Разрешимость задачи Дирихле для дифференциального уравнения высокого порядка с двумя вырождающимися эллиптическими операторами Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА MATHEMATICS

УДК 517.926.4

РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ ВЫРОЖДАЮЩИМИСЯ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОПЕРАТОРАМИ

SOLVABILITY OF THE DIRICHLET PROBLEM FOR A HIGH ORDER DIFFERENTIAL EQUATION WITH TWO DEGENERATING ELLIPTIC OPERATORS

А. В. Глушак A.V. Glushak

Белгородский национальный исследовательский университет,

Россия, 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85

Belgorod National Research University, 85 Pobedy St, Belgorod, 308015, Russia

E-mail: [email protected]

Аннотация

Устанавливается разрешимость задачи Дирихле для линейного дифференциального уравнения высокого порядка с двумя вырождающимися эллиптическими операторами.

Abstract

Solvability of the Dirichlet problem for a linear differential equation of high order with two degenerate elliptic operators is established, which makes it possible to investigate the unique solvability of this problem.

Ключевые слова: вырождающиеся дифференциальные уравнения высокого порядка, задача Дирихле, однозначная разрешимость.

Keywords: degenerate differential equations of high order, the Dirichlet problem, unique solvability.

Введение

Дифференциальные уравнения с обращающимся в нуль коэффициентом при старшей производной не вписываются в рамки стандартной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и давно привлекали внимание широкого круга исследователей. Отдельные виды таких уравнений, например, обыкновенные дифференциальные уравнения Эйлера, Бесселя и др., подробно и глубоко изучены. Обзор уравнений с неотрицательной характеристической формой, которые, в частности, включают вырождающиеся дифференциальные уравнения второго порядка в частных производных можно найти в [1]. По данной тематике отметим также работы [2 - 6], появившиеся в последнее время. Подробная библиография работ по вырождающимся эллиптическим уравнениям высокого порядка содержится в [7]. Однако и до настоящего времени для вырождающихся дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка определенные моменты разрешимости исследованы не полностью.

Из теории регулярных эллиптических задач известно, что эти задачи устойчивы по отношению к младшим членам входящих в формулировку задач операторов. Аналогичная ситуация возникает, если к вырождающемуся эллиптическому оператору порядка2т прибавить вырождающийся эллиптический оператор порядка2 р < 2т с не меньшей скоростью вырождения. Если же к такому оператору прибавить оператор порядка2р с меньшим порядком вырождения, то полученный оператор уже не будет подчинённым по отношению к исходному, и доказательство разрешимости граничных задач для суммы операторов такого вида становится нетривиальной задачей.

В настоящей статье предложен метод доказательства однозначной разрешимости задачи Дирихле для дифференциального уравнения высокого порядка с двумя вырождающимися эллиптическими операторами.

Постановка задачи

В полосе д =[0, а] х К" рассмотрим задачу Дирихле для дифференциального уравнения высокого порядка, содержащего два вырождающихся эллиптических оператора также высокого порядка и с постоянными коэффициентами

(Да, Ду )и (X, у) + Ь1р (д, Бу )и (X, у) = ^ (х, у)

и (а, у) = 5 и (а, у) = • • • = дт-1и (а, у) = о,

где р < т - натуральные числа, н- = (и1,---, н-») - мультииндекс,

Д*, Ду и (х, у) = I а^Ди (х, у), Ь2р (д, Ду )и (х, у) = £ Ь^ДДи (х, у), ди(х,у) = 5у1 •••дуи(х,у), Даи(х,у) = ^а(х)дх(^а(х)и(х,у)), а(х) е С2т[0,а], а(0) = 0, а(х) > 0

(1) (2)

при * > Аналогично D определяется оператор D.

Коэффициенты a* ^+1 " 2m) ^+1 " 2p) - действительные постоянные числа. Условие 1. Многочлены L2m (т' ^ L p (т' ^ положительны при любых (т ^ 6

а( х) а( х) lim-= 0 2m ю( х) = —^

Условие 2. Пусть х) , а(х)'в(х) 6 C [0, d], а функция в(х) такова, что

ю p /((m-p)( х) 6 C2 p [0, d ]

\ 1/(m-p)

8( х) = |а m (х)

Условие 3. Пусть д*в(0) 0, функция ^(х)' принадлежитС2[0,а] и

д х 3(0) = 0.

