Решение смешанной граничной задачи мембранной теории выпуклых оболочек Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.223

РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ МЕМБРАННОЙ ТЕОРИИ ВЫПУКЛЫХ ОБОЛОЧЕК

© 2011 г. Е.В. Тюриков

Южный федеральный университет, Southern Federal University,

ул. Мильчакова 8а, г. Ростов н/Д, 344090 Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090

Даётся решение смешанной граничной задачи И.Н. Векуа мембранной теории выпуклых оболочек в расширенной постановке. Предполагается, что граница срединной поверхности выпуклой оболочки - кусочно-гладкая кривая, состоящая из чётного числа гладких дуг. При этом кинематические условия на границе заданы следующим образом: если на какой-либо из дуг известна нормальная (касательная) составляющая вектора усилий, то на соседних с ней дугах известна касательная (нормальная) составляющая. Получен геометрический критерий безусловной разрешимости соответствующей задачи Римана—Гильберта для обобщённых аналитических функций.

Ключевые слова: задача Римана-Гильберта, выпуклая оболочка.

The solution of the mixed I.N. Vekua boundary value problem of the membrane theory of thin convex shells is given in the expanded setting. The boundary of the median surface is assumed piecewise smooth and consists even number of the smooth arcs. The kinematic conditions on the boundary are given in the next mode: if on some arc is known the normal (tangent) component of the force vector, then on adjacent arcs the tangent (normal) component is known. The criterion of the unconditional solvability of the corresponding Riemann-Hilbert boundary value problem for generalized analytic functions is obtained.

Keywords: Rieman-Gilbert boundary value problem, convex shell.

В рамках мембранной теории выпуклых оболочек [1] дается решение задачи И.Н. Векуа о реализации безмоментного напряженного состояния равновесия тонкой упругой оболочки с заданной на одной части границы ее серединной поверхности нормальной составляющей N, а на другой - касательной составляющей T вектора усилий. Указанная задача была поставлена И.Н. Векуа [2] в 1952 г. при условии гладкости границы серединной поверхности оболочки, хотя с точки зрения приложений (см. например, [3]) естественно предположить, что точки разрыва граничного условия - угловые точки границы.

Расширенная задача R и ее геометрический аналог

Пусть - строго внутренняя часть овалоида положительной гауссовой кривизны класса регулярности Шъ'р , р >2, с кусочно-гладким краем Ь, состоящим из конечного числа дуг класса регулярности Сх'е, 0 < е <1. Рассмотрим на Ь множество точек сь...,с2п, содержащее все угловые точки, а также произвольно отмеченные точки гладкости, полагая при этом, что точки су (/=1, 2,...,2п) следуют друг за другом при обходе границы Ь в заданном направлении.

2п

Тогда Ь = иЬ ■ , где началом и концом дуги Ьу (/=1,

]=1

2,...,2п-1) являются точки Су и су+1, а началом и концом дуги Ь2п - с2п и С] соответственно. Задачей R назовем задачу о реализации безмоментного напряженного состояния равновесия оболочки с серединной поверхностью 5 при условии N(р) = а($) на Ь2М ,

Т^) = а^) на Ьъ (I = 1,...,п), (1)

где а(,) - наперед заданная на Ь функция, гельдеро-ва на каждой из дуг Ьу; s - натуральный параметр.

Согласно [4], задача об отыскании бесконечно малых изгибаний поверхности 5, совместимых с условием ¿¿к, = на Ь21_1,

& % = а(,) на Ь21 (г =1,..., п), (2)

где ¿¿кэ, ¿к - соответственно вариации нормальной кривизны ^ и геодезического кручения к поверхности в направлении края, есть геометрический аналог задачи R, или задача Ro.

Наряду с граничным условием (1) (условием (2)) будем рассматривать смещенное граничное условие Т(,) = а(,) на Ьъ_х, N(s) = а(,) на Ь21 (& = а(,)

на Ь2;_!, <5кл, = а(в) на Ь2,-), г =1,...,п, а соответствующую задачу называть смещенной задачей Я (Я0).

Задача R0 для некоторых частных случаев границы Ь изучена в работах автора [5, 6]. В настоящей работе приводится доказательство результата о разрешимости задачи R0, анонсированного в сообщении [7], а также дается решение задачи R.

