Априорная оценка решения задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, содержащего различные весовые функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.926.4

DOI: 10.18413/2075-4639-2018-50-1-14-20

АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА, СОДЕРЖАЩЕГО РАЗЛИЧНЫЕ ВЕСОВЫЕ ФУНКЦИИ

A PRIORI ESTIMATE OF THE SOLUTION OF THE DIRICHLET PROBLEM FOR ONE CLASS OF HIGH ORDER DEGENERATING ELLIPTIC EQUATION CONTAINING VARIOUS WEIGHT FUNCTIONS

А.В. Глушак A.V. Glushak

Белгородский национальный исследовательский университет, Россия, 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85

Belgorod National Research University, 85 Pobedy St, Belgorod, 308015, Russia

E-mail: [email protected]

Аннотация

Устанавливается априорная оценка решения задачи Дирихле для линейного дифференциального уравнения высокого порядка, содержащего сумму двух вырождающихся эллиптических операторов и одного регулярного эллиптического оператора.

Abstract

A priori estimate of the solution of the Dirichlet problem for a linear differential equation of high order containing the sum of two degenerate elliptic operators and one regular elliptic operator is established.

Ключевые слова: вырождающиеся дифференциальные уравнения высокого порядка, задача Дирихле, априорная оценка решения.

Key words: degenerate differential equations of high order, the Dirichlet problem, a priori estimate of the solution.

Введение

Дифференциальные уравнения с обращающимся в нуль коэффициентом при старшей производной не вписываются в рамки стандартной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и давно привлекали внимание широкого круга исследователей. Обзор литературы по уравнениям с неотрицательной характеристической формой, которые, в частности, включают вырождающиеся дифференциальные уравнения второго порядка в частных производных можно найти в [1, 2]. В этих работах уже рассматривались вырождающиеся эллиптические граничные задачи, содержащие производные с различными весовыми функциями. В отличие от указанных работ [1, 2] в настоящей работе в уравнение введён регулярный эллиптический оператор порядка 2/, что привело к изменению в постановке граничных условий.

Чтобы не усложнять выкладки, в рассматриваемых операторах оставлены только слагаемые, содержащие старшие производные и свободные члены.

Постановка задачи

В полосе о = [0, я„ рассмотрим задачу Дирихле для дифференциального уравнения высокого порядка с постоянными коэффициентами

4т (я, Оу )и(х, у) + ь2р Р, Ру )и(х, у) + ¿21 Р, Ру )и(х, у) = П(х, у), (1)

и(й, у) = 5 ии (й, у) = • • • = аги (й, У) = о, (2)

и (0, у) = аии (0, у) = • • • = аХ_1и (о, у) = о, (3)

где I < р < т - натуральные числа, ц = (ц ,...,ц„) - мультииндекс,

¿2„ (т, ¡0 = а,х2т + а2^2т + аъ, Ь2 р (т, ¡) = Ъхт2 р + р + Ъъ, Ь» (т,^ = й1х21 + + й,,

Р^и(х,у) = дц •••д^и(х,у), ри(х,у) = ^а(х)дх^а(х)и(х,у)), а(х) е С2т[0,й], а(0) = 0, а(х) > 0

при х > 0. Аналогично р определяется оператор р. Коэффициенты а,а,а,Ъ,Ъ,4,й2,4 -действительные постоянные числа.

Условие 1. Многочлены Ь2т (т, ¡), Ь2 р (т, ¡) и Ь21 (т, ¡) положительны при любых (т, ¡) е

Условие 2. Пусть а(х), р(х) е С2т [0, й] и Иш а(х) = 0. Пусть также дха(0) = дД0) = 0 .

х^0+ Р(х)

Введём в рассмотрение функциональные пространства, в которых будет доказываться априорная оценка, а затем и разрешимость граничной задачи (1) - (3).

Обозначим через Я2^2р'21 (Р) пространство функций и(х, у) е Ь2 (Р), для которых конечен квадрат нормы

|| | U(x, y) ||2 = ]Г J J (l +Щ2 Jx, dxd^ + Y J J (l +2 J""' |DJu(x, %)|2 dxd% +

j=0 —W 0 j=0 —W 0

2/ W d 1

+ Z J J (l + N2 J2'- jJ x, dxd% ,

j=0 -W 0

W

где u(x,= iy^Ju(x,y)]= Ju(x,y)exp(-/£y)dv - преобразование Фурье функции U(x,y) eL2(D)

—W

по переменной y e R.

