Граничная задача мембранной теории выпуклых оболочек для одного класса симметрических куполов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 1

УДК 514.822 DOI 10.23683/0321-3005-2018-1-49-54

ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА МЕМБРАННОЙ ТЕОРИИ ВЫПУКЛЫХ ОБОЛОЧЕК ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА СИММЕТРИЧЕСКИХ КУПОЛОВ

© 2018 г. Е.В. Тюриков1

1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия

BOUNDARY PROBLEM OF THE MEMBRANE THEORY CONVENTIONAL SHELLS

FOR ONE CLASS OF SYMMETRIC DOME

E.V. Tyurikov1

1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia

Тюриков Евгений Владимирович - профессор, кафедра Evgenii V. Tyurikov - Professor, Department of Mathematics,

математики, Донской государственный технический Don State Technical University, Gagarina Sq., 1, Rostov-

университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов-на-Дону, 344000, on-Don, 344000, Russia, e-mail: [email protected] Россия, e-mail: [email protected]

Получен ряд результатов, относящихся к мембранной теории выпуклых оболочек с кусочно-гладкой границей её серединной поверхности. В рамках этой теории изучается задача о реализации безмоментного напряжённого состояния равновесия тонкой упругой оболочки, серединная поверхность S которой есть внутренняя часть овалоида

строго положительной гауссовой кривизны класса регулярности W3p, p > 2, с кусочно-гладким краем, состоящим

1 р

из конечного числа дуг класса регулярности C , , 0 < е <1. Развитие этой теории с помощью аппарата обобщённых аналитических функций требует расширенной постановки основной граничной задачи. Такая постановка даётся для оболочки с односвязной серединной поверхностью с использованием специального граничного условия Римана - Гильберта. Найдены классы поверхностей (симметрические купола), для которых получены достаточные условия квазикорректности основной граничной задачи в геометрической форме.

Ключевые слова: выпуклая оболочка, задача Римана - Гильберта.

The some results related to the membrane theory of protuberant shells with the piece-smooth border of the it's middle surface is got. Within the framework of this theory the task of the realization of the momentless tense state of equilibrium of thin resilient shell is studied. The middle surface of S is interior of the ovaloid strictly positive gaussian curvature with the class of

the regularity of W3 p, p > 2, and a the piece-smooth edge consisting of the finite number of arcs with the class of the regularity C1 's, 0< е < 1. The development of this theory with generalized analytical functions approach requires the extended raising of the basic border task. Such raising is given for a shell with an onecoherent middle surface with the RiemannGilbert special border condition. The sufficient conditions of the quasicorrectnesses of the basic border task in the geometrical form are proved for the classes of surfaces (symmetric domes).

Keywords: convex shell, Riemann-Hilbert boundary value problem.

Введение

Начало систематическому применению методов комплексного анализа для исследования основных задач общей теории тонких упругих оболочек с гладким краем (т.е. с гладкой границей её серединной поверхности) было положено в работах И.Н. Векуа [1, 2]. Определяющим здесь является то обстоятельство, что безмоментное состояние напряжённого равновесия выпуклой оболочки вполне определяется решением задачи Римана - Гильберта с гёльдеровым коэффициентом граничного условия для обобщённой аналитической функции. В работе

А.Л. Гольденвейзера [3] впервые установлена связь между граничными задачами для сферических оболочек с кусочно-гладким краем (сферических куполов) и задачей Римана - Гильберта для аналитических функций с разрывным коэффициентом граничного условия, а также введён термин «концентрация напряжений» для статической интерпретации её решений, не ограниченных в точках разрыва. Однако указанные задачи для односвязной выпуклой оболочки общего вида с кусочно-гладким краем не укладываются в рамки математической части теории И.Н. Векуа. Дальнейшее её развитие автором [4, 5] позволило получить полную картину

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 1

разрешимости основной граничной задачи для сферических куполов и сформулировать критерий безусловной разрешимости в геометрической форме [6]. Для куполов общего вида [7] установлена связь между геометрией границы и картиной разрешимости, а также найдены достаточные условия разрешимости основной граничной задачи при условии концентрации напряжений в угловых точках. Приведённый в [7] алгоритм нахождения индекса граничного условия приводит к решению труднообозримых тригонометрических уравнений, что не позволяет сформулировать критерий безусловной разрешимости в геометрической форме. Цель настоящей работы - отыскать семейства куполов общего вида, для которых условия квазикорректности основной граничной задачи допускают геометрическую формулировку.

