

n Я n ди

■j] = n dt n«ik ( x ) §j

i=1 dxi k=1 dxk

для которой нарушается условие сильнои эллиптичности.

В [3] методом эллиптической регуляризации доказаны существование и единственность решения ■(X) £ C (G) П C(G) первой краевой задачи с условием

и (X) = 0, X £ Г

для системы

m д2и m ди

Ци] - X ay (.X)—— +Xb(X)— + C(X)и = F(X) i, j=1 dxidxj i=1 dxi

с неотрицательной характеристической формой

m 2 _ _

Xaj\\j > a(X)\\\ > 0 e G V\ e Rm, Gq = {X : a(X) = 0} с Q, G с G

i, j=1

в следующих предположениях

(C(X)\ • \) < -c0\ в G V\ e Rm, c0 = const > 0,

bi(X) = o(al /2(X)) i

= 1, m,

daF (X)

дхц ...dxn

= o(a1/2(X)) a< 3.

Интересные результаты получены также в работе [4]. Но в теории эллиптических систем ещё много неясных вопросов. Одним из них является вопрос о том, как влияет структура системы на разрешимость задачи Дирихле.

Рассмотрим систему П дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с П неизвестными функциями Щ, I = 1,...,П , каждая из которых зависит от П переменных х;, I = 1,...,П, и вещественной функцией Л(Х), X = (х1,...,хп),

д ^ дщ

дх У i=1 дх( ' " ' ' (1)

Предположим, что Л(X) ^ 0 в области Б с гладкой границей Г , в которой Л(X) < / (или Л(X) > л), а на границе Л(X) = / , то есть в области Б система (1) эллиптична, а на всей границе вырождается, причем предполагается, что

— Л(X)Auj + = 0, j = 1,...,n.

§гас1 --0 на Г .

1Л(Х) J

Для решения и = (и1,..., ип) введем обозначение

п дин (х). 1=1 1

Поделив каждое уравнение системы (1) на Л(X) ^ 0 , получим

цдН

-Аиу +ЛХ)дХ]=07=и'п. (2)

Продифференцируем ]-е уравнение системы (2) по X,, ] = 1,...,п, и сложим результаты

n

-AH + Y —

j=1dxj

(

U дН

л( x) дх

j

= °.

Получим уравнение

n д 17 и, Л дН п

И -1 — = °. (3)

n д L(H) - Y д

j=1дХ/

Л( X)

dxj

Докажем, что непрерывно дифференцируемое в области О решение Н уравнения (3) постоянно.

Действительно, в силу формулы Остроградского выполняется равенство

ц ^п ЛдН

< х;

так как Л(X) | г = И • С другой стороны

DL( Н 2)dX =21Н [лcX)-/г*' х/ ) = °'

J l(h 2)dX=2 jf^- Oy

D D

откуда следует, что

Л( X )

f \ дН

2

j=1

дх,-v j

dX = °,

дН n • ,

—=a j=n, dxj

следовательно, H = const.

Если функция и 1 аналитическая, то коэффициенты уравнения (3) также аналитиче-

Л( X)

ские, поэтому в окрестности Г уравнение (3) имеет два семейства решений, одно из которых состоит из аналитических на Г функций, а во второе входят функции с логарифмическими особенностями [5]. Поэтому всякое ограниченное решение уравнения (3) постоянно.

Следовательно, для любого дважды дифференцируемого в области D решения U системы (1) функция Н (X) постоянна в D.

Будем искать непрерывно дифференцируемое в области D и Г решение системы (1), удовлетворяющее граничным условиям

u- |г = fj (Х1,..., Xn ), j = 1,..., n -1, fj е C*( Г). (4)

Как уже доказано, все компоненты решения этой задачи гармоничны в D и связаны соотношением

n д^ (5)

Y—- = c, c = const. v-v

i=1 дХ

Условиями (4) n -1 компонента решения задачи определяется единственным образом как решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа

Аиу = 0, у = 1,...,п -1.

Поскольку обе части равенства (5) гармонические, то из выполнения его на Г следует, что оно выполняется и всюду в Б , поэтому для ип имеем граничное условие

диП

дхП

П—1

ди,

= с - Р^), Р^)

Г

,=1 дх,

(6)

Г

Таким образом, для регулярной в области Б гармонической функции ип получили задачу о наклонной производной с краевым условием (6), из которого следует [6]

иП (^^) = схп + Р(х1 хП-1) + ®П (^^) ,

где ®П - регулярная в области Б гармоническая функция, которая однозначно определяется функцией Р(X), а р - произвольная регулярная в области Б гармоническая функция переменных х1,...,хп-1. Если в области Б переменная хп не ограничена, то необходимо полагать с = 0. Функция ип дифференцируема в тех точках границы, в которых нормаль к Г не ортогональна направлению оси Охп [5].