Введём необходимые для дальнейшего обозначения. Для 0 < < т -1, 0 < к < р положим

тJ Пpk(t) exp(- iti)dtdi

Ф Jk ^^ b + a T2(m-p)

-m-m 2 p,^u2m,0l

где п - оператор продолжения функции из пространства Соболева н р (0, в н р , а функции Рк () получаются из функций

Ь ^ Х^-' ехр^ 1/Р(Я) ф) ¿Х

рк(х) =

[8(Х) г х) г

+ Я„

0'^ I 1*0,0

0<]<2р

после замены х х (г), где х х (г) - функция

г =

Л ¿8

обратная функции *8(8), 10 - контур на комплексной плоскости,

X + а00

охватывающий корни многочлена °<;<2 р , лежащие в верхней полуплоскости.

Ф =Г -1 ¿Х

Для 0 < 1 < т -', р+1 < к < т положим * г ^.о(Х-Х+)-"(Х-Х+т-р), где Х+т-р - корни

а Х2(т-р) + Ь V

многочлена 2т0 2р0, лежащие в верхней полуплоскости, а у' - контур на

комплексной плоскости, охватывающий эти корни.

^ (ф к)

0< ]<т-1У 1к'

Условие 4. Определитель '<к<т отличен от нуля.

Введём в рассмотрение функциональные пространства, в которых будет доказываться априорная оценка, а затем и разрешимость граничной задачи ('), (2).

Обозначим через н"(0) пространство функций и(x, у) 6 ^0), для которых конечен квадрат нормы

и (*, у)||2тл2 р,Р = X Л ('+N2 Г-'|а>( *, ?)|2 ¿х^+X}} ('+N2 *, ?)|2

/=° -да ° j=0 -да ° ,

ОТ

и(х, N = (х, у)]= Г и (х, у) ехр(- 11у)ау

где -» - преобразование Фурье функции

и (х у) 6 ^ 0) по переменной у 6 .

Наряду с задачей (1), (2) рассмотрим задачу

Ь2т (Ба, х, + Ь2 р (ор, х, = I (х, £), (3)

и(й, N = 5 хи^, N = • • • = 5 m-1u(¿, N = 0, (4)

полученную из задачи (1), (2) после применения преобразования Фурье по переменной у 6 .

рн тр о

Через ав (0) мы будем обозначать пространство образов Фурье по

ту тт2т,2р с Т\\

переменной у 6 функций из пространства ав ( ). Априорная оценка

Теорема 1. Пусть выполнены условия 1, 2 и р ^у) е ¿2(Д). Тогда для

функций и(х е ^натв'2р (Д) и и (х, у) е натв'2р (Д), являющихся соответственно решениями задач (3), (4) и (1), (2), выполнены априорные оценки

I (1+н2 'их, 41+1 (1+н2 Г>Рмх, ¡)[2 < ¡)||2 _

j=о j=о (5)

и(^у)12т,а,2р,р < С№Р(X,у)2 ^

Д (6)

с постоянной С > 0 не зависящей от и( х, / (х, и (х, y), ^(х у).

Доказательство теоремы 1 приведено в [8]. Представление оператора в виде суперпозиции

Определение. Будем говорить, что оператор ¿2т Да, 5)+¿2рДв, при принадлежит классу эквивалентности м 2 р Дв, °м 2(т-р) Дз, х, , порождённому композицией операторов мр Дв, и м2(т-р) Дз, х, , если для любого 80 > 0 существует такое а = а (Х 0), что при 0 < х < а (Х 0) имеет место представление

М2р Дв , ¡) ° М2(т-р) Д, х, 5)4¡)-¿2т (Да,¡)4 ¡¡)-¿2 р (Др , ¡)<(', ¡) = Т Д , Др , х, ¡)4 ¡),

где для любых и(х, е ша-в"Р (Д) и справедлива оценка

а ^ 2т 2 р ^

Т(Да , Дв , х, ¡Йх,5)10 <80 Л !|Да^(х,¡)| +£|Дрви(х, ¡)|

0 V j=о j'=о

ах

Лемма 1. Пусть выполнены условия 1 - 3. Тогда существуют такие

операторы м2рДв, , м2(т-р>Дз, х, и число х0 > 0, что сумма ¿2т (Да, 5)+¿2р(Дв, при

принадлежит классу эквивалентности м 2 р Дв, °м 2(т-р>Дз, х, , порождённому композицией этих операторов.

