Некоторые достаточные условия разрешимости смешанной граничной задачи И. Н. Векуа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.03+517.944

НЕКОТОРЫЕ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ СМЕШАННОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ И.Н. ВЕКУА

© 2009 г Е.В. Тюриков

Южный федеральный университет, 344090, Ростов н/Д, ул. Мильчакова, 8а, dnjme@math.stedu.ru

Southern Federal University, 344090, Rostov-on-Don, Milchakov St., 8a, dnjme@math.stedu. ru

Исследуется граничная задача теории бесконечно малых изгибаний, являющаяся геометрическим аналогом смешанной граничной задачи И.Н. Векуа мембранной теории оболочек. Получены достаточные условия разрешимости поставленной задачи для выпуклой поверхности с кусочно-гладким краем.

Ключевые слова: бесконечно малое изгибание, краевая задача Римана-Гильберта.

The boundary value problem of the theory of the infinitesimal bendings being by geometrical analogue of the mixed boundary value problem of I.N.Vekua membrane shell theory is investigated. Sufficient conditions of resolvability of a task in view for a convex surface with piece-smooth edge are received.

Keywords: infinitesimal bending, Riemann-Gilbert boundary value problem.

Рассматривается граничная задача теории бесконечно малых изгибаний, поставленная автором в работе [1] и являющаяся геометрическим аналогом смешанной (по терминологии И.Н. Векуа) граничной задачи мембранной теории оболочек. Важный частный случай этой задачи для поверхностей с кусочно-гладким краем рассмотрен в [2]. Цель настоящей работы - найти такие условия разрешимости граничной задачи, в формулировке которых угловые точки границы различались бы только по величине внутреннего угла.

Геометрический аналог смешанной граничной задачи И.Н. Векуа

Ниже используются понятия и обозначения из [2].

8у, V = ^,.... \>2„ , - строго внутренняя часть замкнутой выпуклой поверхности £0 класса регулярности IV3'р, р > 2 .

Г, ! i = 2,...,2п\

- „(2),

ökn = ау> на L2i_i,

с кусочно-гладким краем

2п

Ж;--- Г,- €-1,...,2п-1 в точке

J ] ж

Су, \ ^ : \ 2 ' - Г2„, П соответственно в точке С|.

Задача А [2]. Существуют ли бесконечно малые (б. м.) изгибания поверхности , совместимые с граничным условием

(1)

Зт^а^ЦяаЬ^ < 1...../Г. (2)

где С -1.2 ^ - наперед заданные гельдеровы

функции; 5 - натуральный параметр; 5кп и дт„ -

вариации нормальной кривизны и геодезического кручения поверхности в направлении края.

Будем также рассматривать смещенную задачу А', т. е. задачу со смещенным граничным условием

(3)

Örg = р) '< на ¿27-1

L = (J Z , состоящим из конечного числа дуг I.,

7 = 1

= A(2)<>aZ2; <=1 ,...,г

(4)

класса регулярности С1'5, 0<£<1, и содержащим 2п угловых точек с]- с внутренними углами \' ,я

^ < 1// < 2 . образованными векторами sJ - с началом в точке с у = 1.....2// . При этом необходимо иметь в виду следующее: точки с<( = 1.....2п

следуют друг за другом при обходе границы Ь в заданном направлении (например, в положительном направлении при выборе направления вектора нормали к поверхности в сторону выпуклости); точки с у и

су+1 - начало и конец дуги /.у <( = 1.....2// -1 соответственно, а началом и концом дуги /,2„ являются

где р\'} ( ( = 1.2 - наперед заданные гельдеровы функции. Всюду ниже функцию точки, заданную на Ь условиями (1), (2), обозначим через сг, а условиями (3), (4) - через р .

Для удобства изложения введем следующие понятия и термины. Одну из двух дуг, сходящихся в точке с у, назовем главной дугой в точке с у задачи А, если

вдоль этой дуги выполняется условие (1).