Основные определения

Пусть V - тонкая упругая оболочка, серединная поверхность которой 5 - односвязная с кусочно-

п

гладким краем Ь = и Ьу и угловыми точками Му.

lim nrU(c) = ак, к = 1,2,

c^M ±0 к к'

lim | U(c)|= да,

c^M1 Wl

(2) (3)

j=1

Предполагается, что 5 есть внутренняя часть поверхности строго положительной гауссовой кривизны класса регулярности р, р >2, а каждая из дуг Ьу принадлежит классу С1'8, 0 < 8 <1. Обозначим через у(к), к = 1, 2, векторы на поверхности 5 с началом в точке Му, задающие внутренний угол величины Vj% (0 < Vу <2) в этой точке. Точку М]

границы Ь называют выходящей, или выступом, если 0 < Vу < 1.

Определение 1. Оболочку V назовём симметрическим куполом (5 -куполом), если все угловые точки Му границы серединной поверхности выходящие, а векторы V (к) (к = 1, 2, у = 1, ..., п) образуют равные углы с одним из главных направлений на поверхности в точке М у .

Следуя [7], рассмотрим задачу Т о реализации состояния безмоментного напряжённого равновесия оболочки при условии, что в каждой точке гладкости с границы проекция Пги(с) вектора усилий и(с) на направление вектора г(с) задана равенством

Пги(с) = ст(с), (1)

а в каждой угловой точке М из числа М\ равенствами

где а(с) и г(с) - заданные на Ь кусочно -непрерывные скалярная функция точки с контура Ь и поле принадлежащего поверхности 5 вектора соответственно; Гк, а - односторонние пределы функций г(с), а(с) в точке М при обходе границы Ь в заданном направлении.

Говорят [7], что равенства (2), (3) задают в точке М бесконечный символический VГ а -вектор, введение которого уточняет условие (3) или условие концентрации напряжений по терминологии А.Л. Гольденвейзера.

Уточним теперь постановку задачи (1)-(3), приспособив её к условию концентрации напряжений (3) за счёт подходящего выбора векторного поля г .

Будем полагать, что в каждой точке гладкости вектор Г(с) направлен вне поверхности 5' называя при этом векторное поле Г на Ь допустимым. Пусть Г(с) - допустимое векторное поле Г единичного вектора на Ь, задающее непрерывное поле направлений 1(с). Очевидно, в этом случае в любой точке М из числа М\ соответствующие векторы Гк (к = 1, 2) коллинеарны.

Обозначим через X множество непрерывных векторных полей на Ь , заданных допустимым векторным полем г(с).

Определение 2. Направление поля I е X в угловой точке М называют направлением обобщённой касательной (обобщённой нормали), если соответствующие векторы г, Г2 сонаправлены (разнона-правлены).

Определение 3. Будем говорить, что поле направлений I е X принадлежит классу К(М) (классу Ы(М)), если I (М) есть направление обобщённой касательной (обобщённой нормали) в угловой точке М.

Математическая постановка задачи

Будем полагать, что проекция а = а(^) вектора усилий на направление вектора г = {а(5),р(5)} -гёльдерова на каждой из дуг Ь у функция натурального параметра 5 вместе с касательной и нормальной составляющими а(5) , Р(5) (а2 + р2 =1; Р > 0). Введём обозначения: J - отображение поверхности 50 на комплексную плоскость

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 1

г = х + гу, заданное выбором сопряжённо изометрической параметризации (х,у) на ; О = J(S) -

ограниченная в комплексной плоскости г область п

с границей Г = и J(Lj) и угловыми точками

у=1

— у = J(Mj). Согласно [7], эллиптическая система

уравнений безмоментного напряжённого равновесия оболочки V для комплексной функции напряжений w(z) имеет вид

м>г(г)-В(г^(г) = ад, г е О, (4)

где wz = + гWy); В(г), Е(г) - заданные на

поверхности £ функции класса Ьр (О), р >2; (2) есть граничное условие Римана - Гильберта

Яе{МСМС)} = /(с,К), -еГ, (5)

в котором

Ж0=^СГр —С-а , (6)

—- = + г$2, sг (г =1, 2) - координаты касатель-

ds

где [а] - целая часть числа а; ф у (у у) - величина

ного к Г орта в точке

С; 4=Т

через j и t(1) (s

(2) и t) левые (правые) преде-

к = -4 + Z j=1

-(фj +Vj)

% J J

«(1)

и j (p^ и pj), задан-

угла между векторами 8у и 8у (ру и ку

ного вращением первого из них в положительном направлении до совмещения со вторым.