Математическая постановка задачи R

Введем следующие обозначения: J - отображение поверхности 50 на комплексную плоскость С = и1 + ш2, заданное выбором сопряженно изометрической параметризации (и1, и2) на поверхности 50; Б = J(Б) - ограниченная в плоскости С область с

границей Г = |jr,

j=i

Г = J (Lj ), содержащей угловые

точки С} = J(с}). Согласно [1, 4], задача R сводится к отысканию в области Б комплекснозначного решения уравнения

^р - B(C)w(C) = F (С),

Ce D,

по заданному граничному условию

Re{A(C)w(C)} = /(a, K, ks ,т ,X),

(3)

СеГ, (4)

МС) =

dC

ds

dCdC, СеГ2,, ds dz

СеГ2,-и i = 1,...,n

(5)

9 =- \—+i—

C 2 Idu1 +1 du2

где о- =— \—-+ г —- | - оператор комплексного

дифференцирования; w(С) - комплексная функция напряжений, выражаемая через компоненты контрвариантного тензора усилий и коэффициенты метрической формы поверхности (см. [1, гл. 3]); В(С) -

заданная поверхностью функция класса Ьр (Б), р >2; Е(С) - комплексная функция внешней нагрузки оболочки; ¿С / & = , + , , (' =1,2) - координаты касательного к Г орта; ¿С /¿к = к+ 'к, к ( г = 1,2 ) - координаты орта направления на плоскости С, являющегося J -образом направления на поверхности 50, ортогонального направлению кривой Ь, где значение функции а(С) совпадает со значением

в соответствующей точке с = J~1(С); / - вполне определенная функция своих аргументов; К, к3, к - соответственно гауссова кривизна поверхности, нормальная кривизна и геодезическое кручение поверхности в направлении края в точке с = J; X -нормальная компонента вектора поверхностных и объемных сил на единицу площади. Отметим, что правая часть (4) как функция аргумента С гельдеро-ва на каждой из дуг Г, и терпит разрывы 1-го рода в точках С (] =1,.,2п). Также полагаем, что Е(С) е Ь (Б), р >2. Классы регулярности решений задачи (3), (4) будет введены ниже.

Вспомогательные конструкции

Ниже вводятся некоторые понятия, позволяющие с помощью геометрической терминологии дать стандартное описание (по Н.И. Мусхелишвили [8]) граничного условия (4).

Пусть c - точка на поверхности S°; П - касательная плоскость к S в точке c ; s' - J-образ направления s на плоскости ^ в точке q = J(c). Введем обозначения: p(s) - прямая в плоскости П , проходящая через точку c в направлении s ; p(s ) - прямая в плоскости (uj, u2), проходящая через точку q в направлении s ' .

Пусть (s, t) - пара направлений на поверхности в точке c. Следуя [8], направление r на поверхности в точке c назовем биссекторным направлением пары (s, t) , если прямая p(r) - биссектриса одного из двух смежных углов, образованных прямыми p(s) и p(t). Очевидно, что при этом направление r0, ортогональное направлению r , есть также биссекторное направление пары (s, t). Будем говорить, что пара (r, r0) есть 5-пара для (s, t), или B(s, t) -пара.

Пусть s - направление на поверхности S в точке c ; о = J(s) при отображении J поверхности на плоскость (u1,u2).

Определение 1. Будем говорить, что пара (tj, t2) ортогональных направлений на поверхности S в точке c есть Г-пара для направления s, или T(s) -пара, если направление о - биссекторное направление пары (jj,т2), где тk = J(tk) - образы направлений tk

(k = 1,2) на плоскости (uj,u2).

Из определения 1 следует, что для различных направлений s и s0 пары T(s) и T(s0) совпадают тогда и только тогда, когда s и s - сопряженные направления.

Лемма 1. Если s и s ' - сопряженные направления на поверхности, то пара B(s, s ) есть единственная T(s) -пара, а также единственная T(s ') -пара.

Доказательство. Обозначим через /(s, t) величину наименьшего из двух смежных углов между прямыми p(s) и p(t). Пусть t, t' - направления T(s) -

пары, v = /(s,t), v' = /(s',t). В силу ортогональности t и t' /(s,t ') = я/2 -v , /(s ', t') = я/2 -v'.