Дуга Г2г_1 - главная дуга в точках с2г_ 1 и с2г-

(= 1.....// задачи А, а дуга Г2г - главная дуга в тех

же точках для смещенной задачи А'.

Точку с у края Ь вместе с направлением главной

дуги в этой точке назовем угловой точкой задачи А и

точки с2„ и с1; вектор \ * - задает направление дуги обозначим через с ■ .

n

В случае граничного условия (1), (2) угловая точка с2г^ задается точкой с2г и вектором с2,_1 ^ -

точкой с2г_ 1 и вектором ( 1.....// .

Геометрические результаты

Пусть { = 1.2: / = 1.....2п - главные направления на поверхности Л'() в точке с,; /г^ -. /г-5~ - со-

ответствующие им главные кривизны

С

к

Х^ - величины углов между направлением главной

дуги

в точке

и направлением gk ж

Обозначим а =— arctg

<=1,...,2 п~.

Здесь 0 <а] < , причем ау- =~в омбилической

Av' точке.

■1 К2

Определение 1. Точку с. ^ ^ назовем универсаль-

ной точкой к-го типа ^<к< 5; / =1,...,2и или и*^-точкой, если 0 < Уу < «у при к = 1;

^ - ау- < гу- < ^^ + ау- при А: = 2,3,4; 2-а^<у^<2

при к = 5.

Замечание 1. Если с , - омбилическая точка поверхности 'т0 с / есть " ^ -точка, причем [2]

типа назовем особенной и * ---точкой, если в точке С

J

направление дуги, несущей условие (2), совпадает с

направлением ¿,'-5'. а направление главной дуги в точке

г

су образует с направлением ' Угол Х2= ж'/ • Нетрудно видеть, что для особенной и точки

< 4

1

при ¿ = 1,2;

V.-

= С-гХ-С^Оу при А: = 3,4.

4

ные и ---точки.

" J

Если точка с ^ не является и1

-точкой

(< к < 4 , то величина у,- удовлетворяет одному из

следующих неравенств:

к-1 к --ha, < v. <--а,

2 J J 2 J

(< А' < 4 . В этом случае точку с! (I назовем про

межуточной точкой к -го типа, или р"--точкой. Рассматривая на поверхности некоторую со-

пряжено изометричную систему координат отобразим поверхность ¡)ц. в = .....в2„ , плоскости (

f, u 2

П 2

на область ограниченную

2п

"7

1 , 2к-3 2к-1

0 < у < — при к = 1; —-— < V^ < —-— при

7

к = 2,3,4; <2 при ¿ = 5.

Определение 2. Универсальную точку с ,■ ^ к-го

кусочно-гладкой кривой Г = и Гу- , содержащей уг-

У=1

ловые точки с внутренними углами 0 < п

<><0у <2; )=\,...,2п . При этом набор в = со

вполне определен выбором направлений \ ^ - в точках с ^ на поверхности [3].

Следуя [4], будем отыскивать решения задач А и

А' в расширенных классах // .....ст . где

(^<т<2п - произвольно отмеченные точки из числа С\,...,С2„, а также в классе Н° ограниченных в и£ решений. Обозначим через и*- к < 5 ~ число и ^ -точек из числа с)... .,с2и. Имеет место

Теорема 1. Пусть Л',, - заданная вьппе поверхность

класса регулярности IV3'р , р > 2в0, в0 = шах Н край Ь которой содержит только универсальные угло-5 >

вые точки. Если 11= V ^ - 2к Т/ '> 6 - Ъп . то по-

к=1

верхность Бу допускает ^--З+н^ ~ параметрическое семейство нетривиальных б.м. изгибаний класса

H

i i.....% ß W

1, q

2< q<-

2 P

2 + p 1-

совмести-

0a

Замечание 2. Если в омбилической точке с ^ величина внутреннего угла уу- п равна одному из чисел 2к-\

