CC BY
44
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ______________________________________2011, том 54, №6___________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.946
Д.Х.Сафаров, Б.А.Рахмонов ОБОБЩЕНИЕ ОДНОЙ НЕКЛАССИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан З.Д.Усмановым 06.04.2011г.)
В статье для одной общей неклассической системы уравнений второго порядка в полупространстве исследуются граничная задача типа задачи Дирихле.
Ключевые слова: теорема - разрешимость - граничная задача - задача Дирихле - корректные задачи - неклассические системы уравнений - системы уравнений составного типа - эллиптическая регуляризация - аналог систмы Бицадзе - гиперболическое уравнение - уравнение Пуассона -характеристический определитель.
Одним из важных разделов теории уравнений с частными производными является теория краевых задач для неклассических систем уравнений. Благодаря разработанности теории одномерных сингулярных интегральных уравнений [1], краевые задачи для неклассических систем уравнений с двумя независимыми переменными в настоящее время хорошо изучены [1,2], что нельзя сказать о краевых задачах для неклассических систем уравнений с многими независимыми переменными. Ряд важных вопросов в этой области не решен до сих пор, так как нет достаточно общих методов исследования.
Среди краевых задач большой интерес представляет задача Дирихле, которая, как известно [3], для эллиптических по Петровскому систем (на примере системы Бицадзе) некорректна. Однако для неклассического аналога системы Бицадзе задача типа задачи Дирихле хорошо поставлена и, более того, допускает эллиптическую регуляризацию [4].
Как известно, система А.В.Бицадзе тесно связана с системой Коши-Римана: оператор Бицадзе
д2 а
получается из квадрата оператора Коши-Римана —= . Подобно этому, дифференциальный опе-
дг дг
д2
ратор — А + 2graddiv (А -оператор Лапласа), обобщающий оператор , получается аналогичным
д г
путем из квадрата оператора Мойсила-Теодореску.
Наряду с эллиптическими аналогами системы Бицадзе, существуют другие аналоги этой системы, не принадлежащие традиционной классической классификации систем уравнений второго порядка. Для того чтобы сконструировать такую систему, рассмотрим систему уравнений первого порядка
Адрес для корреспонденции: Сафаров Джума Холович. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр.Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]
ди ду дм „
— + — + — = 0,
дх ду дг
- — - = 0, (1)
ду дх
ди дw _
дг дх ,
являющуюся трехмерным аналогом системы А.Джураева [1].
Обозначим через D оператор, преобразующий вектор U = (и, v, w) в вектор W, составленный из левых частей уравнений системы (1). Теперь систему (1) можно записать в виде DU = 0 . Непосредственным подсчетом можно убедиться, что система уравнений D2U = 0 распадается на уравнение Лапласа относительно первой компоненты u вектора U и на систему двух уравнений
д2у д
—т +— дх ду
д 2м д
—т +--------
дх дг
\
ду дw -----1-----
ду дг)
= 0,
ду дм
ду дг
\
(2)
= 0,
или на систему
л д
Ау + —
дг
д
(
дм ду
Л
ду дг)
= 0,
Г
дм ду
Л
(3)
Ам-----------
ду ^ ду дг )
=0
для оставшихся двух компонент вектора U . Так как характеристическая форма системы (2) равна ^„4,£ )=#2 (#2 + #2 + #ъ ), то эта система в каждой точке пространства является неклассической (составной) системой уравнений второго порядка и по способу получения ее можно считать неклассическим аналогом системы Бицадзе.
Рассмотрим более общую систему
л і д Ау + Л—
дг
д
(
дм ду
Л
ду дг)
= 0,
Ґ
Ам — Л—
ду I ду дг
дм ду
Л
=0
(4)
с характеристическим определителем
*(й,&,£) = й ’ Й + (1 — Л)(Й + £)], й2 = I,2 + Й + #
где Л - вещественный параметр.
Система (4) при Я < 1 эллиптична, а при Я > 1 у неё появляются вещественные характеристики, следовательно, эта система неклассического (составного) типа. При Я = 1 система (4) превращается в систему (3).
В случае Я < 1 (эллиптический случай) в работе [5], а в случае Я = 1 (неклассический случай) в работе [2] доказано, что задача Дирихле в полупространстве х > 0 в классе функций, исчезающих на бесконечности, однозначно разрешима. Представляет интерес случай Я > 1.