Рассмотрим пары направлений (о, о ') и (т, т '), являющиеся J-образами пар направлений (s, s') и (t, t'), на плоскости, обозначив /(т, о) = /(т ', о) = %. Так как отображение J любую сеть линий поверхности S переводит в ортогональную сеть линий на плоскости, то /(т,о ') = /(т',о ') = яЯ2-%. Воспользуемся далее известным [4, гл. 2] равенством sin Q = (ktks /K)j2 sin Q', где Q - угол между направлениями s и t на поверхности в точке c; Q ' - угол между их образами s ' = J(s), t' = J(t) на плоскости

(и1, и2); к^ - нормальная кривизна поверхности в направлении $. Записывая это равенство последовательно для каждой из пар направлений (я, 1), (я', 1),

(8,1'), (я', 1'), получаем tgv' = tgv = ^к, /к( , откуда

V = V', т.е. я - биссекторное направление пары ($, 8 '). Единственность Т($) -пары легко усматривается из определения.

Разделенные пары направлений на поверхности. Рассмотрим пару направлений (8,1) на поверхности в точке с, удовлетворяющую условиям:

1°) направления пары не совпадают ни с одним из главных направлений ^ (к = 1,2) в точке с ;

2 °) каждый из двух смежных углов, образованных прямыми р($), р(1), содержит одну из прямых

р(8 к) (к = 1,2).

Определение 2. Пару направлений на поверхности в точке, удовлетворяющих условиям 1°, 2°, назовем g -разделенной парой.

В дальнейшем нам придется различать смежные углы между прямыми р($) и р(1) g -разделенной пары (я, 1). Для этого введем в рассмотрение «текущее» направление г на поверхности в точке с и зададим какой-либо из двух смежных углов между р($) и р(\) вращением прямой р(г) из положения прямой р($) (р(\)) в соответствующем направлении. Пусть в - переменная величина угла между прямыми р($) и р(г), заданная вращением в выбранном направлении; к„ (в) = кг - определенная на [0,+да) п -периодическая функция, где к - нормальная кривизна поверхности в направлении г, соответствующем значению в.

Определение 3. 1-ориентированным (2-ориентированным) углом между направлениями g -разделенной пары ($, 1) назовем тот из смежных углов между прямыми р($) и р(\), для которого соответствующая функция кл (в) возрастает (убывает) в некоторой полуокрестности [0, е).

Рассмотрим g -разделенную пару ($, 8 ') сопряженных направлений в точке с. Если %{к) - величина к -ориентированного угла (к = 1,2; + ^(2) = 71), заданного парой ($,$'), то ^(1) > ^(2). Пусть в, в' -величины углов между направлениями $ и я' и главным направлением ^ соответственно. Так как

tg(n-в'^в = -^ , в' = /2) -в

= arctg

4E

ki

(k2ctgö + kjtgö)

то

ж

(2) _

где E - эйлерова раз-

ность поверхности в точке с .

Введем в рассмотрение типовую функцию /(я) направления я в точке с, положив /(я) = /(я, ), где /(я, ^) - величина угла между направлениями пары

2

(я, 12); 12 - направление биссектрисы 2-ориенти-рованного угла, заданного Т (я) -парой. Из выражения для х(2> имеем

, ч 1

/(s) = -arctg

2

-=(k1tg0 + к2 ctg0)

4Ё

(6)

где 0 = /(s, g 2).

Описание точек разрыва граничного условия задачи Я

Будем полагать, что поверхность и ее граница Ь ориентированы так, что при обходе кривой Ь поверхность остается слева, а направление касательного к Ь в точке с вектора о(с) совпадает с положительным направлением обхода кривой Ь . Введем обозначения: о (1) и о (2) - предельные значения векторного поля о(с) в точке с слева и справа соответственно при обходе границы в положительном направлении. Пусть V (1), V (2) -единичные векторы в касательной плоскости 7 с началом в точке с , задающие направления сходящихся (соответствующих) в точке с дуг и образующие внутренний угол V . п (1 < V. <2) в угловой точке с . кривой Ь. При этом V (1)= -о(1) , V (2)= о (2).

В точке с] зададим упорядоченную пару (V (1), V (2)) и введем в рассмотрение подвижный радиус-вектор V . в плоскости 7 с началом в этой точке.

Вращение вектора V . из положения V (Р, задающее

(2)

внутренний угол при совмещении с V у, назовем вращением вектора V . в положительном направлении пары (V (,1), V(2)). Пусть далее в - переменная величи-

1 ' 1

на угла между векторами V ] и V у , заданная вращением V . в положительном направлении пары (V(1), V(2)); к(])(в) = кп (VJ) - определенная на [0,+да) п -периодическая функция, где кл (V .) - нормальная кривизна поверхности в точке с в направлении вектора V ., соответствующего значению в.

