Об одном классе граничных задач мембранной теории выпуклых оболочек Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.223+539.3

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ МЕМБРАННОЙ ТЕОРИИ

ВЫПУКЛЫХ ОБОЛОЧЕК

© 2012 г. Е.В. Тюриков

Южный федеральный университет, Southern Federal University,

ул. Мильчакова, 8, г. Ростов-на-Дону, 344090 Milchakov St., 8, Rostov-on-Don, 344090

Изучена граничная задача мембранной теории выпуклой оболочки для обобщенных сферических куполов в максимально общей постановке, включающей в себя все известные граничные задачи с заданными физическими условиями на границе серединной поверхности оболочки. Полученные результаты формулируются в форме геометрического критерия безусловной разрешимости.

Ключевые слова: задача Римана-Гильберта, обобщенная аналитическая функция, выпуклая оболочка

Generalized boundary value problem of I. Vekua for the momentless spherical shell is under consideration. The geometrical criterion of the unconditional resolvability of the generalized boundary value problem of the theory of the thin elastic shells is found.

Keywords: Riemann-Hilbert boundary value problem, generalized analytic functions, convex shells.

1. Постановка задачи

В рамках мембранной теории выпуклых оболочек [1-3] изучается задача (задача Я) о реализации без-моментного напряженного состояния равновесия тонкой упругой оболочки, серединная поверхность £ которой есть строго внутренняя часть замкнутой выпуклой поверхности класса регулярности Ж3'р ,

п

р > 2, с кусочно-гладким краем Ь = и Ьу , состоя] =1

щим из конечного числа дуг Ьу класса регулярности

С1'8, 0 < е <1. Предполагается, что в каждой точке дуги Ьу (/=1,...,п) задана проекция и(я) вектора усилий на направление принадлежащего поверхности £ вектора г(^) = (а(5), Р(5)} с касательной и нормаль-

ной составляющими а, р соответственно, где я -натуральный параметр; а2 +р2 = 1; функции а(у), Р(^), и(я) - гельдеровы на каждой из дуг Ьу ; векторное поле г как вектор-функция г(с) точки с контура Ь имеет разрывы 1-го рода в угловых точках.

Задача Я для серединной поверхности £ с гладким краем Ь при условии непрерывности на Ь векторного поля г была поставлена И.Н. Векуа в [4], а ее частные случаи (а = 0 или р = 0 на Ь ) и их геометрические аналоги изучены в [3, 4]. Простейший случай кусочно-непрерывного векторного поля г впервые рассмотрен в работе А.Л. Гольденвейзера [5; 2, гл. 17] при постановке смешанной граничной задачи (а = 0 на одной части границы, р = 0 - на другой) для сферического купола, т.е. для односвязной сферической поверхности с кусочно-гладким краем.

В указанной работе обсуждается возможность сведения соответствующей задачи R к «разрывной» граничной задаче Римана-Гильберта для аналитических функций. Отметим, что смешанная граничная задача для регулярной выпуклой поверхности с гладким краем, поставленная И.Н. Векуа в [4] методом [1, 4], также сводится к «разрывной» задаче Римана-Гильберта для эллиптической системы уравнений равновесия. Таким образом, приведенная выше постановка задачи Я включает в себя все перечисленные случаи. Геометрический аналог смешанной граничной задачи для од-носвязной выпуклой поверхности £ с кусочно-гладким краем (купол общего вида) изучен автором в [6].

В дальнейшем будем полагать, что £ - односвяз-ная поверхность, а все угловые точки границы Ь -омбилические (сферические) точки поверхности £0 . Последнее требование не является принципиальным, но позволяет упростить изложение и формулировку результатов. Следуя [2], такую поверхность назовем обобщенным сферическим куполом. Будем также полагать, что Р(3) - знакопостоянная на Ь функция, Р(^) > 0 на Ь, а соответствующее векторное поле г(с) будем называть допустимым.