Наряду с задачей (1) - (3) рассмотрим задачу

L2m D, %)u(x, + L2p (d , %)u(x, + L2l (Dx, %)u(x, = f(x, (4)

u(d, = 5 xU(d, = ••• = am-1u(d, = 0, (5)

u(0, = 5xU(0, — а/Ха = 0, (6)

полученную из задачи (1) - (3) после применения преобразования Фурье^J-] по переменной y e R.

a,P

ППЛСттаи™!! И

a,p

Через Ш2т р21 (Р) мы будем обозначать пространство образов Фурье по переменной

y e Rn функций из пространства И^2p2'(D).

Априорная оценка

Лемма 1. Пусть выполнены условия 1 и 2. Тогда для функции и(х, ¡) е ¥Я2ат^2 p, 21 (Р), являющейся решением задачи (4) - (6), выполнена оценка

£(1 + ¡12}ри(х,¡)2 йх + £(1 + ¡12||р^и(х,¡)2 йх + £(1 + ¡12}|ррки(х,¡)|2 йх < С, }|/(х,¡)|2 йх,

1=0 0 ]=0 0 к=0 0 0

(7)

с постоянной с1 > 0 не зависящей от и(х, ¡) и / (х, ¡) е ЕЬ2 (Р).

Доказательство. Также как и в работах [1, 2], на функциях у(х) е Ь2 (0, й) определим интегральное преобразование Па по формуле

í d j \ ds

[Fav](x) = ív(x)eXP - ~T= . (8)

o l Xa(s)) Va( x) Преобразование F обладает следующими свойствами:

| ад d

а) — í iFvi dx = í Ivl dx (равенство Парсеваля), 2л J i

-да o

б) для функций v(x) е Cp[0, d], удовлетворяющих условиям v(d) = д xv(d) = • • • = д p-1v(d) = 0, справедливо равенство [f(dPv)](t) = хp [Fav](x).

Поскольку функции класса C2m+p[0, d] плотны в H2am (0, d), то в дальнейшем, не ограничивая общности, будем считать, что u(x, j) е C2m+p[0, d] при почти всех je Rn.

Умножим уравнение (4) на функцию u(x, j) и проинтегрируем полученное равенство по x е (0, d). В результате получим

(¿2m (Da, j)u(x, ^ u(x, E))+(L p (Dp, j)u( x, j), u(x, E))+L (Dx, j)u(x, j), u(x, j))=(f (x, j), u( x, j)),

d

где скалярное произведение определено равенством (f (x, j), u( x, E)) = J f (x, j) u (x, j) dx.

0

Из перечисленных ранее свойств интегрального преобразования (8) для s < m вытекает равенство

d »

[D2asu(x,E), u(x,E)) - j D2su(x,E) u(x, E) dx = jx2sF>](x,E) IF>](x,E)

0

u(x,E),u(x,E)) - D2su(x,E) U(x,E) dx = x2sIF ul(x,E) IFul(x,E) dx

и, следовательно,

(Z2m (Da, E)u(x, E), u(x, E)) + (¿, (dp , E)u(x, E), u(x, E))+ L (Dx, E)u(x, E), u(x, E)) = j ¿2m (x, E) Fau(x, E)2 dx +

'P'

да d ч d

2

+ f (x, E)Fpu(x, E)2 dx + d, f|ß>(x, e)2 dx + (rf2E2' + d3 )f |u(x, E)2 dx = (/(x, E), u(x, E)). (9)

-■» 0 0 Заметим, что из условия 1 вытекает (см. [1]) справедливость неравенств

|I2„ (x, E)> M (l + IE2 +|x|2 f, \l1p (x, E)> M, + IE2 +|x|2 )P, поэтому из (9) получим оценку

X (l + IE2 )m-' f |D>(x, E)|2 dx + (l + E2 }P~J f Dju(x, E)|2 dx + (l + |E|2f|D2'u(x, E)2 dx < C2\(f(x, E) .

i=0 0 j=0 0 0

Для оценки выражения, стоящего в правой части полученного неравенства, воспользуемся очевидным неравенством

|(/(х,Е),u(x,E)^<e(l + |е|2) i|M(x,Е)|2 dx + , c(6) m i|/(x,E)f dx, 6 > 0

0 (l + Efo

и выбрать o < 6 < . После простых преобразований получим

2с2

jr (l + Е2 f" }|D>(x, E)2 dx + ]T (l + E2 J|D«(x, E)|2 dx + (l + IE2 f }|D>(x, E)|2 dx < Сз/|/(x, E)|2 dx. (10)

