Общий случай смешанной граничной задачи мембранной теории выпуклых оболочек Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.223

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ СМЕШАННОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ МЕМБРАННОЙ ТЕОРИИ ВЫПУКЛЫХ ОБОЛОЧЕК

© 2012 г. Е.В. Тюриков

Южный федеральный университет, Southern Federal University,

ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090 Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090

В рамках мембранной теории выпуклых оболочек дается решение задачи о реализации безмоментного напряженного состояния равновесия тонкой упругой оболочки при выполнении следующих кинематических условий: на заданной части границы серединной поверхности известна нормальная составляющая, а на ее оставшейся части — касательная составляющая вектора усилий. Предполагается, что граница поверхности — кусочно-гладкая кривая, а ее заданная часть есть объединение конечного числа гладких дуг. Полученный результат сформулирован в форме геометрического критерия безусловной разрешимости и содержит как частный случай решение смешанной граничной задачи И.Н. Векуа.

Ключевые слова: выпуклая оболочка, задача Римана-Гильберта, бесконечно малое изгибание.

In the view of membrane theory of convex shells the solution of the problem of the realization moment less intense balance of the elastic shell is given. The next cinematic conditions must be hold: on the given part of the boundary of the median surface the normal component of the force vector is known and on the other part the tangent component of the force vector is known. The boundary of the median surface is supposed to be piecewise smooth and it's given part contents finite number smooth curves. The result is formulated in geometrical terms and content as a particular case the solution of Vekua 's mixed boundary value problem.

Keywords: convex shell, Riemann-Hilbert problem, infinitesimal bending.

Постановка задачи

Пусть £ - строго внутренняя часть замкнутой выпуклой поверхности £0 положительной гауссовой кривизны класса регулярности Ш3р , р >2, с кусочно-гладким краем Ь , состоящим из конечного числа дуг класса регулярности С1е, 0 < е <1. Рассмотрим на Ь множество точек с,...,сл, содержащее все угловые точки, а также произвольно отмеченные точки гладкости, полагая при этом, что точки с.

(у = 1,2,.,п) следуют друг за другом при обходе

п

границы Ь в заданном направлении. Тогда Ь = иЬ.,

У=1

где началом и концом дуги Ь. (у =1,.,п-1) являются точки с . и с .+1, а дуги Ьп - точки сп и с ■

В рамках мембранной теории выпуклых оболочек [1] рассматривается задача А о реализации безмо-ментного напряженного состояния равновесия тонкой упругой оболочки со срединной поверхностью £ в предположении, что на каждой из дуг Ь. (у = 1,..., п) выполняется одно из следующих условий:

Т(?) = аЦ)(?) на Ц,, (1)

N(?) = а(2)(?) на Ц,, (2)

где Т (?) и N (?) - касательная и нормальная составляющие вектора усилий; сг{к\?) (к = 1,2) - наперед заданные на L функции, гельдеровы на каждой из дуг ; 5 - натуральный параметр.

Уточним постановку задачи А. Для этого 2 пары дуг Ц._[ , Ц и Ц , Ц, 1-я из которых сходится в точке с . (- = 2,3,...п), а 2-я - в точке с , назовем соответствующими дугами в данной точке. Точку с с заданными на соответствующих дугах граничными условиями обозначим через cJ(A) и назовем угловой точкой задачи А, или с,(А)-точкой. Если на соответствующих точке с дугах заданы условия (1) (усло-

вия (2)), то точку Cj(A) назовем А(1 -

Вспомогательные сведения и обозначения

Пусть 3 - отображение поверхности £0 на комплексную плоскость - = и1 + ш2, заданное выбором сопряженно изометрической параметризации (и1, и2) на поверхности £0; Б = 3(£) - ограниченная в плос-

п

кости С область с границей Г = иг,, Г, = 3(Ц,), содержащей угловые точки ^ = 3(с ). Согласно [1, 2],

задача сводится к отысканию в области Б комплекс-нозначного решения w(Z) уравнения

д-м>(С) - Б(0^(0 = ^(-) , -е Б , (5)

по заданному граничному условию

ЯеЩ-МС)} = К, к? ,т , X), - е Г, (6)

точкой (А(2> -точкой) задачи А . Если же на одной из соответствующих дуг задано условие (1), а на другой - условие (2), то точку с(А) назовем смешанной угловой точкой задачи А, или А(3) -точкой.

