Некорректная граничная задача теории бесконечно малых изгибаний поверхностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.223

НЕКОРРЕКТНАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ИЗГИБАНИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ1

© 2013 г. Е.В. Тюриков

Тюриков Евгений Владимирович - кандидат физико-математических наук, доцент, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: dnjme@math.sfedu.ru.

Tyurikov Evgeny Vladimirovich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, Russia, 344090, e-mail: dnjme@math.sfedu.ru.

Рассматривается задача теории бесконечно малых изгибаний выпуклых поверхностей с кусочно-гладким краем, статический аналог которой в теории мембранных оболочек известен как смешанная граничная задача. Она относится к классу задач, впервые поставленных А. Синьорини. Установлено, что картина разрешимости такой задачи определяется как направлением дуг границы в угловых точках, так и конфигурацией границы.

Ключевые слова: задача Римана-Гильберта, индекс граничного условия, бесконечно малое изгибание.

The solution of the incorrect boundary value problem of the infinitesimal bendings of the convex surfaces is given. This problem is the static equivalent variant of the membrane mixed boundary-value problem and belongs to the class of tasks, first set by A. Signorini. The painting the solvability is established as the direction of the arcs of boundary in the corner points and as the border configurations.

Keywords: Riemann-Gilbert boundary value problem, index of the boundary value condition, infinitesimal bending.

Наибольшее развитие теория граничных задач для бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны с гладким краем получила благодаря работам И.Н. Векуа по мембранной теории выпуклых оболочек [1, 2]. Основные граничные задачи этой теории рассматривались как геометрические аналоги некоторых частных случаев граничной задачи Римана-Гильберта, возникающей при решении задачи о реализации безмо-ментного состояния напряжённого равновесия. К таким задачам относятся задачи об отыскании бесконечно малых изгибаний поверхности, совместимых на границе L с одним из следующих условий:

1о. Ортогональной втулочной связи, при которой край L находится в постоянном контакте с некоторой абсолютно жёсткой поверхностью (втулкой).

2о. 8 кп вдоль L, где 5 - натуральный пара-

метр; 5 кп - вариация нормальной кривизны к„ в направлении края; о^) - наперед заданная функция точек края.

Полное исследование задачи о существовании бесконечно малых изгибаний односвязной поверхности с кусочно-гладким краем, совместимых с одним из указанных условий, дано автором в [3, 4]. В частности, установлено, что картина разрешимости (которая полностью задается индексом соответствующего

граничного условия Римана-Гильберта) определяется лишь направлениями дуг границы, сходящихся в угловых точках, и не зависит от формы этих дуг на поверхности. В настоящей работе предполагается, что на одной части границы L выполнено условие 1о, а на другой - 2о. Статический аналог этой задачи описан в монографии И.Н. Векуа [2], где также отмечена её связь с задачей Синьорини. Проведенный ниже анализ соответствующего граничного условия Римана-Гильберта показывает, что картина разрешимости рассматриваемой задачи определяется направлениями дуг границы, сходящихся в угловых точках, а также формой этих дуг на поверхности. Последнее обстоятельство даёт основание ввести термин «некорректная граничная задача», вынесенный в заголовок статьи.

Смешанное граничное условие Римана-Гильберта

Пусть (у = ) - односвязная поверх-

ность, являющаяся строго внутренней частью замкнутой выпуклой поверхности с Е класса регулярно-

сти W

3, p

p > 2, с кусочно-гладким краем

L = U Lj , состоящим из гладких дуг Lj класса регу-

j=1

1Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.А18.21.0356 «Теория функциональных пространств, операторов и уравнений в них» и внутреннего гранта ЮФУ № 213.01-24/2013-66.

n

лярности С1,а , 0 < а < 1, и внутренними углами V у п в точках су соответственно (0 < V у < 2; 1 < у < п).

Здесь, как и выше, су и Су+1 - начало и конец дуги Ьу (у = 1,...п-1), а точки сп и с1 - начало и конец дуги Ьп соответственно; при этом точки Су (у = 1,...п) следуют друг за другом при обходе границы Ь в заданном направлении. Пусть далее о - односвязная поверхность

(SV с Б°с ), граница которой не имеет общих точек с кривой; 3 - гомеоморфизм поверхности 5 о на ограниченную область комплексной плоскости 1 2

С = и + 1и , заданный выбором сопряженно изометрической параметризации и1, и2 на поверхности 5 о, £>е = 3(5^) (3: ^ ^ £>е) - ограниченная в плоско-

п

сти С область с границей Г = и Гу, содержащей точу =1

ки Су = з(су) с внутренними углами е уп в угловых точках у о <еу < 2 (еу Ф1; 1 < у < п).