1=0 0 j=0 0 0 0

Теперь для доказательства априорной оценки (7) достаточно в (10) воспользоваться известным неравенством

Р'-'И II2 пи л

..... -')

(i + |E|2)2'"Í|D^u(x,E)|2 <B2('-^||Dx2'u(x,E)|2 + c(s)(l + |E2J'\\u(x,E)|2, (11)

d

где ||u(x,E)| = j\u(x,E) dx, 0 < i < 21, а постоянная c(s) не зависит от u(x,E) и E . Лемма доказана.

d

Лемма 2 [1]. Пусть у(х) е С" [0, й] . Тогда при любых е> 0, 0 < т < ^ справедливо мультипликативное неравенство

||в>(х)|| < + С2 (е-т + е"-т )у(х)\\ (12)

где с2 > 0 не зависит от у(х) и е .

Следствие 1 [1]. Пусть у(х) е С 2т[0, й]. Тогда при любых е > 0,0 < " < 2т, Ое Яи справедлива оценка

1 + |^|2Г>аЧх)|2 <е2(2т-"^|^>(х)|2 + С2(е- + е2т-")Ц + |^|2]Г|*х)|2 , (13)

где с2 > 0 не зависит от у(х) и е .

Лемма 3. Пусть 0 < к < 2т и дха(0) = 0. Тогда для любой функции м>(х) е С2т+1[0, й]

к- к

справедливо тождествоВхВка^{х) = вкав%м>(х) + £(х)в1в^(х) + £(х)В^(х), где функции

'=0 j=0

(х) и

(х) и ^ (х) ограничены и зависят лишь от функции а(х) и её производных.

Доказательство леммы не представляет больших трудностей и проводится по индукции.

Лемма 4 [1]. Пусть 0 < к < 2т и дха(0) = дхр(0) = 0 . Тогда для любой функции

к-1 к

:2т+1 [0, й ] справедливо тождество врв>(х) = в^в^х) + £ я* (х)в'в^( х) + £.Т] (

j=0 j=0

•>к/\ „ грк,

где функции Я (х) и Т (х) ограничены и зависят лишь от функций а(х), р(х) и их производ-

ных, причём Як (0) = Тк (0) = 0.

Для дальнейших оценок введём в рассмотрение функцию ф(х) е С"[0,й] равную числу 1 при 0 < х < й и равную нулю при -ЗС < х < й . Обозначим через щ (х, О) = ф(х)и(х, О), через м2(х, О) = (1 -ф(х))и(х, О) и рассмотрим скалярное произведение (в^ти(х, О), вр2рн(х, О)).

Лемма 5 [1]. Пусть и(х, О) е ЛНат'2р'2'. Тогда справедливо представление

(вати(х, О), в2 ри( х, О)) = | \втврщ (х, 0||2 +1 (и1 (х, О), и, (х, О)) + } Щврщ (х, О)' в^^х, О) йх +

0

й

Лт 1

+1(и, (х, О, щ (х, О)) + | ватври2 (х, О)"ватв^и, (х, О) йх + /(и2 (х, & и, (х, О)) +

0

й 2 + |а2т(х) р2р(х)|дт+ри2(х,О) ск +1(и2(х,О)) + Я(и2(х,О)), (14)

й/4

где для 2 < , + < 4

й _ й _

I(и,. (х, О), ^ (х, О)) = | вррвати, (х, О)'ври' (х, О) йх ватврри, (х, О) в'и, (х, О) сх ,

0 0

Я(и (х, О)) = £ (-1)цв>2 (х, О) ват- в2ри, (х, О)

т+р<ц<2т-1 х=й/

й _

I, («2 (х, О))= | £ (х) д>2 (х, О) д>2 (х, О) йх ,

й/4 |Х+У<2(ю+рИ ц<т+р, у<т+р

фу (х) - некоторые ограниченные функции. При этом для любого е > 0 имеют место оценки

й й й , х

I(и,(х,О),^(х,феЦваЧ-(х,О)2йх + е\\в;и(х,¡;)|2йх + ф)П и(х,О)2 + и(х,О)|2 Iсх, , ^ (15)