Граничное условие на L, заданное выбором на каждой из дуг Ц (\ < - < п) одного из условий (1), (2),

обозначим через А^).

Граничное условие А(П) удобно задавать, разбив границу L на 2 подмножества Ц(к) (к = \,2), не имеющие общих точек (за исключением, быть может, точек с.). Тогда условием А(Ь) назовем условие

Т (?) = (?) на Ц(1), N (?) = сг(2) (?) на Ц(2). (3)

Наряду с граничным условием (3) будем рассматривать смещённую задачу А с граничным условием А(Ц): N (?) = а0) (?) на Ц(1), Т (?) = сг(2) (?) на Ц(2). (4)

Следуя [2], геометрическим аналогом задачи А назовем задачу об отыскании бесконечно малых (б.м.) изгибаний поверхности £ , совместимых с условием вида (3) или (4), в котором N, Т - соответственно вариации нормальной кривизны к и геодезического кручения х поверхности £ в направлении края. Если с . (\ < - < п) - точка гладкости кривой Ц ,

то постановка задачи А будет содержательной лишь в том случае, если с,(А) - смешанная точка. Очевидно также, что число всех смешанных точек задачи А четное. Если среди угловых точек с(А) граничного условия А(Ц) содержатся А® -точки, то задачу А назовем смешанной задачей. Если же все угловые точки с(А) (] = \,...2?) условия А(Ц) есть А(3) -точки, то соответствующую задачу А назовем канонической смешанной задачей, или задачей А0. Задача А и ее геометрические аналоги изучены автором в [3-5]. Следует особо отметить случай, когда точки С(А) условия А(Ц) - либо А(1) -точки, либо А(2) -

точки. В этом случае геометрический аналог задачи А есть задача, поставленная В.Т. Фоменко и изученная автором в [6, 7].

Л(С) =

К dC, £еГ 0)

ds dz '

С\ С^Г(2)

ds I

я 1 ( д ■ д где 8- = — I—- +1—-

С 21 öu 8u2

оператор комплексного

дифференцирования; w(Z) - комплексная функция напряжений, выражаемая через компоненты контрвариантного тензора усилий и коэффициенты метрической формы; B(Z) - заданная поверхностью функция класса L (D), p>2; F(Z) - комплексная функция

внешней нагрузки оболочки; Г(к) = J (Lk)) (k=1,2), dQ Id? = s + i?2, ?i (i = 1,2) - координаты касательного к Г орта; dQ Idx = тх+ iz2, rt (i = 1,2) - координаты орта направления на плоскости Q, являющегося J-образом направления на поверхности S0, ортогонального направлению кривой L, где значение функции о(0 совпадает со значением функции а(?) в соответствующей точке c = J_1(Q; ц - вполне определенная функция своих аргументов; K, k?, Tg - соответственно гауссова кривизна поверхности, нормальная кривизна и геодезическое кручение поверхности в направлении края в точке c = J 1 (Q); X - нормальная компонента вектора поверхностных и объемных сил на единицу площади. При этом правая часть равенства (6) как функция аргумента Z гельдерова на каждой из дуг Tj и терпит разрывы 1-го рода в точках Q

(j = 1,...,n), F(Q) е Lp (D), p>2. Задачу (5), (6) назовем задачей R с граничным условием R (Г). Следуя [5, 8], будем рассматривать классы hl:q. im решений w(Z), для

n 1 —

которых w(Q)n(Q-Qk)ak е W 'q (D) , где q , ak впол-

k=1

не определены условием (6), 2< q < p, причем 0< ak <1 (—1 < ak <0) в точке Zk неограниченности (ограниченности) решения w(Z).

Для описания точек разрыва граничного условия R(r) удобно использовать введенные в [6-8] классификации A(k) -точек Cj(A) для каждого k = 1, 2, 3.

Обозначим через у ^п (1 < у < 2) величину внутреннего угла в угловой точке с .. Согласно [6], Л(1) -точка с(Л) есть неособенная точка к -типа (1 < к < 4),

к 1 к к .л , / л\

если-< у. <— . Если у .= — (1 < к < 3), то с,(Л) -

2 у 2 у 2

особенная Л(1) -точка к -типа.