В дальнейшем угловую точку су, в которой 0 < Vу < 1 (1 < Vу < 2), будем называть выступом (впадиной).

Заметим, что т -1 < еу < т, если т -1 < Vу < т, и еу = 1, если Vу = 1 (т = 1,2; 1 < у < п), что с очевидностью следует из ограниченности области Бд и гладкости отображения 3. Таким образом, при отображении 3 выступу (впадине) на Ь соответствует выступ (впадина) на Г.

Не нарушая общности, будем полагать, что точки Су (у' = 1,. .п) следуют друг за другом при обходе кривой Г в положительном направлении, и введем обозначение: ж(С) - единичный вектор касательной к Г в точке С- Его направление совпадает с направлением обхода.

В целях упрощения изложения ограничимся рассмотрением поверхности 2-го порядка. Это позволяет заменить анализ разрывных граничных условий Ри-мана-Гильберта для решений эллиптических систем 1-го порядка на плоскости (обобщённых аналитических по И.Н. Векуа функций) анализом тех же условий для аналитической функции.

Согласно [1], задача 1о для поверхности 2-го порядка эквивалентна задаче об отыскании комплексной

функции смещения Ю = + tÜ2 )

-1/

5С

= 0 , СеDq , (1)

кривизна;

д/_ = 1

д д + i-

дС 21дм1 ди2

- оператор ком-

2 12 плексного дифференцирования; I = -1; С = и + ги ;

/(С) = /1 (С)+'/2 (С); / (С) - координаты единичного нормального к Г вектора I с началом в точке С-

Точно так же задача 2о эквивалентна задаче об отыскании комплексной функции напряжений

а' = 4К(5Ъ11 + г5Ъ22), = 0 , С<

дС

(3)

по граничному условию

Яе{[4)] V (С)Ц(С), СеГ, (4)

где Ьп, Ь22 - коэффициенты 2-й основной формы II = Ъу (г,у = 1,2) поверхности; 5 = 5 + гs2 ,

8={81; 82} - единичный касательный к Г вектор. Здесь угловые точки С у = з(су) (у = 1,...п) контура Г, следующие друг за другом при обходе Г в положительном направлении, являются точками разрыва 1 -го рода коэффициентов / (с) и [^(С)]2 граничных условий (2) и (4) соответственно, причём эти коэффициенты есть гёльдеровы функции на каждой из дуг Гу

(у = 1,...п).

Перейдём к описанию смешанного граничного условия.

Пусть с11,с12,...Ргк (1 <г 1<г 2<...<гк<п-1) -произвольно отмеченные точки из числа сь..., сп, причём Ф1+1. Последнее условие означает, что часть границы Ь, проходимой в положительном направлении и заключённой между точками сг , сг

(1 < 5 < к), содержит хотя бы одну угловую точку су (у Ф, 1 < 5 < к). Задачу об отыскании бесконечно

малых изгибаний поверхности 2-го порядка, под-

к

чинённых на Ь1 = и Ь условию ортогональной

5=1 5

втулочной связи и совместимых на Ь2 = Ь \ Ь1 с условием 2о, назовём смешанной задачей 5.

Согласно (1) - (4), эта задача эквивалентна следующей граничной задаче Римана-Гильберта для аналитических в области Бд функций:

Яе{ЦсМс)}=а(с), СеГ, (5)

где

СеЬ(6)

^ЧмС')]2, СеL\L,

по граничному условию

Яе{/ (С)ю(С)}= 0, СеГ. (2)

Здесь (г = 1,2) - ковариантные компоненты вектора и изгибающего поля [1, гл. 5]; g - дискриминант первой основной формы I поверхности; К - гауссова

В дальнейшем точки С , . ,С будем называть смешанными точками граничного условия (5), (6).