Утверждение леммы есть прямое следствие работы [8, лемма 1].

Следует отметить, что формула (4) инвариантна относительно выбора направления обхода границы Г, а для выходящей угловой точки с выполняются неравенства 0 < фг- < л, 0 < у < 2л.

Разрешимость задачи Я в классах Н.И. Мусхелишвили

Согласно [5], условие концентрации напряжений (3) в угловой точке М] при переходе к задаче Я принимает вид

—а у

| w(z)|< K | z-С ,■ | j , 0< а <1,

(8)

-ft= tl + it2, ti (i =1,2) -

координаты орта направления на плоскости, являющегося J -образом тангенциального направления на поверхности в точке J 1 (-); К - гауссова кривизна поверхности; суперпозиция / определена [2] задачей Т и как функция аргумента - гёль-дерова на каждой из дуг Ьу . Задачу (4)-(6) назовём

задачей Я , соответствующей задаче Т.

Рассмотрим на Г вектор-функции 8(0 = ^(0, ^(С)}, 1(-) = {^1(-),^2(-)}, обозначив

у у v у у

лы функций 8(-) и 1(-) в точке - у = J(Mj) при

обходе области О в положительном направлении. Зададим вектор-функцию р(-) = {р1(-),р2(-)}, где

Р1(С) + гр2(С) = Р —С-а —- , обозначив через р(у) — ds к

(к = 1, 2) левый и правый пределы в точке - у .

Имеет место

Лемма 1. Если векторное поле г(с) задачи Т

задаёт непрерывное поле направлений I (с) е X, то

индекс к соответствующей задачи Я в классе ограниченных решений вычисляется по формуле

где а у вполне определены функцией Х(-). Решения w(-) задачи Я, удовлетворяющие условиям

(8), назовём решениями класса Н (класса Н.И. Мусхелишвили [9]). Для отыскания решения указанного класса потребуется описание особенных узлов (в смысле Н.И. Мусхелишвили) коэффициента А,(-) граничного условия (5).

Замечание 1. Указанное требование определяется тем обстоятельством, что любое решение задачи Я необходимо ограничено [9] в окрестности особенного узла. В общем случае такое описание труднообозримо [10], однако переход от куполов

общего вида к £ -куполам в сочетании с понятием направления обобщённой касательной позволяет сформулировать результаты в геометрической форме.

Пусть М - какая-либо из угловых точек Мг (г = 1, ..., п) границы £ -купола. Введём обозначения: с(к) (к = 1, 2) - предельные значения в точке М касательного к Ь вектора ст(с); т(к) -соответствующие им предельные значения единичного вектора нормали т(с), направленного вне £ ; к, к2 - главные направления на поверхности £ в точке М ; к1 , к2 - соответствующие им главные кривизны, к1 > к2 ; у(а, Ь) - величина угла между векторами а и Ь на поверхности с началом в точке М (0 <у(а,Ь) <л). Отметим, что векторы (-1)с(1),

С

,(2)

задают внутренний угол в точке М , причём

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 1

(9)

в этой точке выполняется одно из равенств у(а(1),к т ) = у(а(2),к т), (т = 1, 2),

(0 <у(а(к), к т) <%/ 2). Для определённости будем считать, что у(а(1)'кО = у(а(2),к 2) = V,

0<v<аг^2/ — ; 2v - величина внутреннего угла \к1

в угловой точке М . Обозначим такую точку через

М^2у), а соответствующее множество (сектор) направлений обобщённой касательной в этой точке -

через

Замечание 2. Если 1е 5(2v) и V < V', то

{ е 5(2/); к2 е 5(2^ Ууе(0;л).

Определение 4. Направление I е 5(2v) назовём

особенным в точке если соответствующая

точка С = J(M) из числа угловых точек С у = J(Mj) (у = 1, ., п) есть особенный узел задачи Я.

