CC BY
9
МАТЕМАТИКА MATHEMATICS
УДК 517.926.4
DOI: 10.18413/2075-4639-2018-50-2-111-120
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СУММЫ РЕГУЛЯРНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА И ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА В ВИДЕ КОМПОЗИЦИИ
PRESENTATION OF THE SUM OF REGULAR ELLIPTIC OPERATOR AND DEGENERATE ELLIPTIC OPERATORS OF HIGHER ORDER AS A COMPOSITION
А.В. Глушак A.V. Glushak
Белгородский национальный исследовательский университет, Россия, 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85
Belgorod National Research University, 85 Pobedy St, Belgorod, 308015, Russia
E-mail: [email protected]
Аннотация
Рассматриваемое в работе дифференциальное уравнение в частных производных относится к классу уравнений с неотрицательной характеристической формой, которые также называют вырождающимися эллиптическими уравнениями. К изучению таких задач приводят некоторые задачи гидромеханики, газовой динамики, теории фильтрации и другие. Основное внимание при этом уделяется исследованию разрешимости граничных задач. В настоящей работе устанавливается представление суммы регулярного эллиптического оператора и вырождающихся эллиптических операторов в виде композиции похожих по структуре операторов, что позволит в дальнейшем исследовать и однозначную разрешимость соответствующей граничной задачи.
Abstract
The partial differential equation considered in this paper refers to a class of equations with a nonnegative characteristic form, also called degenerate elliptic equations. Some problems of hydromechanics, gas dynamics, filtration theory, etc. lead to the study of such problems. The main attention is paid to the investigation of the solvability of boundary problems. In this paper we establish a representation of the sum of a regular elliptic operator and degenerate elliptic operators in the form of a composition of operators similar in structure, which will allow us to further investigate the unique solvability of the corresponding boundary value problem.
Ключевые слова: вырождающиеся эллиптические дифференциальные операторы высокого порядка, композиция.
Key words: degenerate high-order elliptic differential operators, composition.
Введение
Дифференциальные уравнения с обращающимся в нуль коэффициентом при старшей производной не вписываются в рамки стандартной теории обыкновенных дифферен-
циальных уравнений и давно привлекали внимание широкого круга исследователей. Обзор литературы по уравнениям с неотрицательной характеристической формой, которые, в частности, включают вырождающиеся дифференциальные уравнения второго порядка в частных производных, можно найти в [1, 2]. В этих работах уже рассматривались вырождающиеся эллиптические граничные задачи, содержащие производные с различными весовыми функциями. В отличие от указанных работ [1, 2] в настоящей работе в уравнение введён регулярный эллиптический оператор порядка 21, что приведет к изменению в постановке граничных условий.
В настоящей статье предложен метод представления суммы регулярного эллиптического оператора и вырождающихся эллиптических операторов высокого порядка в виде композиции похожих по структуре операторов. Это представление в дальнейшем будет использовано для доказательства однозначной разрешимости соответствующей задачи Дирихле. Отметим, что априорная оценка решения указанной задачи Дирихле установлена ранее в статье [3].
Постановка задачи
В полосе d = [0, d]х Rn рассмотрим задачу Дирихле для дифференциального уравнения высокого порядка с постоянными коэффициентами:
¿2» Da, Dy )U(x, y) + L2 p DP, Dy )U(x, y) + L^ D%, Dy p(x, y) = F(x, y), (1)
U (d, y) = a xU (d, y) = • • • = d^-'U (d, y) = 0, (2)
U (0, y) = 5 xU (0, y) = • • • = 5-u (0, y) = 0, (3)
где l < p <m - натуральные числа, ц = ,...,ц„) - мультииндекс,
L2m (x,£,) = ßlx2m + agm + аъ, L2p (x,^) = blx2p + b£p + b3, ¿2, (x, ¡0 = dyl + d£l + d3, DU(x, y) = D£ • • • DyU(x, y), DyU(x, y) = -i5yU(x, y),
DU(x,y) = ija(x)5x(]a(x)U(x,y)) a(x) e C2m[0,d], a(0) = 0, a(x) > 0 при x > 0. Аналогично Da определяется оператор dp . Коэффициенты а,а,а,d,d2- действительные постоянные числа.
