CC BY
30
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ______________________________________2008, том 51, №9___________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517954
М.Нурублоев
О НЕКОТОРЫХ КОМПОЗИЦИЯХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И СОСТАВНЫХ
СИСТЕМ В ПРОСТРАНСТВЕ
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан И.Курбановым 29.05.2008 г.)
Как известно, краевая задача Дирихле является наиболее простой и естественной, хорошо поставленной краевой задачей для всех эллиптических систем уравнений, являющихся сильно эллиптическими. А для несильно эллиптических систем может нарушаться нетеро-вость классических краевых задач, первым примером которых является система А. Бицадзе [1].
В работах [2,3], исходя из многомерных аналогов системы А. Бицадзе, показано, что
для них задача Дирихле не является корректной задачей.
4 3
В данной работе в пространстве R переменных (i,x), x^R по аналогичному
принципу строятся неклассические системы уравнений второго порядка, связанные с системами первого порядка эллиптического и составного типов [3,4].
В [3] рассмотрена эллиптическая система
ди . л да> л
----grad<p + rotv = 0, -J- + aivu = 0,
dt dt
dv ду/
----grad и/+ rot и = 0, -J— + div v = 0,
dt dt
где ф, цг - искомые скалярные, a u= u1,u2,u3 , v= v1,v2,v3 - искомые вектор-функции
переменных t, x. Характеристическая форма этой системы имеет вид
\ |^ = йг + Й + £.
Система уравнений [4]
ди . л dtp л
— + grad (р - rot v = 0, —- div и = 0,
dt dt
dv . л дш .. л
----h grad w + rot и = 0, - div v = 0,
dt dt
имеет характеристическую форму
,2_|£|2 2 ^ + |^| 2 2
и, следовательно, не является эллиптической. Она обладает двумя семействами двукратных вещественных характеристик и поэтому является системой составного типа.
Пусть М и N - матричные дифференциальные операторы, соответствующие левым частям(1) и(2)
0
О О
М =
Ы =
— %гас1 -го! О
ді
-(Ііу — 00
ді
гої 0 — %гас1
ді
О 0 -¿йу —
ді
В данной работе рассматриваются две системы уравнений второго порядка составного типа, порожденные композицией операторов М и N1
Ш(УГ) = 0, (3)
д ді -^аё гоі
сііг д ді 0
гоі 0 д ді
0 0
ММ (IV) = о,
(4)
где
Непосредственным подсчетом легко можно убедиться, что система (3) распадается на уравнение Лапласа для функций (р(ї,Х), і//(ї,х) и на следующую систему составного
типа
д2ы
~дё
+ grad б//\’ и + гоі гоі и = О,
Д V + 2 — гоґ и = О, ді
(5)
а система (4) распадается на уравнение Лапласа для (р^,х\ у/(1:,х) и на систему
Аи= 0, —--А V +2ягаё (Ііу у + 2—гоіи = О
ді2 ді
относительно вектор-функций и, V.
2. Пусть О - ограниченная односвязная область в Я3, а Г\ - (?,х) : ? >0, хеб -цилиндрическая область с боковой поверхностью ^ = t, х : t > 0, х е Г — 80 .
Для системы (5) поставим следующую начально-краевую (смешанную) задачу. Задача 1. Найти регулярные в С2, решения системы (5), удовлетворяющие при / = 0 начальным условиям
и
ҐІМ і і
—\t={)=f2(x), vi=0=/3O), (7)
оґ1
сИу / х = 0 у = 1, 2 , сИу и да, х = 0, а на боковой поверхности 8 - краевую условию
^ 5, = 0 , (8)
где х 7 = 1, 2, 3 вектор-функции из С'((}). Следует отметить, что в [4] для первого уравнения системы (5) исследована задача с условиями
ди
и\ „ = f х , rot — Jl dt
= f2 x ■
2 t=0
Приметая к первому уравнению системы (5) операцию div, убеждаемся, что скалярная функция div и^Х удовлетворяете Qf уравнению Лапласа
A div и = 0 , (9)
а на границе Sf, используя условия (7), (8) получаем
div и <xj=0. (10)
Решая в Q.t уравнение (9) с однородным условием (10), получаем, что всюду
divu(,x^=0. (11)
Далее, используя векторное тождество
Т л л- - ¿2 ¿2 д2
А = grad div -rotrot, A = —- +
ctXj dx2 dx3
из первого уравнения системы (5) с учетом (11) получаем, что искомая вектор-функция и^Х в является решением волнового уравнения
д2и —
dt2
-Аи = 0. (12)
лим
Решая в уравнение (12) с первыми двумя условиями (7), мы однозначно опреде-и К,Х^ в 0.{
где - сфера радиуса г.