Перейдем к математической постановке задачи Я . Пусть су - угловые точки границы Ь с внутренними углами V у (0< Уу < 2я , V у Фп, у = 1,..., п)

соответственно, следующие друг за другом при обходе контура Ь в заданном направлении (например, в положительном направлении при выборе направления вектора нормали к поверхности в сторону выпуклости). При этом началом и концом дуги Ьj

( у = 1,., п - 1 ) являются точки су и Cj +1 , Ьп - точки сп и с. Введем следующие обозначения: J -отображение поверхности £0 на комплексную плос-1 2

кость 2 = и + 'и , заданное выбором сопряженно изометрической параметризации (и1, и2) на поверхности £о ; Б = J(£) - ограниченная в плоскости 2

п

область с границей Г = и Ту, Ту = ¿(Ьу), содержа-

j=1

щей угловые точки Су = J(c/■). Согласно [1, 4], задача

Я сводится к отысканию в области Б комплексно-значного решения w(Q уравнения

дw(0

SQ

--B(Q)w(Q) = F(Q), Qe D,

(1)

по заданному граничному условию

ЧI (р® !-а® IН=кк • - -х)'

(2)

оператор комплексного

СеГ,

Я 1 ( д . д

где дс = -1—- + г—-

С 2 ^ды1 ды2

дифференцирования; w(Q - комплексная функция напряжений, выражаемая через компоненты контрвариантного тензора усилий и коэффициенты метриче-

ской формы поверхности [1, гл. 3]; В(С) - заданная поверхностью функция класса Ьр (Б), р >2; F(С) -комплексная функция внешней нагрузки оболочки; СС/сЗ = з1 + 'З2 , 3 (1 = 1, 2) - координаты касательного к Г орта; СС/С£ = I1 + И2, I1 (1 = 1,2) - координаты орта направления на плоскости 2 , являющегося

J -образом направления на поверхности £0, ортогонального направлению кривой Ь , где значения функций а(С), Р(С) совпадают со значением функций а,

Р в соответствующей точке с = J-1 (С); у - вполне определенная функция своих аргументов; К, кз, - ^ -

соответственно гауссова кривизна поверхности, нормальная кривизна и геодезическое кручение поверхности в направлении края в точке с ^-1(С); X -нормальная компонента вектора поверхностных и объемных сил на единицу площади.

Отметим, что правая часть равенства (2) как функция аргумента С гельдерова на каждой из дуг Ту и

терпит разрывы 1-го рода в точках С у (У = 1,.,п). Также полагаем, что F(С) е^р (Б), р >2. Классы

регулярности решений задачи (1), (2) будут введены ниже.

Замечание 1. Согласно [3], величина угла между двумя любыми направлениями в омбилической точке поверхности £ равна величине угла между J -образами этих направлений на плоскости 2 . В частности, величины внутренних углов в угловой точке с у кривой Ь и точке С у = J(C') равны.

2. Описание точек разрыва граничного условия задачи Я

Будем полагать, что поверхность £ и ее граница Ь ориентированы так, что при обходе кривой Ь поверхность остается слева, а направление касательного к Ь в точке с вектора ст(с) совпадает с положительным направлением обхода кривой Ь . Введем обозначения: Сту1-* и Сту2-* (Гу1-* и Гу2) - предельные значения векторного поля ст(с), (г(с)) в точке су слева и

справа соответственно при обходе границы в положительном направлении. При этом пара векторов

Уу1-* = -сту1-*, у(2) = Сту2-* задает внутренний угол в

точке су . Угловую точку су вместе с парой векторов

(Гу1^,г^ назовем узлом су (Я) задачи Я . Обозначим через б(к) угол между векторами V (к) и г(к)

(к = 1,2; 0 < е(к) < п). Индикатором узла су (Я) назовем число

Jу (Я) = 9(у1) +е(2). (3)

Введем вспомогательную классификацию угловых точек су границы Ь обобщенного сферического ку-

пола, а именно: угловую точку С] назовем точкой к - в направлении вектора «(С); П (к) -полуплоскость,

,, л .. к 1 к

типа (к = 1,...,4), если-л < V ,■ < — л .

2 ] 2

Точку Су , для которой Vу = л/2 (Vу = 3л/2), будем относить к 1-типу (3-типу) соответственно. Точка Су к -типа и множество допустимых пар векторов

Гу1), г(2) (а2 +р2=1, р> 0) задают множество узлов Су (Я) задачи Я . Справедливо легко проверяемое Утверждение 1. Для каждого к = 1,...,4 узел Су (Я), соответствующий угловой точке Су к -типа,

можно отнести к одному из трех классов Я(), (г = 1,2,3):

2v у -(к- 2)л < Jj (Я) < 2л для г = 1;

2vу - (к - 1)л < JJ (Я) < 2vу - (к - 2)л для г = 2; (4)

0 < Jj(Я) < 2vу -(к — 1)л для г = 3.