Условие 1. Многочлены L2m (x,£,),L2p (x,£,) и L2l (x, E,) положительны при любых
(x, Q e R„+i.
Условие 2. Пусть a(x), ß(x) e C2m [0, d] и lim = 0. Пусть также 5xa(0) = 5Д0) = 0 .
x^0+ ß(x)
fam (x) V^
Условие 3. Функции y(x) = ßp/(m p)(x) и 8(x) = —— принадлежат C2m[0, d] и при
ß p (x)
этом 5 x y(0) = 5 x5(0) = 0.
Условие 4. а) Пусть r = p -1 > q = m - p и lim5(x) <да, что равносильно условиям
x^0+ у( x)
О ^ ,• am /(m-p)( x)
2p > m +1 и lim——¡-j-r—— .
x^0+ß p(m-1 )/((m-p)( p-1 ))( x)
б) Если хотя бы одно из условий п. а) не выполнено, то потребуем, чтобы
a2( p-l)+m»( x) л lim---— = 0,
x^0+ ß2p (x)
где m0 =
2l (p -1)
([] - целая часть числа).
m — I
Обозначим через Н^-2р-21 (П) пространство функций U(х, у) е Ь2 (П), для которых конечен квадрат нормы:
2m dz \") - 2p d / \у ■
\U (x, y) I2 =Z Ш + Щ2 )\Diu(x> Ц2 dxd^ + Y Я1+ Щ2 T-\Diu(x> Q>f dd>-
j=0 -да 0 j=0 —» 0
+ T ii 1+ Q2У J\Dju(x,Q)f dxdQ ,
j=0 0
где u(x,Q) = F^Ju(x,y)]= ^U(x,y)exp(-fcy)dy - преобразование Фурье функции U(x,y)eL2(D)
—да
по переменной y e Rn. Через FHlm2p-2' (D) мы будем обозначать пространство образов Фурье по переменной y e Rn функций из пространства H2^2p-2' (D).
Представление оператора в виде композиции Определение 1. Будем говорить, что оператор L2m (Da, Q) + Llp (Dp, Q)+L2l (px ,Q) при
< X0 принадлежит классу эквивалентности M2r(d2,Q)oM2q(Ds,Q)oM2l(Dx,Q)}, порождённому композицией операторов M2r (dt ,Q) , M2q (d5,Q), M2l (Dx,Q), если для любого e0 > 0 существует такое d = d(&0), что при 0 < x < d(&0) имеет место представление
M2r p, Q)oM2q (Ds, Q)oM2l (Dx, Q)- Lm (Da, Q)u(x, Q)-L2 p (Dp, Q)u(x, Q)-L2l (Dp, Q)u(x, Q)= T (x, Q)u(x, Q), при этом для любых u(x, Q) e FH2amrfp,v (D) и |q| < X0 справедлива оценка
||T(x,Q)u(x, Q)|| <60(u(x, Q),
d i 2m 1 1 p 2 2'
где \\-\\ - L2 -норма, {u(x,Q)}2 =JI Y\d>(x,Q)\ +Y}Dju(x,Q)\ +J\PJjU(x,Q)\ I dx .
0 v j=0 j=0 j=0 )
Теорема. Пусть выполнены условия 1 - 4. Тогда существуют такие операторы M2r p,Q), M2q (Ds, Q), M2' (Dx, Q) и число ^0 > 0, что сумма L2m(Da,Q) + L2p (dp,Q)+L2l (dz,Q) при
< X0 принадлежит классу эквивалентности Mir(d2,Q)oM2q(d5,Q)oM2l(Dx,Q)}, порождённому композицией этих операторов.
