Об одной специальной задаче Римана·- Гильберта и её приложении Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2016. № 4

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2016. No. 4

УДК 517.956.223+ 539.3 DOI 10.18522/0321-3005-2016-4-31-35

ОБ ОДНОЙ СПЕЦИАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ РИМАНА- ГИЛЬБЕРТА И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИИ

© 2016 г. Е.В. Тюриков

ABOUT ONE SPECIAL RIEMANN-HILBERT PROBLEM AND ITS APPLICATION

E.V. Tyurikov

Тюриков Евгений Владимирович - доктор физико-матема- Evgeniy V. Tyurikov - Doctor of Physics and Mathematics, тических наук, доцент, кафедра геометрии, Институт Associate Professor, Geometry Department, Vorovich Institute of математики, механики и компьютерных наук им. Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Fed-И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. eral University, Milchakov St., 8а, Rostov-on-Don, 344090, Rus-Мильчакова, 8а, Ростов н/Д, 344090, e-mail: sia, e-mail: [email protected] etyurikov@hotmail. com

Получен ряд результатов, относящихся к мембранной теории выпуклых оболочек с кусочно-гладкой границей её серединной поверхности. Развитие этой теории с помощью аппарата обобщенных аналитических функций требует расширенной постановки основной граничной задачи. Такая постановка даётся для оболочки с односвязной серединной поверхностью с использованием специального граничного условия Римана - Гильберта, которое позволяет дать прозрачную геометрическую интерпретацию состояний напряжённого равновесия при условии концентрации напряжений в угловых точках, а также «сравнивать» различные состояния равновесия. Такой подход позволяет сформулировать критерий квазикорректности поставленной задачи, а также выделить класс оболочек, для которых задача квазикорректна.

Ключевые слова: выпуклая оболочка, задача Римана - Гильберта, индекс граничного условия.

A series of results related to the membrane theory of convex shells with piecewise smooth boundary of its middle surface are obtained. Its further development leads to the necessity of such formulation of a boundary problem, which would take into account the specificity of the stress equilibrium provided the concentration of stresses at corner points. Such a formulation is given for the shell with middle surface connected with the use of special boundary conditions of the Riemann-Hilbert problem, which allows to give a transparent geometric interpretation of the stress state of equilibrium provided the concentration of stresses at corner points, and also "to compare" the different states of equilibrium. This approach allows to formulate a criterion for the quasicorrectness of the task. The class of shells for which the task is quasicorrect has been allocated.

Keywords: convex shell, Riemann-Hilbert boundary value problem, index of the boundary value condition.

Один из возможных путей развития мембран- точки края; а(е) и r(c) - заданные на L кусочно-

ной теюрт выпуклых оболочек разработанной непрерывные скалярная функция точки с контура

И.Н. Векуа [1, 2], впервые был обозначен l и поле принадлежащего поверхности S вектора,

А.Л. Гольденвейзером в [3]. Им же в м°н°графии допускающие разрывы первого рода в угловых

[4] поставлена задача построения мембранной точках. Рассматривается задача T о реализации

теории выпуклых оболочек с кусочно-гладким состояния безмоментного напряжённого равнове-

краем (т.е. с кусочно-гладкой границей её сере- сия (состояние ST) оболочки V при условии, что в

динной поверхности). Как это следует из [2], пе- каждой точке гладкости границы проекция

реход к оболочкам указаншго вида требует уточ- nrU(c) вектора усилий U(c) на направление век-нённой постановки основной граничной задачи

тора r задана равенством [1], которая приводится ниже. ^^ тт, V Гч

Пусть V — тонкая упругая оболочка, серединная

П.и(с) = CT(c) , (1)

поверхность которой есть односвязная поверх- а в каждой угловой точке М из числа М,

n

ность S с кусочно-гладким краем L = У Lj, со-

j=i

стоящим из конечного числа дуг L j заданного

j , со- c^M±0

lim n.U(c) = dk, (k = 1,2), (2)

где гк, ак - односторонние пределы функций г(с), ст(с) в точке М при обходе контура Ь в за-класса регулярности; М, (I = 1, ..., п) - угловые данном направлении. При этом предполагается, что

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2016. No. 4

в точке M выполнено одно из следующих условий:

| U(c)|<K<да (3)

в достаточно малых левой и правой полуокрестностях точки M на кривой L ;

lim | U(c) = да. (4)

с^ M

Ниже даётся необходимая для дальнейшего изложения геометрическая интерпретация условий (2) с использованием следующих обозначений: п - касательная плоскость к поверхности S в точке M ; тк - числовые оси в плоскости п с началом в точке M и направлениями rk (к = 1, 2); n(ak) - плоскость с нормальным вектором rk, проходящая через точку ик оси тк (k = 1, 2); pro - прямая пересечения плоскостей п(ак), где через r, о обозначены пары (r1;r2), (а1,а2) соответственно; Pr <5 - точка пересечения прямой pra

плоскостью п.