Далее мы воспользуемся (см. [5, 8]) понятием т -ориентированной (т = 1,2) относительно главных

направлений Л(к) -точки (к = 1,2), а также понятием типовой функции (ж) (г = 1,..., п) направлений на поверхности £ в точке с ■

Согласно [7], каждую т -ориентированную (т = 1,2) Л(2) -точку можно отнести к к -типу

(k = 1,...,4),

если

0 <v, < m -1 + (-1) 2/ .

m -1 + (-1)m+12t j <Vj< 1, 1 <Vj< m + (-1) m+12t j,

m + (-1)m+12^ <v < 2

соответственно.

/ ■ = — tj (v), где v() - любое из направлений v(),

При этом t. = — tj (v ), где v<J)

где vv - направление в точ-

ке с той из дуг, которая принадлежит множеству Г(2) ■ Разрешимость задачи Л(Ь). Введем следующие

обозначения: в0 = max{1,®(y)}, где набор

со (у) = (в1,...,вп), 0 <9у < 2, вполне определен (см.,

например, [6]) набором у = (у1,..,уп) и направле-

0 .

бенные угловые точки задачи A; £ - число всех особенных точек (2 < £ + т < 2п). Если 2Р + Q > 6 + 2(т + £ - 2п), то задача A безусловно

2 р

разрешима в классе к'Ц , 2< ц <-р-, а ее

Здесь

VС дуг, сходящихся в точке с,-. При этом Л() -точку с(Л) (да-ориентированную) назовем особенной, если величина равна одному из чисел т -1 + (-1)т+12^ ,

т + (-1) т+12^..

Согласно [8], каждую Л(3) -точку граничного условия Л(Ь) можно отнести к одному из 5 типов: да-ориентированная (т = 1,2) Л(3) -точка с(А) есть точка к -типа, если 0 <у < (2 - т)/2 + (-1)т^ для к = 1, (к - т)/2 + (-1)т^ <у < (к - т +1)/2 + (-1) % для к = 2,3,4, (5 -т)/2 + (-1)% <у < 2 для к = 5 .

ниями Vу) (5 = 1,2) в точке с . на поверхности £ N[5) - число Л(5) -точек к -типа граничного условия

4 5

Л(Ь) (5 = 1,2,3), где 2 (^ + ^2)) + !^3) = п,

к=1 к=1

2 + р(1 -14)

решение зависит от Р +1Q + п - т - £ - 3 вещественных параметров. Если же 2Р + Q <6 + 2(т + £ - п), то задача A имеет решение (единственное) в указанном классе тогда и только тогда, когда для правой части

равенства (6) выполнены т + £ + 3 п +1Q + Р ^

условий разрешимости интегрального типа.

Далее нам понадобятся 2 леммы, для формулировки и доказательства которых используется общепринятая терминология [9, 10].

Лемма 1. Индекс к граничного условия Я (Г), соответствующего условию Л(Ь), в классе ограниченных решений вычисляется по формуле

к = -4 + Р + ^. (7)

Доказательство. Узел С = 3 (с.), соответствующий Л(5) -точке с . (Л) задачи A, назовем Я(5) -узлом (1 < 5 < 3) граничного условия Я (Г). Рассмотрим векторные поля 8(0={51(0, 52 (С)} , т(С) = {^(0,72 О , заданные граничным условием (6), и пусть $ (1), $ (2) (т (1), т (2)) - предельные значения векторного поля $(С) (т(С)) в точке С у слева и справа;

= Х($ $ (2)) и у/у = ^(т (у\ т(2)) - величины углов между векторами $ (1), $ (2) и т (1), т (2) соответственно, причем отсчет угла ведется по правилу, установленному в [7]. Пусть далее СЛ,Су2,.--,СЛт

(1 <у <у2 <••• <у2т <п) - смешанные узлы (Я(3) -точки) граничного условия Я(Г) , а любой другой узел из числа С1,---,Сп есть либо Я(1) -точка, либо Я (2) -точка. Предположим для определенности, что узлы С (г = ]ъ-\ +1,.,У25-1; 5 = 1,.,т) есть Я(2) -точки, а узлы Ск (к = 1,.,]\ -1; к = у25 + у25+1 -1, где 5 = 1,.,т -1; к = у2т +1,.,п ) - Я(1) -точки задачи Я. Очевидно, в рассматриваемом случае Г

- четное число; Р = £(2 -к)^ + ^2)), (г = у25-1 +1,.,у25 -1; 5 = 1,.,т ) есть дуги, вдоль

которых Л(С) = [51 (С) + г52(С)]2. Принимая за начало

k=1 k=1 Q =2(5 -2k)N, где Q - четное число.