Доказательство. Операторы M2r {p2 ,Q), M2q (d5,Q), M2l (Dx,Q) будем разыскивать в виде
M2r(p7,q) = c^D2; + €&), M2q(Ds,Q) = h^D + h(Q), M2l(Dx,Q) = gl(Q)D2J + g1(Q),
где r = p -1, q = m - p , 2(x), x) введены ранее, а неизвестные коэффициенты c(Q), С2(Q), hl(0), h(q) и g1(Q), g2(Q) подлежат определению. Рассмотрим композицию операторов:
M2r py, Q)oM2q D, Q)oM2l (Dx , Q)u(t, Q) = = ci (Q)h (Q)gi (Q)D^rD^qD2Ju(t, Q) + c, (Q)h2 (Q) g, (Q)D^r D2Ju(t, Q) + c2 (Q)h (Q)gi (Q)D^qD2Ju(t, Q) + + c2(Q)h2(Q) gl(Q)D2J u(t, Q) + cl(Q)hi(Q)g2(Q)D^^rD^^qu(t, Q) + cl(Q)h2(Q)g2(Q)D^ru(t, Q) + + c2(Q)hi(Q)g2(Q)Dlqu(t,Q) + c2(Q)h2(Q)g2(Q)u(t,Q),
и найдём неизвестные коэффициенты из условия принадлежности оператора 4т Р, ,%) + 12Р (Рр, Ц* Рх, %) классу эквивалентности \м2г ру, $)оМ2д (р, %)оМм (Рх, %)}.
Не содержащее производных слагаемое у оператора Ы2г ру , %)оМ2ч р5, %)оЫ21 рх, %) имеет вид с2 (%)^2 (%)«2 %), а у оператора ¿2тРа,%) + Ь2р (Рр,%)+Ь21 (Р,,%) - вид «%2т + й2%2р + й2%2' + « + Ь3 + ё3. Потребуем выполнения равенства:
с2(%)ъ2(%)я2(%Ш%) = «2%2т + Ь2%2р + ё2%21 + «3 + ¿3 + . (4)
Рассмотрим далее слагаемое с2 (%)я2 (%)Р52?м(^,%) и покажем, что его можно включить в оператор Т (х, %), фигурирующий в определении 1. Действительно, выражение
2ч-1
Р2М/, %) = (/5( х))2 д2х'ы(г, %) + (х)Р,и(х, %),
,=0
где рJ (х) некоторые ограниченные функции, зависящие лишь от функции 5 (х) и ее производных до порядка 2ч и такие, что р(0) = 0,, = 0,1,...2ч-1, при малых ё<ё0, ё0 >0 в силу неравенства (см. лемму 2 [1])
|р>(х)| < 6Г"|РМх)| + С (е-т + е;-т)Нх)||, 61 > 0, 0 < т < * (5)
может быть оценено следующим образом:
|р529и(х, %)|| < 152д (х)Рхчи(х, %)|| + 61 (| Р2чи(х, %)|| +1 |и(х, %)||) (6)
Поскольку 5 2ч (х) = а2т(х) -р"2р (х) = 62р (х)а2(т-р)(х), то в силу условия 2 и неравенства (6) при достаточно малых ё < йх, ё > 0 для любого 6 > 0 справедлива оценка:
||5 2ч (х)Р>(х,%)|| < 6^|а2(т-р) (х)д2х(т-р)и(х,%)|| < 61 (Р1(т-р)и(х,%)|| +1|и(х,%)||) < 6^и(х,%)). (7)
Из неравенств (6), (7) следует, что любого 60 > 0 существует такое ё = ё(60), что при 0 < х < ё (60) выполнена оценка:
|р59и(х,%)|| <6„(и(х,%)) , (8)
т.е. слагаемое Р1чи(х,%) можно включить в оператор Т(х,%), фигурирующий в определении 1.
