CC BY
8
МАТЕМАТИКА MATHEMATICS
УДК 517.926.4
DOI 10.18413/2075-4639-2018-50-4-373-383
РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА, СОДЕРЖАЩЕГО РАЗЛИЧНЫЕ ВЕСОВЫЕ ФУНКЦИИ
SOLVABILITY OF THE DIRICHLET PROBLEM FOR ONE CLASS OF HIGH ORDER DEGENERATING ELLIPTIC EQUATION CONTAINING VARIOUS WEIGHT FUNCTIONS
А.В. Глушак A.V. Glushak
Белгородский национальный исследовательский университет, Россия, 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85
Belgorod National Research University, 85 Pobedy St, Belgorod, 308015, Russia
E-mail: [email protected]
Аннотация
Устанавливается разрешимость задачи Дирихле для линейного дифференциального уравнения высокого порядка с двумя вырождающимися эллиптическими операторами.
Abstract
Solvability of the Dirichlet problem for a linear differential equation of high order with two degenerate elliptic operators is established, which makes it possible to investigate the unique solvability of this problem.
Ключевые слова: вырождающиеся дифференциальные уравнения высокого порядка, задача Дирихле, однозначная разрешимость.
Keywords: degenerate differential equations of high order, the Dirichlet problem, unique solvability.
Введение
Дифференциальные уравнения с обращающимся в нуль коэффициентом при старшей производной не вписываются в рамки стандартной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и давно привлекали внимание широкого круга исследователей. Обзор литературы по уравнениям с неотрицательной характеристической формой, которые, в частности, включают вырождающиеся дифференциальные уравнения второго порядка в частных производных можно найти в [1, 2]. В этих работах уже рассматривались вырождающиеся эллиптические граничные задачи, содержащие производные с различными весовыми функциями. В отличие от указанных работ [1, 2] в настоящей работе в уравнение введён регулярный эллиптический оператор порядка 21, что приводит к изменению в постановке граничных условий. Предложен метод доказательства однозначной разрешимости задачи Дирихле. Отметим, что априорная
оценка решения указанной задачи Дирихле доказана ранее в статье [3], а представление суммы регулярного эллиптического оператора и вырождающихся эллиптических операторов высокого порядка в виде композиции похожих по структуре операторов установлено в [4]. Укажем также источники [5-14], в которых исследовались близкие задачи или были использованы похожие методы.
Постановка задачи
В полосе D = [о, d]х r рассмотрим задачу Дирихле для дифференциального уравнения высокого порядка с постоянными коэффициентами
L2m D, Dy ju(x, y) + L2p D, Dy jU (x, y) + L2l (dx , Dy jU(x, y) = F(x, y), (1)
и (d, y) = a ии (d, y) = • • • = a mU (d, y) = о, (2)
и (о, y) = a xU (о, y) = • • • = al;U (о, y) = о, (3)
где l < p < m - натуральные числа, ^ = j - мультииндекс,
L2m (x, j;) = a,x2m + a2i;2m + a3, L2p (x, j;) = b,x2p + bgp + b3, L2l (x, j;) = d,x2' + dg' + d3,
DyU(x,y) = D* ••• D^U(x,y), DyU(x,y) = -idyU(x,y),
DJU(x,y) = ija(x)dx(ja(x)U(x,y)j, a(x) e C2т[о,d], а(о) = о, a(x) > о при x>о. Аналогично Da определяется оператор dp . Коэффициенты a,aab b,d,d - действительные постоянные числа.
Условие 1. Многочлены L2m (x,^),L2p (x,^j и L2l (x, положительны при любых
(x, 0 e Rn+l.
Условие 2. Пусть a(x), ß(x) e C2m [о, d] и lim a(x) = о. Пусть также axa(0) = аДо) = о .
ß(x)
i m( Л Y'(m-P)
Условие 3. Функции y(x) = ßp/(m-p)(x) и S(x) = | a (x) 1 принадлежат C2m[0,d] и при
l.ßp (x) )
этом аxу(о)=а до)=о.
Q/ \
Условие 4. а) Пусть r = p -1 > q = m - p и lim-<<» , что равносильно условиям
y( x)
„ ^ , am/(m-p)( x)
2p >m +1 и lim . ,,.,,—-Ц-— <да.
;г^о+ ßp(m-')/((m-p)ip-')) (x)
где mo =
a
ß2 - (х)
2/( р - /) ^
б) Если хотя бы одно из условий п. а) не выполнено, то потребуем, чтобы lim— ^— = 0,
m - /
([.] - целая часть числа).