-л к < 4 , то точки Су^ и с , (Г - особен

мых с неоднородным = о на к ^ условием (1), (2), а также с неоднородным £ ф о на к ^ смещенным условием (3), (4). При и<4-2т задачи А и А' однозначно разрешимы в указанном классе тогда и только тогда,

Л 1ТТ

когда выполнены т-4- — и условии разрешимости. Теорема 2. Если II > 6, то поверхность Л',, допус-

(М -г) - «

кает I — - 3 I -параметрическое семейство б.м. изгибаний класса Н0 П W14, совместимых с неоднородным условием (1), (2), а также с условием (3), (4). Если при этом функции ст, р, удовлетворяют дополнительным условиям точечного типа <т ^ р ^ ^ 0 = 1,...,2и , то б.м. изгибания непрерывны в .V,, и /< . В дальнейшем класс ¡¡(^ ,...,сг 1Г1(/ решений задачи А будем обозначать через Н1 *С с ,

'т

¡</¿<2п ^ = 1 ,...,т .

c

k

2

k

I Рассмотрим задачи А и А' с однородным ^г = /> = 0 граничным условием. Имеет место

Теорема 3. Если и>6—2т, то поверхность Л',,

и „

допускает — -Ъ + т линеино независимых о.м. изгибаний класса Н]'1/ .....с, , совместимых с одно-

^ 1 т

родным условием (1), (2), а также со смещенным однородным условием (3), (4).

Рассмотрим поверхность, край которой содержит промежуточные угловые точки. Введем обозначения:

Р{

4,<к< 4 - число

-точек из числа

4

сЬ

■,с2п, Р= У ^-2/ ^ Имеет место

¿=1

Теорема 4. Пусть - заданная выше поверх-

ность, с

A

^ - произвольно отмеченные

неособенные » ---точки из числа С].....с2п. Если

и+Р>6—2т, то неоднородная задача А , а также смещенная неоднородная задача А' разрешимы в

классе ^ .....с, . Однородная задача А и смещенная однородная задача А' разрешимы в том же классе, если и+Р> 6—2т. Справедлива также

Теорема 5. Если 17+Р> 6, то неоднородные задачи А, А' разрешимы в классе Н°. Однородная задача А и смещенная однородная задача А' разрешимы

в классе Н°, если и + Р > 6.

Замечание (к теоремам 4, 5). Невыполнение условия и+Р> 6 не означает, что имеет место условная разрешимость задач А и А'. Может оказаться, что задачи А и А' безусловно разрешимы. При этом числа линейно независимых решений однородных задач А и А', вообще говоря, не совпадают. Соответствующие примеры будут приведены ниже.

В некоторых частных случаях утверждения теорем 4, 5 можно уточнить. Для этого удобно ввести в рассмотрение каноническую точку с у задачи А [2], т.е.

точку Су , в которой направление главной дуги совпадает с одним из главных направлений ^ = 1,2 . Следуя [2], каноническую точку Су ^ с внутренним углом \' ,к назовем неособенной точкой к-то типа

(или п ^ --точкой), если

О <v, < — J 4

при к = 1;

2к-3 2к-1 , 7

—-—<У]<—-— при ¿ = 2,3,4; —<Vj< 2 при

к = 5.

Если у,=4к-1~У- t<k<4

то каноническая

Замечание 4. Если Су - омбилическая точка поверхности ^о, то особенная и ^ -точка с 7 есть

особенная пк -точка ( к < 4. и наоборот.

*

Пусть .V,. - поверхность Лг с краем /,, все промежуточные точки которого из числа с\,...,п2п есть канонические точки задачи А. Обозначим через Ы^--

( < к < 5 число

канонических

точек с С k-то типа,

N = ^. Имеет место

к=1

Теорема 6. Пусть сг (I _ - произвольно

*

отмеченные неособенные точки поверхности из числа .....Гъп.