Для описания особенных узлов задачи Я введём обозначения: 1, ] - пара ортогональных единичных

векторов плоскости г, заданных в точке J(M) направлениями J(kl), J(k2), причём вектор 1 направлен внутрь области П; единичные векторы з(1), 8(2) (^Х1), ¿(2)) - левые и правые пределы векторного поля J(o(c)) (поля J(т(c))) в точке С = J(M) при положительном обходе кривой Г.

Обозначив V.

= у(1'8(2)) , V, = уа г(1))

, получаем

8(к) =(-1)к . 1 cosv5 -]8И1 v5 , г(к) = -1 sin V, + (-1)к-1. jcosv,, (к = 1,2). Рассмотрим теперь точку

и фиксируем

какое-либо направление I е обобщённой касательной. Это направление на 5 в точке М можно задать вектором г(9) = г (9) = г2 (6):

= а(1)

cos(0 + v)+x(1)sin(0 + v),

(10)

Лемма 2. Существует единственное значение ( п~Л

0,arctg I

такое, что направление k2 обоб

щённой касательной в точке M есть особенное

направление в точке

Доказательство. Согласно определению особенного узла [9] задачи R, в нашем случае Ф+у = 2тс , где ф, у определены леммой 1. Если

вектор r(6) задаёт направление I класса S(2v), то последнее равенство равносильно равенству y(sj,p2) = y(s2,Pi). Так как направлению k2 соответствует вектор r(0) и | pi(0,v)|=|P2(0,v)|, то

s(1) -P2(0,v)= s(1)-pi(0,v), откуда с учётом (9), (10) после громоздких тригонометрических преобразований получим

sin v-sin(vs +vt ) = cosv-cos2vs. (11)

Так как в силу известного свойства сопряжённо-изометрической параметризации [2, гл. 2]

1 ~ 2

sin vt = I 1 + —ctg2 v

sin vs =(1+a ctg2 v)

2

k л

где a = — < 1,

k

то из (11) после ряда очевидных преобразований с последующей заменой ctg v = t получаем уравнение

( 1 П '

a2 +a

2

(at-1)-1 = (1 + a-1t)2 (1 + at) 2 .

(12)

На основании очевидных графических соображений заключаем, что уравнение (12) имеет един-

-1

ственный корень , = ?0 < а , откуда и следует утверждение леммы. Справедлива также

Лемма 3. Существует единственное значение

(

arctg

¡К ^ fk1 '2

Л

такое, что направление k

2

г2 = -а(2) cos(v - 9)+т(2) sin(v - 9), где 9 = у(г1'к2) , ^<9^ . Тогда выражения для

векторов р1(9), р2(6) в точке М^2у) (19 ), заданных граничным условием (5), (6), принимают вид

= t(1)sin(9+v) - s(1)cos(9+v)' р2 (9, V) = г(2) sin(v - 9)+s(2) cos(v - 9),

причём s(1). s(2) < 0, г(1). г(2) < 0, ^. г(2)<0,

обобщённой касательной в точке М есть особенное в точке

¿2

sv

(1). t(2)= -s(2).t(1)

Доказательство. Если аг^ I—, то направление вектора к2 в точке М(2^) является особенным при условии ф+у=%, что возможно лишь в

случае коллинеарности векторов р2(0,у) и з<-1). С учётом равенств (10), в которых s(1). s(2) > 0,

t(

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 1

t(1). t(2) > 0, s(1) • t(2) > 0, приходим к уравнению sin v • cos(vs + vt ) = -cosv • sin 2vs . После соответствующих преобразований с последующей заменой * * 2

t = tg v приходим к

^ < V <

2

Имеет место также

Утверждение 2. Функция у(0, у) для любого

( г,—Л

V е

0,arctg

V ki

как функция аргумента 0 моно-

ти утверждения можно убедиться, используя тот же приём, что и при доказательстве леммы 2.

Замечание 3. Монотонное убывание функции у(0, у) как функции аргумента 0 для любого

приходим к уравнению

имеющему единственный

V е

г-1 = 2а(а? + 1) (г + 1) корень г = ¿0 > 1.