Обозначим через Я2^2p'21 (D) пространство функций U(х,y)еL2(D) , для которых
a,ß
конечен квадрат нормы
III U (х, J) f =1 J J1 + 2 ÍHAMX ¡í)|2 dxd^ + ]f J J (l + 2 }P~J\Dßju(x, Q|2 dxd^ +
j=0 -w 0 j=0 -w 0
+ Z J J(l + 132ГÍD>(x,Of dxdl,
j=0 -w 0
w
где u(x,£) = FJ^Ju(x,j)] = Ju(x,j)exp(-iiy)dy - преобразование Фурье функции U(x,j) eL2(D)
'XJ
по переменной y е Rn. Через FHl"'2 р'2' (D) мы будем обозначать пространство образов Фурье по переменной y е Rn функций из пространства H1"'2p'2' (D).
Теорема 1 [3]. Пусть выполнены условия 1, 2 и F(x,y) е L2(D). Тогда для функций u(X' 5) е FH1™^p'2' и U(x, y) е H2™^p'2', являющихся соответственно решениями задач (4) - (6) и (1) - (3), выполнены априорные оценки
£( - |5|2Г|D2u(X'5)||2 + £( + |5|212"||4u(x,5)10 + £ 1 + И212'" \D'„u(X'5)12 s 4f (X'ВЦ ,
'=о '=о '=о
|U(X'y)||| < cJJ|F(X'y)2 dxdy
D
с постоянной c > о не зависящей от u(x, 5Х f (X' 5X U(X' y)' F(X' y).
Определение. Будем говорить, что оператор Llm (d„ ' £,) + L2p (£>р ' 5)+L2l (dx '5) при |В<^о принадлежит классу эквивалентности |м2г (Dy' 5)0M2q(Ds' 5)0M2l (Dx' 5)} , порождённому композицией операторов M2r (Dy' 5)' M2q (Ds' 5)' M2l (Dx' 5), если для любого e0 > о существует такое d = d (е0), что при о < x < d (е0) имеет место представление
M2r D' 5)0M2q (Ds' 5)0M2l (Dx'5)-L2m(Da'5)4 5)" L2p (Dp'5)45)"L2l(Dp'5)4' 5) = T(x, 5>45)' при этом для любых u(X' 5) е FH1"'2p'2' (D) и |5|<^0 справедлива оценка
||T (X' 5)u( X' 5)|| <S()( u(X' 5)),
где II - II - L2 -норма, (u(X'5))2 = JI XjX'5)2 +£|Dju(X'5)2 +£|Dju(X'5)|2 I dx .
Теорема 2 [4]. Пусть выполнены условия 1-4. Тогда существуют такие операторы
M2r , ^ , M2q (Рв, О , M2l (Dx, Й и число ^ > 0 , что сумма ^ (Ц> ^ + L2p , L2/ (Ях, Й при
|§|<Х0 принадлежит классу эквивалентности М2г , §)0 М2ц (Д, §) о Ы21 (Ох, §)} ,
порождённому композицией этих операторов.
Наряду с задачей (1) - (3) рассмотрим задачу
L2m (Д, §)и(х, §) + L2p (ор, §)и(х, §) +12/ , §)и(х, §) = /(х, а (4)
и(й, §)=дхп(й, §)=•••=ат §)=0, (5)
и(о, §)=9x^(0, §)=••• = аХ_1м(0, §) = 0, (6)
полученную из задачи (1) - (3) после применения преобразования Фурье ^У^М по переменной у е К„.
Как будет показано далее, для разрешимости задачи (4) - (6) достаточно установить разрешимость при § < следующей граничной задачи:
М 2г (д>М2? (д) о М2/ &, §)и(х, §) = /(х, §), /(х, §) е Д(0, ¿), (7)
и(й, §) = а хп(й, §) = • • • = а т;1п(й, §) = 0, (8)
и(0,0=ахи(0, §)=-=а х_1и(0, §)=0. (9)
Для дальнейшего удобно ввести обозначение
М- 2/&,§и(х,§) = Чх,§), М2д (д>(х,§) = Цх,§), и тогда уравнение (7) можно записать в виде системы
М 2г (Д>(х, §) = /(х, (10)
М1Ч (я8)у(х,§ = ^(х,. (11)
М2/ (Ях )и(х, §) = Чх, §). (12)
Для общего решения х, ¡) уравнения (10) справедливо представление (см. [2])
^ х, ¡) = 1 ^^ ^[¡уЮ/](х, ¡),
2л^/у(х) у! м+г М I Х У(5) ,1 л/т(х) где М2 р (X, ¡) = М2+р (X, ¡М-р (X, ¡) - факторизация по X эллиптического многочлена М 2 р (X, ¡0, У1 - контур на комплексной плоскости, охватывающий корни многочлена М+р (X, ¡) ,
0^ = 1 екX44 - некоторый многочлен степени г -1, Б - оператор сужения на (0,г), ху (г)
4=1
7 7$
- функция обратная функции г = |-,
^[лШ/Ь= ^Б/л/у(Х)/(х,ехр(- ,ту)7у7т .
