Смешанная граничная задача теории бесконечно малых изгибаний выпуклых поверхностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.03+517.944

СМЕШАННАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ИЗГИБАНИЙ ВЫПУКЛЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

© 2008 г. Е.В. Тюриков

Южный федеральный университет, 344090, Ростов н/Д, ул. Мильчакова, 8а, dnjme@math. sfedu.ru

Southern Federal University, 344090, Rostov-on-Don, Milchakov St., 8a, dnjme@math. sfedu.ru

Рассмотрен геометрический аналог смешанной граничной задачи Векуа-Гольденвейзера, возникающей в мембранной теории выпуклых оболочек. Поставленная задача сводится к задаче Римана—Гильберта с разрывным граничным условием для обобщенных аналитических функций. Найден класс поверхностей, для которых задача является безусловно разрешимой.

Ключевые слова: бесконечно малое изгибание, краевая задача Римана-Гильберта.

One mixed boundary value problem of the theory of infinitesimal bendings of convex surfaces is investigated. One class of surfaces for which this problem is unconditionally solvable is found.

Keywords: infinitesimal bending, Riemann-Gilbert's boundary value problem.

Постановка задачи

Пусть Sv, г - .....v2n ^ - строго внутренняя

часть замкнутой выпуклой поверхности класса регулярности II'' '', р >2, с кусочно-гладким краем

2п

L=\JLt , состоящим из конечного числа дуг L на ограниченную в плоскости

В дальнейшем каждую из указанных дуг мы будем называть дугой, несущей граничное условие 5кп = . где функция сг^ задана равенствами (1).

Следуя [4], отобразим поверхность с помощью

12

сопряжено изометрическои системы координат и , и

1 и2 область

u

7=1

класса регулярности С '£ , 0 < с < 1. и содержащим 2/7 угловых точек с ■ с внутренними углами к.тг

^ < < 2 _ соответственно, образованными вектора-

2п и за-

/V Ö = .....Ö2„ с кусочно-гладкой границей

2п

Г = (J Г , содержащей угловые точки С. с внутрен-

м

на-

s Ь s

ми s7-s7"- с началом в точке с. <(' = 1.

ними углами 0 ■;г ^ < В/ <2, / = 1.....2/7 . Здесь

бор 9 =9^^ вполне определен выбором направлений дающими направления дуг, сходящихся в этой точке. я «0 < _ 12~ в точках с}, причем я/ -1 < <9, <т. если

т — \<у^<т ^/ = 1.2: j = \,...,2п . Тогда система уравнений б.м. изгибаний поверхности в вариациях ЗЬу коэффициентов второй основной формы

Здесь точки c .■

с -+1 - начало и конец дуги

<( = 1.....2я -1 соответственно, а началом и концом дуги Ь2п являются точки с2п и с1. Рассмотрим следующую задачу А: существуют ли бесконечно малые (б.м.) изгибания поверхности , совместимые с граничным условием

3К , на ¿2,-1;

= стг с^на 12г (1)

<тг с?г ^ - наперед заданные гельдеровы функции; 5 - натуральный параметр; 8кп и с)г,, - вариации нормальной кривизны и геодезического кручения поверхности в направлении края. Как это следует из [1], к одному из частных случаев задачи А сводится поставленная в [2] смешанная граничная задача без-моментного напряженного состояния равновесия упругой выпуклой оболочки, а также задача А.Л. Гольденвейзера о безмоментных сферических куполах [3]. Цель работы - дать полное описание поверхностей ^, для которых задача А является безусловно разрешимой. При этом в целях упрощения изложения ограничимся рассмотрением канонической задачи (задача А0), полагая, что направление каждой из дуг /,2;_1 (____п в точках начала и конца этой дуги совпадает с одним из главных направлений в этой точке.

Ь dudU

принимает вид

s^O^OO о, с^Ц

£ = u1+iu2, i2=-l]3-=-

е :

8 д —+1 —

СМ, du

у им-]

(2)

- оператор ком-

2 У

-iSbv

плексного дифференцирования; w = g 2 $Ь22~Г1и1А2 функция изгибаний; я = япя22 , gij < ./ = 1-2 -коэффициенты метрической формы поверхности ; В^ - функция класса Ьр р >2 . Внешняя связь вида (1) при б.м. изгибаниях поверхности порождает для комплексной функции изгибания условие

ReiOCUjiT^t^Ur,

(3)

7-1

где

dC

ds

dC_

ds dn

d<Z

(4)

0<

lJ>*j

< ж, 0 <

<n, \<p I Ф л = l,...,2n J,

ки

-л<<р, <0, j=k1,...,k

Рассмотрим граничную задачу Римана-Гильберта для уравнения (2) (задача В).