Упорядоченную пару (V (1), V (2)) назовем 1 -ориентированной ( 2 -ориентированной), если в некоторой полуокрестности [0, е) функция к()(в) возрастает (убывает).

Замечание 1. Очевидно, если векторы V (1), V (2) задают g -разделенную пару направлений в точке cJ, то можно говорить об т -ориентированной угловой точке границы Ь.

Пару дуг границы Ь, сходящихся в точке с, (1 < ] < 2п), назовем соответствующими точке с, дугами, а ту из них, вдоль которой задано условие

N (5) = а (дкп = а), - главной дугой в точке с . задачи Я (Я0).

Узлом с/Я) задачи Я назовем точку с, вместе с упорядоченной парой (V ], V (2)), где вектор V Ц задает направление главной дуги в точке с,.

Определение 4. Узел с/Я) будем называть особен-

(2)

ным, если направление V у дуги в точке с, совпадает с одним из направлений Т(V(1)) -пары ортогональных направлений 1 (я = 1,2).

Замечание 2. Согласно лемме 1, геометрический смысл понятия «особенный узел с/Я)» заключается в том, что направление дуги в точке с,, несущей условие Т(я) = а, совпадает с направлением какой-либо из биссектрис двух смежных углов между двумя прямыми, проходящими через точку с, в направлении главной дуги и в сопряженном к нему направлении.

Для классификации узлов с/Я) рассмотрим в точке с, касательной плоскости п. Т(V (1)) -пару направлений

1 (1), 1 (2), где 1 (я = 1,2) - направление биссектрисы 5 -ориентированного угла между направлением V (1) и

сопряженным к нему направлением. Прямые р(1(я) ) (5 = 1,2) и полупрямая с, проходящая через точку с, в направлении вектора V (1), разбивают плоскость п. на пять частей (секторов). Обозначим эти части через g(]) (к = 1,.. .,5), пронумеровав их в последовательности, в которой подвижный радиус-вектор V . с началом в точке g(]) «пробегает» указанные секторы при вращении в положительном направлении пары (V (1), V (2)) на угол

2 п из положения вектора V (1).

Определение 5. Неособенный узел с/Я) есть неособенный узел к -типа (к = 1,...,5) граничного условия (1), если вектор V (2) принадлежит сектору Бк .

Особенный узел будем относить к к -му типу (к Ф 5), если вектор V (2) принадлежит той части одной из прямых р(1 (5)) (5 = 1,2), которая разделяет секторы и £к+1 (к = 1,...,4). Очевидно, если с,-точка гладкости границы Ь, то с/Я) - неособенный узел 3-го типа.

Если упорядоченная пара (V (1), V (2)), заданная угловой точкой с и выбором главной дуги в этой точке, является т -ориентированной, то с, будем называть т -ориентированным узлом.

Замечание 3. Если направление V ] совпадает с

главным направлением g1(J) (g(])) в точке с, (к(] Ф к(]), то узел с/Я) является 2-ориентированным (1-ориентированным) узлом. Если же с, - омбилическая точка поверхности 5°, то т -ориентация (т = 1,2) узла с/Я) не определяется. Указанные частные случаи рассматривались автором в [5, 6].

Рассмотрим теперь задачу (3), (4) с точками разрыва С у = J (с у) (узлы по терминологии Мусхели-

швили [8]) граничного условия (4), (5), изученного автором ранее [5, 6]. Следуя [5], рассмотрим векторные поля $(С) = {,1(С),,2(С)}, Т(С) = {Т1(С)к2(С)} , заданные на Г функцией (5), и введем обозначения: 8 , 8 (т , т ) - предельные значения векторного поля 8(С) = {/1 (С), / (С)} ( т(С) = &1 (С), к (С)} ) в точке С слева и справа соответственно;

Ру = У,8(2>) - величины углов между векторами 8 (1>, 8 , причем отсчет угла производится от 8 (у> к 8 (2) , и угол считается положительным (отрицательным), если отсчет ведется против хода (по ходу) часовой стрелки. Дуги Г2М (г =1,...,п), вдоль которых

Л(С) = | —— | , назовем главными дугами граничного

^ —я )

условия (4), (5). Как известно [5, лемма 2], точка С2к—1 (точка Сгк) есть особенный узел граничного условия (4), (5) тогда и только тогда, когда вектор 8 (вектор 8 2к) задает биссекторное направление пары

(8 2к_1, т (21к)_1) (пары (8 (2к1, т21)). Отсюда на основании определения 1 и леммы 1 следует

Утверждение 1. Если суЩ) - особенный узел задачи Я , то точка С у = J (с у) - особенный узел граничного условия (4), (5).