Если Ы + и= то

к=1

поверхность допускает + М~У,2-Ъ+т -параметрическое семейство нетривиальных б.м. изгибаний класса Н]'1/ щ. .....с, , совместимых с неод-

^ 1 т

нородным условием (1), (2). При N+11 <4-2т задача А однозначно разрешима тогда и только тогда, когда

выполнены т — 4— (¡+N^1,2 условий разрешимости.

*

Если 1Я+и>6—2т, то поверхность .V,, допускает </+N2 2 — Ъ + т линейно независимых б.м. изгибаний, совместимых с однородным условием (1), (2).

Доказательство теорем 1, 2. Для удобства изложения обозначим через 3 отображение поверхности

на плоскость С = н] +ш2, заданное выбором сопряжено изометрической параметризации (\и2 на Л'о. Система уравнений б.м. изгибаний поверхности в вариациях сЪ, , коэффициентов второй основной

формы Ъус1и1с1и] имеет вид

(5)

£ = u1+iu2; i2=-1; dr=—\—— + i——\ ~ оператор ^ 21 omj du2 J

комплексного дифференцирования w = g 2 2 + г<®12 ~

комплексная функция изгибаний; Я = Е\\Я22~ §12? gij С / = 1-2 - коэффициенты метрической формы поверхности В % - заданная поверхностью

функция класса Ьр р> 2. Внешняя связь (1),

(3) при б.м. изгибаниях поверхности порождает для комплексной функции изгибания условие:

точка Су (I ^ - особенная точка к-то типа (или особен- 1 ^ ; а ^ ^ с ур. ^ = 3 (

ная п -точка).

Замечание 3. Очевидно, что если р^--точка сг есть каноническая точка задачи А, то Су С ^ есть либо

пк -точка, либо // ^ '' -точка ( < А' < 4 .

j=1

2 g-м \„

J- ^ е Г2/-1

MKjK'Z ^еГ2г <=1

(6)

(7)

... с

m

Здесь /О М1 0///2 <0 ^О т\ <>/т2 <Л / С 3= ,4] С Г//2 > ~ касательный к Г в точке £ единичный вектор; / 4 С > единичный

вектор, задающий в каждо й 4' кривой Г направление, являющееся образом ортогонального к Ь направления на поверхности S() в соответствующей точке при отображении 3; а^ - заданная на Г функция, допускающая разрывы первого рода в точках ^ = 3 и гельдерова на каждой из замкнутых дуг Гу. Не нарушая общности, будем полагать, что

направление вектора / в каждой точке совпадает с положительным направлением обхода границы Г = дБ о, а вектор / с началом в этой точке направлен вне области к)() . Задача (5), (6) (задача Я ) в случае поверхности .V,, с краем Ь , угловые точки с, которого есть канонические точки с^ ^ , а также смещенная задача Я', изучены в [2]. Здесь дуги Г2г_1 - главные дуги задачи Я. Следуя [2], введем обозначения: и - ( = 1.2 - предельные значения векторных полей I ^ и /(' соответственно слева (при к = 1) и справа (при к = 2) в точке с ■ при обходе кривой Г в положительном направлении; (р : и (// : - величины углов между векторами

причем отсчет производится от

до I-Д7 , а угол считается положительным,

- 'Я<?:

'?< - 'Я

если отсчет ведется против хода часов;

.Czf/ря^--..... "

j

yj^j

Г

V ' J

лении векторов /, /): I

с

л "

2- <Pj = 7/i Гу S: 7/1 3. 9j =~7j, Yj- Yj '

4- ^ = Г у ^ < 0; у^> yJ

4т ^

5. - ж < ср^ < 0; < /у1

. - * " Точка к -го типа ( = 1.....4 в случае Ту^Гу1"

есть особенная точка задачи Я [2].