2 л м 2г (Т) 0 х=х, (г)
Аналогично для решения v( х, ¡) уравнения (11) справедливо представление
к(х, ¡) =-1= 1 ©^ expí/X 7—17X + —Я \Мх)м\х, ¡),
^2лЛ/8(Х) | м2; (X) р[ | 8(5) J Т8(Х) ^ , '
где М2д (X)=М2+д (1)М- (X) - факторизация по X эллиптического многочлена М2д (X), у2 -
контур на комплексной плоскости, охватывающий корни многочлена М2+д (X) ,
©2 ^Ь^ек+г X4-1 - некоторый многочлен степени д -1, х8 (г) - функция обратная функции
к=1
7 75 г=1
:8(5)
Я2 ^/8(Х)^](х, ¡) = 1- Б Гехр(/^]у18(Х)Их, ¡)| ехр(- ,ту)7у7т.
2л -Г М2д (т) 1 1х=х5 (У)
Уравнение (12) является обыкновенным дифференциальным уравнением порядка 21 с постоянными коэффициентами, поэтому общее решение и( х, ¡) этого уравнения имеет вид
и(х, ¡) = £ ед+к+гик (х, ¡)+Яз [к(х, ¡)], (15)
к=1
где ик (х,¡) - линейно независимые решения уравнения М21 (йх,¡)и(х,¡) = 0 , б - оператор сужения на (0,7),
Я К](х, ¡) = — Б 1 ехр(/хп) Гф, ¡) ехр(-/5л)757п .
Чтобы определяемое формулой (15) решение уравнения (7) удовлетворяло граничным условиям (8), (9), следует выбрать постоянные ек, к = 1,2,...,т +/ таким образом, чтобы выполнялись следующие соотношения
Iед+к+гаи(7,¡)+эхЯзК(х,¡)] = 0, у = 0,1,...т-1, (16)
к=1 Х
Iед+к+гаи(0,¡)+аЯзКх,¡)] = 0, у = 0,1,.../-1. (17)
к=1 Х
Уравнения (17) с учетом представлений (14), (13) можно переписать в виде
т+/
!екФ,к(^) = л,(¡), / = 0,1,.../-1, (18)
к=1
где л, (¡) = --! 7 £ХР(-!£Я) х
у(Ь) 2л-1гМ2/ (л, ¡)1 ,/8(5)
ехр(/х?) г ■■ М (т) ■■
-мМ 2q (т) 0
8(х) _ у( х)
Я
'Щх)/](
х, §)
ех
р(- iтy)dтdy
х=х5 ( У)
у = 0, 1,.../-1;
(19)
А-^у-
* у)
при 1< к < г, 0 < у < / - 1
т (§) = 1 г ('ЛУ \ ехР(-фук (У = 4л2 -М (Л, §) ■ ^
5 г ехр(гг?) г 10(Х)
■ М (тЛ ■ ■
,М 2д (Т)
при г +1 < к < г + к, 0 < у < / -1
8(х) г Хк-
у(х) I М 2+г (X)
ехр
d
у(5)
\х
ехр(- iтy)dтdy
х=х8 ( у)
(20)
■ у )
Ф (Е) = Л- г (лУ \ ехР(- т) Фк= 4л2 ¡М21 (л,§)■ ./Щ
( ^к-г-1
I:
VI, М2+, «
ехр
а]
\у 8( у)
\Х
\sdri;
(21)
при г + q + 1 < к < т + /, 0 < у < / -1 ф^к © =дхщ_г-ч (0, §).