Аналогично доказывается, что слагаемое Рт2ги( х, %) также можно включить в оператор Т(х, %). Рассмотрим теперь слагаемое Р2,Р52чи(х, %). Аналогично неравенству (6) устанавливается, что
|р2'Р2чи(х, %)|| < Сю (у2г (х)д2^Р\чи(х,%)|| Р\чи(х, %)||)< Сю(|у2г (х)д2гР2чи(х, %)|| + 62{и(х,%))) 62 > 0, (9)
при этом мы воспользовались оценкой (8). Рассмотрим далее входящее в (9) выражение:
у2г (х)дГД2ди(х,О) = у2г (Х)|х ((/8(х))2д )и) д^уи(х,О) + у2г (х)д^ ¿р, (х)ри(х,О) . (10)
у=0 у=0
В случае, когда 2(г + д) < 21, т.е. т < 21, все производные с весом преобразуются в производные дх и( х, О), причем каждая такая производная будет иметь коэффициент, аннулирующийся при х = 0. Поэтому, учитывая неравенство (10), мы запишем оценку:
|ру2"Р2Мх, О)|| <В„(и(х, ^ . (11)
Если 21 < 2(г + д) < 2р, т.е. 21 < т < р +1, то производные порядков, не превосходящих 21, как и ранее, преобразуются в производные дх и( х, О), содержащие аннулирующиеся при х = 0 множители, а все производные с весом порядков от 21 +1 до 2р преобразуем к виду, содержащему только производные ри(х, О) с аннулирующимися при х = 0 множителями. Действительно, рассмотрим, например, слагаемые, содержащие выражения вида
у2г (х)(82д (х))а) д^+^-Чх, О), 0 < у < 2(т - 21) -1 < 2г .
Тогда для функции
у2г (х)(82д (х))(у) = р2(г+д)-у (х) • р2( р-т+1)+у (х) • (а2т (х) • р-2 р (х))^ =
= Р2(г+д)-у (х) • Р2(р-т+1 )+у (х) • ¿с; • (а2т(х))(к) • (р-2р(х))°'-к) =
к=0
= р2(г+д)-у(х) • Р2(р-т+'»(х) •¿с; -X;(х) • а2т-к(х) • у(х) • Р-2р+к-у(х) ,
к=0
где хк (х), Уу-к (х), 1 < к <у - ограниченные функции, причем хк (0) = у-к (0) = 0, х0(х) = у0(х) = 1, самый плохой для преобразования случай, когда рассматривается слагаемое при к = у. В этом случае функция
р2(-т+р+1 >+у (х) • х . (х) • а2т-у (х) • У0 (х) • р-2р (х) = [а| I • р21 (х) • Ху (х), 0 < у < 2(т - 21) -1,
ограничена в силу условия 2, поэтому рассматриваемое выражение преобразуется к виду, содержащему только производные Эри(х, О).
Аналогично рассматриваются остальные слагаемые суммы в равенстве (10). Таким образом, оценка (11) справедлива также и при 21 < т < р+1.
Рассмотрим, наконец, пример, когда 2(г + д) > 2р, т.е. т > р +1. В этом случае все весовые производные порядков выше 2р +1 преобразуются к виду, содержащему только Ди(х,О), порядков от 21 +1 до 2р - к виду, содержащему только ри(х,О), остальные - к виду, содержащему только дхи(х, О). В самом деле, рассмотрим, например, слагаемые содержащие у2г (х)(82д (х))(у) д 1(г+д)-уи(х,О), 0 < у < 2г и пусть вначале 0 < у < 2(т - р -1) -1 < 2г . Тогда для функции
у2г (х)(82д (х))а) = а2(г+д)-у (х) • ау-2(т-') (х) • р2 р (х) • (82д (х))0) =
= а2(г+д)-у (х) • ау-2(т-1) (х) •р2р (х) •£ Ск • X; (х) • а2т-к (х) • (х) • р-2р+к-у (х)
к=0
самый плохой для преобразования случай, когда рассматривается слагаемое при к = у . В этом случае функция ау-2(т-,)(х) -у^(х) -а2т-у(х) -у0(х) р(х) = а2'(х) -у(х), 0 < у < 2(т -р -') -1, ограничена в силу условия 2, поэтому рассматриваемое выражение преобразуется к виду, содержащему только производные Ри(х, Е) с аннулирующимися при х = 0 множителями.