Лемма 2. Индекс ж (ж') задачи Я (Я') в классе к0 ограниченных в Бд решений находится по формулам

П

ж = -4 + X

7 = 1

П- 1

ж'=-4 + I 7=0

2j

n- 1

+ S

J=0

il

J1

(9)

Q

2J +1.

n

+ I

J1

Q

2J.

где величина ( - 1. 2: j - 1... ,.2/г определяются в

(-го типа (< //? < 5

соответствующей точке ^

равенством

Л

Q

J

=к-т+1

(10)

l

^ - целая часть числа a . ii

>> g

Замечание 5. Условие Yj= 7j " означает, что

- биссекторное направление пары l

k2;

t

k2;

у = Z £ - величина угла между направлениями на

плоскости в точке С, 3, заданными векторами /, г

(т.е. величина наименьшего из двух смежных углов между прямыми, проходящими через точку ^j в направ-

7 "" ...... ■г" ' ....."' " '' ' '] ' ']

именно: прямая, проходящая через точку С, ^ в направлении вектора \ является биссектрисой одного из смежных углов между прямыми, проходящими через эту точку в направлении векторов . .

Следует отметить, что направления ^ -

(< к < 2 ^ являются 3-образами пары ортогональных направлений на поверхности в точке с , одно из

которых причем ^

(€1

>/ j

V J1}

Пусть s - некоторое направление на поверхности

7 ' 7

ния векторных полей / ^ . ? ^" в точке С : (при положительном обходе контура Г ) вдоль дуг, несущих условия (7), (8) соответственно (.< к\ ,/г2 < 2:А'| ^ /г2 ;

; '. Заметим, что , - напрае-

предельные значе- в точке с . Легко видеть, что в точке с существует

^J

С,

ления главной дуги Г2г_1 задачи Л в точках ¿Г2г-1>^2г 1.....// : - направление дуги Г2г в точ-

ках С21 ■ ¿'2/11 (=1,, а /^-направление дуги Г2и в точках с2„ и с1 соответственно. Далее нам понадобятся следующие леммы (см. [2]).

Лемма 1. Каждая точка С : может быть отнесена к

одному из следующих типов:

единственная пара ортогональных направлении \ ( = 1.2 , такая, что направление / 3 ( есть биссекторное для пары направлений 3 в точке (( 3<у. . Пару (^ \ ^ ^ назовем парой, соответствующей направлению «; у^ (-1.2 - угол

между направлениями s и s

1. <Pj =7Г -у .

7t 4 ^

-<ср3<Т1-, 0 < -

угол между направлением s и главным направлением

g/t- = + %2 =~2 j на повеРхности ^о в точке

с , у - min . у2 . Имеет место

Лемма 3. Для любого направления s на поверхности Sо в точке c справедлива оценка

n

arctg.

Л 9 л

<у< — 4

(11)

где к] ./<2 ~ главные кривизны (j > к2 . соответствующие главным направлениям gi, g2 в точке c,

причем равенство v = arctg 1-=- достигается, если

\h

íkT

Z2 = arctg — .

V ki

Для доказательства нам понадобится следующее свойство отображения 3 [3]: если s и t - направления на поверхности S в точке с, а а , т - соответствующие им направления (3 -образы) на плоскости

U1, u 2 , то справедливо равенство

sin у = y¡кtкs / K sin ~ , (12)

где у = Z í ; у = Z^.r : kt. ks - нормальные кривизны в направлении t. s соответственно; К = кф2 -гауссова кривизна поверхности в точке. Рассмотрим пару главных направлений g^ (-1.2 в точке с , и пусть s - направление в этой точке, 3-образ сг = 3( которого есть биссекторное направление пары /-д- = ( = 1,2. Так как направления

r¡. ( = 1,2 ортогональны, то в силу (12)

sin;fr = ^¡kxks / K

42

si^Zi= -Jk2ks / K

42

где

Z\+ Z2 ~ y' откУДа tg

2 - . Так как в рассмот-

ренном случае v = Z2 > т0 равенство v = arctg —

1 h

достигается. Если же направление s совпадает с од-

ним из главных направлений g¡i ( = 1,2 , то V = —

[2]. Зададим в точке С направление « , для которого

ж ¡ко

Z2 не равно ни одному из чисел 0, —, arctg , и

2

пусть (<л ^ - - соответствующая пара ортогональных направлений. Обозначим о> = /(^ ги рас-