Рассмотрим симметрическую точку М^2у) из числа угловых точек Мг ( г = 1 , ., п ) и соответствующую ей функцию

Х(0, у) ^ф(у) + у(0, у), (13)

где 10|<у, 0<у<агсш— , ф = ф(у) , у = у(0,у)

\к\

совпадают с величинами фг-, уг- соответственно, заданными в точке М] равенством (7). Заметим, что функция у(0, у) - чётная по аргументу 0. Прямым следствием леммы 2 является

Утверждение 1. 2 л < %(0, у) < 3 л, если 0 < у < £;

л < х(0, у)<2л, если £ < у < л, где £, Л - числа, определённые в леммах 2 и 3; 0< %(0, у)< л, если л

arctg.

ko л

k 2

устанавливается аналогично.

тонно убывает на [0,v], причём y(v, у)>2л Vve (0, , где ^ определено леммой 2.

Доказательство. Введём в рассмотрение вектор р*(0,v) = —s(1) cos(v—0) + t(1)sin(v-0) и зададим функции у(р1 (0, v), р1 (0, v)) = y1(0,v), y(pi(0,v),p (0,v)) -y (0, v) . Далее заметим, что y(0, v) - 2 л — |y(pi (0, v),p2 (0, v))+yi(0, v) — y*(0, v)j. Осталось показать, что cos yi(0, v)<cos y (0, v) или

[cos0 —5sin(2v + 0)][1—5sin2(0 + v)] 2 <

< [cos0—5sin(2v—0)] X [1 —5sin2(v —0)] 2 , где

5 = s(1) • t(1) < 0 . После несложных по существу, но утомительных тригонометрических выкладок приходим к легкопроверяемому неравенству sin 20- sin 4v —5 cos2v(sin 20+cos40) > 0 при условии л

0< 0 < v , 0< v < — . В справедливости второй час-

о

Рассмотрим £* -купол с угловыми точками Мг (г = 1, ..., п) границы и введём обозначения: к(г), к(г) - главные направления на поверхности £0 в точке Мг ; к(г) , к(г) - соответствующие им главные кривизны (к® < к(г)); , Лг - числа, определённые в точках Мг (г = 1, ..., п) леммами 2 и 3 соответственно. Выступ Му отнесём к 1 -типу (2 -типу, 3-типу), если для величины у у л внутреннего угла выполнено условие 0 < луу < 2£,у (у < луу < 2"у, < луу < л). Будем рассматривать векторное поле I, принадлежащее классу К{М{) (классу )) в каждой точке Мг (г = 1, ..., п). Классы таких полей обозначим через К (£) (N (£)).

Лемма 4. Если п(к) - число выступов к -типа

(к = 1, 2, 3) границы Ь, п(1) + п(2) + п(3) = п, то индекс к граничного условия задачи Я в классе

Н вычисляется по формуле

к = 3п(1) + 2п(2) +п(3) - 4, (14)

*

V { е К(£ ).

Утверждение леммы следует из (7) и утверждений 1, 2.

Замечание 4. Легко видеть, что VI е N (Б ) в каждой угловой точке М 1 -типа имеет место неравенство л < %(0, у) < 2л, т.е. в случае п(2) = п(3) = 0 имеем формулу к = 2п — 4 для V I е N(5" ).

Формулировка результатов

Определение 5. Задачу Т назовём безусловно разрешимой для заданного поля направлений 1е X, или В* -разрешимой, если задача Я(Т) безусловно

разрешима в классе Н как задача Римана - Гильберта с неоднородным граничным условием. Будем

также говорить, что для купола £ реализуется

В* (т) -состояние равновесия, если решение задачи

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 1

Я(Т ) зависит от т произвольных вещественных параметров.

Теорема 1. Если 5 = 3п(1) + 2п(2) + п(3) > 3 , то для 5 -купола реализуется В* (5) -состояние для любого I е К(5*).

Теорема 2. Если совпадает с одним из

чисел 2^ , 2^ в точке М^ (к = 1, ... , т), то

реализуется В* (5) -состояние для любого

{ е К(5*) \ и {к2к)} . к=1

Справедливость теорем 1, 2 следует из лемм 2, 3 и результатов [5].

Следствием замечания 4 является

Теорема 3. Если п > 2 и п(2) = п(3) =0, то реализуется В* (2п) -состояние для любого I е N(5 ).

Отметим [6], что в омбилической точке М]

г % % .

= —, Лг = —, а каждое направление любого из 6 3

классов К(Мг), ^М;) - особенное.

Литература

1. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции. М.: Физматлит, 1959. 512 с.

2. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Физматлит, 1982. 288 с.

3. Гольденвейзер А.Л. О применении решений задачи Римана - Гильберта к расчёту безмоментных оболочек // Прикладная математика и механика. 1951. Т. XV, № 2. С. 149-160.

4. Тюриков Е.В. Краевые задачи теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны с кусочно-гладким краем // Мат. сб. 1977. Т. 103 (145), № 3 (7). С. 445-462.

5. Тюриков Е.В. Геометрический аналог задачи Векуа - Гольденвейзера // Докл. РАН. 2009. Т. 424, № 4. С. 445-458.

6. Тюриков Е.В. Обобщённая граничная задача Гольденвейзера для безмоментных сферических куполов // Современные проблемы механики сплошной среды: тр. XIV Междунар. конф. Ростов н/Д.: Изд-во ЮФУ, 2010. Т. II. С. 290-293.

7. Тюриков Е.В. Об одной специальной задаче Ри-мана - Гильберта и её приложении // Изв. вузов. Сев. -Кавк. регион. Естеств. науки. 2016. № 4. С. 31-35.

8. Тюриков Е.В. Об одной граничной задаче теории бесконечно малых изгибаний поверхностей // Владикавк. мат. журн. 2007. Т. 9, № 1. С. 62-68.

9. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Физматлит, 1968. 511 с.

10. Тюриков Е.В. Общий случай смешанной граничной задачи мембранной теории выпуклых оболочек // Исследования по современному анализу и математическому моделированию. Владикавказ, 2011. Т. 5. С. 225-229.

References

1. Vekua I.N. Obobshchennye analiticheskie funktsii [Generalized analytic functions]. Moscow: Fizmatlit, 1959, 512 p.

2. Vekua I.N. Nekotorye obshchie metody postroeniya razlichnykh variantov teorii obolochek [Some general methods for constructing various variants of shell theory]. Moscow: Fizmatlit, 1982, 288 p.

3. Gol'denveizer A.L. O primenenii reshenii zadachi Rimana - Gil'berta k raschetu bezmomentnykh obolochek [On the application of solutions of the Riemann-Hilbert problem to the calculation of moment-free shells]. Prikladnaya matematika i mekhanika. 1951, vol. XV, No. 2, pp. 149-160.

4. Tyurikov E.V. Kraevye zadachi teorii beskonechno malykh izgibanii poverkhnostei polozhitel'noi krivizny s kusochno-gladkim kraem [Boundary value problems in the theory of infinitesimal bendings of surfaces of positive curvature with piecewise smooth boundary]. Mat. sb. 1977, vol. 103 (145), No. 3 (7), pp. 445-462.

5. Tyurikov E.V. Geometricheskii analog zadachi Vekua - Gol'denveizera [A geometric analogue of the Vekua - Goldenweiser problem]. Dokl. RAN. 2009, vol. 424, No. 4, pp. 445-458.

6. Tyurikov E.V. [Generalized boundary value problem of the Goldenweiser for membraneless spherical domes]. Sovremennye problemy mekhaniki sploshnoi sredy [Contemporary problems in continuum mechanics]. Proceedings of the XIV International Conference. Rostov-on-Don: Izd-vo YuFU, 2010, vol. II, pp. 290-293.

7. Tyurikov E.V. Ob odnoi spetsial'noi zadache Rimana - Gil'berta i ee prilozhenii [On a special RiemannHilbert problem and its application]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2016, No. 4, pp. 31-35.

8. Tyurikov E.V. Ob odnoi granichnoi zadache teorii beskonechno malykh izgibanii poverkhnostei [On a boundary problem of the theory of infinitesimal bending of surfaces]. Vladikavk. mat. zhurn. 2007, vol. 9, No. 1, pp. 62-68.

9. Muskhelishvili N.I. Singulyarnye integral'nye uravneniya [Singular integral equations]. Moscow: Fizmatlit, 1968, 511 p.

10. Tyurikov E.V. [General case of a mixed boundary value problem of the membrane theory of convex hulls]. Issledovaniya po sovremennomu analizu i matematicheskomu modelirovaniyu [Studies in modern analysis and mathematical modeling]. Vladikavkaz, 2011, vol. 5, pp. 225-229.

Поступила в редакцию /Received

1 декабря 2017 г. /December 1, 2017