Рассмотрим теперь произвольно фиксированный

узел С граничного условия (4), (5), и пусть 8 (1 < ) < 2) - предельное значение поля 8(С) в точке С вдоль главной дуги, несущей условие

Л(С) = | — \ . Тогда т(к2) - предельное значение

^ ¿я ) ^

поля т(С) в точке С у вдоль дуги, несущей условие

Л(С) = — — () * к, 1 < к2 < 2). Обозначим —я —к

у= у(8(к1),т(к2)), у(1) = 7(8(1,8<2)). Непосредственной проверкой убеждаемся, что J -образ узла суЩ) т -типа (1 < т < 5 ) есть узел С у, для которого выполняются условия: ру = я — у^, у{р < у^2 для т = 1;

р = я — у{у) , у(8) > у(к2) или р = у(р, у> у(к2) для т = 2; ру = у(у>, у(р < у{(к2) или ру = —у(у>, у(р <уу})1) для т = 3; < = — у(1), у(1) > у^ или рJ = у(8) — я , у? >у(у)2) для т = 4; рJ = —у("), у(^) < у'Ы для т = 5.

Приведенные условия означают, что для каждого т = 1,...,5, J -образ узла су^) т -типа в смысле определения 5 есть узел С у, принадлежащий т -типу

согласно введенной ранее классификации [5, лемма 3] узлов граничного условия (4), (5). Итак, справедливо

Утверждение 2. ./-образ узла су(Я) есть узел С, &-типа граничного условия (4), (5) тогда и только тогда, когда су(Я) - узел Л-типа в смысле определения 6.

Рассмотрим функцию t ^(у) направления V в точке су, заданную очевидным образом равенством (6), если в нем положить к = к(,) (я = 1,2), где к У'-1 -главные кривизны поверхности в точке с (к() > к), соответствующие главным направлениям §(я = 1,2); в - величина угла между направлениями V и §в точке Су. Далее, вводя обозначение

£ ■ =— t(V(у )) (] = 1,...,п), приходим к эквива-я

лентной классификации узлов су{К), по которой каждый узел задачи R можно отнести к одному из 5 типов: т -ориентированный (т = 1,2) узел су{К) есть

узел к -го типа, если 0<уу < (2 — т)/2 + (—1)т^ для к = 1, {к — т)/2 + (—1)т^ <уу< (к — т +1)/2 + (—1)т^ для к = 2,3,4, (5 — т)/2 + (—1)% <гу <2 для к = 5 .

Замечание. Если направление вектора V (Р совпадает с одним из главных направлений §^ (я = 1,2), то, полагая в последних неравенствах ^ = 1/4, получаем 0<у]< 1/4 при к = 1; (2 к — 3)/4<уу< (2к — \)/4 при к = 2,3,4, 7/4 <уу <2 при к = 5 (для любого т = 1,2 ).

Следуя [8], будем отыскивать решение w(С) класса , т.е. решение, ограниченное в точках С , • • •, С,т и допускающее в некоторой окрестности остальных неособенных узлов С оценку

| w(C)^ A | £-£j \ J, 0< (Xj <1, A = const.

Если w(£) - решение класса

задачи (3),

(4), то, согласно [4, 9], НСШ^С — С)"к е Ш^ (Б), где q, ак вполне определены условием (5), 2< q < р, причем 0 < ак <1 (—1 < ак <0) в точке Ск неограниченности (ограниченности) решения w<С). Класс таких решений обозначим через . Если все узлы С, •, Сг„ - неособенные,

то класс решений, неограниченных в этих точках и допускающих в окрестности каждой точки оценку

указанного вида, обозначим через .

Разрешимость задачи Я. Следуя [1, 4], решением задачи Я будем называть решение задачи (3), (4) в любом из классов Ь^.,,- , и наоборот. Прежде всего

отметим, что в рамках мембранной теории переход от задачи Я к задаче (3), (4) об отыскании решения в классе И1' ^ . является корректным, так как соответствующий этому решению интеграл энергии растяжения (деформации) оболочки конечен [10].

Пусть теперь N(k) - число узлов k-типа (1 < k < 5)

задачи R , N = £ (5 - 2k)N(k). Заметим, что N - чет-

k=1 5

ное число, если "N(к) = 2п .