смотрим два

случая.

v\=x\-a;

тогда

вующеи

g 2 ß и п0 построению соответст

(С

пары

^K/kk^: sinvi = ,^K7kS^<"Sin|

в

ж

силу (12) , откуда

tgn =. Эйлера

. Из последнего равенства и формулы

К <:

ks=kl cos 2i+^2sin Жь

tg2n =

h cos2 + kr) cos2 --со

U J 2 u 2 2 ÄjCOS ® + Ä2Sin 0)

получаем

или

9 ft9

kn tg2 ir, + Vi ^j-fc k7 2 k,

2 ё7 -откуда < tg2 y1 < -i-;

Mg ÍC2+v\J-k2

к9

Ч Л2

что и доказывает (11).

Случай + рассматривается аналогично.

Следствием лемм 1-3 является Лемма 4. Если точка Су (I ^ есть г/ ^ --точка, то соответствующая точка 4"у есть точка к-го типа задачи

Я, причем особенной и ^ '-точке соответствует особенная точка граничного условия (6)-(8). Отсюда на основании леммы 2 следует Лемма 5. Если все точки с■ (I _ поверхности Лг

есть и * ---точки, a q ()

, ^ - произвольно отме-

ченные неособенные и*---точки задачи А из числа ¿'1 () ... ¿2,, (1 • то индекс ж соответствующей задачи Я в классе И , |,..., С2п [5] вычисляется по формуле

1 и ^ >

ж =

(13)

Справедлива также

Лемма 6. ж=ж', где ж' - индекс смещенной задачи Я' в том же классе.

Доказательство теорем 1-3 проводится по схеме [2] с применением лемм 4, 5.

Доказательство теорем 4-6. Рассмотрим поверхность Бу, край которой содержит только промежуточные угловые точки. Из определения точки р ^ -типа на основании лемм 1, 3 заключаем, что точке с7 (I р ^--типа соответствует точка С , либо к-то типа, либо ( + 1 -типа задачи Я. Отсюда в силу равенств (5), (6) для индекса ж задачи Я в классе Ь0 ограниченных в !){) решений имеем для ж оценку снизу 1 5 ж 1 1

2 к=2 21=1

(14)

а для индекса ж' смещенной задачи Я' оценку

ае'>— где - - число точек р^ -типа

2/=1

задачи А. Заметим при этом, что числа жиж', вообще говоря, не совпадают.

Пусть край поверхности содержит как маточки (<¿<5 , так и р^ -точки (<к <4 . Не нарушая общности, будем считать, что и ^ --точки следуют друг за другом при обходе контура Ь в заданном направлении. Тогда на основании (13), (14) имеем оценку

1 и >> 1 4 * -

2 к=1 2 /=!

где да - число особенных и^ ---точек. Доказательство теоремы 5 завершается применением результатов работы [5].

Теорема 6 есть следствие теоремы 5 и результатов работы [5].

c

2

2

1

k

Примеры

1. Рассмотрим поверхность с краем Ь , в каждой точке с3 которого выполнено условие: направление главной дуги в точке Су составляет с главным

направлением

gl

этой

точке

Х\ = arctg.

причем направление дуги, несущей

полагать, что у,л = arctg.

k

есть р ^ --точки. Так как xf '= arctg

то по лем-

k

удовлетворяет неравенству аг^

kj^ л

причем направление дуги, несущей условие (2), совпа-

дает с #2 • Пусть Vjir = arctg.