В случае, если т < 2/, то аналогично (17) уравнения (16) записываются в виде
т+/
ф^ (§) = Д (§), I = /, / +1,.../ + т -1, (22)
к=1
где Лу(§), фд(§) у = /,/ +1,...,/ + т -1, к = 1,2,...,г + q определяются по формулам (19) - (21) с
заменой (л) на (Л)'1/'\, а для у = /, / +1,.../ + т -1, к = г + q + 1,...т+/ фук (§) = а]~1ик_г_ч (\, §). Отметим, что при т < 2/, интеграл в выражении
ахЯМ(\,§) = ^ §)ехр(-0 < у <т -1
2л1 М2/ СЛ § £
очевидно сходится.
Если т > 2/ +1, т > 2 р - 2/, то для 0 < у < 2/ -1 уравнения (16) записываются в виде (22), при этом i = /, / +1,...3/-1. Чтобы граничные условия (16) выполнялись и при у = 2/,...т-1, потребуем выполнения соотношений
у(\, §) = а хУ(\, §)=- = ат2/-Ч\, §) = 0,
и тогда из (23), (12) будет следовать (16) для у = 2/,...т -1. Используя (14), (13), уравнения (23) запишем в виде
т+/
£бкфл (§) = л, (§), I = 3/,.../ + т -1,
(23)
(24)
м /. —3/ м
где Лу (§) = Iе
у -Л (Т) ■
л/гСх)
л/К*)/ ](
х, §)
/
\у\т, у = 3/,.../ + т -1;
х=х8 (у)
м (;Л1-3/ м (
м (■ ) у
при 1 < к < г, 3/ < у < / + т -1 фук (§) =1|Ттт1 е-Ту
-даМ 2q (Т) 0
8(х) г Хк-
1(х) I М2+г (X)
ехр
¡Х\-\?-
\х
\у\т;
х=х8 (у)
• Хк-1(/Х)3/
М2; (X)
-\Х;
при г +1 < к < г + q, 3/ < у < / + т-1 (§) = 1>
12 М 2q(
при г + q +1 < к < т + /, 3/ < у < / + т -1 фук (§) = 0.
Отметим, что при т > 2(р - /), интеграл в выражении
78(х)^](\, §) =1- ^ е-ту (Щмх, §)) \у\т
1 Л 2л 1у8(\) J -J„M2q (т) ■ у (у)
1 < у < т - 2/ -1
очевидно сходится.
X
X
да
да
X
0
х
х
к=1
1
Наконец, если m > 2l +1, m < 2p - 2l -1, то для 0 < j < 2l -1 уравнения (16) записываются в виде (22), при этом i = l,l + 1,...3l-1 , а для 2l < j < 2(m -p +1) -1 уравнения (16) записываются в виде (24), при этом i = 3l,3l + 1,...3l + 2(m - p) -1.
Чтобы граничные условия (16) выполнялись и при j = 2(m - p + l),...,m -1, потребуем выполнения соотношений
w(d, ¡) = д w(d, ¡) = • • • = dlp-2l-m-1w(d, ¡) = 0, (25)
и тогда из (25), (11) будет вытекать справедливость равенств
v(d, ¡=д xv(d, ¡=-=dm -2Z-1v(d, ¡=о,
а, следовательно, в силу (12), и справедливость (16) для j = 2(m - p +l),. ..,m -1. Уравнения (25), используя (13), запишем в виде
r
Ф*(¡) = A(¡), i = 3l + 2(m - p),...,l + m -1, (26)
k=1
где Aj(¡) ^^ p) J^^/y(X)./-(x,¡)) dydx, j = 3l + 2(m -p),...,l + m-1;
M 2r(X) 0 '(У)
при r < k < r, 3l + 2(m - p) < j < l + m -1 ф1к (¡) = J| ^ ^-d^;
при r +1 < k < m +1, 3l + 2(m - p) < j < l + m-1 ф^ (¡) = 0.
Отметим, что интеграл в выражении для Aj (¡) сходится, так как
m +1 -1 - 2(m - p) - 3l = 2p - 2l - m -1 < 2r = 2p - 2l.
Неизвестные 0, 1 < k < m +1 -1 будут однозначно определены из системы уравнений
m+l
^Ф*(¡) = A,.(¡), i = 0,...l + m -1, (27)
k=1
если для |¡|<X0 определитель det (фя(¡)W 0 . Заметим, что при достаточно малых > 0 и
0</<m+l-1 1<k<m+l
< Х0 это требование будет выполнено, если дополнительно наложить следующее условие 5. Условие 5. Определитель det (фя(0)) отличен от нуля.
Таким образом, мы приходим к следующей теореме.