Доказательство. Операторы м 2 р Дв, и м 2(т- р) Дз, будем разыскивать в

виде

2р 2(т-р)

)р, ¡)=1 Ск (¡Д, м2(т-р} (д, х, ¡) = I ак (х, 5) Д5к

к=0 к=0

где неизвестные коэффициенты Ск (5) 0 < к < 2р и (х 0 < к < 2(т р) подлежат определению.

Рассмотрим композицию операторов

2 р 2(т-р)

Дв, ¡) ° м2(т-р) (Д, х, 5) = I I Ск (¡Д & (х, ¡)д')

к=0 '=0

и найдём неизвестные коэффициенты Ск ^ и

(х, I)

из условия

принадлежности оператора 1гт (Ра, ^2р (р' ^ классу эквивалентности

М 2 р рр, %) о М

2(т- р) Р, X, I)

В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения:

а) (I) = Xа ттI", 0 < ] < 2т, Ъ)(I) = X Ъ^, 0 < ] < 2р,

|ц|<2т-] <2 р- ]

РркР>( X, I) = Хет^и (х)вт (х)8" (х)д т+им( X, I),

0<т<<к где ект (х) -1, ети (0) - о при т+и < к+т,

и очевидное равенство в(х)ь (х) = а (х)®р ( р) (х) (обозначения см. в условиях 2 и 3).

Слагаемое с производной порядка 2т у оператора

М 2 р (р, 0о М 2(т-р) (р5,х, Ф^, О имеет вид

С2р ЙК^х, ОР2р (х)52(т- р)( х)д 2тм(х, I) = С2р ©^(х, 2т (х)д2хти(х, I) =

' 2т-1 ^

=С2р (тг{т-Р)(х, I) рати( х, I)+х ~2т (х)раи(х, I)

V т=0 /

(7)

^ (Ра , |)и(х, |) + ^р (Рр , |)и(х, |) _ а0т Ц)Р^и(Х, |)

а у оператора 2тУ - ^^при этом

~2т (0) = 0,0 <т< 2т -1.

Как следует из (7), для того, Для того, чтобы оператор ^(Ра, |)+^р(р, |)

принадлежал классу эквивалентности М 2 р(р, |) о М 2(т-рр) (Рь, x, |), потребуем выполнения равенства

С2р (^2(т-р)(X, |) = а2т (|) .

Далее, слагаемое с производной порядка 2т -1 у оператора

М 2 р (р,|) о М 2(т-р) (р5,х,|)и(х,|) имеет вид

(с 2 р (1К(т-р)-1 (X, I) + С2р (1^2(т-р) (X, |)е2р;2(т-р)-1 (х))р2р (х)82(т-р)-1 (х)д 2т-1и( X, I) + Ср-1 )-1 (X, I) + С2 р ЙКст- р) (х, ^е2 ^р-^^тс-т-р) (х))р2р-1 (х)82(т-р) (х)д 2т-1и( X, I) =

= ((С2 р (I)d2(m-p)-l( X, I) + С2р (£К(т-р)( X, I))® р '^Ч X) + С р-ДО^т-р)( X, I) + С2 р ЙК(т-р)( X, р)( х))®( х))>

( 2т-2 ^

> I рат-1и(х,I)+х~2т-1 (х)раи(х,ы

а у оператора ^ (ра, |)u(x,|) + Ч (р, |)u(x, О - al_l(|)p2amMx,|), при этом

~2т-1 (0) = 0,0 <т< 2т - 2

Для того, чтобы оператор ¿2т Да, 5)+¿2 рДв, 5) принадлежал классу эквивалентности м2р(Дв, 5) ° м2(т-р)Дз, х, 5), потребуем выполнения равенства

С2р (¡)^2(т-р)(х, ¡)02:р;2(т-:р)-1(х)+С2р (^^х, ¡)=а^-^р Кр-т\х).