Особенными узлами Су (Я) задачи Я (соответственно особенными узлами ^ = ,т(с .) условия (2)) назовем узлы, для которых выполняется одно из следующих равенств: Jj(Я) = 2v-(к-2)л, Ji(Я) = 2vу-(к-1)л .

3. Вспомогательная задача Римана-Гильберта для обобщенных аналитических функций

Введем следующие обозначения: т(с) - единичный вектор с началом в точке гладкости с кривой Ь , принадлежащий поверхности £0, ортогональный вектору ст(с) и направленный вне £; Ту1-* и т (2) -предельные значения векторного поля т(с) в точке С у слева и справа при обходе кривой Ь в положительном направлении; 1(0 - единичный вектор в плоскости г с началом в точке С еГ, направление которого совпадает с направлением ^ = 1(т), где т (с) - направление вектора т(с) на

поверхности £ в точке с = .Т-1(0 ; «(С) - единичный касательный к Г в точке С вектор, направление которого совпадает с положительным направлением кривой Г;

«(;1} = s(C j -0), Sf = s(C j + 0),

лежащая по ту сторону от прямой р(«(к)), на которую

указывает вектор 1 (к) (к = 1,2); и у - угол (сектор плоскости г ), являющийся пересечением полуплоскостей П (к) (к = 1,2); и у - угол (сектор), являющийся вертикальным по отношению к углу и у, т. е.

(иу, и0) - пара вертикальных углов.

Рассмотрим на Г вектор-функцию р(0 (| р | = 1), гельдерову на каждой из дуг Гу, имеющую разрывы 1-го рода в точках С у и удовлетворяющую дополнительным условиям:

1) для любой точки гладкости кривой Г векторы р(С) и 1(С) лежат по одну сторону от касательной к Г в точке С ;

2) р(к) еП(к) (к = 1,2; у =1,.,п), где р(у1)= Р(Су -0), р(2) = р(Су + 0).

Угол между векторами р(к) (к = 1,2) зададим вращением полупрямой р0(1) с началом в точке С у из положения р0(р(1)) до совмещения с полупрямой р 0(р(2)), выбирая направление вращения таким образом, чтобы ни одна из полупрямых р0(1) не принадлежала и у . При этом величину у у угла считаем

положительной (отрицательной), если вращение производится против хода (по ходу) часов (| уу |< 2л,

у = 1,., п ).

Величину фу угла между векторами «(к) (к = 1,2) определим так: отсчет угла производится от «(1) до

«у2* в сторону угла, не большего л (-л<фу <л);

угол считается положительным, если отсчет ведется против хода часов.

Рассмотрим граничную задачу (задача К ) Яе{Ц0ц(СМ0} = у(0, СеГ, (5)

для однородного (F (С) = 0) уравнения (1) в области Д ^(С) = ^ (С) + % (С), Ц(С) = Р1 (С) + г'Р2 (С), где вектор-функции «(С) = {*! (С), $2 (С)}, р(С) = {р1 (С), Р2 (С)} определены выше; у(0 - гельдерова на каждой из дуг Гу функция.

Задача К есть задача Римана-Гильберта с разрывным граничным условием для обобщенных аналитических функций. Согласно [7, 8], точка С у есть

особенный узел условия (5), если ф +у; = лк, где

величины фJ, уг заданы вектор-функциями «(С),

р(С) соответственно, к - целое число. Пусть С^ , • ••,

' ' у

1 у1} = 1(С у -0), 1 (2)= 1(С у + 0).

Заметим, что в силу омбиличности точек С у векторы «(к) и 1 (к) (к = 1,2) ортогональны. Не нарушая общности, будем считать, что вектор 1(С) направлен вне области О.