к=1

Теорема 1. Пусть £ - заданная выше односвязная поверхность класса регулярности РГ3р , р > 2#0, где 6»о =тах{1,у1,_,у2п} ; с^К)с,т (Я) - пр°го-

вольно отмеченные неособенные узлы задачи К ; £ -число всех особенных узлов (2 < £ + т < 2п). Если N > 6 + 2(т + £ - 2п), то задача (3), (4) безусловно

разрешима в классе Н1,9 ,. , 2 < а <-—-, а

'1-"'т 2 + р(1 - 1/0о)

ее решение зависит от 1N + 2п - т - £ - 3 вещественных параметров. Если же N <3 + 2(т + £ - 2п), то задача имеет решение (единственное) в указанном классе тогда и только тогда, когда для правой части

равенства (4) выполнены т + £ + 3 - ^2п +1N^ условий разрешимости интегрального типа.

Доказательство. Решение задачи (3), (4) будем отыскивать в виде м = + V, где - некоторое частное решение класса Ш1'р(Б) уравнения (3); V - общее решение соответствующего однородного (Е = 0) уравнения, удовлетворяющее граничному условию (4), (5), в котором МО = МО - ;

¿10 (О) - функция на Г, заданная правой частью равенства (4). Далее, используя полученную ранее формулу для индекса граничного условия (4), (5) в классе ограниченных решений [5, лемма 6] и утверждение 2, находим индекс к в классе Н, , :

к = ^ N - 4 + 2n - m -1. 2

(7)

Доказательство теоремы завершается сведением полученной граничной задачи для обобщенной аналитической функции v(О) по схеме [11] к случаю, когда область Б - единичный круг, и применением формулы (7) с использованием результатов автора о разрешимости граничной задачи вида (4) для обобщенных аналитических функций [9, теорема 1].

Смешанная граничная задача И.Н. Векуа для поверхности с гладким краем

Пусть с . (V= 1; ]'= 1,.,.2-п ) - точки гладкой границы Ь ; с^, ..., с1т - произвольно отмеченные точки из числа с1, ..., с2п. Наряду с условием (1) естест-

венно также рассмотреть смещенное условие и соответствующую смещенную задачу К . Имеет место

Теорема 2. Если п > 4, 1 < т < п - 3, то задача К ,

а также задача К безусловно разрешимы в классе Н1'а . , 2 < а < р. Если п = 3, то задачи Я и К безусловно разрешимы только в классе Н^9. В случаях п = 1,2 задача К имеет единственное решение в любом из классов Н1,а , (1 < т < 2п), Н\'9, тогда и только тогда, когда для правой части равенства (4) выполнены т - п + 3 условий разрешимости интегрального типа.

Доказательство. Как это следует из определения 5, точке гладкости Су границы Ь соответствуют неособенные узлы су(Я) и су( К ) 3-го типа задач Я и К соответственно (для каждого ]= 1,...2п). Далее достаточно воспользоваться утверждением теоремы 1.

Замечание. Если су - угловая точка границы, то типы узлов Су(Я) и су( К ), а также индексы граничных условий вида (4), (5) задач Я и К могут не совпадать [6].

Литература

1. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М., 1982. 288 с.

2. Векуа И.Н. Системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и граничные условия с применением к теории оболочек // Мат. сб. 1952. Т. 31, № 2. С. 217 - 314.

3. Гольденвейзер А.Л. О применении решений задачи Римана-Гильберта к расчету безмоментных оболочек // ПММ. 1951. Т. 15, № 2. С. 149 - 166.

4. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М., 1988. 512 с.

5. Тюриков Е.В. Смешанная граничная задача теории бесконечно малых изгибаний выпуклых поверхностей // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2008. № 6. С. 17 - 22.

6. Тюриков Е.В. Некоторые достаточные условия разрешимости смешанной граничной задачи И.Н. Векуа // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2009. № 1. С. 21 -26.

7. Тюриков Е.В. Геометрический аналог задачи Векуа-Гольденвейзера // Докл. РАН. 2009. Т. 424, № 4. С. 455 -458.

8. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1968. 512 с.

9. Тюриков Е.В. Краевые задачи теории бесконечно малых изгибаний поверхностей // Мат. сб. 1977. Т. 7, № 3. С. 445 - 462.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М., 1965. 204 с.

11. Тюриков Е.В. Об одной граничной задаче теории б. м. изгибаний поверхностей // Владикавк. мат. журн. 2007. Т. 9, № 1. С. 62 - 68.

Поступила в редакцию

14 марта 2011 г.

5