Поступая аналогично с остальными производными, получим систему 2т +1 уравнений с 2т+2 неизвестными

С2 р ¡Уят - РМ,№р:2::их) + С2 р - р) -А^) = а0т-^к /(т - р)(х),

С2р(5)а 2(т -р)(х,5) = а2т (5)

2р(5)^2(т- р)(х, ¡)^2р,:2((и-р))-1 1 ^2р\Ь ^2(т- р)-1

2(т- )

С2р I й, (х,в( т-р) - ,1 (х) = а0т - ,1 (¡Кр/( т-р)(х),

3 = 2( т - р) - Г1

2(т- )

С2р-,(^2(т-р) - Г1 (х,5УГ1 +1)р/(т-р) + С2р I а, (х,{)в22р3т-р) - ,1 - = & ^ ({^ ), (8)

з = 2(т- р)- г -1

2(т - р) - г 2(т- р)

С2р-!®т /(т-р) I а, (х^вц^т-р) -, + С2р I а, (х,{)в22р:з(т-р} - ,2 -, = а2°т - ,2 -^У2+1)р/(т-р),

3=2(т - р)- г2 ' = 2(т - р) - )} -1

2(т-р)-г2р-1 2(т - р)-т2

С,«(2р+,2р-1)р/(т-р)(х) Iа,(х,{)в'(х) + • • • + С2р-2«2т/(т-р)(х) Iа,(х,в?/(х) +

'=2р 3=3

2(т - р) - ,1 2(т - р)

+ С2рт/(т-р) (х) I а, (х, ¡в--^ (х) + С2р I а, (х, ¡)в2р1 (х) = а0р+1 ¡)®(2т 2р-1)р/(т-р) (х),

С2р(5)^0( х,5) = Ь0р(5), ,

0( х,5) = Щ

с^у 0( х,5) = ад + а0(5),

^2 = ^2р-1 = (2р -1)1

где

т --1

Поскольку число уравнений на одно меньше числа неизвестных, то, положив

с2 р-1(5) =

Ь0р -1(5)

С2р 1, определим а0 Ь:°р(5) Ь2р °, причём ^р,0 *0 в силу условия 1, " ^р,"

^(5)=» „о=ай^

2р,0 Ь2р,0

Теперь нам осталось определить dj (х, 5)1 < , < 2(т - р) из 2(т - р) уравнений, полученных из системы (8) путём отбрасывания последних 2р +1 уравнений.

Так как матрица системы уравнений для нахождения ^ (^ 5)1 < 3 < 2(т - р) треугольная с определителем равным числу -1, то существуют функции

^(Х^х..^d2(m-p)(х,5), принадлежащие С р[0,а] и представляющие решение этой

системы. Функции х1 2(т р) легко определяются из рекуррентных соотношений, причём ^ = °'1 2(т - р) -1 и ^(о, О = < © = ^

Проведённые рассуждения доказывают, что оператор М2р (Вр, ^ °М2(т-р) (°д, х ^ принадлежит классу эквивалентности ^2т (°а, ¿2 р , ¡)}. А поскольку два класса эквивалентности, имеющие хотя бы один общий элемент, совпадают, то тем самым справедливость леммы установлена.

Следствие 1. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда при достаточно малом х° > 0 многочлены по п М2р (п^ и М2(т-р) (п х^ отличны от нуля при любых пея,¡еЛ-:о, хе*

ё < X

Доказательство. Из леммы 1 следуют представления для рассматриваемых многочленов

М 2 р (п, ¡¡)=£ с, (¡)П [ Е^П + Ь р,°п2 р + (ь2 р (п, ¡) +

к=° Ь2р,0 V к=0 ) Ь2р,0

2(т-Р)

М2(т-р) (п,°, ¡¡) = Е ёк (0, ¡¡)пк = ь2р°° + а2т,°п2(т-р) к=° ,

из которых, учитывая условие 1, и вытекает требуемое утверждение.