Теорема 3. Пусть выполнены условия 1 - 3, 5. Тогда при любых /(х, ¡) е Ь2 (0,7), 7 и достаточно малом 0 существует единственное решение и(х, ¡) задачи (7) - (9) и справедлива оценка
(и(х, ¡¡)) < с\\/(х, ¡)|| (28)
с постоянной с > 0, не зависящей от и(х, ¡) и /(х, ¡).
Доказательство. Формула (15) даёт решение рассматриваемой задачи (9), (10), причём постоянные ек,к = 1,2,...,т+/ находятся из уравнений (27), и нам только остаётся установить справедливость оценки (28).
Используя неравенство (см. (12) из [3])
||Ятк(х)|| < 85-т||ДХх)| + С2(Е-т + В™)|к(х)||, 8 > 0 ,
а также неравенство (см. (15) из [4])
2 p-1
X ®k (x)Dku( x, ¡) + X Pj (x)DJyD2xlu( x, ¡)
k w ^p
k=0 j=0
<8^U(x, ¡)), 80 > 0 ,
получим:
(u(x,¡)) < Dy2rDf Dx2pu(x,¡)|| Dy2rDx2lu(x, ¡)|| +1|Dx2lu(x,¡)|| +1|u(x,¡)||)+ 8„ (u(x,¡)) . (29)
2l—1
Поскольку функция и(х, §) удовлетворяет уравнению (12) и условиям (8), (9), то для нее выполнена известная оценка
||в2/и(х, +1|и(х, §)|| < ф(х, Е)||, У(х, §) е L1 (0, \). (30)
Применим к уравнению (12) оператор В2гВ52? и получим
glD2;D¡qD2,ри(х, §) + Ву2гВ>(х, §) = Ву2гВ>(х, §). (31)
Из равенства (31) и оценки ||в2г Д^х, £,)|| <е0 (и(х, £,)) (см. (11) в работе [4]) выводим
||ву2г в2в2 ри( х, < с(\ Е)|| д2гд2Мх, )< с||вуг в^К х, Е)||+е( и( х, о). (32)
Функция у(х, §) является решением уравнения (11), поэтому
АД^Чх,§) + АД^х,§) = ву2г№(х,Е). (33)
Далее на основании леммы 4 работы [3] в (33) переставим операторы Ву2г, D52q и рассмотрим уравнение с зафиксированными в нуле коэффициентами
АД^Ву2" у(х, §) + А Ву2г у(х, §) = Ву2" №(х, §). (34)
Умножая (34) скалярно на Ву2гх,Е,), также как и при доказательстве леммы 1 работы [3] получим
||ву2гУ(х, Е)|| < с|ву2г^(х, Е)||, в52"№х, §) е Ь2(0, \). (35)
Поскольку уравнение (34) является уравнением с мало изменяющимися коэффициентами по отношению к уравнению (33), то для решения уравнения (33) также справедлива оценка (35), которая вместе с (33) приводит к неравенству
Ду2г ДГу(х, §)|| < с(№х, Е)|| Ву2г№х, §)||) < м. (36)
Оценим, наконец, ||в2г В2/и(х, §)||. Применяя к (12) оператор Ву2г, получим
glB;DlqDХu(x,§) + &Ву2гВ>(х,§) = в;у(х,§), (37)
и используя представление (см. формулу (13) в [4])
2 р-1
Ву2г В2/и(х, §) = в2 ри(х, §) + (х)Дрки(х, §) + X Ру (х)ВуУДх2/и(х, §),
у=0
где ру (х) и (х) некоторые функции, такие что ру (0) = 0, у = 0,...2г -1 и <ак (0) = 0, к = 0,...2 р -1, уравнение (37) запишем в виде
2 р-1
g1Dp2рм(х,§) + g2В2ги(х, §) = Ду2Чх,§) - ^ (х)Дки(х, §) - ^ XРу (х)ВуУВ>(х,§). (38)
'р ^- ^У 51 X к^^р1-
к=0 у=0
V/(р-/)
Поскольку у(х) = р(х) • р"^) (х) и г = р - / < р , то в силу (38) справедлива оценка |Др2ри(х, §)|| < е(Др2ри(х, §)|| +1|и(х, §)||)+1|Ду2ки(х, Е)|| ,
|Ву2ги(х, < с(В2гу(х, +1|и(х, Е)||)+ е(и(х, §)) . (39)
а, следовательно, и оценка
< с(Вр
Из уравнения(37)следует
||Ву2гВх2/и(х, < с, (|Ву2гу(х, +1|и(х,Е)||)+ е(и(х,§)) . (40)
Выбирая е > 0 достаточно малым, из (30), (32), (36), (40) окончательно выводим
(и(х, §)) < с2 (|Ву2г№(х, §)|| +1№х, §)|| +1|и(х, §)||) < м .