обхода контура Г точку Со на дуге ГЛ-1 (не совпа-Следуя [8], решением задачи A будем наз^1вать ре- дающую с узлами С, -1, С, ) и выбирая скачок ар-

шение задачи Я в любом из классов к1,ц . , и наоборот.

г1,.--,гт

Теорема 1. Пусть £ - заданная выше односвяз-ная поверхность класса регулярности Ш3р , р > 2#0; ^ (Л)^ (Л) - произвольно отмеченные неосо-

гумента функции Л(^) = X(Q/Х(^) в R( ) -узлах ^ j , ^j и в Л(2)-узлах ^j (i = j1 +1,.,j2 -1) так же, как в [6] и [8], получаем

кЛ =

кп =

л

+j ] 2Р

> к =

л

(р. . - со1*1

^П r J2 J2

л

( i = J\ + 1,., j2 -1 ),

где величины к определены

известным образом (см., например, [6-8]). Далее, согласно процедуре, изложенной в [7], для каждой Я(1) -

г Л -14 т- +У-

точки С (г = ]2 +1,..., — -1) имеем к =

л

для R{(i) -точки £j3 - к^ = должая этот процесс, получаем

Рп + +сТ

л

. Про-

4 + Х 2Р +7, Рк +¥к m-1 + 7,

i л к л s=0

(2)

Vj2s+1 + ^j2s+1 + CjLl

+ 7

s=0

РJ2, U. -C

j2s

(1)

j2 s

(8)

где число к0 = -4 задается скачком ^ А(д) в некоторой точке непрерывности д0, принимаемой за начало обхода Г, во 2-м слагаемом суммирование ведется по индексам г = -2?-1 +1,.,-2?-1 -1 (? = 1,.,т ), в 3-м -по к = -2? +1,.,-2?+1 -1 (? = 1,.,т -1), а также

к = -2т + \,.,п и к = Ъ.-^-\ -1

Рассмотрим также смещённое граничное условие Я (Г) со смешанными узлами (Я) (- = -2т) и дугами Гг (г = -2?-1 +1,.,-2?-1 -1; ? = 1,.,т), вдоль которых Я(С) = [^ (С) + г?2(С)][х\ (С) + г Х2 (С)]. Повторив приведённую выше процедуру, получаем

т. +ш. -а^

^-2?+\ Т }2?+1 ]2?+1

4+7 Vi +Wi +7 2Vk m-1 +7

i л k л s=0

+ 7

s=0

р. +W,. +ю(2)

(9)

где суммирование ведется по тем же индексам г, к, что и в формуле (8). Из равенства (8), согласно [6-8], имеем формулу (7).

Пусть I - число всех особенных А(?^ -точек (? = 1,2,3) задачи А ; с^ (А),...,сгт(А) - произвольно отмеченные неособенные точки. Справедлива

Лемма 2. Индекс к(т) граничного условия Я (Г)

в классе И1,д . вычисляется по формуле

к(т) = к + п - (т + £) , (10)

где величина к задана формулой (7).

Для доказательства достаточно заметить (см. [6-8]), что особенной А(5) -точке (5=1,2,3) условия А(Ь) соответствует особенный узел граничного условия ^(Г).

Далее доказательство теоремы 1 дословно повторяет доказательство теоремы (см. [8]) о разрешимости канонической смешанной задачи А .

Смещённая задача А

Для описания граничного условия смещённой задачи используются следующие понятия.

Т(ж) -пара. Пара ортогональных направлений на

поверхности в точке, совпадающих с направлениями биссектрис смежных углов между направлением « и сопряженным к нему направлением, называется Т(ж) -парой (см. [8]).