Разрешимость задачи Дирихле

Как будет показано ниже, для разрешимости задачи (3), (4) достаточно

установить разрешимость при ~ х 0 следующей граничной задачи с постоянными коэффициентами

М2р(ор,¡) °М2(тр(р5,0,¡)и(х,¡) = /(х,¡), /(х,¡) е ¿2(0,*), (9)

м(ё, ¡) = д хи(й, ¡) = • • • = д т Мё, ¡) = 0. (10)

Для дальнейшего удобно ввести обозначение М 2(т-р) ,0, ¡)и( x, ¡) = у( x, ¡), и тогда уравнение (9) можно записать в виде системы

М 2 р (ор, х, ¡) = / (х, ¡), (11)

М2(т-р) (р5 ,0, ¡)и(х, ¡) - Ь2р,0и(х, ¡) + й2тдА2(т-р)и(х, ¡) = у(х, ¡) . (12)

у( х, ¡) = У( х, ¡)

Уравнение (11) после замены неизвестной функции х) и

ё

введения новой переменной х Р(5) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению порядка 2 р с постоянными коэффициентами

м2р (Д, 2, 5) = £(2, 5), 2 е [0, «)

(13)

2 р . . м2р (Д.,^ЫСк №к, *(2,5) = ^ (2),5), хв (2) где к0 - функция обратная функции

2 1 в(ь), я(х, 5) = 7р(х) /(х, 5), причём й(2,5) е ¿2(0,«), т к.

« а 1 а

1|& z, 5)|2 & = Л я (^ 5)|2 в^х) = Л / (^ 5)|2 & < «

Как известно (см. [9]), общее решение уравнения (13) в ¿г(0, « имеет

вид

5) = 2"1С)+Я 5), 5) е н-(0,«)

2пу„ м2р 5)

где к=1 к - некоторый многочлен степени р -1, м2р5) = м+5)м2р5) факторизация по х эллиптического в силу следствия 1 многочлена м 2 р 5), у 0 - контур на комплексной плоскости, охватывающий корни многочлена м +5), ^ - оператор сужения на (0, «,

Я [Я ](2,5)=±- б 1 Я( у, 5)ехр(- ^ ^

Заметим, что при построении оператора мы продолжили функцию я( 2,5) нулём на все отрицательные значения 2.

Поэтому для решения уравнения (11) справедливо представление

у(х,5) = —^= Г СехрГИ1+ ^К0[я](х,5)

2^л/р(х) Iм2+р (^ 5) V х в(ь)J ТрМ

(14)

Я0 [я ](х, 5) = Я [Я ](2,5), 2 = 1

где 0—- хв(ь).

Отметим также, что

2р а 2 2р а , ,2 ах 2Р « 2

ЦдЧх,5) ах = Ц(в(х)дх)^(х,5) — = Ц|д^(2,5) а2 = |2,<«

к=0 0 к=0 0 в(х) к=0 0

Аналогично для решения уравнения (12) справедливо представление

■ . я1[й]( х, 5)

(15)

и(х,5) =-Г 7(Х)-ехр^'ХГ—1 Я1 Ы(х,5)

' ^ 2^73(х) £ м2+(т-р)(Х) Я х 8(ь) J ^ад 11 д ^

где

Г (Х)-Ё' к+рХк-1

некоторый многочлен степени

т — р — 1

М2(т—р) (Х)= Ь2р,0 + а2т,0Х2(т—^ , М2(т—р) (Х) = М2+(т—р) (Х)М2—(т—р) (Х) , У1 _ контур на комплексной

плоскости, охватывающий корни многочлена М 2( т—р) (х) , п - оператор продолжения функции из н р(0,т) в н2р(—т т) (см. [10]),

яМх, ¡) ■ [~](г, ¡), г ■}

¿8 ад

я,

~](г,¡) ■ 2-* I дГ^А |п~(8,¡)ехр(— /Т8)ё8ёт

2п —т М 2(т— р)(Т) —т

~(г, ¡) ■ Ь(х, ¡)|х=х (г} ■д/адМх, ¡)

х=х5 (г )

.х8 (г)

- функция обратная функции

г ■

■I

¿8 ад

Чтобы определяемое формулой (15) решение уравнения (9) удовлетворяло начальным условиям (10), следует выбрать постоянные Vк, к ■ т таким образом, чтобы выполнялись следующие соотношения

I

Г (Х)

-ёХ + I I

V Л Л

п~(г, ¡)ехр(— ггх)