Если 2(т - р -') -1 < у < 2(т - 2') -1 < 2г , то, как мы уже знаем, весовые производные преобразуются к виду, содержащему только производные Рри(х, Е).
Наконец, если 2(т - 2') -1 < у < 2г, то весовые производные, очевидно, преобразуется к виду, содержащему производные дхи(х,Е) с аннулирующимися при х = 0 множителями. Поскольку остальные слагаемые в (10) рассматриваются аналогично, то можно считать, что оценка (11) справедлива при любых т, удовлетворяющих условию 4, а это, в свою очередь, означает, что слагаемое Р2гР1с,и(х, Е) можно включить в оператор Т(х, Е), фигурирующий в определении 1. Продолжим далее доказательство теоремы. В операторы
М,г (Ру, Е)оЫр, Е)оМ21 (Рх, Е) и Ь2т Ра, Е) + К Р, $) + Ь» (Рх, Е)
входит слагаемое, содержащее производную д2и(х, Е), поэтому приравняем соответствующие коэффициенты и потребуем выполнения равенства
с2(ЕШЕШЕ) = ^.
(12)
Прежде чем приравнивать коэффициенты при производных порядка 2(1 + г) = 2р, запишем равенство:
2Г-1
Р2;Р2х'и(х, Е) = (-1)' - Ых))2г - д2х(г+'их, Е) + Е Ру (х)Рри(х, Е) =
у=0
= (Ф(х))2р - д2хри(х, Е) + X Ру (х)рР2'и(х, Е) =
2 р-1
у=0
лк
У х 2г-1
= р ри( х, Е) +£®к (х)Рки( х, Е) + Х Ру (х)РуР2'и( х, Е)
(13)
у=0
где р^(х) и щ(х) некоторые функции, такие что рД0) = 0, у = 0,...2г -1 и щ(0) = 0, к = 0,...2р-1. В силу неравенства (5) при достаточно малых ё < , > 0 для любого ^ > 0 справедлива оценка:
2 р-1
(хри(х, Е) + ХРу (х)рР2и(х, Е)
у=0
< в, (рри(х, Е)\\ +1|и(х, Е)\\ +1Р2Гд2и(х, Е)\\ +1р2'и(х, Е)\\). (14)
Из (13), (14) вытекает справедливость неравенства
{Р^Р'2'и(х, Е)|| < Сии(х, Е)), с > 0 ,
а, следовательно, и неравенства
2 р-1
(х)Рки(х, Е) + ХРу (х)РУуР2' и(х, Е)
у=0
<е0(и(х,Е)) .
