Краевая задача для системы уравнений высокого порядка, порожденных итерацией оператором первого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ______________________________________2011, том 54, №1____________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 5.17.956

М.Нурублоев

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА, ПОРОЖДЕННЫХ ИТЕРАЦИЕЙ ОПЕРАТОРОМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Российско-Таджикский (Славянский) университет

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан И.К.Курбановым 12.05.2010 г.)

Исследована система уравнений с частными производными п-го порядка составного типа. Для нее сформулирована и исследована краевая задача в полупространстве. Показано, что задача имеет единственное решение и оно выписывается в явном виде.

Ключевые слова: краевая задача - системы уравнений составного типа - итерация - характеристическая форма.

В трехмерном пространстве рассматривается система уравнений с частными производными высшего порядка, оператор левой части которой представляет собой произвольную конечную итерацию оператора, порожденную системой составного типа вида:

ди ди. ди „ ди ди. „ ди ди

—^ + —^ + —1 = 0, —1------1 = 0, —к---------------------1 = 0, (1)

д х д х2 д х д х д х д х д х

где п , п, П - вещественные искомые функции.

Характеристическая форма этой системы имеет вид:

д = й2 (й + Й + # ),

и, следовательно, в каждой точке пространства Я3 система (1) является системой составного типа, причем она обладает одним семейством вещественных характеристик.

Система вида (1) встречается и в прикладных вопросах. Например, при линеаризации основной системы теории гармонических по М.А.Лаврентьеву отображений [1]

0Uj ди2 ди3 ди2 ди3 ди ди3 ди2 ди3 ди.

2

д x д x д x д x д х2 ’ д х2 д x д х3 д х3 д хх ’

дих ди2 ди3 ди2 ди3

д х д х д х2 д х2 д х

которая описывает движение идеальной жидкости, на решении щ = х, и2 = X, иъ = X приходим к системе составного типа вида (1).

Адрес для корреспонденции: Нурублоев Мавлон Нурублоевич. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. М.Турсунзаде, 30, Российско-Таджикский (Славянский) университет. E-mail: [email protected]

1S

Обозначая через М оператор, сопоставляющий вектору и = (щ, Щ, Щ ) левой части системы уравнений вида (1), систему (1) можно записать в виде

Ми = 0.

и = 0, твій = 0, и = ( щ , щ , щ ),

которая иногда рассматривается как простейшая эллиптическая система первого порядка, дающая

Систему (1) можно обобщить на пространство любой размерности, а именно, многомерным аналогом системы (1) является система [2]

Следовательно, эта система при п > 3 является системой составного типа, а при п = 2 система эллиптична.

Для уравнения, левая часть которого порождена итерацией оператора Коши-Римана, может нарушаться нетеровость классических краевых задач, первым примером, которого является система А.В.Бицадзе [3]. Он доказал, что в некоторых областях задача Дирихле для системы

—= - оператор Коши-Римана, является некорректной, то есть однородная задача Дирихле имеет бес-д г

численное множество решений.

Естественно, возникает интерес к исследованию систем уравнений, левая часть которых порождена итерацией конечного порядка дифференциального оператора М .

В пространстве Я3 рассматривается система уравнений с частными производными П - го порядка составного типа:

непосредственное обобщение на Я3 системы уравнений Коши-Римана.

^ д щ л дп ди

Характеристический определитель этой системы имеет вид

где М =

д д д

дxl ^2 дг3

д д 0

дX2 дx1

д 0 д

дXз дx1

и

= (и,и,и) - искомый вектор, а п - любое натуральное число. От-

метим, что система (2) при п = 1,2 исследована в работах [2,4]. В этих работах в полупространстве и в областях типа слоя исследованы корректные краевые задачи.

Как известно [1], общее представление решений системы (1) имеет вид:

дФ дф / ч. дФ / ч.

иі =1к ’ и2 =1к+^1 ^ ^ ^ ) ’ и3 =1к+^2 ^ ^ ^ ’

(3)

где Ф - произвольная гармоническая функция трех независимых переменных, а р- (х2,х3), = 1,2

произвольные непрерывно дифференцируемые функции переменных х2, х3, связанные соотношением

д x2 д xъ

(А)

Непосредственным вычислением нетрудно убедиться, что общее представление решений системы (2) можно представить в виде:

и_і X*

и = к тг Ф * (хі,х2 ’ хз ) ’

к=0 к !

(4)

где Фк (т ,Х, x3 ) - произвольные решения системы Ми = 0, удовлетворяющие условию

±2 ті дФ = 0, у = 2,3.