М2(т—р)(Х) —Л М2(т—р)(Т ¡)

ХГ(Х) ^ , т |х>п~(г, ¡)ехр(— ггх)

ёгёт ■ 0

(16)

I

* М 2+(т—р)(Х)

М2(т—р)(Т, ¡)

ёгёт ■ 0, }■ 1,2,..., т — 1

(17)

Заметим, что интегралы в левой части (17) сходятся, поскольку

п~(г, ¡) е н2р (—т, т) и т — 1 — 2р < 2(т — р)

Рассмотрим введённую ранее функцию силу (14) для неё справедливо представление

~(г, ¡) ■ Кх, ¡)|х=х (г} ■д/адчх, ¡)

,(г) . В

ь (г, ¡) ■

л/5(х>

-р - V к Хк—1

■и

2^/рсх) и;м2+р(Х,¡)

• ¿8 ад

[

ёХ+ Л [я ](х, ¡) ■

' / дт^х (г)

XV к Рк (х, ¡) Л [я ](х, $

2^Л/Р(х)

У х=х5 (г)

■ ЕЕ V к Рк (г, ¡) +-Ь= Л [я ](г, ¡)

2п

(18)

рк(х, ¡) ■т^ IМ^ХТ) ехрН

где

IМ2+р (Х, ¡) х в(8)

ёХ

Учитывая (18), из (17) получим линейную алгебраическую систему уравнений

XVк(¡) ■ А(¡), ]■ 0,1,...,т — 1

(19)

к ■!

к ■

к ■

« «

ф (5) = 1 ^шд,5)ехр(-^т)^ ф,к(5) = л^л

где для 1 < к < р -«-« м2(т-р) (Т 5) , а для р + 1 < к < т У1 м2(т-р) (Х)

4 (5) = 1^ 3 Е, 5)ехР(-^т)

-«-« 2^ Р(/) м2(т-р) (т)

Неизвестные ук,к 1,2,...,т будут однозначно определены, если для

ае1 (ф к (Ы* 0

0<Я™' х > 0 Ы

определитель 1йк<т . Заметим, что при достаточно малых х0 > 0 и ™ ~ 0

<1е1 (ф,к (0))* 0

это требование выполнено в силу условия 4, означающего что Таким образом доказана следующая теорема.

0< у<т-1 1<к <т

Теорема 2. Пусть выполнены условия 1 - 4. Тогда при любых /(х, 5) е (0, а), ^ < хо, а < х0 и достаточно малом х > 0 существует единственное решение и( х, 5) задачи (9), (10), причём справедлива оценка

2 р ,

II Даи( х, 5)10 +Ц |Ди( ^ 5)|0 < С\\/(^ ^

'аи(х, 5)||0 +ЦДви 0 ,, „0

з=0- 110 "0 (20)

где постоянная с > 0 не зависит от и(х5) и /(х5).

Доказательство. Как вытекает из следствия 1, корни многочленов м р (х 5) и м2(т-р) (х) комплексны. Проведём факторизацию этих многочленов

м2р (X, 5) = м2+р (X, 5)м2-р (X, 5) и м2(т-р) (X) = м2+(т-р) (Х)м2-(т-р) (X) .

Формула (15) даёт решение рассматриваемой задачи (9), (10), причём постоянные ук, к = 1,2,...,т находятся из уравнений (16), (17) и нам только остаётся установить справедливость оценки (20).

Для оценки слагаемых, стоящих в левой части неравенства (20), используем равенство (7) и мультипликативное неравенство

Дмх)||0 < 8,-т|Д>(х)||0 + с(8-т +8ь-т )|у(х^, 0 < т < ь, 8 > 0 (21)

Будем иметь

2т 2 р I \

Ц|даи(х, 5)|0 + Ц|дрви(х, 5)|0 < С1 (Дати(х, 5)|0 +|Дв2ри(х, 5)|0 +||и(х, 5)10 )<