Подставляя значение и^Х во второе уравнение системы (5), для искомой вектор-функции У^Х^ получаем уравнение Пуассона. Решая задачу Дирихле с третьим условием (7) для уравнения Пуассона, однозначно определим У^,Х в £1^ .
Таким образом, мы установили, что справедлива
Теорема 1. Если /]<еСсоО 7 = 1, 2, 3 , причем (Ну / х =0 7 =1, 2 , то существует и притом единственное решение задачи 1.
Задача 2. Найти регулярное в решение системы (6), удовлетворяющее при ? = 0 начальным условиям
I I ду
ULo= Si Х ’ VLo=S2 X ,
dt
= g3 х , (13)
3
t=о
rotg1 х = 0, div g2 x = 0, div и oo,x =0, div v oo,x =0, а на боковой поверхности St - краевым условиям
I I dv
и\ = 0, v =0, —
к к dt
= 0, (14)
где gj x 7 = 1, 2, 3 - заданные в области G вектор-функции из C°°(G).
Применяя к первому уравнению системы (6) операцию rot, получим
A rot и - 0, (15)
а на границе в силу первых условий (13) и (14)
rot u\t Q= 0, rot u\s = 0 . (16)
Решение уравнения Лапласа (15) для rot и с однородным условием вида (16) дает
rot и t,x s0. (17)
Тогда с учетом (17), второе уравнение (6) примет вид
ду -6t
—Av + 2graddiv v = 0. (18)
Аналогично, как в случае задачи 1, применяя к уравнению (18) операцию div, получаем, что в удовлетворяет уравнению Лапласа и в силу вторых условий (13),
(14) однородным условиям Дирихле, откуда получаем
div V t,x = 0 . (19)
В силу (18) и (19) получаем, что вектор-функция V t, х является решением волнового уравнения
а2у -
■A v= 0
dt2
удовлетворяющая (с учетом (13), (14) ) при t = 0 начальным условиям
I (Л ^
Ч<? =0>
' dt
= 0.
S,
Такая задача в Q^ имеет единственное решение.
Теорема 2. Если gj є С” G 7=1, 2, 3 , причем rot gy х =0, divg2 х -0, то существует и притом единственное решение задачи 2.
Российско-Таджикский (Славянский) университет Поступило26.05.2008 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бицадзе А.Б. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1984, 448 с.
2. Янушаускас А.И. Задача о наклонной производной теории потенциала. Новосибирск: Наука СО, 1985,262 с.
3. Янушаускас А.И. - Дифф. уравнения, 1982, т.18, №4, с. 699-705.
4. Джураев А.Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1987, 415 с.
М.Нурублоев
ДАР БОРАИ БАЪЗЕ КОМПОЗИТСИЯ^ОИ СИСТЕМАМИ ЭЛЛИПТИКЙ ВА ТАРКИБЙ ДАР ФАЗО
Дар мак;ола дар фазой R4 ду системаи гайриклассикии тартиби дуюм, ки бо системах,ои тартиби якуми эллиптикй ва таркибй алокдманданд, сохта шуда, барои онх,о масъалах,ои корректй гузошта шуда, х,ал карда мешаванд.
Нишон дода мешавад, ки дар сох,ах,ои силиндрй масъалах,ои гузошташуда х,алли ягона доранд.
M.Nurubloev
ON SOME COMPOSITIONS OF ELLIPTIC AND COMPOSITE SYSTEMS IN THE SPACE
Two second order nonclassical systems in R4 associated with first order elliptic and composite systems are constructed in the article and correct initial boundary value problems are posed for them.
It is shown that posed problems have unique solutions in the cylindrical domain.