Вычисление индекса граничного условия (5)

Рассмотрим единичный вектор касательной к Г в точке С ж (С) = {^(С), 52 (с)}, направление которого совпадает с направлением обхода кривой Г. Введём следующие обозначения: ж(1) и ж (2) - предельные значения векторного поля ж(С) в точке Су слева и справа при обходе кривой Г в положительном направлении; фу -

величина угла между векторами ж(1) и ж (2), причём

отсчёт угла производится от ж(1) к ж(2) и угол считается положительным (отрицательным), если отсчёт

ведётся по ходу (против хода) часовой стрелки

( -Л < фу < л ).

Следуя [5], будем использовать следующие понятия:

1о. Вспомогательный коэффициент граничного условия (5).

(7)

к j =

2л

(8)

есть целое число; е/ - скачок аргумента функции л(^) в точке / [а] - целая часть числа а.

3о. Если ^ ,...£■ (1 < <п , я = 1,...д) - произвольно отмеченные точки из числа Сь-, Сп , включающие в себя все особенные узлы граничного условия, решение класса к(1ь..., I) задачи Я есть решение ^(0), ограниченное в точках ^,...£■ , неограниченное в оставшихся точках ^ (у ф , $ = 1,...д; 1 < у < п) и допускающее в окрестности каждой такой точки оценку

w(z)|<K j

(9)

к= 2 к . j =1 j

(10)

где

к j =

2л "5

2л

j = 'ь---^

+1, j * 's (s = 1,- --,q), 1 < j < n;

(11)

- скачок аргумента функции л(^) при обходе контура L в положительном направлении, взятый с обратным знаком.

Нам понадобятся две вспомогательные леммы [3]. Лемма 1. Индекс граничного условия (5) в случае Х(^) = /(¿¡) в классе ограниченных решений вычисля-

ется по формуле к = 2 +2

j =1

Ф

Лемма 2. Индекс граничного условия (5) в случае в классе ограниченных решений вычис-

а(0 = Кс)]2

В случае, когда Б - единичный круг, функция л(^) есть коэффициент соответствующей задачи сопряжения, взятый с обратным знаком.

2о. Особенная точка (узел) граничного условия (5) -любая из точек С/ (у = 1,...п), для которой величина

2ф

ляется по формуле к = -4 + 2

j=1

Перейдём к вычислению индекса граничного условия (5), (6) в классе ограниченных решений. Если f(Z) -комплекснозначная кусочно--непрерывная на Г функция

с точками разрыва Z, то через f~ , f+ обозначим значения arg f (Q - 0), arg f (Q + ö) соответственно.

Пусть Aj g = Дг arg g(Q) - приращение аргумента функции g(Z) вдоль дуги Гу при обходе контура в положительном направлении, ß = arg s(Q + ö) = X+ . То-j i-1 j i -1 гда X, =ß+ 2AkX + 29k , k=1 k=2

U -1 i^

=х-1 +Ф' 1 =ß+ 2 А*а + 2ф* 111 k=1 k=2

u +1

^+1 =ß+ 2А*x+ 2ф* > а+ =ß+ 2A*x+ 2ф* k=1 k=2 1 k=1 k=2

где K = const, 0 < a j < 1, причём величины aj вполне определены значениями л(сj + о). Здесь необходимо

отметить, что решение задачи R необходимо ограничено в окрестности особенного узла.

Если все узлы Zb-, Zn - неособенные, то класс решений, неограниченных в этих точках и допускающих в окрестности каждой такой точки оценку вида (9), обозначим через h0. Класс решений h(1,..., n), ограниченных во всех узлах Zj (j = ), будем обозначать hn и называть классом ограниченных решений.

4о. Индекс граничного условия (5) в классе

h(i1,---iq) есть число к = — AL argЛ(с), определяе-

2л

мое с помощью стандартной процедуры [5, гл. 4, §83]. Как известно [6], индекс к в указанном классе задается равенством

В силу (7) выбираем Л- = aig

Л+ а(сг1 + о)

л+ = arg =/—1-\, т.е.

' 1 g , + 0)

' i 1 -1 '1 -1 Л

л- =-4 ß+ 2 а * а+ 2ф* k=1 k=2

а 2 (с i1 - о)

а (С i 1 - о)

Л+ = 2

( '1 -1 '1 ß+ 2 А*а + 2ф* v k=1 k=2 у

Точно так же выберем

л- Ф1+1 - о)

Л 1+1 =ш-g—-1-!