,=0 з'=0

< С1

С- 2т-1„ ^

" " " <

||Д(2 рД52(т-р)и( х, 5)|0 + С2 Ц Да«( х, 5)|0 +|Дв2ри(х, 5)|0 +||и(х, 5)10

V з'=0 /

< С1 (|д2рд2(т-р)и(х, 5)||0 +| Д2 ри( х, 5)|0 )+8Дати(х, 5)|0 + ф)|и(х, 5)|

и, выбирая 8 <1, получим

2т 2 р / \

£Ги(х,О)|° +Хк«(х,О)! <С2|Г2рГ2(т-рЧх,О)||° + ||г2ри(х,О)! +||и(х,$)||°) 1=° . (22)

Таким образом, в задаче (10) - (12) осталось оценить производные р2Ри(х,о и рр2рр52(т р)и(х, о. Применив к (12) оператор , получим

«2т,оГ2рГ2(т-р)и(х,О + Ь2р°°Г\ри(х,О = р2ру(х,О , (23)

и(й, О) = 5 хи(й, О) = • • • = 5 т~'и(й, О) = о.

(24)

Р 2р Г 2(т- р)

На основании леммы 3 [8], прокоммутируем операторы в и Г , после чего рассмотрим задачу с зафиксированными в нуле коэффициентами

«2т,°Р2(т-р)РрМX, О) + Ь2р,°X, О) = Р2МX, О) , (25)

и(й, О) = 5 хи(й, О) = • • • = 5 Г'и^, О) = 0. (26)

Также, как и при доказательстве леммы 1, причём со значительными упрощениями, устанавливается неравенство

р^^ 4 < , (27)

где u(x,- решение задачи (25), (26), а Сз > ° не зависит от и(хи ^.

Следовательно, для решения задачи (23), (24), которая в силу условия й < является задачей с мало изменяющимися коэффициентами по отношению к задаче (25), (26), также справедлива оценка (27). Кроме того, из

т-\2р г\ 2(т-р) / \

уравнения (23) оценим Г Г и(x,. С помощью неравенства (27) получим оценку

||р2ррГр)и(х,4 < с\>№, Э|°. (28)

Учитывая, что функция у( x, 6 й) является решением уравнения (11), для неё запишем неравенство, которое устанавливается аналогично неравенству (5), а именно:

( р-1 А

ркх,О)|° < с5 ||/(х,+ £|дXv(х,й)|

° + х'

ч ¡=°

с постоянной С5 > °, не зависящей от ^x, и ?(x, .

тт дJ v( х, й)

Для оценки производных I х 4 в последнем неравенстве применим теорему о следах и мультипликативное неравенство (21). Будем иметь

РVх, О)|° < С5 (||/(х, £)||° + £ |дXv(й, О) 1 < С5 [||/(х, £)||° + £ Цх, О)|| ^

11°

Ч 1=°'

11° +£|р ^ --11°

Ч 1=° °У

<

< 8\Д2^РV(X,5)[ + С^Ц^5)|0 + С^|/(X,5)|0 . (29)

Выбирая 8 <1, из (29) выводим неравенство

5)|[ < С6(|v(х,5)10 +1 /(х,5)10) . (30)

Объединяя оценки (22), (27) с заменой Д ри( х, 5) на и( х,5) и Д22 Рv(х, 5) - на v(х,5), (28), (30), получим

2т и 2р II II / \

IIДмх,5)1 +Ц|Д,и(х,5)I <С7(V(х,5)|0 /(х,5)||0)<»

,=0 ,=0 . (31)

Таким образом, найденное решение и( х,5) при 5 < х 0 принадлежит

2т 2 р

II Дм х, 5)||0 +Ц Ди( х, 5)|0 пространству с конечной нормой з=0 з=0 . Следовательно, в

силу установленного в теореме 1 неравенства (5), для решения и(х,5) задачи

(9), (10), которая в силу леммы 5 [8] является задачей с мало изменяющимися

коэффициентами по отношению к задаче (3), (4), выполнена (см. [9]) оценка

(20). Теорема 2 доказана.

Сформулируем, наконец, основную теорему настоящей работы.

Теорема 3. Пусть выполнены условия 1 - 4. Тогда найдется такое число > 0, что при любых р(х у) 61,2 (д) и а < существует единственное решение задачи (1), (2), причём справедлива оценка

и (х, у) 6 н ат^р (Д)

Р ( ^ УСа, р,Р< С ГЦ Р (X, У)\2 Лф

N-m;а;-р,в

Д

с постоянной С > 0 не зависящей от и(х, у) и р(х, у).