Будем использовать также обозначения: р(«(С)) и

р0(«(С)) - прямая и полупрямая соответственно в плоскости г, проходящие через точку С

С' - неособенные узлы условия (5). Следуя [8], бу- ниченности (ограниченности) решения w(Q . Класс

дем отыскивать решение w(Q класса к^, ,' , т. е. таких решений обозначим через к

i,q

1' ' m

решение, ограниченное в точках С , ..., С и до-

'1 'm

пускающее в некоторой окрестности остальных неособенных узлов С j оценку A(Q-Q j )_а, 0 < а j <1, A = const. Заметим, что в окрестности

особенного узла решение задачи R необходимо ограничено. Используя модифицированную технику вычисления индекса граничных условий, рассмотренных в [9-11] и являющихся частными случаями условия (5), получаем выражение для индекса к в классе

К , :

к = n - m - n0 - 4 + 2 [(фг- )/л], i=1

(6)

где щ - число всех особенных узлов; [а] - целая часть числа а . Для описания точек разрыва граничного условия вида (5) угловую точку С у границы Г

вместе с парой векторов р(к) (к = 1,2) назовем узлом С у (К) задачи К . В силу замечания 1 угловую точку С у = Г можно отнести к одному из 4 типов согласно

введенной выше вспомогательной классификации. Точка С у к -типа (к = 1,...,4) и множество пар векторов р(ут) (т = 1,2) задают множество узлов С у (К), которое можно разбить на три класса: для каждого к

(i)

о ■

" 4

2 (4 - (i + k))Щ

k=1

(i)

4. Разрешимость задачи Я

Следуя [1, 3], решением задачи Я будем называть решение задачи (1), (2) в любом из классов к1,9 . , и

т

наоборот. Прежде всего отметим, что в рамках мембранной теории переход от задачи Я к задаче (1), (2)

об отыскании решения в классе к1,9 . является

т

корректным, так как соответствующий этому решению интеграл энергии растяжения (деформации) оболочки конечен [12]. Пусть теперь Nу'> - число узлов

задачи Я, принадлежащих классу Я()

(1 <' < 3 , 1 < к < 4). Справедлива

Теорема 1. Пусть £ - заданная выше односвязная

поверхность класса регулярности Ж3р , р > 2е0 , где

е0=тах{1,у^л,...,уп/л}, сг ,...,сг - произвольно

1 т

отмеченные узлы задачи Я ; щ - число всех особенных узлов. Если

N > 3 + m + По - n ,

(9)

то задача (1), (2) безусловно разрешима в классе 1,ч ^ „ 2 Р

h

2 < q <■

а ее решение зависит

(1 < к < 4) узел С у (К) принадлежит классу К (1 = 1,2,3), если

л(3 - к - ')< у у-V у < л(4 - к -1). (7)

Особенными узлами с у (Я) (соответственно особенными узлами С у (К) условия (5)) являются точки, для которых у у - V у = кл, где к - одно из чисел -3, -2, -1, 0 , Jl (Я).

Утверждение 2. Если - число узлов С у (К),

принадлежащих классу К( ) ; п0 - число особенных

узлов, то индекс задачи К в классе к г вычис-

т

ляется по формуле

к = п - т - пп - 4 + N , (8)

3

где N = 2

1=1

Формула (8) следует из соотношения (6), неравенств (7) и равенств ф . = л - V ■ (у = 1,.,п).

Если w(С) - решение класса к г задачи К,

т

п а 1 —

то, согласно [3, 7], w(Q П(С "Ск) к еЖ1,9(Б), где

к=1

д , а к вполне определены условием (5), 2 < д < р, причем 0 < ак <1 (-1< ак <0) в точке С к неогра-

'1,.,' т ' 2 + р(1 - 1/е0) от N + п - т - щ - 3 вещественных параметров. Если же N <3 + т + щ - п, то задача имеет решение (единственное) в указанном классе тогда и только тогда, когда для правой части равенства (2) выполнены т + щ + 3 - (п + N) условий разрешимости интегрального типа.

Схема доказательства.

Решение задачи (1), (2) отыскивается в виде w = wо + V, где wо - некоторое частное решение

класса Ж1 р (Б) уравнения (1); V - общее решение соответствующего однородного (Е = 0) уравнения, удовлетворяющее граничному условию (5), в котором функции Х(С) - ^, Ц(С) = Р(С) СС-а(С) ^ аз М аз

определены векторными полями «(С), р(С) = = Р(СЖС) -а(С)я(С) = {Яец(С);1т ц(2)} соответственно; «(С), 1:(0 - заданные в п. 3 единичные векторы,

р(к) = р(к^у) - а(к^), а<у1) = а(Су - 0) ,

а(2) =а(С у + 0), ру1} = Р(Су - 0), р(2)= р(Су + 0), а

у(С) = У0(С) - Ие(Х{0ц(<>0(0}, где У0(С) - функция на Г , заданная правой частью равенства (2).