Л+,+, = arg-

- о)

,+1+о)

1+1 "а2 (с 1+1 + о):

г

т.е. Л- +1 = 2

Л+ - = -4 h +1

:1 '1 ß+ 2 А* а+ 2ф*

^ k=1 k=2 '1 '1+1 Л

ß+ 2А*а+ 2 ф*

' .+1

л

k=1

k=2

Отсюда

л +

('1 -1

Л- -Л+ = —3ß-3

' 1 ' 1 н

'1 -1 л

2 А* а+ 2Ф*

k=1

k=2

Л— +1 -Л+ J_. ' 1+1 11+1

= 3ß + 3

2 а* а+ 2Ф*

k=1

k=2

"фг 1,

+ 2фг 1+1.

л

Б

—a

а

n

5

h -1 h -1

Вводя обозначение ст; = 2 AtХ + S , полу-

1 k=1 k=2

чаем к, =

11

1 (- 3ß-3CTi 1 -Ф11)

41+1

1 (3ß + 3^i 1+1 + 2Ф11+1)

где [a] - целая часть

числа а.

Не нарушая общности, можно считать ß = 0 . Действительно, если ß ф 0, то переходя к новой параметризации поверхности S поворотом плоскости Z на угол ß, получаем arg А,(С; + 0)= 0. Таким образом,

Ki 1 +Ki 1+1 :

1 (- 1 - Ф; 1 ) + 1 (3ü; 1 + 1 + 2Ф; 1 + 1 )

(12)

Далее, согласно процедуре доказательства леммы 1,

i ,-1

имеем к s = 2

s=ii + 2

2Фs

по-

Здесь величина стг- вполне определена выбором величин внутренних углов поверхности в точках С2,...,сг и конфигурацией дуг Ьь...Ьг 1 на поверхности 5 з .

Второе слагаемое при фиксированном значении внутреннего угла в точке сг +1 (т.е. при фиксированном фг +1) зависит от Дг , т.е. от выбора дуги Ь1

на 5. Таким образом, геометрическому описанию особенных смешанных узлов задачи (5), (6) препятствует наличие в выражении для кг (5 = 1,..,к) слагаемых

вида Ду X . Однако это обстоятельство не препятствует постановке задачи о существовании бесконечно малых изгибаний, совместимых со связью вида (5), (6), так как согласно определению (1) комплексной функции смещения решения задачи (5), (6) в смешанных точках С5 к, С5 к+1 (к = 1,. .,5) должны быть ограниченными. Имеет место

Теорема. Пусть С у ,.,С у - неособенные точки из числа несмешанных точек Су (у = 1,..,п); т0 - число особенных несмешанных точек. Если Продолжая этот процесс, с учётом леммы 1 и ра- к' =к + п - 2к - т - т0 >-1, то задача (5), (6) безусловно разрешима в классе й(су,...,Су ), а её решение зависит от к'+1 вещественных параметров. Доказательство следует из результатов [5].

Литература

1. Веку а И.Н. Обобщённые аналитические функции. М., 1959. 512 с.

2. Веку а И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М., 1982. 288 с.

3. Тюриков Е.В. Краевые задачи теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны с кусочно-гладким краем // Мат. сб. 1977. Т. 103 (145). С. 445-462.

4. Тюриков Е.В. Геометрический аналог задачи Векуа-Гольденвейзера // Докл. РАН. 2009. Т. 424, № 4. . 455 - 458.

5. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1968. 511 с.

6. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск, 1977. 420 с.

Повторяя процедуру вычисления к; , к; лучаем

К 2 + К 2+1

1 (- 3стг 2 - Фг 2 ) + 1 (3стг 2+1 + 2Фг 2+1)

венства 2(Дk^ + Фk) = 2^ получаем формулу для

k=1

вычисления индекса в классе hn:

k

К = S (к; s +K;s+1)+ S

s=1 j *;s

2ф

j

(13)

Вторая сумма в правой части равенства (13) определяется точками Су, не являющимися смешанными. Как известно, такая точка есть особенная точка граничного условия тогда и только тогда, когда направления сходящихся в этой точке дуг границы - сопряжённые направления на поверхности 5У.

Задача описания смешанных особенных точек граничного условия (5), (6) с помощью точных геометрических характеристик границы Ь не является корректной. Действительно, рассмотрим сумму (12), представив её в виде

К; 1 =

1 (- 3а; 1 -Ф; 1)

- 1 + 3(А; 1 Х+Ф; 1 )+ 2Ф; ^ )

(14)

Поступила в редакцию

9 января 2013 г.

+

+