(15)
к=0
2г-1
к=0
2г-1
к=0
Таким образом, выражение
2 p-l
(x)Dp4 x, Q) + X Р, ( Q)
k=0 j=0
мы включаем в оператор Т (х, О), а коэффициенты при производной р ри(х, О) в операторах М2г ру, $оМ2д (р, $оМ21 (р, О и Ь2т ра ,О) + Ч рр, О)+ Ьц (р, О приравниваем. Имеем
с,©Й2©£1© = Ъ . .... (16)
Заметим, однако, что в случае, когда выполнено условие
о л./ Г 8 (x) , V а" Km-p)(x) 1 т\
r = q, т.е. 2p = m +1, и lim^^ = k0, т.е. lim—, ,vv ,,— = k0, (17)
^ ' x^0 y(x) x^0 рP(m-1 )/((P-1 )(m-P))(x) 0' V '
выражение c2 (Q)h (Q)^ (Q)D2q52Ju(x, Q) также содержит производную D2pu(x, Q) и уравнение (16) следует заменить на уравнение:
q (Q)gi (Q)+Kc2 (Q)h (Q)gi (Q)=¿i. (18)
Если r > q и lim8x) , но условие (17) не выполнено, то производные Dsu(x, Q) x^0 y(x)
преобразуются в Dyu( x, Q) и аналогично (15) доказывается неравенство
IDlqDl'u(x, Q)|| <8^u(x, £,)) . (19)
Чтобы оценить ||D2qD2/u(x,£,)|| в случае, когда не выполнено условие 4(а), для достаточно малых d<d2,d >0 запишем неравенство вида (6) с заменой u(x,Q) на D2/u(x,Q),
а именно:
|D52qD2Vx, Q)|| < ||82q (x)D2q+2/u(x, £,)|| + 8^|Dl'u(x,Q)|. (20)
Функция 8 2q(x) = a2q+2,-m°(x)-а2p-2/+m»(x)-р-2p(x), где
m0 =
2/ (p - /)
m - /
2p-2/+m0 ^ N o-2p /
в силу условия 4(б)
содержит аннулирующийся при х = 0 множитель а2р 0(х) р 2р (х), поэтому с учетом неравенства
||Daq+2/-m" Dm u(x, Q)|| < M || DÖ;mu( x, Q)|| + ||Dx2/u(x, Q)|| + ||u(x, Q)||), ..(21)
доказанного в [4], для нормы ||8 2q (x)D2q+2/u(x, £,)|| запишем оценку:
||8 2q(x)D2q+2/u(x,Q)|| < 8i||Daq+2/-m»Dmu(x,Q)|| + (u(x,Q)))< 8„(u(x, Q)) . ..(21)
2—l
Из (20), (21) и следует неравенство (19). Тем самым мы установили, что в случае, когда не выполнено условие (17), выражение Р^р и(х, О) также можно включить в опера-
тор T(x, Е), фигурирующий в определении 1. Рассмотрим, наконец, последнее слагаемое, входящее в M2r ру, l)oMlq (Ds, E)oM2l (Dx, Е). Имеем
( 2/—1 А
с,(E)hi(E)gi(QDlrD25qD2Ju(x,Е) = ci(E)h(E)gi(Е) (iy(x))2rd2xrD2^qD2Ju(x,Е) + £p(x)DJyD25qD2Ju(x,Е)
\ j=0
= c,(E)hi(E) gi(E)
\ia(x))2m d2xmu( x, Е) + (iy (x))2r £С(г (ib( x))2q f d2xr+2q^D2xlu( x, Е) +
j=0
2q-i
Л
+ (iy(x))2r82r j(x)DjD2Mx,E) + £pj (x)DjDlqD2Ju(x,Е) . (22)
j=0 j=0
Приравняем далее коэффициенты при производной порядка 2т в операторах
м2г(Ру,Е)оМ2ч(Р,Е)оМ21 (Рх,Е) и Ьт(Ра,Е)+ЬрР,Е)+ь21 р,Е). Получим уравнение
с^ЕШЕШЕ) = а. (23)
А остальные слагаемые, входящие в правую часть (22), оцениваются аналогично выражению Р2rРXчu<x, Е) с заменой и(х, Е) на Рхи(х, Е). Для примера рассмотрим слагаемые,
содержащие выражения вида у2г (х) - (б24 (х)}у) - д22г+ч)-Рхи(х, Е), 1 < у < 2г. Если
2(г + ч) - у + 2! < 2р, 1 < у < 2г, т.е. 2(т - р) < у < 2(р - Г) ,
то для функции
у2(х)(б24(х))и) = р2(г+ч)-у(х) - ру-2(т-р(х) -¿Ск -Ук(х) -а2т-к(х) - V(х) - р-р+к-у(х)
самый плохой для преобразования случай, когда рассматривается слагаемое при к = у . В этом случае в силу условия 2 функция
/ \2т-]
р-^(х)-Уу(х)-а2т-(х)-Vo<x)-р-2р(х) = №) I -Уу(х)
ограничена, поэтому рассматриваемое выражение преобразуется к виду, содержащему только производные Р^и(х, Е) с аннулирующимися при х = 0 коэффициентами.