Учитывая утверждение 1, равенство (3) и замечание 1, непосредственной проверкой убеждаемся в следующем: неособенному (особенному) узлу с у (Я)

класса Я(') соответствует неособенный (особенный)

m

узел С у (К) класса К(г) граничного условия (5). Доказательство теоремы завершается применением к задаче (1), (2) результатов работы [7] и формулы (8).

5. Частные случаи задачи Я

Рассмотрим допустимое векторное поле г(с), задающее на Ь непрерывное поле направлений г (с) . Ниже приводится описание множества всех таких векторных полей. Пусть лг - касательная к поверхности £ в точке £0 плоскость; гг(к) (к = 1,2) - пара неколлинеарных векторов в плоскости лг с началом в точке сг; р(а(к)) - полупрямая с началом в точке сг и направляющим вектором а(к). Обозначим через £ (а(1), а(2)) тот из двух углов между полупрямыми

р(а(к)), величина которого меньше л .

Пусть теперь г(с) - допустимое (р > 0) векторное поле, задающее непрерывное на Ь поле направлений; г(к) - предельное значение поля г(с) в точке сг вдоль той из дуг, направление которой задает направление вектора \(к) (к = 1,2). Легко убедиться, что в каждой точке Сг выполняется одно и только одно из следующих условий: 1° -(1^-(2) =

1°. r¿(1) = r¿(2) = r, причем r е S(-v(1),-v(2)), ес-0< vJ (i = 1,2).

ли 0< vj <n, и rj еS(v(1),v(2)), если n < vj <2n

2°. г(1)= -Г(2), причем г^к) е £(у(к),-у(к )), если 0 < Vу < л, и г(к) е £(-у(к), у(к')), если л < Vу < 2л (к ф к'; к = 1,2; к' = 1,2).

Если в точке сг выполняется условие 1° (условие 2°), то направление т, заданное вектором гг (любым из векторов г/к)), назовем входящим (выходящим) в точке сг . Множество всех непрерывных на Ь направлений, выходящих (входящих) в каждой из точек сг (1 < г < п), обозначим через Рех (РеП).

Замечание 2. Очевидно, индикатор Ji (Я) узла сг (Я) для любого поля направлений класса Рех (РеП) задается равенством Ji(Я) = 2л^у (Ji(Я) = л^у)

соответственно.

5.1. Задача Я0. Задачу Я при условии непрерывности на Ь допустимого векторного поля г(С) назовем задачей Я0 . Очевидно, в этом случае соответствующее поле направлений г (с) принадлежит классу Рех . В этом случае

р(1у -а«^ р(2)1 (2) -а(2Ц2) (у = 1,.,п) для вектор-функции р(С) = р(СЖС) - а(С)«(С), заданной

(k),

из равенств vj = — к (к = 1,...,5). В силу замечания 2

граничным условием (5). Предположим для определенности, что вектор r(Cj) совпадает с одним из векторов ст(/) (к = 1,2). Тогда pj1} = -sj1}, р(2) =| sin v j | j + j cos v j в случае к = 1 и

p(j1^=|sin Vj | j - s^cos Vj, p(,2) = j в случае к = 2 . Отсюда следует, что (фу + у j )/л есть целое

число тогда и только тогда, когда выполняется одно

л —j

3

это утверждение справедливо для любого вектора r (Cj), задающего входящее в точке Cj направление

г . Учитывая условие омбиличности точек Cj , заключаем: узел Cj (R0) есть особенный узел задачи л

Ro, если V j = — к (1 < к < 5). При этом классифика-

j 3

ция (4) допускает уточнение: угловая точка Cj границы L есть неособенный узел Cj (Ro) к -типа

к -1 к (к = 1,...,6), если -л < V: <— л (к = 1,...,6), и

3 j 3 V

л

особенный узел к -типа (к = 1,...,5), если vj =— к .