Симметрические направления на поверхности. Рассмотрим g -разделенную пару направлений (ж,ж*) в точке (см. [8]), каждое из которых образует равные углы у к с главным направлением gг. (к = 1,2), т.е.

У(ж,8г) = У(ж",8г) = У\, У(ж,ё2) = У(ж ,§2) = У2 .

В дальнейшем пару (ж, ж* ) будем называть £ -парой.

Если £ -пара направлений (ж, ж* ) не является T(gk) -парой (к = 1,2), то для одного из главных направлений (г = 1,2) выполняется неравенство 0 < у(ж, gг■) < л/4. Если при этом г = к (1 < к < 2), то

пару (ж, ж* ) назовем к -ориентированной £ -парой.

Пусть ж - направление в точке с, для которого направление ж* соответствующей £ -пары (ж, ж*) совпадает с одним из направлений Т(ж) -пары.

Легко видеть, в этом случае одно из направлений Т(ж*) -пары совпадает с направлением ж.

Определение 1. £ -пару направлений (ж,ж'), обладающих указанным свойством, назовем £Т -парой, а каждое направлений этой пары - симметрическим направлением.

Лемма 3. В неомбической точке существуют 2 различные £Т -пары, причем каждому к (к = 1,2) соответствует единственная к-ориентированная £Т -пара симметрических направлений.

Доказательство. Пусть ж - произвольно фиксированное направление в точке с; ^ (к = 1,2) - направление биссектрисы р($к) к-ориентированного угла между сопряженными направлениями ж и ж'. Так как в силу леммы 1 пара ортогональных направлений

12) есть ^ж) -пара, то возможны следующие случаи:

1) 0 < у(ж,g\) <дxctg■JkJk2 (пары (г1,ж), (г2,ж') -g -разделенные);

2) 0 < у (ж, g2)< эxctgЛ]k2/k\ (пары , ж'), (г2, ж) - g -разделенные).

В случае 1) обозначим у(ж, g1) = <Ц , у(^, g1) = у(1) и рассмотрим величину у(^, g1) как функцию аргумента £ : у(г1, g\ ) = у(1) (4), 4 е [0, л/2]. Так как У (£) монотонно убывает на (0, arctg к,/к2), то на интервале (0, Л4) существует единственное значение 4 = 4\, для которого ут(4\) = 4. В случае 2), сохра-

нив

обозначение

^ = r(s, g2) ,

положим

+

л

m

л

л

m

л

y(t2, ) = у(2). Так как функция у(2)(4) монотонно

убывает на (0, агй^ к2/кх), то существует единственное значение 4 = 42, для которого у(2)(42 ) = 42. Таким образом, значению 4 к (к = 1,2) соответствует направление жк, задающее к-ориентированную £ -пару (ж*,ж*). Очевидно, для каждого к = 1,2 построенная таким образом пара есть £Т -пара, или к-ориенти-рованная пара симметрических направлений.

Замечание. Доказанная лемма уточняет свойство £Т -пары: если ж - какое-либо направление к-ориен-тированной £Т -пары, а 4 - направление Т(ж) -пары,

то направление ж совпадает с направлением I\ Т(¿к) -пары t **) для каждого к = 1,2.

Вычисление значений 4к (к = 1,2). Рассмотрим к-ориентированную £Т -пару (ж, ж* ) и введем обозначения: в = у(ж,); %{к) = у(*)(ж,ж') - величина к-ори-ентированного ( к = 1,2 ) угла между сопряженными направлениями ж и ж'; ^ (г =1,2) - ортогональные направления Т(ж) -пары. В случае к=1 направление ^ совпадает с ж *, у(ж, ^ ) = у(ж, ^ ) = ж/2 -в, = 2ж- 4в, откуда имеем

tgв• tg3в = к2/к1. (11)

В случае к = 2 направление ^ совпадает с ж *, у(ж,t2) = 2в , ^(2) = 4в, откуда также следует (11). С помощью замены и = tg2 в (11) сводится к уравнению

kjM -3(kj + k2)u + k2 = 0, откуда находим

0k = arctg

3Я + (-1) k+'^9H2 - £ k

(12)

(k = 1,2), (13)

где вк задает направление к-ориентированной симметрической пары, Н = (к + к2 )/2 , К = кк . Таким образом, 41 = ж/2 - в1, 42 = в2, где вк (к = 1,2) заданы равенством (13).