Если 2р < 2(г + ч) - у + 2 < 2т, т.е. 1 < у < 2(т - р), то мы также рассмотрим самый плохой для преобразования случай, когда у функции
y2r(x)(ö2q(x)f) = а2r+q')-J(x) • аj-2m(x) • (x) •£Ck • yk(x) • a2m-k(x) • v(x) • p+k-J(x)
k=0
k=0
выбирается слагаемое при к = у .
При этом функция ау-2т (х) - р2р (х) - уJ (х) - а2т--> (х) - V (х) - р-р (х) = уJ (х) обращается в нуль при х = 0 и рассматриваемое выражение преобразуется к виду, содержащему только про-
изводные Д"(х,О) с аннулирующимися при х = 0 коэффициентами. Таким образом, для любого е0 > 0 при достаточно малых ё < ё5, ё5 > 0 для любого ^ > 0 справедлива оценка:
(/У(х))2"С{г ((/б(х))29)Р) аГ2у2'"(х, О) < 8„ (и(х, О)), 1 < у < 2г ,
а сумму
(кх))2г -¿Су{(/5(х))27)у) 5Г^и(х,О
у=0
мы включаем в оператор Т (х, О), фигурирующий в определении 1. Аналогично доказывается, что все остальные слагаемые, кроме (га(х))2тд2хти(х,О), также включаются в оператор Т(х, О). Теперь, чтобы завершить доказательство теоремы, достаточно найти ограниченное при решение системы четырех алгебраических уравнений (4), (12), (16) или (18), (23) с шестью неизвестными. Положив с = К = 1, найдем оставшиеся неизвестные:
81 = а1, 8 2 =
- а1а°(О), где а (О) = а О2т + Ь О2 р + ё О21 + а + Ь + ё,
ё.
с2 = — , а если выполнено равенство (17), то с2 =
ь + а1 1
V2
-
а,
(
Н2 = —, а если выполнено равенство (17), то И2 = —
а 2
Ь—
а— V
V2
- 4^
а
/
Приведенные рассуждения доказывают, что оператор Ы2г (р , О)°М2д (д , О)оМ2/ (ох, О) принадлежит классу эквивалентности {¿2т(д,£,) + (Д,О)+(Д,£,)}. Поскольку два класса эквивалентности, имеющие хотя бы общий элемент, совпадают, то тем самым справедливость теоремы установлена.
Следствие. Пусть выполнены условие 1. Тогда многочлены М2г (л, О), М2д (п, О) и
М21 (п,О) по переменной п отличны от нуля при любых п е К, О е К .
Доказательство. Из теоремы следуют следующие представления для рассматриваемых многочленов:
М2 г (п, О) = п2г + , М2д (п, О) = п29 + Ь ,
Ь а1
а если выполнено равенство (17), то
м2Г (п, О) = п2г + т—7
2^
—+ а— V
V2
- ^ а
М27 (п, О) = п27 + 1
Ь—
ч^2
- 4^
м21 (п, О)=а—п21 + ^^,
V а1 У
Уа1 У
Уа1 У
V а1 У
а
из которых, по условию 1, и вытекает требуемое утверждение.
В заключение, укажем источники [5-15], в которых исследовались близкие задачи или были использованы похожие методы.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 16-01-00197.