Re4OO0, ^ е Г = и Г

(5)

Здесь —= .V, + /л2. 1.2 - координаты касательного к Г орта; =щ+т2, п, (.= 1.2 - коорди-с1п

наты орта направления на плоскости С . являющегося образом направления на поверхности , ортогонального направлению кривой сг^ - заданная на Г функция, допускающая разрывы первого рода в точках С, и гёльдерова на каждой из замкнутых дуг Г .. При

этом точки С. и 4', 1 - начало и конец дуги Г ,

- 1.....2// -1 соответственно, а концом дуги Г2и

является точка С] • Задача (2), (3) есть задача Римана-Гильберта (задача Я) с коэффициентом ^ граничного условия, имеющим разрывы 1-го рода в точках С , <(' = 1.....2п комплексной плоскости £ = и1 + ш2.

Вспомогательная задача Римана-Гильберта в классе ограниченных решений

Пусть аОмО^ООпО^С; -гёльдеровы на каждой из дуг Г , функции, имеющие

разрывы 1-го рода в точках <( = 1.....2п . | /¿С ]1=

= | 1; I ^ . - и I ^ предельные значения век-

торных полей 1= ^с^/^со и 1= ^ в

точке ^^ соответственно; и !// , - величины углов

1~,1 * , между векторами соответствен-

V ) V J

но, -л < <р1. |//; < л. причем отсчет производится от 1~ ^ до I '. , а угол считается положительным,

если отсчет ведется против хода часов. Следуя [5], введем в рассмотрение класс векторных полей

С, С + 9 = 2п, а = {1,...,гг /3=^,...,к ,

< + <7 = 2и, а= ^

удовлетворяющих следующим условиям:

1) для любого поля 1 е вточках гладкости

Г угол между вектором 1 и вектором « направленной касательной к Г удовлетворяют условию 0 < (р < л , причем отсчет угла производится от 1 к ! против хода часов;

2) в угловых точках выполняются неравенства

где

//Ч^еГ^

-зг

(6)

г- (7)

/¿ОмО^С^О^О^гС! Л™ УР^-нения (2) в области Бв. Будем рассматривать также

задачу В' для уравнения (2) с граничным условием (5), в котором

(8)

Задачу В' назовем смещённой к В задачей, а граничное условие (5), (8) - смещенным граничным условием.

Согласно [6], индекс ж граничного условия (5) в классе ограниченных решений (класс к0) определяется соотношением

2п

- X щ,

j=i

где ж, =

1

2 л

(9)

; Sj - скачок аргумента функции в точке разрыва ¿' ., выбранный извест-

¿С

ным образом (см. также [7, гл. 1]) при положительном обходе контура Г из точки сх и взятый с обратным

знаком; - целая часть числа а . Обозначим через

+ 4+1 +

со,- углы между векторами I и 1, , а именно:

(

=

t+ 1+

а>}- =

Л

t1.11

i = 1,...,2n где ty, ly -

предельные значения векторных полей 1С > А С ^ IС > А при положи-

тельном обходе контура Г, причем угол а>~ отсчи-тывается от ^ к 1~ соответственно в положительном направлении. Имеет место

Г с/

Лемма 1. Если 1,1 е £а'р , то индексы ж, ж' задач В, В' в классе к0 находятся по формулам

ж = -4+ X

к=0

<Р2к+1+Ч/2к+1 |

Л

Ж

3) если £ ■■■-С,г - произвольно отмеченные точ-i<<2и, \ < г < 2п : - оставшиеся

точки из числа . .,£2п C + 2п . то 0 < cpj < ж, j = i1,...,ir i<ir<2n~2 (< kq < 2п^.

+ х

к=1

V

(10)

У

к=0

+ Z

к=1

<Р2к + Ч^2к , а>2к

\

n

Для доказательства применим стандартную процедуру нахождения индекса разрывного граничного условия (5) [6]. Выбрав с1 за начальную точку обхода контура Г и используя технику из [5], получаем

ж

t+=t

4

°>j = mI

Тогда выражения (10)

и (11) для жиж' соответственно принимают вид

3=1 3=о

п-\

3=0

3= 1

где

*j '-Уз

л

^ - целая часть числа a .