Оценки для функций 4к = 4 к к ) ( к = 1,2). Для оценки величины 4к как функции отношения к2/к1 рассмотрим уравнение / (/) = к2/к1, где / (/) = = (/4 - 3/2)(3/2 -1)4, полученное из уравнения (11) заменой / = tg в. Замечая, что числа ^ = л/2 +1 =

= tg3ж/8, /2 =>/2 - 1 = tgж/8 являются положительными корнями уравнения / (/) = 1, и рассмотрев график функции у = /(/) для г > 0, где к0 = к2/к1, полу, ,. ж _ 3ж _ ж чаем (при к0 < 1) — < в < —, цт в1 = — ,

3 8 к0 3

3ж ж ж

Итв = — , 0 < в2 < — , Итв2 = 0, Нтв2 = - .

к0^1 8 8 к0 к0 8

Итак, имеют место оценки — < 4

8 1

k,

0<

К

Ж Ж с-, Ж ПЛ Ж

< — , или — < у < —, 0 < у(2) < —, где

8

4

3

4

у{к) - величина угла между симметрическими направлениями к-ориентированной £Т -пары.

Симметрические функции точки поверхности. Для удобства дальнейшего изложения введем в рассмотрение симметрические функции 4(к )(с) (к = 1,2) точки с:

4(1)(r) = ж/2 -01, 4(2)(r) = е2

(14)

где величины 0к заданы равенством (13), в котором к1, к2 - главные кривизны в точке c (kj > k2). Очевидно, значение симметрической функции 4(к)(с) в точке c равно величине угла между направлением к-ори-ентированной ST -пары в точке c и главным направ-

tg4(2)(r) lk лением gk (k = 1,2). Из (12) следует g4m( ' = kl,

tg4 (r) Vk1

причем ж/8< 4(1)(r)< ж/6, 0< 4(2)(c)< ж/8. Если c - омбилическая точка поверхности (k = k2), то полагаем 4(1)(c) = 4(2)(r) = ж/8.

Рассмотрим теперь каноническую смещённую задачу R , обозначив через r (R ) узел R , соответствующий узлу r. (R).

Если rj (R) и rj (R) - особенные узлы задач R и R соответственно, то, согласно [8], направление v(2) в точке Cj совпадает с одним из направлений T(vj1-1) -пары, а направление v® - с одним из направлений T(v®) -пары. Отсюда на основании определения 1 узлы r j (R) и r j (R ) - особенные узлы задач R и R соответственно тогда и только тогда, когда направле-сходящихся в точке cj дуг образуют

Д1)

,(2)

£Т -пару симметрических направлений.

Пусть V (1), V (2) - единичные векторы на поверхности с началом в точке с, задающие направления соответствующих в точке с, дуг и образующие внут-

_ ренний угол у ж. Заметим, что векторы - v

(1)

V () - прообразы векторов $ и $ соответственно

при отображении 3.

Согласно лемме 3, в любой неомбилической точке су (к ^ к2) каждому т = 1,2 соответствует своя да-ориентированная пара симметрических направлений

v) (k = 1,2). Если 4im)(r) - одна из симметрических

г!»

функций 4(т)(с) точки с, введенных равенствами (11), 4(т)с) 4 (т = 1,2), то у(у<*),^) = 4(т , где у(ж, t) - величина угла между направлениями ж, £

в точке с,. При этом пара векторов V у , V у задает g разделенную угловую точку су.

и

л

<

6

Определение 7. Узел с . (Я) назовем т-симмет-рическим узлом ( т =\,2 ) задачи Я , если для соответствующей пары векторов (V (\), V (2)) выполняются условия

ет) < 4(т) (к = \,2).

(15)

Геометрический смысл условий (15) заключается в

том, что каждый вектор V) (к = \,2) принадлежит

одному из двух вертикальных т-ориентированных углов в плоскости яу, образованных прямыми, задающими в точке с направления т-ориентированной £Т -

пары. Если при этом у(\(к),е(т)) = 4(т) (к = \,2), то соответствующий узел с (Я) будем называть особенным т-симметрическим узлом.

Если в неравенствах (15) у(у(р,е(-)) ф4((ГП) хотя бы для одного значения к, то узел с (Я) будем называть неособенным т-симметрическим узлом.