Список литературы References
1. Глушак А. 2017. Априорная оценка решения задачи Дирихле для дифференциального уравнения высокого порядка с двумя вырождающимися эллиптическими операторами. Научные ведомости Белгородского государственного университета, серия Математика. Физика, .№20 (269), Выпуск 48: 50-57.
Glushak A. 2017. A priori estimate of the solution of the Dirichlet problem for a differential equation of high order with two degenerate elliptic operators. Belgorod State University Scientific Bulletin Mathem.&Physics, №20 (269), issue 48: 50-57.
2. Глушак А. 2017. Разрешимость задачи Дирихле для дифференциального уравнения высокого порядка с двумя вырождающимися эллиптическими операторами. Научные ведомости Белгородского государственного университета, серия Математика. Физика, № 27 (276), Вып. 49: 5-14.
Glushak A. 2017. Solvability of the solution of the Dirichlet problem for a differential equation of high order with two degenerate elliptic operators. Belgorod State University Scientific Bulletin Mathem.&Physics, № 27 (276), issue 48: 5-14.
3. Глушак А. 2018. Априорная оценка решения задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, содержащего различные весовые функции. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика, Т. 50, № 1: 14-20.
Glushak A. 2018. Apriori estimate of the solution of the Dirichlet problem for one class of high order degenerating elliptic equation containing various weight functions. Belgorod State University Scientific Bulletin Mathem.&Physics, V. 50, № 1: 14-20.
4. Богатов М.И., Глушко В.П. 1979. Пространства типа С.Л. Соболева дробного порядка с весом и их свойства. Деп. ВИНИТИ № 3239-79 Деп. - 32.
Bogatov M.I., Glushko V.P. 1979. Type space S.L. Sobolev fractional order with weight and their properties. Dep. VINITI № 3239-79 Dep. - 32.
5. Олейник О.А., Радкевич Е.В. Уравнения с неотрицательной характеристической формой. МГУ. Москва. 2010.
Oleinic O.A., Radkevich E.V. Equations wits nonnegative characteristic form. Moscow State University. Moscow. 2010.
6. Архипов В.П. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с вырождающимся коэффициентом при старшей производной. Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. № 10. С. 1383-1393.
Arkhipov V.P. Linear Second-Order Differential Equations with Degenerating Coefficient of the Second Derivative. Differential Equations. 2011. V. 47. № 10. Pp. 1383-1393.
7. Архипов В.П., Глушак А.В. Асимптотические представления решений дифференциальных уравнений второго порядка около точки вырождения. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. 2013. №5 (148). Выпуск 30.
Arhipov V.P., Glushak A.V. Asymptotic Representations of Solutions the Second-Order Differential Equation near the Degenerating Point. Belgorod State University Scientific Bulletin. Mathem. Physics. 2013. №5(148). Iss. 30.
8. Архипов В.П. Асимптотические представления решений вырождающихся эллиптических уравнений. Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика, математика. 2016. №1. С. 50-65.
Arhipov V.P. Asymptotic representations of solutions of degenerate elliptic equations. Proceedings of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics. 2014. №1. Pp. 50-65.
9. Архипов В.П., Глушак А.В. Вырождающиеся дифференциальные уравнения второго порядка. Асимптотические представления решений. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. 2016. №20 (241). Выпуск 44. С. 5-22.
Arhipov V.P., Glushak A.V. Degenerating Second-Order Differential Equations. Asymptotic Representations of Solutions. Belgorod State University Scientific Bulletin Mathem.&Physics. 2016. №20 (241), issue 44. Pp. 5-22.
10. Архипов В.П., Глушак А.В. Вырождающиеся дифференциальные уравнения второго порядка. Асимптотические представления спектра. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. 2016. №27 (248). Выпуск 45. С. 45-59.
Arhipov V.P., Glushak A.V. Degenerating Second-Order Differential Equations. Asymptotic Representations of Spectrum. Belgorod State University Scientific Bulletin Mathem.&Physics. 2016. №27 (248), issue 45. Pp. 45-59.