>я>=и;

(12)

(13)

(14)

Направление в точке С',, заданное одним из векторов ( = 1,2 , назовем биссекторным направлением пары 4ц,т если в случае к = 1 прямая -биссектриса одного из вертикальных углов, образованных прямыми р№- и р -. а в случае к = 2

прямая р -- - биссектриса одного из вертикальных

углов, образованных прямыми р - .

Справедлива следующая

Лемма 2. Для любой нормальной в точке ^ (.< ) < 2п пары 4'- г _ и каждого к = 1.2 следующие утверждения равносильны:

1°. — ^ + ^. + (1 - целое число;

где целая часть числа а . Если теперь за начальную точку обхода принять любую точку с е непрерывности функции Л4Ц и повторить указанную процедуру, то на основании последних равенств приходим к соотношениям (10), (11).

Далее нам понадобится понятие нормальная пара, введенное в [5]. Пусть р( - прямая в плоскости

$,и2 с направляющим вектором а . Пару ком-плекснозначных функций назовем

нормальной в точке С. парой, если выполняется одно из следующих условий:

1°. Векторы 1,7 с началом в точке Ск лежат по одну сторону от каждой из прямых , а векторы 1к -р ^ проходящих через точку Ск.

2°. Векторы \1: с началом в точке Ск лежат по разные стороны от каждой из прямых р , а векторы ^ - от каждой из прямых р , проходящих через точку Ск.

Если пара прямых ^ совпадает с парой прямых р^ , то будем полагать, что выполнено любое из условий 1°, 2°. В дальнейшем нормальную в точке Ск пару функций 4ц,т будем называть разделенной в точке Ск парой, если выполнено условие 1 , и неразделенной, если выполнено условие 2°.

В дальнейшем пару т будем называть нормальной, если она является нормальной в каждой точке С..

В целях упрощения формулировки следующей леммы переобозначим I, I= 1*

2°. - биссекторное направление пары (л т .

Для доказательства введем следующее понятие: углом у = /-К^Х между направлениями, заданными векторами 1, t с началом в точке -С., назовем наименьший из двух смежных углов между двумя прямыми

рС и рЦ (о</<^\. Пусть

Для нормальной пары 4'- г

= < = 1,2,...,2(15) Рассмотрим следующие случаи:

1°. (р] >0, у/] >0, 0 ;

2°. (р] <0, ц/} <0, со^> 0 < = 1,2; 1< ) <2

В случае 10 с учетом равенства (15) непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости равенств

<< «'

Уз -1

-=як+ if—rr

-j -- ■ -r;^ ^ (16)

для разделенной в точке й. пары 4ц. г и равенств

-у«^Ъ = \,2-\<]<2п^ (17) для неразделенной в точке Г . пары. Точно так же в случае 2

0

(18)

у - , ^ О ^ = \,2-,] = \,...,2п1 (19)

для разделенной и неразделенной в точке ^ пары

4,1. т _ соответственно. Таким образом, лемма 2 в рассмотренных случаях 1° и 2° следует из равенств (16)-(19). Случай нормальной пары 41-т Для которой в точке С1 выполняется хотя бы одно из условий

<р! ■ ///, < 0, со* — ю < 0, рассматривается аналогично. Следствие 1. Пусть нормальная пара Ц/. т в точке удовлетворяет условию 1°. Тогда для разделенной в точке С) пары

ls J__1-7Г ГГТТ 1/ ^ - > ^ -

кл < Qj < | к + — у, если^у"-> у]-;

(20)

к - -jж < кж, если /*-< у*- С = Для неразделенной в точке ¿Г, пары

1-й тип: tpj = л - у

О 71

= Ж — V -

, " 'J' 2 о < ур< yflZ.

< I

2-й тип: (р . =yQ yf-^>yf1^.

4-lß< Qf , если yf:< y)\ (21)

3N

если у*->у*-4 = 1,21

Если же в точке 4'. выполняется условие 2°, то для неразделенной в точке £ ■ пары

"j ' j -j=~гЯгР<

3-й тип: cpj = -/j-i У^^ У]

л; <р:< 0; yp>yf -.