0 0 0 ^

х=а

\R(u2(x,Ç))<s j|a>2(x,Ç)| dx + ф) j|u2(x,Ç)|2dx, (16)

d/4 d/4

d d d

|I, (u2 (x, О J < sj| D>2 ( x, Q|2 dx + ej| Dp2 pu2 (x, dx + c(e) j |u2 ( x, Ç)|2 dx. (17)

*2(х,О)^^ |ва «2(х,О)| сх 1 еJ |в р «2(х,О)| ^ + щ2(

0 0 0

Аналогично лемме 5 устанавливается и следующая лемма 6. Лемма 6. Пусть и(х, О) е ГИ^р2рЛ1. Тогда справедливо представление

й

Тав1хщ(х, О)!2 + 3 (и,(х, О), и,( х, О))+ J в^щ'--^™^-

D>( x, 0), Dl pu( x, о) = | |d:dxu, (x, Q||2 + J (u, (x, 0), u, ( x, 0)) + j DmD'u ( x, О ' DO^ ( x, 0) dx +

0

d _

+ J (u, ( x, 0), u2 (x, 0)) + j DD2 ( x, 0) 'DmD'u (x, 0) dx + J (u2 ( x, 0), u, ( x, 0)) +

+ ja2m (x) |am+'u2(x, 0)2 dx + J, (u2( x, 0)) + T (u2 (x, 0)), (18)

где для 2 < i + j < 4

J(ui (x, 0), uj (x, 0)) = j D'^u, (x, 0) 'D\uj (x, 0) dx - j D^D'u (x, 0) (x, 0) dx,

x a i V ' x j v ' J a x

0 0

x-d

T(u2(x,0))= £(-i)^D:u2(x,0) Dam-^ D2x'uj(x,0)

т+'<ц<2т-,

J, (u2 (x, 0))= j £ ^ (x) a>2 (x, 0) SX (x, 0) dx,

d/4 l^+v<2(m+'H |a<m+', v<m+'

Ч^ (x) - некоторые ограниченные функции. При этом для любого в > о имеют место оценки

d d d , x

J (u, (x, O, Uj (x, <bJ|d>, (x, dx + Bj|D>j (x, Ц2 dx + ф)д |u, (x, Q|2 + |и. (x, O)f 1 dx, / * j, (19)

0 0 0 ^ '

d d |2 , , . d , „,|2

T(u2(x,0)) <S j|a>2(x,dx + ф) j|u2(x,Ç)|2 dx , (20)

d/4 d/4

d d d

IJ, (u2 (x, 0)) < sj|Damu2 (x, 0)2 dx + Bj|D>2 (x, 0)2 dx + ф) j|u2 (x, Ç)|2 dx . (21)

Лемма 7. Пусть выполнены условия 1 и 2. Тогда при любом e > о для функции u(x, Q) е FH Гр2 p,2/, являющейся решением задачи (4) - (6), выполнена оценка

D>(x, < е[||D>(x, +1D2pu(x, Q)||2 ] + c(e)|| f (x, Q\f, (22)

с постоянной c(e) > 0, не зависящей от u(x, Q), f (x,Q).

Доказательство. Умножим скалярно уравнение (4) на D2Ju(x, Q). После элементарных преобразований будем иметь

а, Re(D2mu(x,Q),D2Ju(x,£,)) + b Re(D,2Vx,Q),D2Ju(x,£,))+ ^||D2'u(x,Q)||2 = = Re(f (x, Q), D2J u(x, Q))- fe21" + аз + bQp + b3 + dg1 + d3 )Re(u(x, Q), Df u(x, Q)). (23)

Для оценки слагаемых, стоящих в правой части равенства (23), применим неравенство

d d d

J<p(x)y(x)dx < e|| <p(x)|2 dx + c(e)||y(x) |2 dx, e > 0. (24)

Будем иметь

a, Re(D2mM(x,0),D2Ju(x,0)) + b Re(Dp2pM(x,0),D2Ju(x,0))+ d||D2'u(x,0)||

2

<

<d| D2' u "2

x u(x,0)|2 + c(s)j f (x, 0)||2 +(a202m + аз + p + h + d^2' + d,)|u(x, 0)f ). (25)

x=d/4

d

0

0

0

Учитывая представление (18) и оценки (7), (19) - (21), из (25) получим неравенство ¡D?u(x,Е)||2 <81[|d>(x,Е)||2 +\D¡pu(x,Е)|2] + c(El|/(x,Q||2 +

" ' (26)