Таким образом, найденное решение и(х, §) при § < х0 принадлежит пространству с конечной нормой (и(х, Е,)). Следовательно, в силу установленного в теореме работы [3]
2г-1
неравенства (28), для решения и(Х, %) задачи (7) - (9), которая в силу теоремы работы [4] является задачей с мало изменяющимися коэффициентами по отношению к задаче (4) -(6), выполнена оценка (28). Теорема 3 доказана.
Сформулируем, наконец, основную теорему настоящей работы.
Теорема 4. Пусть выполнены условия 1 - 5. Тогда найдется такое число 70 > 0 , что
при любых Г(х, у) е (о) и 7 < 70 существует единственное решение и(х, у) е Я( задачи (1) - (3), причём справедлива оценка
|||и(х,у)||| < сЦ\Г(х,у)2 7х7у
2т,2 р,2/
а,Р
(О)
с постоянной с > 0, не зависящей от и(х, у) и Г(х, у).
Доказательство основной теоремы вытекает из следующих трёх замечаний:
1) задача (4) - (6) является задачей с мало изменяющимися коэффициентами по отношению к задаче (7) - (9), следовательно, для неё справедливо утверждение аналогичное теореме 4;
2) из установленной в теореме 1 работы [3] оценки и только что сделанного замечания 1) следует однозначная разрешимость задачи (4) - (6) при любых % е Яи;
3) если и(х,%) - единственное решение задачи (4) - (6), то и(х,у) = Г^\и(х,%)] -единственное решение задачи (1) - (3).
Пример. Пусть в задаче (1) - (3) выбраны следующие значения параметров:
7 = 1, т = з, р = 2, / = 1, а(х) = Х, р( х) = х2, а = а = а = Ь = Ь = Ь = 7 = 7 = 7 = 1.
В этом случае справедливость условий 1 - 4 легко проверяется, и мы остановимся подробно на проверке условия 5. При сделанных предположениях будем иметь: 8( х) = у(х) = х6, М2г (л) = М2ч (л) = л2 +1, М2/ (л,0) = л2 + 3.
Вычислим далее числа фук(0), 0 < у < 3, 1 < к < 4 . По формуле (20) найдем ф01 (0) .
Имеем
Ф01
гт -— Г 1 Г ехр(- ,5лЬг ехр(,тг) Ь -ту (Г _1_
1(0) = 4л2 V + 31 53 Б 1 т2 +1 ] 6 к-/
Г 0 ^У!
/1(1 - х5) 5х5
^ 1 7X
7т7у
х=(5 у+1)-1
757л =
1
1 1 ехр(- мл) „ Г ехр(/т/)
1
4л2 л2 + 3
-Г I
Б1 ехВ/Н) 12л,е-ту- у7т7у
-да Т + 1 0
757л =
_ , г 1 1ехр(- ехр(/тг) 1
Ьг7 1
2л л2 + 3
-Г I
гехрутг) _ 1 т2 +1 1 -
-7т
, Г 1 1 ехр(- ,5л) л ( 2(1 - 55)1 ( 1 - 55 1 л, 1 (55 -1 /Г"1
2л 1^1+3л11+-1-5-1 ехр(-— р7^4/э1 ехр( "57- - 5^|'
т2 + 1 1 + 1Т л,
4л/3 1 11 55
757л =
2 +355 1 л,
г = 4/33 01
Аналогично по формуле (20) с заменой (,л)1 на (,л)11 ещ, 1 = 1,2 находятся фп (0), ф21 (0):
ф-(0)=^ Н5^"(5 - 1)^Х2+585т=4/3 ^ф21(0)=-т1 ехр( 555
л, 1 ( 55 -1 11 2 + 355 1 , л, т —5— 1о5 =--3,, .
558 I 4 11
Число ф31 (0) найдем из равенства (24). Получим
ф-(0) = ^ 1 е~ [^1X"-7
-Г 0
( * (^д - х5) 1 А
, . ехр| —г^— |7X
X-1 I 5х
УУ1 ^
7т7у = Г —г1---2л—7т = л2,
1 т2 +11 + ,т
х=(5 у+1)-1
О
1-5
X)
IX)
5
-5
0
г=
55
5
0
Далее формула (21) дает нам ф02 (0):
г
л2 + з г
о I 0
1 да 1 1 1
Ф02(0) = Тт |*ехр
4л л + 3* Х-1
-да 1 0 ^Ут
1Х(1 - х5)
5х5
Л | ёХ
ё*ёц =
¡Т^Л *''е'1" 2л1 ехр| ^ /*ехр| £-?- - *73 =-^Jo2.