4-й тип: tpj = ур—77"

к-^)л <

< - 2ß, если yf-< у*~

(22)

если yf->yfi = 1,2^. Для разделенной в точке l . пары

к-1-Лл<0.^< С-Зд,если yf:>y*:, (23)

5-йтип: -л <(р - < 0; у?' ■

Справедливость леммы устанавливается непосредственной проверкой.

Замечание 2. Точки к-то типа С' = 1.....4 в случае являются особенными точками граничного условия (5) - (7).

Следствием леммы 3 и соотношений (20) - (23) является

Лемма 4. Если - точка »г-го типа (< т < 5 граничного условия (5) - (7), то

С-Зд < [ к-- 1л, если уУ- < = 1,2

5

= + ¿ = 1,2,

(24)

2

Согласно [6], точка С i назьшается особенной точкой

граничного условия (5), если в равенстве (9) ж, = -

2 ж

целое число. Сравнивая в соседних точках . , и 4';

>2]

где [/ целая часть числа а .

Замечание 3. Из (12) для индекса граничного условия и равенства (24) следует, что величина индекса зависит только от числа точек граничного условия каждого из пяти типов и не зависит от порядка расположения этих точек на кривой Г .

Обозначим через Ик = 1.....5^ число точек к -го

<</' <« , аZ2i-1 — (ß2i-\ + W2i-\ + C02i-\ и = -+ ¥и-°hi типа из числа точек £ . <(' = 1.....2п. ^N^=2п.

"ж ' 1t j 'г--!

в правой части равенства (12), на основании леммы 2 приходим к следующему определению особенной точки граничного условия (5): ■ есть особенная точка граничного условия (5), если один из векторов

задает биссекторное направление пары т причем указанный вектор является предельным значением поля 1 = Д С С > в точке 4' . вдоль дуги,

несущей граничное условие (6).

Замечание 1. Из (13) для индекса ж' и леммы 2

следует, что если тот из векторов 1*- ( = 1,2 , который является предельным значением поля 1 = Д (,'2/12 С > в точке £ ■ вдоль дуги, несущей условие (7), задает биссекторное направление пары 4ц.,т то - особенная точка смещенного граничного условия (5), (8).

Пусть - предельные значения полей

1= С в точке ^ вдоль

дуг, несущих условия (6), (7) соответственно (<кх,к2 <2,кхФк21, у^ Д« . Имеет место

Лемма 3. Если пара функций т есть нормальная пара, М != С.Ч/,. а в любой точке С1 граничного условия (5) - (7) выполняется одно из условий 1°, 2°, то каждая точка 4'/ может быть отнесена к одному из следующих типов:

к=1

Имеет место

Лемма 5. Если для пары т выполняются условия леммы 3, то индекс ж граничного условия (5)-(7) в классе к0 вычисляется по формуле 1 ^

2

(25)

Обозначим точку ■ т-то типа через ¿Г^ '. Не нарушая общности, можно считать, что точки 4"*--для каждого к ( < к < 5 __ следуют друг за другом при обходе контура Г из точки С \ в положительном направлении. Для определенности рассмотрим случай

С = т.е. все -

к=\

четные. Тогда подставляя в правую часть равенства (12) выражение (24) для

получаем

5 i^l

ж = > <-2 к , откуда следует (25). Оставшиеся

к=1

два случая (только три числа или только одно число из чисел - четные) рассматриваются ана-

логично и приводят к выражению (25) для ж.

Пусть <4'1,...,<4т ^<т<2п- произвольно отмеченные точки из числа Введем в рассмотрение решение класса к задачи В, т.е. решение ограниченное в точках и допускающее в Бв П и , где Г _ - некоторая

окрестность точки с"; = т + \.....2/7 . оценку

1, 0<ау-<1, A-const, а величины aj вполне определены функцией Я^ в условии

(5). Как известно [6], индекс граничного условия (5) в классе h C'i.....ст, определяется равенством (9), где

J

2л-

при = 1,.. ,,т и ж, =

2л-

+ 1 при

$ =т + \,...,п

Лемма 6. Если для пары т выполнены условия леммы 3, то индекс ж задачи В в классе к . находится по формуле

ж=2п-т+

2к=\

(26)