Нетрудно заметить, что независимо от типа системы (4) и того, постоянна Я или нет, следствием системы (4) является отдельное уравнение второго порядка
А
дм ду
Л
ду дг) ду
д
д_
дг
=0
(5)
дм ду
относительно функции--------------. Если в рассматриваемой области Я > 1, то уравнение (5) гипер-
ду дг
болично. При Я > 1 для системы (4) можно поставить граничную задачу в любой области О трехмерного пространства. В частности, область О может быть полупространством Я+ = {х,у,г) : х > 0,(у,г) е Я2} с границей Г : {х = 0} или произвольной односвязной областью, ограниченной при х > 0 поверхностью Ляпунова и куском плоскости х = 0.
Пусть в полупространстве Я+ имеем Я > 1. Требуется найти ограниченное в Я3 решение системы (4), удовлетворяющее при х = 0 граничным условиям
х=0
= Уі( ^ г) -д
дх
дм ду
Л
ду дг)
х=0
у|х=0 =^(^ г) ,
(6)
(7)
где ^ (у, г), (р(у, г), (/ = 1,2) - заданные достаточно гладкие и достаточно быстро убывающие на бесконечности функции.
дм ду 3
Заметим, что функция Н (х, у, г) =----------в Я + удовлетворяет уравнению гиперболическо-
ду дг
го типа
д2 Н дх2
2
+ (1 — Л)
д2Н д2Н
2
ду2
дЛ дН дЛ дН
ду ду дг дг
= 0.
(8)
Задача типа задачи Коши (6) для гиперболического уравнения (8) однозначно разрешима и в Я3 определяет функцию Н(х, у, г) (см. [6]). Если функция Н(х, у, г) известна, то, записав первое уравнение системы (4) в виде
Ау = -^дН, (9)
дг
определим функцию у(х, у, г) по граничному условию (7). Если Н(х, у, г) и у(х, у, г) известны, то для второй компоненты м(х, у, г) решения поставленной задачи получаем граничное условие
дм
ду
ду
= Н (0, у, г) + ^
х=0 дг
= £ (y, г). (10)
Таким образом, для определения м(х, у, г) мы пришли к задаче о наклонной производной (10) для уравнения Пуассона
л 1 дН Ам = Я-----.
ду
Эта задача разрешима и ее решение определяется с точностью до произвольной регулярной гармонической функции двух переменных у иг [3, 7]. Следовательно, и компонента м(х, у, г) решения задачи (6) - (7) для системы (4) определяется с точностью до произвольной регулярной гармонической функции двух переменных у и г .
Поступило 06.04.2011
ЛИТЕРАТУРА
1. Джураев А.Д. Системы уравнений составного типа. - М.: Наука, 1972, 227 с.
2. Сафаров Д.Х. Многомерные неклассические системы уравнений с частными производными. -Душанбе: Дониш, 1996, 229 с.
3. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. - М.: Наука, 1966, 204 с.
4. Сафаров Д.Х. Неклассические системы уравнений. - Душанбе: Дониш, 2008, 431 с.
5. Янушаускас А.И. Многомерные эллиптические системы с переменными коэффициентами. -Вильнюс: Москлас, 1990, 180 с.
6. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. - М.: Наука, 1961, 400 с.
7. Сакс Р.С. - Сообщ. АН ГССР, 1971, т. 63, № 2, с. 282-288.
х=0
Ч,.Х.Сафаров, Б.А.Рахмонов УМУМИЯТДОДИ ЯК СИСТЕМАИ ГАЙРИКЛАССИКИИ МУОДИЛА^ОИ ТАРТИБИ ДУЮМ
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола барои як системаи умумии гайриклассикии муодилах,ои тартиби дуюм дар нимфазо масъалаи канории намуди масъалаи Дирихле мавриди тадкик карор меёбад.
Калима^ои калиди: теорема - уалшавандагй - масъалаи канорй - масъалаи Дирихле - масъалауои корректй - системауои гайриклассикии муодилауо - системауои муодилауои намуди таркибй -
назмдоди эллипсй - шабе^и системаи Битсадзе - муодилаи гиперболй - муодилаи Пуассон -муайянкунандаи характеристикй
D.Kh.Safarov, B.A.Rahmonov GENERALIZATION OF THE NONCLASSICAL SYSTEM OF EQUATIONS OF SECOND ORDER
Tajik National University In this article for the generalization of the nonclassical system of equations of second order consider boundary value problem sach as Dirichlet’s problem in half-space.
Key words: theorem - solvability - boundary value problem - Dirichlet ’s problem - well-posed problem -non-classical systems of equations - systems of equations of composite type - elliptic regularization -analogy of Bitsadze system - hyperbolic equation - Poisson’s equation - characteristic determinant.
44S