Тогда индекс к соответствующей задачи R в классе h

'V-'m

вычисляется по формуле (8), где

N = £(3 - к)Ж[0), № - число узлов су (Я0) к -

к=1

типа задачи Я0 ; п0 - число всех особенных узлов, а

критерий безусловной разрешимости задачи Я0 в

классе Иг г имеет вид (9). 1'"'' т

Замечание 3. Здесь существенным является то обстоятельство, что для любого выходящего поля направлений угловые точки к -типа для к = 1, 3, 4, 6

есть узлы классов Я(1), Я(0), Я(2 и Я(3), а для

к = 2, 5 - узлы классов Я((2) или я(1) , я(3) или я(4)

соответственно.

Очевидно, индикатор Ji (Я) узла сг (Я) для любого поля направлений класса Рех (РеП) задается равенством Ji (Я) = 2л - Vу (Ji (Я) = л - Vу) соответственно.

Укажем простой способ построения границ сферических куполов, для которых задача Я0 является безусловно разрешимой. Пусть £0 - сфера; Ь - кусочно-гладкая замкнутая кривая без самопересечений, принадлежащая £0 и разбивающая ее на части £(1) и £(2)

с общей границей Ь . Следуя [7], воспользуемся «грубой» классификацией угловых точек границы поверхности, согласно которой угловая точка С у границы Ь какой-либо из поверхностей £(г) (г = 1,2) есть выступ (впадина), если 0 < Vу < л (л < Vу < 2л),

где V у - величина внутреннего угла в точке с у на

выбранной поверхности. Очевидно, узлы к -типа задачи Я0 для выбранной поверхности есть выступы при к = 1, 2,3 и впадины при к = 4, 5, 6, причем выступ к -типа (1< к < 3) на одной из поверхностей £(г) (г =1,2) есть впадина (7 - к) -типа на другой.

«Разрежем» сферу £0 на части £(г) (г = 1, 2) с общей границей Ь так, чтобы выполнялось условие: для каждого выступа к -типа (впадины (7 - к) -типа),

1 < к < 3, какой-либо из поверхностей £(г) (г =1,2) две соседние угловые точки есть выступы (впадины) на другой поверхности, причем хотя бы одна из этих точек - выступ (впадина) того же к -типа. Тогда следствием теоремы 1 является

Теорема 2. Пусть число п угловых точек «разреза» Ь четное; с, ,..., с, - произвольно отмеченные

точки из числа Су (у =1,., п), для которых

л , ,

vi ф — к, где к - целое число; щ - число точек с у,

5 3 1

для которых Vу = лк , у ф , 5 = 1,.,т. Если

п > 2(3 + т + п0), то для каждой из поверхностей £(г) (г = 1,2) задача Я0 безусловно разрешима в классе

l1'—lm

Тогда р(1) = «(1), р(2) = ео8vis(2) + |8тV, 11(2) либо р(2 = -8(,2), р(1)=ео8 +1 V, 11(1), откуда в силу омбилической точки с, имеем

Утверждение 3. Узел с, (Ях) есть особенный узел зал

дачи тогда и только тогда, когда V у = — к (1 < к < 5).

у 3

Справедливость этого утверждения для любого поля направлений класса Реп следует из замечания 2. Далее на основании классификации (4) так же, как и в

,(2)

п. 5.1, заключаем, что любой неособенный узел с, (Я1) можно отнести к одному из 6 типов (к -типу)

к 1 к .. согласно неравенству л<V, <— л (к = 1,...,6), а

особенный узел есть узел к -типа, если V, =л к (к = 1,...,5).

Замечание 5. Следует иметь в виду то, что для любого входящего поля направлений угловые точки

к -типа для к = 1, 3, 4 и 6 есть узлы классов Я(2) , Я(3), Я(1) и Я(2), а для к = 2, 5 - узлы классов я|3) или Я(2) , Я (2) или Я(1) соответственно.

Обозначим через ^^ число узлов с,(Я1) к -типа задачи Я1 . Тогда следствием утверждения 2 является Утверждение 4. Индекс задачи Ях в классе к ;

вычисляется по формуле (8), в которой следует положить

N = 2 (2 - к)М1} + 2 (4 - к)М1}.

(10)

к=1

к=4

2 < ц < р, а ее решение зависит от

п/2 - т - п0 - 3 вещественных параметров.

Замечание 4. Так как точку гладкости (Vу = л)

формально можно отнести к особенному узлу 3-типа, то в случае гладкой кривой Ь задача Я0 для каждой из

поверхностей £(г) (г = 1,2) имеет решение (единственное) в классе Ж1,9 (О), 2 < ц < р, тогда и только тогда, когда функция, заданная правой частью равенства (2), удовлетворяет 3 условиям разрешимости интегрального типа. Отметим также, что в случае гладкой границы безусловная разрешимость задачи Я0 возможна лишь для многосвязных поверхностей [3].