+ c,

|Д^и^х,О)ДтаД1хиг(х,О)Л* + с5 |ОрБ'Мх,О) ДДи^х,О)Лх ■

а/4 а/4

Чтобы завершить доказательство леммы 7, достаточно заметить, что подынтегральное выражение в правой части последнего неравенства дтд'и (х, £,) отд'хи2 (х, £,) и

ДрД'хи (*, £,) ДрДи (х, О) содержат соответственно произведения производных от функции и(х,О) только до порядка т +' < 2т и до порядка р +' < 2р, поэтому сами интегралы, с учётом оценок (24), (11), (7), могут быть оценены следующим образом

|Дт^х,£,)'^тО[и2(.х,£,)ах + |ОррОхи1(х,О) ДрД[и2(х,О)Лх < б^|о2ти(х,+ с^)|/(х,О)||2,

?/4 а/4

что и доказывает лемму.

Лемма 8. Пусть выполнены условия 1 и 2. Тогда при любом е > о для функции и( х, О) е ¥И£2р,м, являющейся решением задачи (4) - (6), выполнена оценка

Dpu(x, ^f <s||D>(x, ^f + с(в)||/(x, ,

(27)

с постоянной с(е) > 0, не зависящей от и(х,О), /(х, О) ■

Для установления справедливости леммы 8 нужно скалярно умножить уравнение (4) на Д2ри(х,О) и дальнейшее доказательство провести аналогично доказательству леммы 7. Заметим лишь, что при этом вместо леммы 6 следует использовать лемму 5.

Теорема. Пусть выполнены условия 1, 2 и F(x, у) е ¿2 (О). Тогда для функций и(х, О) е Ш^2 р2' и и(х, у) е Н2^2рЛ', являющихся соответственно решениями задач (4) - (6) и (1) - (3), выполнены априорные оценки

£ 1+ 1Е2)Г>Хх,О)||2 + £1+ О2)Г|Ди(х,Э|2 + £ 1+ О2)Т|Ди(х,<с||/(х,О)|0, (28)

II | и(х, у) |||2 < с|Л^(х, у)2 ахЛу (29)

./■=0

с постоянной с > 0 не зависящей от и(х, О), /(х, О), и(х, у), F(х, у).

Доказательство теоремы вытекает из лемм 1, 7, 8 и следствия 1. Действительно, из уравнения (4) оценим |Д2ти(х,. Имеем

|Дати(х,^)|| < с61/(х,£)|| + |Дрри(х,£)|| +1Дх2'и(х,£)|| +1 + N2т)|и(х,О)||). Для оценки слагаемых, стоящих в правой части последнего неравенства, применим следствие 1 и леммы 1, 7, 8. Получим

|Д>(х, £,)|| Д>(х, £,)|| + с(Е)||/(х, О) ■ (30)

Выбирая в оценке (30) е > 0 достаточно малым, выводим неравенство

|Д>(х,£,)|| < с7||/(х,£,)||,

которое вместе с (7), (13), (22) и (27) приводит к оценке (28).

Оценка (29) вытекает из неравенства (28) после интегрирования его по Ое Яи и теорема тем самым доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 16-01-00197.

d

d

D

Список литературы References

1. Глушак А.В. 2017. Априорная оценка решения задачи Дирихле для дифференциального уравнения высокого порядка с двумя вырождающимися эллиптическими операторами. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика, №20 (269). Выпуск 48: 50-57.

Glushak A.V. 2017. A priori estimate of the solution of the Dirichlet problem for a differential equation of high order with two degenerate elliptic operators. Belgorod State University Scientific Bulletin Mathem.&Physics, №20 (269), issue 48: 50-57.

2. Глушак А.В. 2017. Разрешимость задачи Дирихле для дифференциального уравнения высокого порядка с двумя вырождающимися эллиптическими операторами. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика, № 27 (276). Вып. 49: 5-14.

Glushak A.V. 2017. A priori estimate of the solution of the Dirichlet problem for a differential equation of high order with two degenerate elliptic operators. Belgorod State University Scientific Bulletin Mathem.&Physics, № 27 (276), issue 48: 5-14.

3. Глушко В.П. Априорные оценки решений краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка. Деп. ВИНИТИ № 1049-79 Деп., 47.

Glushko V.P. A priori estimates of solutions of boundary value problems for a class of degenerate elliptic equations of high order. Dep. VINITI № 1049-79 Dep., 47.