Пусть теперь Л(X) = / не на всей границе Г = Г0 и Г области Б, а только на ее части Г0.

Постановка видоизмененной задачи Дирихле: найти регулярное в области Б решение системы (1), удовлетворяющее граничным условиям

Г

= /у, у = 1,...,п -1, /у е С2(Г), н(X)|Г = £^

Г дх,-

= 8, я е С1( Г1),

Г1

(7)

а на Г о потребуем лишь ограниченности Н (X).

Краевая задача (7) для вырождающегося уравнения (3) разрешима и ее решение единственно, Н е С (Б и Г) [5]. По уже известной функции Н(X), однозначно определяемой функцией 8 , первые П -1 компонента решения находятся единственным образом как решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона

л дН

Аи,- =—---,

1 Л^) дху

и А = , 1 = 1,...,п -1.

1 1г •'у'-'

Зная функции Н и и, е С2(Б и Г), у = 1,...,П -1, для функции ип приходим к задаче о

наклонной производной

дип

дхп

Аип =

= 8, Я

Г

/ дН

Л(X) дхп '

Н (X) -Е^ ,=1дх,

Г

решение которой определяется с точностью до произвольной гармонической функции д( х1,..., хп-1), регулярной в области й.

Всякое решение уравнения (3), постоянное по одну сторону поверхности Л(X) = /, в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций продолжается постоянной и по другую

и

сторону этой поверхности [5], т.е. лемма Хольмгрена для этого уравнения остается справедливой и на поверхности вырождения N :{Л(X) = /}. Если область D вместе с поверхностью N целиком содержит область E : ^(X) < или E : {Л(X) > /}, то для любого трижды дифференцируемого в области D решения системы (1) функция Н (X) постоянна в D . Следовательно, характер разрешимости задачи (4) для системы (1) остается таким же, как и в области, ограничиваемой поверхностью вырождения, и в любой области, содержащей подобласть, ограничиваемую поверхностью вырождения.

Полученные результаты сформулируем в виде теоремы.

Теорема. Видоизмененная задача Дирихле для системы (1) с Л(X) ^ 0 в области D разрешима; n -1 компонента ее решения определяется единственным образом, а un - с точностью до произвольной гармонической функции переменных Xj,...,Xn-, регулярной в области D

Литература

1. Абдрахманов А.М. Задаче Дирихле для многомерной эллиптической системы с переменными коэффициентами // Дифференц. Уравнения. 1989. Т. 25. № 3. С. 517-520.

2. Халилов Ш.Б. О разрешимости задачи Дирихле для многомерных эллиптических систем // Дифференц. Уравнения. 1990. Т. 26. № 9. С. 1621-1626.

3. Rutkauskas S. On the first boundary value problem for a system of elliptic equations with nonnegative characteristic form // Lithuania, Vilnius: Institute of mathematics and informatics. 1994. -Preprint, N. 17. 19 p.

4. Тренёва Г.А. О корректности задачи Дирихле для эллиптической системы, вырождающейся в нуле и на n-мерной сфере // Вестник иркутского государственного технического университета. - Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2015. № 6. С. 141-146.

5. Янушаускас А.И. Многомерные эллиптические системы с переменными коэффициентами. - Вильнюс: Мокслас, 1990. 180 с.

6. Янушаускас А.И. Задача о наклонной производной теории потенциала. Новосибирск: Наука СО, 1985. 262 с.

Сведения об авторах

Елена Анатольевна Головко

к.ф.-м.н., доцент

ФГБОУ ВО «Иркутский государственный университет»

Эл. почта: [email protected]

Россия, Иркутск

Галина Александровна Тренёва

к.ф.-м.н., доцент

ФГБОУ ВО «Иркутский национальный исследовательский технический университет», Эл. почта: [email protected] Россия, Иркутск

Information about authors

Elena Anatolievna Golovko

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor Irkutsk State University E-mail: [email protected] Russia, Irkutsk

Galina Alexandrovna Treneva

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor

Irkutsk National Research Technical University E-mail: [email protected] Россия, Иркутск