1
4л2 л2 + 3-1
-да < 0
*_ -
5*5
*5 -1
273 Г0 ^ 5*5 ) 273'
Аналогично находятся ф12 (0), ф22 (0):
2(0) = 1 *ехр^4-1 + (* -]ё* = ^ 3И, Ф22(0) = -1^12 .
ёХ
Ф12
¡0 Я 5*5 ^^Г ~273"12' 2
Число ф32 (0) найдем из равенства (24). Имеем ф32(0) = = 2л1.
Х — 1
У2
Прежде чем определять числа Фук (0), 0 < у < 3, к = 3,4 , найдем линейно независимые решения уравнения М21 (Бх ,0)и( х,0) = 0 о В2хы(х,0) + 3и(х,0) = 0 . Очевидно, и (х,0) = ех^, и2 (х,0) = , поэтому
Ф03(0) = и, (0,0) = 1, фв(0) = и, (1,0) = еГъ, Ф23 (0) = 5 и(Щ = 73е^, ф33(0) = 5^(1,0) = 3е^, Ф04(0) = (0,0) = 1, Фм(0) = и2(1,0) = еЛ фм(0) = ахМ2(1,0) = ф34(0) = 92и2(1,0) = 3е^ .
Теперь составим определитель из условия 5 и вычислим его. Получим
А* (фк (0)) =
0< к<3 1<к<4
л1 т 473 3 01 1 3 273 3 02 1 1 1 3 473 3 01 1 3 273 3 02 е-* е^
л1 т 473 311 1 3 273 312 е^ е-^ = -л 1 3 473 311 1 3 273 312 1 1
—3 4 3 -13 2 312 73е^ -73е-^ -13" л -13 2 312 2л 73 -73
1л2 2л1 3е^ 3е" * 3 3
= -л
Л
473 301
0
273 0 1
3 еГъ еГъ 3 02 е е
2
0
-1311 -^и V3 -Тз
л 2л 3 3
= 2л
473 3 01 273 3 02
- 4 31
л
-13..
2 1 2л
е^
-73
3
= 2л
473 3 01
-13»
л
г( 3 02 301) е
73
= 2л
1 3 -ле
3 П1
¿3
473
3
1 л
— 3и +-=
4 11 73 0
(3 02 3 01 ) е
273
— (3П - 312 )
-73 3
= 6л
1 ле
3 т
1
473
3
273 1
273
1(3П - 312) ->/3
2 0 3
( 3 02 301)
ле^ 3 - 3 4л 3 02 3 01 4л -73е-Л 3 01 ле^ -0,009 12,563
4 312 311 (4л -733п)е- л 4 -0,024 2,189
1 Г л 1 ,Т хч
- 4311 + 73 1 11 - 312)
> 1.
Отметим при этом, что полученные при нахождении чисел Ф]к (0) интегралы 301,302, 3П, 312 вычислены приближенно с необходимой точностью.
Таким образом, условие 5 также выполнено, и к рассматриваемой в этом примере граничной задаче применима теорема 4.
1
0
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 16-01-00197.
Список литературы References
1. Глушак А.В. Априорная оценка решения задачи Дирихле для дифференциального уравнения высокого порядка с двумя вырождающимися эллиптическими операторами. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. 2017. № 20 (269). Выпуск 48. С. 50-57.
Glushak A.V. A priori estimate of the solution of the Dirichlet problem for a differential equation of high order with two degenerate elliptic operators. Belgorod State University Scientific Bulletin Mathem.&Physics. 2017. № 20 (269), issue 48. Pp. 50-57.
2. Глушак А.В. Разрешимость задачи Дирихле для дифференциального уравнения высокого порядка с двумя вырождающимися эллиптическими операторами. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. 2017. № 27 (276). Вып. 49. С. 5-14.
Glushak A.V. Solvability of the solution of the Dirichlet problem for a differential equation of high order with two degenerate elliptic operators. Belgorod State University Scientific Bulletin Mathem.&Physics. 2017. № 27 (276), issue 48. Pp. 5-14.
3. Глушак А.В. Априорная оценка решения задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, содержащего различные весовые функции. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. 2018. Т. 50. № 1. С. 14-20.