Доказательство основной теоремы вытекает из следующих трёх замечаний:

1) задача (3), (4) в силу леммы 5 является задачей с мало изменяющимися коэффициентами по отношению к задаче (19), (20), следовательно (см. [9]), для неё справедливо утверждение аналогичное теореме 2;

2) из установленной в теореме 1 оценки (5) и только что сделанного замечания 1) следует однозначная разрешимость задачи (3), (4) при любых

5 6 яп • ?

3) если и(х,5) - единственное решение задачи (3), (4), то и (ху) = ^ Uх,5)]

- единственное решение задачи (1), (2).

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 16-01-00197.

Список литературы References

Олейник О.А., Радкевич Е.В. 2010. Уравнения с неотрицательной характеристической формой, МГУ, Москва.

Oleinic O.A., Radkevich E.V. 2010. Equations wits nonnegative characteristic form, Moscow State University, Moscow.

Архипов В.П. 2011. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с вырождающимся коэффициентом при старшей производной. Дифференц. уравнения, 47(10): 1383-1393.

Arkhipov V.P. 2011. Linear Second-Order Differential Equations with Degenerating Coefficient of the Second Derivative. Differential Equations, 47(10): 1383-1393.

Архипов В.П., Глушак А.В. 2013. Асимптотические представлениярешений дифференциальных уравнений второго порядка около точки вырождения. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика, №5 (148), выпуск 30.

Arhipov V.P., Glushak A.V. 2013. Asymptotic Representations of Solutions the Second-Order Differential Equation near the Degenerating Point. Belgorod State University Scientific Bulletin. Mathem. Physics, №5(148), Iss.30.

Архипов В.П. 2016. Асимптотические представления решений вырождающихся эллиптических уравнений. Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика, математика, №1: 50-65.

Arhipov V.P. 2016. Asymptotic representations of solutions of degenerate elliptic equations. Proceedings of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics, № 1: 50-65.

Архипов В.П., Глушак А.В. 2016. Вырождающиеся дифференциальные уравнения второго порядка. Асимптотические представления решений. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика, №20 (241), выпуск 44: 5-22.

Arhipov V.P., Glushak A.V. 2016. Degenerating Second-Order Differential Equations. Asymptotic Representations of Solutions. Belgorod State University Scientific Bulletin Mathem.&Physics, №20 (241), issue 44: 5-22.

Архипов В.П., Глушак А.В. 2016. Вырождающиеся дифференциальные уравнения второго порядка. Асимптотические представления спектра.

Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика, №27 (248), выпуск 45: 45-59.

Arhipov V.P., Glushak A.V. 2016. Degenerating Second-Order Differential Equations. Asymptotic Representations of Spectrum. Belgorod State University Scientific Bulletin Mathem.&Physics, №27 (248), issue 45: 45-59.

Глушко В.П., Савченко Ю.Б. 1985. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка: пространства, операторы, граничные задачи. Итоги науки и техники. Сер. Мат. анал, 23: 125-218.

Glushko V.P., Savchenko Yu. B. 1985. Higher-order degenerate elliptic equations: Spaces, operators, boundary-value problems. Mathematical analysis. Itogi Nauki i Tekhniki. Moscow, 23: 125-218.

Глушак А.В. 2017. Априорная оценка решения задачи Дирихле для дифференциального уравнения высокого порядка с двумя вырождающимися эллиптическими операторами. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика, №20 (269), Выпуск 48: 50-57.

Glushak A.V. 2017. A priori estimate of the solution of the Dirichlet problem for a differential equation of high order with two degenerate elliptic operators. Belgorod State University Scientific Bulletin Mathem.&Physics, №20 (269), issue 48: 5057.

Агранович М.С., Вишик М.И. 1964. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида. УМН, XIX, вып. 3: 53-161.

Agranovich M.S., Vishik M.I. 1964. Elliptic problems with a parameter and parabolic problems of general form. UMN. XIX, issue 3: 53-161.

Фихтенгольц Г.М. 1969. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Наука.

Fikhtengolts G.M. 1969. Course of differential and integral calculus. T. 1. Moscow: Nauka.