4

у

■< <£-1^4 при к = 2,3,4; -<v-<2

4

ч

Следуя [8], введем в рассмотрение б.м. изгибания класса , а именно: будем говорить, что

поверхность допускает б.м. изгибания класса

. т

(< т < 2п , если на \ \^ск Определи 1

лено поле изгибаний, порожденное решением класса ^ соответствующей задачи В. Через Н° обозначим класс б.м. изгибаний поверхности , задаваемых решениями класса задачи В . Пусть .V,, -

2п

поверхность с краем Ь = X /<, • направления каждой

м

из дуг Ьъ_х С= 1.....// которого в точках начала и

конца совпадают с одним из главных направлений на поверхности в этих точках,

Формула (26) следует из (25).

Геометрические результаты

Рассмотрим каноническую задачу Ао отыскания б.м. изгибаний поверхности , совместимых с граничным условием (1), в котором угловые точки с .

( = 1.....2п следуют друг за другом при обходе границы Ь в заданном направлении (например, в положительном направлении при выборе направления вектора нормали к поверхности в сторону выпуклости), а

направление каждой из дуг (= 1.....// в точках

начала и конца совпадает с одним из главных направлений на поверхности в этих точках. Будем рассматривать также смещенную задачу А',, т.е. задачу об отыскании б.м. изгибаний поверхности со смещенным граничным условием на

8кп=а,41ж ь2г <=1,...,/С (27)

Замечание 4. Очевидно, смещенная задача А', -каноническая лишь в том случае, когда в каждой угловой точке с^ направления сходящихся в ней дуг совпадают с главными направлениями в этой точке. В частности, если все угловые точки с ^ - омбилические, то

задача А и смещенная задача А' - канонические.

Для формулировки результатов введем классификацию угловых точек канонической задачи А0: точку с ■ с внутренним углом \'.к назовем неособенной

точкой к-то типа, если 0<у;-<— при к = 1;

N

О fr =

k = 1,

ы 1

5; X N^= 2п\ - число угловых точек

к -го типа канонической задачи А^. Имеет место

Теорема 1. Пусть Бу - заданная выше поверхность класса регулярности IVх''. р> 20о, где

0о=тахгДе набор ^.....в2„ _ вполне

определен выбором точек с и направлений на

Sv , а c,i,^,сгт

- произвольно отмеченные точки по-

5 ^ ( ,

верхности из числа си...,с2п. Если N = £ < - 2£ /у

к=1

>6 — 2т, то поверхность Sv допускает ^/2-3 + да -параметрическое семейство нетривиальных б.м. изгиба-

нии класса

нС ,...,с Ъ W1q, 2

m S 7

< q < ■

2 p

при к = 5 . Если v = {¡¡к - \-j- к < 4 , то точку

назовем особенной точкой задачи Ао и будем относить к к -му типу.

Пусть - заданная выше поверхность с краем

Ь , содержащим 2п угловых точек ci 1.....2п . и

пусть с1,...,ст С-- 2// - произвольно отмеченные неособенные угловые точки из числа с>■••>с2п .

2+Р4-\1в0; совместимых с условием (1), в котором стф() хотя бы на одной из дуг Ь1.

Рассмотрим граничное условие (3), (4), задаваемое парой 8= 4О.! п= где *С

касательный к Г в точке С единичный вектор; п £ -единичный вектор, задающий в каждой точке ^ кривой Г направление, являющееся образом ортогонального к Ь направления на поверхности в соответствующей точке. Не нарушая общности, будем полагать, что направление вектора ^ в каждой точке совпадает с положительным направлением обхода границы Г = с!)в, а вектор п^" с началом в этой точке направлен вне

области Бв. В этом случае [5] з^е-С™1^™2 , т1 +т2 = 2п, где тк - число угловых точек С, е Г, соответствующих точкам с.) е /, . для которых

к-1<у, < к С =

сочетания соответствующих индексов. При этом пара Сп - пара нормального типа. Далее нам понадобится следующее свойство отображения 3: —> 1)в. заданного выбором сопряженно изометрической параметризации ii. ii 2 поверхности Л',, [4]:

Щ =

sinQ = kt ks / K j-sinQ', (28)

где kt, k - нормальные кривизны поверхности S0 в точке с в направлении t и s соответственно; К -гауссова кривизна; П и Q' - углы между направлениями s и t на поверхности в точке с и их образами s' и t' в точке £.