4

- arctg.

условию aгctg.

2 < ^

v ¿л = arctg.

- е, т. е. все точки с (I есть р'

угол

условие (2), совпадает с g^. Для простоты будем

т.е. все точки с ■

ме 3 точке ссоответствует особенная точка <^"у

1-го типа задачи Я. Следовательно, в силу леммы 2 ;е = 3/7—4 в классе ограниченных решений. С другой стороны, смещенная задача А', согласно [2], есть ка-

1 7

ноническая задача, причем при /4 ^ф /с2 ' точка есть точка 2-го типа. Таким образом, в классе ограниченных решений ж' = и — 4 .

2. Пусть в каждой точке с у угол между направлением главной дуги и главным направлением

т.е. все точки с . (I есть -точки. В

причем направление

дуги, несущей условие (2), совпадает с -. Пусть

силу леммы 3 точке Су С соответствует неособенная точка 2-го типа задачи Я, причем в силу леммы 2 ге = п+т—4 в классе /г'•••=сгт С другой стороны, точке су ^' соответствует точка С , 1-го типа задачи = Ъп+т — 4 в том же классе.

3. В каждой точке с у угол Х\~' между направлением главной дуги и направлением удовлетворяет

точки. В этом случае точке Су (I соответствует неособенная точка С : 1-го типа задачи Я, а точке с , (I' -неособенная точка ^у 1-го типа задачи Я', причем ж=ж' = Зи+»7-4 в классе 1г% ,...,с,

Замечание 6. Как это следует из леммы 4, прообраз Cj = 3 1 особенной точки С : задачи Я есть

и ^ -точка, если только су - особенная и ^ ■-точка. В противном случае 3 ' ^ есть промежуточная точка. В частности, указанной в примере 1 ^ -точке соответствует особенная точка

¿Ту = 3 ^ задачи Я. Задача о полном описании точек Су ^ , 3 -образы которых есть особенные точки задачи Я (или задачи Я'), выходит за рамки данной работы. По этой причине разрешимость задач А и А' изучается только в классах ЬС, ,...,с, , где с, ,...,с, -

1 т 1 т

универсальные точки. В заключение отметим, что для полного описания условий разрешимости задач А и А' в общем случае требуется более тонкая классификация угловых точек. По этой классификации каждую угловую точку также можно отнести к одному из пяти типов, однако тип угловой точки с 3 в этом случае

определяется внутренним углом КуЖ и направлением

дуг границы Ь , сходящихся в этой точке [6].

Работа выполнена при поддержке Института прикладной математики и информатики ВНЦ РАН.

Литература

1. Тюриков Е.В. Об одной смешанной граничной задаче

И.Н. Векуа мембранной теории оболочек // Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения: Тез. докл. Междунар. конф., Новосибирск. 28 мая - 2 июня 2007 г. Новосибирск, 2007. С. 478-479.

2. Тюриков Е.В. Смешанная граничная задача теории бес-

конечно малых изгибаний выпуклых поверхностей // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2008. № 6. С. 17-22.

3. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.,

1959. 628 с.

4. Тюриков Е.В. Об одном расширенном классе бесконечно

малых изгибаний регулярных выпуклых поверхностей // Владикавк. мат. журн. 2005. Т. 7, № 1. С. 61-66.

5. Тюриков Е.В. Краевые задачи теории бесконечно малых

изгибаний поверхностей // Мат. сб. 1977. Т. 7, № 3. С. 445-462.

6. Тюриков Е.В. Смешанная граничная задача И.Н. Векуа

теории бесконечно малых изгибаний поверхностей // Тез. докл. 7-й Междунар. конф. по геометрии и топологии. Черкассы (Украина), 2007. С. 81-82.

Поступила в редакцию

30 января 2008 г.

k

в

1

2

k

2

k

2

k

2

k

2

k

1

1