Нетрудно показать, что неособенный т-симмет-рический узел есть узел одного из трёх (1, 3, 5) типов. Справедливо также

Утверждение. Если с . (Я) - неособенный т-сим-

метрический узел (2к - \) -типа (к = \,2,3), то неособенный узел с . (Я) есть узел (2к - \) -типа смещённой задачи Я .

Если с. (А) - т-симметрический узел (т = \ или

т = 2), то угловую точку с назовем симметрической.

Отметим, что симметрические точки 2 и 4-го типа особенные, а симметрическая точка (2к - \) -типа

(к = \,2,3) может быть как особенной, так и неособенной.

Пусть теперь £ - односвязная поверхность с кра-

2п

ем Ц = иЦ , каждая угловая точка которого из числа

точек с ,• • •, с2и есть симметрическая (особенная или неособенная); ? - число всех угловых точек, 0 < ? < 2п; £(к) - число угловых точек к -типа (\ < к < 5). Имеет место

Теорема 2. Пусть £ - поверхность класса регулярности Ж1'р , р >2в0; с^ ,•.., с; - произвольно

отмеченные неособенные симметрические угловые точки из числа с ,•••, ^ (\ <Ч < 2? ; к = \,...,т); £ - число всех особенных симметрических угловых

5

точек. Если Q = ^ (5 - 2к)£к > 6 + 2(£ + т - 2я) ,

к

то задачи Я и Я безусловно разрешимы, а их решения зависят от Q /2 + 2? - т - £ вещественных параметров.

Доказательство повторяет доказательство теоремы 1. При этом следует учесть утверждение и тот факт, что узлы с. (Я) и с (Я) есть неособенные 3-го

типа для каждой точки гладкости с (у,= 1).

Схема доказательства теорем 1, 2 с незначительными изменениями может быть использована при доказательстве результатов [5] о разрешимости геометрического аналога задачи А .

Переход к расширенным классам обусловлен тем обстоятельством, что решения соответствующей «разрывной» задачи Римана-Гильберта для комплексной функции изгибаний отыскиваются в весовых классах Гельдера [9, гл. 4; 10]. При этом отметим тот факт, что понятию «б.м. изгибание расширенного класса» в мембранной теории выпуклых оболочек можно придать «адекватный» физический смысл. Именно, если безмо-ментное напряженное состояние равновесия выпуклой упругой оболочки с заданными на участках границы ее серединной поверхности нормальной или касательной составляющих вектора усилий задается решением задачи Римана-Гильберта для комплексной функции напряжений в соответствующем весовом классе ; , а тензору деформации оболочки соответствует

комплексная функция изгибаний, задающая некоторое б.м. изгибание расширенного класса серединной поверхности, то энергия растяжения (деформации) оболочки [11, гл. 2, § 15] конечна.

Литература

1. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М., 1982. 288 с.

2. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М., 1988. 512 с.

3. Тюриков Е.В. Смешанная граничная задача теории бесконечно малых изгибаний выпуклых поверхностей // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2008. № 6. С. 17 - 22.

4. Тюриков Е.В. Некоторые достаточные условия разрешимости смешанной граничной задачи И.Н. Векуа // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2009. № 1. С. 21 - 26.

5. Тюриков Е.В. Геометрический аналог задачи Векуа-Гольденвейзера // Докл. АН. 2009. Т. 424, № 4. С. 455 - 458.

6. Тюриков Е.В. Об одном расширенном классе бесконечно малых изгибаний регулярных выпуклых поверхностей // Владикавк. мат. журн. 2005. Т. 7, № 1. С. 61 - 66.

7. Тюриков Е.В. Об одной граничной задаче теории б. м. изгибаний поверхностей // Там же. Т. 9, № 1. С. 62 - 68.

8. Тюриков Е.В. Решение смешанной граничной задачи мембранной теории выпуклых оболочек // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2011. № 6. С. 13 - 18.

9. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1968. 512 с.

10. Тюриков Е.В. Краевые задачи теории бесконечно малых изгибаний поверхностей // Мат. сб. 1977. Т. 7, № 3. С. 445 - 462.

11. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М., 1965.

Поступила в редакцию

15 июля 2011 г.