дх1 к=0 к! дху

(5)

(1).

Таким образом, все решения системы (2) выписываются в виде (4)-(5) через решения системы Для системы (2) в полупространстве Я = {(X, X, X ); X > 0, (X, X )є Я } исследуем сле-

дующую задачу.

Задача. Найти регулярное в полупространстве Я3 решение системы (2), ограниченное на бесконечности и удовлетворяющее на плоскости х = 0 условиям:

д и ■

дx

(6)

где (х2, х3) - заданные достаточно гладкие и достаточно быстро убывающие на бесконечности

функции.

Из представления (3) регулярных в полупространстве Я3 решений системы (2) и первого условия (6) для определения вектор-функции Ф0 (х Хг, х3 ) в полупространстве получаем условия задачи Дирихле для системы МФ0 = 0. Тогда, при помощи (3) и первого условия (6) для определения

произвольной гармонической функции Ф получаем задачу Неймана, решение которой выписывается явно:

Ф (х, Х2, Хз ) — // , /о()(^,^) (7)

_^)2 + х32

2^-СО ^( X1 -£)2 +(X2 -^)2

При известной Ф, функция определяется единственным образом из условия (6) при

к = 0, у = 2

^1(x2, X) = /0(2)(x2, xз) -дф(^2, X3 ) . (8)

дX2

Зная срх из соотношения (А) и условия (6) к = 0, у = 3, находим (р2 (x2, x3) .

Таким образом, вектор-функция Ф0 в представлении вида (4) определяется единственным

образом по формулам (4), (7) и (8).

Аналогично, используя второе условие (6) (!с =1; ] = 1,2,3) для определения вектор-функции Ф1 в полупространстве, получаем условия задачи Дирихле для системы М Ф = 0 и т.д., в результате итерационного процесса после конечного числа шагов, аналогичным образом определяются все вектор-функции Ф, входящие в (4) из оставшихся условий вида (6).

Следовательно, учитывая представления решений Ми = 0 вида (3) и ее решения вида (7) и (8), все решения системы (2) в полупространстве Я3 можно записать явно в виде

„і =_! 2 /к"(£,ч)

ик! ^ X-г)2+(X-П 7

+ X2

і Пт Xlk

и =--------к —

1 2пк к!

+ /»' (X,, к )-

і - -\(X-£)' +(X2-п)2+x^!

8х,1,^с1 +(хг-ч)2 + Хз2 Таким образом, резюмируя вышеизложенное, получим следующий результат.

Теорема. Если fJ\x2, x3) ограничены на бесконечности, то задача всегда разрешима и

имеет единственное решение, и это решение непрерывно зависит от начальных данных и определяется формулой (9).

Поступило 12.05.2010 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Янушаускас А.И. Трехмерные аналоги конформных отображений. - Новосибирск: Наука СО, 1982, 173 с.

2. Янушаускас А.И. Многомерные эллиптические системы с переменными коэффициентами. -Вильнюс: Мокслас, 1990, 178 с.

3. Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия, 1977, 1151с.

4. Сафаров Д.Х. Многомерные неклассические системы уравнений с частными производными. -Душанбе, 1996, 227 с.

М.Нурублоев

МАСЪАЛАИ КАНОРИ БАРОИ СИСТЕМАИ МУОДИЛАИ ТАРТИБИ ОЛИЕ, КИ БО ИТЕРАТСИЯ^ОИ ОПЕРАТОРИ ТАРКИБИ ЯКУМ, ХОСИЛ ШУДААСТ

Донишго^и (Славянии)Россияю Тоцикистон

Дар макола системаи муодилаи тартиби олие, ки тарафи чапи он итератсиях,ои охироно-ки оператори типи таркибиро ифода мекунад, омухта шуда барои он дар нимфазо масъалаи канорй хал карда мешавад. Нишон дода шудааст, ки масъала халли ягона дорад ва халли он ба намуди ошкор навишта шудааст.

Калима^ои калиди: системаи муодилауои - итератсия - типии таркиби - формаи характеристики.

M.Nurubloev

BOUNDARY PROBLEM FOR THE COMBINED EQUATIONS OF HIGH ORDER GENERATED BY ITERATION OPERATOR OF FIRST ORDER

Russian-Tajik (Slavonic) University The work researches the system of equations with partial (particular) derivatives of n order of compound (aggregated) type. A boundary problem in half-space is formulated and researched for it. It is demonstrated that the problem has the unique solution and it is traced out the explicit form.

Key words: boundary problem - combined equations - compound type - iteration -characteristic form.