Glushak A.V. Apriori estimate of the solution of the Dirichlet problem for one class of high order degenerating elliptic equation containing various weight functions. Belgorod State University Scientific Bulletin Mathem.&Physics. 2018. V. 50, № 1. Pp. 14-20.
4. Глушак А.В. Представление суммы регулярного эллиптического оператора и вырождающихся эллиптических операторов высокого порядка в виде композиции. Математика. Физика. 2018. № 2. С. 111-120.
Glushak A.V. Presentation of the sum of regular elliptic operator and degenerate elliptic operators of higher order as a composition. Belgorod State University Scientific Bulletin Mathem.&Physics. 2018. № 2. P.111-120.
5. Агранович М.С., Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида. УМН. 1964. XIX, вып. 3. С. 53-161.
Agranovich M.S., Vishik M.I. Elliptic problems with a parameter and parabolic problems of general form. UMN. 1964. XIX, issue 3. Pp. 53-161.
6. Олейник О.А., Радкевич Е.В. Уравнения с неотрицательной характеристической формой. МГУ. Москва. 2010.
Oleinic O.A., Radkevich E.V. Equations wits nonnegative characteristic form. Moscow State University. Moscow. 2010.
7. Архипов В.П. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с вырождающимся коэффициентом при старшей производной. Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. № 10. С.1383-1393.
Arkhipov V.P. Linear Second-Order Differential Equations with Degenerating Coefficient of the Second Derivative. Differential Equations. 2011. V. 47. № 10. Pp. 1383-1393.
8. Архипов В.П., Глушак А.В. Асимптотические представления решений дифференциальных уравнений второго порядка около точки вырождения. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. 2013. № 5 (148). Выпуск 30.
Arhipov V.P., Glushak A.V. Asymptotic Representations of Solutions the Second-Order Differential Equation near the Degenerating Point. Belgorod State University Scientific Bulletin. Mathem. Physics. 2013. № 5(148). Iss. 30.
9. Архипов В.П. Асимптотические представления решений вырождающихся эллиптических уравнений. Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика, математика. 2016. № 1. С. 50-65.
Arhipov V.P. Asymptotic representations of solutions of degenerate elliptic equations. Proceedings of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics. 2014. № 1. Pp. 50-65.
10. Архипов В.П., Глушак А.В. Вырождающиеся дифференциальные уравнения второго порядка. Асимптотические представления решений. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. 2016. № 20 (241). Выпуск 44. С. 5-22.
Arhipov V.P., Glushak A.V. Degenerating Second-Order Differential Equations. Asymptotic Representations of Solutions. Belgorod State University Scientific Bulletin Mathem.&Physics. 2016. № 20 (241), issue 44. Pp. 5-22.
11. Архипов В.П., Глушак А.В. Вырождающиеся дифференциальные уравнения второго порядка. Асимптотические представления спектра. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45. С. 45-59.
Arhipov V.P., Glushak A.V. Degenerating Second-Order Differential Equations. Asymptotic Representations of Spectrum. Belgorod State University Scientific Bulletin Mathem.&Physics. 2016. № 27 (248), issue 45. Pp. 45-59.
12. Глушко В.П., Савченко Ю.Б. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка: пространства, операторы, граничные задачи. Итоги науки и техники. Сер. Мат. анал. 1985. Т.23. С. 125-218.
Glushko V.P., Savchenko Yu.B. Higher-order degenerate elliptic equations: Spaces, operators, boundary-value problems. Mathematical analysis. Itogi Nauki i Tekhniki. Moscow. 1985. V. 23. Pp. 125-218.
13. Глушко В.П., Львин С.Я. О некоторых свойствах одного класса весовых пространств С.Л. Соболева. В сб. «Дифференциальные и интегральные уравнения», вып. 1. Нальчик. 1977. С.52-57.
Glushko V.P., L'vin S.Ya. On some properties of a class of weighted Sobolev spaces. In the collection "Differential and Integral Equations", issue 1. Nalchik. 1977. Pp. 52-57.
14. Freeman R.S., Schechter M. On the existence, uniqueness and regularity of solutions to general elliptic boundary value problems. J. different. equat. 1974, issue 15. Pp. 213-246.
15. Глушко В.П. Априорные оценки решений краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка. Деп. ВИНИТИ № 1049-79 Деп. -47.
Glushko V.P. A priori estimates of solutions of boundary value problems for a class of degenerate elliptic equations of high order. Dep. VINITI № 1049-79 Dep. - 47.