Обозначим через g'k К. = 1.2 образы главных направлений gk { = 1.2 на поверхности в точке с при отображении 3. Из равенства (28) и формулы Эйлера ks = кх cos2 в + к2 sin2 в, где кък2 - главные

кривизны в точке c ; в - угол между направлениями s и gj, следует, что для любой пары направлений , образующих равные углы с главными направлениями в точке с, прямые р(¿к _ С = 2 являются биссектрисами вертикальных углов между прямыми pQj р(„• Следовательно, пара направлений s и t, угол между каждым из которых и любым из главных ж

направлении равен —, есть единственная пара ортогональных направлений, для которых прямые р ^ = 1,2 - биссектрисы углов между прямыми р и pil . Отсюда на основании леммы 2 заключаем, что особенной точке с j k -го типа задачи ^4о при отображении 3 соответствует особенная точка Су (< / < 2п: \ <к < 4 к-то типа задачи (2)-(4). Далее непосредственной проверкой с помощью леммы 3 убеждаемся, что неособенной точке сг k -го типа задачи А о соответствует неособенная точка к -го типа задачи (2)-(4) (< / < Ъг. 1 < к < 5 Таким образом, А0

есть задача вида (5)-(7). Доказательство теоремы завершается сведением задачи (2)-(4) по схеме [5] к случаю, когда область De - единичный круг, и применением леммы 6 с использованием результатов работы [9] о разрешимости задачи Римана-Гильберта для обобщенных аналитических функций с разрывным граничным условием.

Пусть заданная на L равенствами (1) функция а в угловых точках удовлетворяет дополнительным условиям точечного типа о ^ ^ о ^ ■ ^ 0,

j = 1,.. .,2п. Тогда имеет место

Теорема 2. Если N>6, то поверхность Sv допускает / 2—3 _ - параметрическое семейство нетривиальных б.м. изгибаний класса Ho П W1q и непрерывных в De U Г, совместимых с условием (1).

Теорема 2 есть следствие теоремы 1 и представления общего решения неоднородной задачи Римана-Гильберта для обобщенных аналитических функций [9].

Замечание 5. Из доказательства теоремы 1 и замечания 4 следует, что если точка с^ к -го типа (особенная или неособенная) задачи Ао есть омбилическая точка поверхности , то она является также точкой к -го типа (особенной или неособенной) задачи А^, со смещенным граничным условием, а соответствующая ей точка ^^ - точкой к -го типа (особенной или неособенной) смещенной задачи (5), (8). Таким образом, если все угловые точки с . у < 2и - омбилические

точки поверхности , то утверждения теорем 1, 2 остаются в силе и для смещенной задачи А',. В частности, справедлива

Теорема 3. Если все угловые точки с■

( - 1.....2п - омбилические точки поверхности .

а величина внутреннего угла V¡ж в каждой из точек

2к-1

равна одному из чисел

4

(< к <4 , то поверх-

ность не допускает б.м. изгибаний, совместимых с условием (1), а также со смещенным условием (27), ни в одном из классов Н£■ ,...,с, , 1 </' < 2п. Если при

аг«" 2к~1

этом числа ' точек с внутренним углом —-—ж (< /г < 4 соответственно связаны соотношением

X ^ —2к ^• то поверхность Бу допускает

к=1

2-3^ - параметрическое семейство б.м. изгибаний класса Н0 , совместимых с условием (1), а также со смещенным условием (27).

Литература

1. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М., 1982.

2. Векуа И.Н. Системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и граничные задачи с применением к теории оболочек // Мат. сб. 1952. Т. 31. № 2. С. 217-314.

3. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М., 1976.

4. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М., 1959.

5. Тюриков Е.В. Об одной граничной задаче теории бесконечно малых изгибаний поверхностей // Владикавказский мат. журн. 2007. Т. 9. № 1. С. 62-68.

6. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1968.

7. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск, 1977.

8. Тюриков Е.В. Об одном расширенном классе бесконечно малых изгибаний регулярных локально выпуклых поверхностей // Владикавказский мат. журн. 2005. Т. 7. № 1. С. 61-66.

9. Тюриков Е.В. Краевые задачи теории бесконечно малых изгибаний поверхностей // Мат. сб. 1977. Т. 7. № 3. С. 445-462.

Поступила в редакцию

12 декабря 2007 г.