5.2. Задача Я1. Если допустимое векторное поле г(с) задает непрерывное поле направлений класса Реп, то соответствующую задачу Я назовем задачей Я1. Предположим сначала, что в точке с, (г = 1,..., п ) г(к ) = (-1)к+1у(1) либо г(к ) = (-1)к у(2) (к = 1,2).

Действительно, обозначим через кг(0) и кг(1) величины [(фг +уг)/л] (см. (6)), вычисленные в точке с, для задач я0 и я1. Как это следует из замечаний 3 и 4, для угловой точки с, к -типа к(1) = к(0) -1 при

к = 1,2,3 и к(1) = к(0) +1 при к = 4, 5, 6 . Отсюда на

основании (8) получаем (10).

Следствие. Критерий безусловной разрешимости задачи я1 в классе к^ , ,, имеет вид (9), (10).

Отсюда, в частности, следует, что теорема 2 справедлива для любых полей направлений класса Реп.

5.3. Задачу Я в случае г(к) = т(к) или, что то же самое, а(к) = 0 (к = 1,2; у = 1,., п), назовем задачей ят, а в случае г(к) = ст(к) (или р(к) = 0) - задачей Яс . В этих случаях классификации узлов с у (Ят) и Су (К) уточняются следующим образом: узел Су (К) или Су (Яа) есть неособенный узел к -типа, л л

если (к-1)—< Vу <к— (к = 1,...,4), и особенный

2

2

кк ~1

узел к -типа, если Vу =— (к = 1,2,3). Критерий без-

условной разрешимости задач ят и Яс задается неравенством (9), в котором N = £(2 - к^(к), N(к)

к=1

(к = 1,...,4) - число узлов к -типа соответствующей задачи. Геометрические аналоги задач ят и Яс для куполов общего вида изучены автором в [9, 10].

5.4. Задача Я в случае гу(1) = ст(у1), г(2) = т(2) или,

что то же самое, а(1) = 1, р(1) =0, а(2) = 0, р(2) = 1 (] = 1,...,2п) есть смешанная [4] задача Я5. Геометри-

ческий аналог задачи Rs для обобщенных сферических куполов изучен в [11, 13]. Там же уточняется классификация (4) узлов Cj (Rs ) и формула для нахождения N .

Литература

1. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения раз-

личных вариантов теории оболочек. М., 1982. 288 с.

2. Гольденвейзер А Л. Теория упругих тонких оболочек.

М., 1976. 512 с.

3. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.,

1959. 512 с.

4. Векуа И.Н. Системы дифференциальных уравнений 1-го

порядка эллиптического типа и граничные задачи с применением к теории оболочек // Мат. сб. 1952. Т. 31, № 2. С. 217-314.

5. Гольденвейзер А.Л. О применении решений задачи Ри-

мана-Гильберта к расчету безмоментных оболочек // ПММ. 1951. Т. XV, вып. 2. С. 149-166.

6. Тюриков Е.В. Геометрический аналог задачи Векуа-

Гольденвейзера // Докл. АН. 2009. Т. 424, № 4. С. 455-458.

Поступила в редакцию_

7. Тюриков Е.В. Краевые задачи теории бесконечно малых

изгибаний поверхностей // Мат. сб. 1977. Т. 7, № 3. С. 445-462.

8. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравне-

ния. М., 1968. 512 с.

9. Тюриков Е.В. Об одном расширенном классе бесконечно

малых изгибаний поверхностей // Владикавк. мат. журн. 2005. Т. 7, № 1. С. 61-66.

10. Тюриков Е. В. Об одной граничной задаче теории б.м.

изгибаний поверхностей // Владикавк. мат. журн. 2007. Т. 9, № 1. С. 62-68.

11. Тюриков Е.В. Смешанная граничная задача теории бес-

конечно малых изгибаний выпуклых поверхностей // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2008. № 6. С. 17-23.

12. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М., 1965.

204 с.

13. Тюриков Е.В. Некоторые достаточные условия разреши-

мости смешанной граничной задачи И.Н. Векуа // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2009. № 1. С. 21-26.

27 декабря 2011 г.