Задача Дирихле для одной системы дифференциальных уравнений в частных производных Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

УДК 517.956 Черняева Татьяна Николаевна,

к. ф.-м. н., доцент кафедры «Математика», Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 89149158175, e-mail: [email protected]

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

T. N. Chernyaeva

THE DIRICHLET PROBLEM FOR A SYSTEM OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

Аннотация. Рассмотрено поведение решений задачи Дирихле для одного класса систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с дополнительными возмущениями в виде кососимметрической составляющей в системе уравнений, с изменением рассматриваемых граничных условий и рассматриваемых областей. Применены различные методы исследования задачи Дирихле для этой системы и поставлена задача продолжения этих исследований с выходом на обратные задачи. Рассмотрены особенности и общее получаемых условий разрешимости задачи Дирихле в зависимости от изменения рассматриваемых областей. Приведены виды задач, к которым сведены рассматриваемые задачи Дирихле и указаны условия единственности решения этих задач. Обобщены исследования, проведенные ранее. Сделан вывод о влиянии кососимметриче-ской составляющей системы на характер разрешимости задачи Дирихле для рассмотренных областей.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, частные производные, Дирихле, эллиптическая система.

Abstract. The behavior of solutions of the Dirichlet problem for a class of systems of partial differential equations of second order with additional disturbances in the system of equations, with changes in the considered boundary conditions and areas is considered. Various methods of research are applied and the task to continue these studies with access to inverse problems is set.

Keywords: differential equations, partial differential, Dirichlet, elliptic system.

Введение

При исследовании граничных задач для эллиптических систем уравнений в частных производных очень важным является поведение дополнительных параметров, добавляемых в такого вида системы, их влияние на разрешимость граничных задач.

Постановка классических граничных задач для уравнения Лапласа (задачи Дирихле и Неймана, третья граничная задача) связана с физическими приложениями. Все эти задачи корректны и для любых эллиптических уравнений с частными производными второго порядка. Многие свойства эллиптических уравнений обобщаются на эллиптические системы уравнений в частных производных [1].

В этой статье сделано обобщение проведенных исследований с позиций получаемых особенностей методов решения для решения граничной задачи Дирихле.

Задача Дирихле

По Лаврентьеву, сильно эллиптической является система, правая часть которой обращается в нуль, когда сама функция обращается в нуль [2]. Рассмотрена система трех дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка следующего вида:

-Ли + Х-^-(и + V + м ) + (и + V + м ) -

х у г ' V х у г /

X о у

-Av + k—(их + v + ) + + К + ) -

д у

д z

(ux + Vy + Wz ) =

д x

д

-Aw + X—(Ux + vy + w2) + v2—(ux + vy + w2) -д z д z

(1)

' д y'

— (Ux + vy + W) =

_д_ eZ

^2—(Ux + vy + Wz ) = 0,

где X, ^, ц2, Из - постоянные коэффициенты. Эта

система характеризуется наличием кососимметри-ческой составляющей в своей структуре. Влияние этой кососимметрической составляющей на условия решения системы и рассмотрено. Исследования показывают, что данная система (1) является эллиптической по Петровскому при X Ф 1 и не сильно эллиптической по Вишику при X > 1. При условии X >1 рассматривается решение задачи Дирихле в двух областях в следующих постановках:

1. Найти регулярное в полупространстве

Е : \ах + Ьу + сг > 0}, исчезающее на бесконечности решение и, V, м системы (1), которое удовлетворяет на границе Г полупространства Е граничным условиям

и\Г= А Г= М Г= ^ (2)

где Г : плоскость ах + Ьу + сг = 0, а /, /, / -достаточно гладкие функции, стремящиеся к нулю на бесконечности [3].

32

Современные технологии. Системный анализ. Моделирование № 2 (46) 2015

Механика

2. Найти регулярное в шаре Е : { х Ч у 2+7 2< 1 } решение и, v, w системы (1), которое удовлетворяет на границе Г шара Е граничным условиям (2), где Г : сфера х2 + у2 + г2 = 1, а , /2, /3 -достаточно гладкие функции.

В результате исследований задача Дирихле в первой области сводится к задаче о наклонной производной, из разрешимости которой сделан вывод, что задача Дирихле для не сильно эллиптической системы (1) в полупространстве Е с граничными условиями (2) при любых , р2, р3,

X Ф 2 и дифференцируемых функциях , /2, /ъ всегда разрешима и ее решение единственно. А при X = 2 нарушается условие нормальности задачи Дирихле (условие Шапиро - Лопатинского) [4]. Для второй области задача Дирихле свелась к задаче о косой производной (задаче Пуанкаре) для регулярной в шаре Е гармонической функции К , являющейся компонентой решения задачи Дирихле. При x ф 2 выполняется условие нормальности полученной задачи, следовательно, задача Дирихле всегда фредгольмова. Дополнительно появляется требование дважды дифференцируемости функций из условий (2) в случае шара. В более

общем виде условие разрешимости задачи Дирихле для второй области можно сформулировать следующим образом [5]: если

Хф 2 + -1, к = 1, 2, ..., то задача Дирихле для не

к

сильно эллиптической системы (1) с граничными условиями (2) в шаре Е всегда разрешима и ее решение единственно, если функции , /2, /ъ в условиях (2) - дифференцируемы. Если

X = 2 + -1, к = 1, 2,..., то задача Дирихле - фред-к

гольмова. При этом, если х = 2+1 и если

к

р2 + р2 + р2 Ф 0, то однородная задача имеет одно линейно независимое решение и одно условие

разрешимости имеет неоднородная задача. А при X = 2 от функций ^ надо требовать существования вторых производных.

Заключение

Вопрос разрешимости задачи Дирихле для не сильно эллиптической системы (1) в различных областях сведен к изучению различных уравнений с частными производными второго порядка, являющихся условиями классических граничных задач и зависящих от вида области. Идут исследования для решения задачи Дирихле для системы (1) методами обратных задач и выходом в многомерные пространства. Доказана инвариантность эллиптичности не сильно эллиптических систем относительно введения дополнительных параметров в характеристическую матрицу системы и показано, что коэффициенты р. кососимметрической составляющей характеристической матрицы системы (1) оказали влияние на характер разрешимости задачи Дирихле для системы (1) в полупространстве и в шаре.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Янушаускас А.И. Граничные задачи для эллиптических уравнений в частных производных и интегро-дифференциальные уравнения. Иркутск : Изд-во ИГУ, 1997. 168 с.

2. Вишик М.И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1950. Т. 74. № 5. С. 881-884.

3. Черняева Т.Н., Миндеева С.В. Возможности решения задачи Дирихле для некоторых классов систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка // В мире научных открытий. Сер.: Естественные и технические науки. 2014. № 12 (60) С. 568-571.

4. Шапиро З.Я. Об эллиптических системах уравнений с частными производными // Докл. АН СССР. 1945. Т. 46. № 4. С. 146-149.

5. Сыренная Т.Н. Задача Дирихле в шаре для несильно эллиптической системы // Докл. АН СССР. 1997. Т. 354. № 3. С. 313-315.

Современные технологии. Системный анализ. Моделирование № 2(46) 2015

33