Будем говорить, что условия (2), (3) задают в угловой точке M конечный символический vro -вектор, а условия (2), (4) - бесконечный символический Vr o -вектор или условие концентрации напряжений в точке М. Задание vro -вектора (Vr о -

вектора) означает, что для сколь угодно малой окрестности точки M на L векторы семейства v(c) = r(c) - dro с началом в этой точке принадлежат конечной (бесконечной) трубчатой окрестности прямой pr о с поперечным сечением сколь угодно малой площади; dr,0 - вектор, направленный от точки М к точке Pr о .

Если угловая точка M - одна из точек Mi (1 < i < n ), будем использовать введённые обозначения с добавлением верхнего индекса (i), напри-

мер, п

(i) -(О

k

r(i), V.

(i) V(i)

5 вместе с касательной и нормальной составляющими а(5'), /(5') (а2 +Р1 = 1). Не нарушая общности, положим /(') > 0 на Ь, а соответствующее векторное поле назовём допустимым. Введём обозначения: J - отображение поверхности 5"0 на комплексную поверхность г = х + 'у , заданное выбором сопряжённого изометрической параметризации (х, у) на ; Б = 3(5) - ограниченная в комплекс-

п

ной плоскости £ область с границей Г = и 3(Г;-) и

1=1

угловыми точками £ 1 = 3(М ^). Следуя [5], эллиптическую систему уравнений безмоментного напряжённого равновесия оболочки V запишем в виде

дм( г)

dz

-- B(z)w(z) = F(z), z e D,

(5)

d z =1 z 2

dd — +1 —

dx dy

Л

оператор комплексного диффе-

Математическая постановка задачи Т

Предполагается, что односвязная поверхность 5 есть внутренняя часть поверхности 50 строго положительной гауссовой кривизны класса регулярности Ж3р, р >2 ; каждая из дуг Ьграницы

Ь принадлежит классу регулярности С1е, 0 < е < 1; проекция а = а' вектора усилий на направление вектора г = {а('), /(')} - гёльдерова на каждой из дуг Ь^ функция натурального параметра

ренцирования, где г = -1; w(z) - комплексная функция напряжений, выраженная через компоненты контрвариантного тензора усилий и коэффициенты метрической формы поверхности; В(г) - заданная поверхностью функция класса Ьр (Б), р >2 ; Е(г) - комплексная функция внешней нагрузки оболочки; ^ е Ьр (Б), р >2, а условия (1),

(2) - в виде граничного условия

Яе{Ц£М£)} = у(а, К, к', к}, X), £еГ, (6)

в котором

ЛЮ = Щр £-а £ (7)

С5 ^ сС1 С5 ) С£/сС' = 5 + ¡52; 51 (' = 1, 2) - координаты касательного к Г орта в точке £, сС£/сС1 = Iх + '12, I' (' = 1, 2) - координаты орта направления на плоскости, являющегося J-образом тангенциального направления на поверхности в точке 3 1 (£); значения а(£), /(£) совпадают со значениями функций а , / в соответствующей точке с = 3 1 (£); K - гауссова кривизна поверхности; к5 и -

нормальная кривизна и геодезическое кручение поверхности в направлении края в точке с = 3 1 (£); X - нормальная компонента вектора поверхностных и объёмных сил на единицу площади; суперпозиция у как функция аргумента £ гёльдерова на каждой из дуг Г/ и терпит разрывы первого рода в точках £^ (1 < 1 < п).

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

Следуя [5], обозначим через h\:q класс ре-

J1'"'Jm

шений задачи (5)-(7); W1 q — регулярных в D, 2< q < q0(p), ограниченных в окрестности точек Qf (1 < k < m), а в остальных точках Q допус-

Jk j

кающих оценку | w(z) |< K | z -Qj | a , 0 < at <1.

Через hln q (hl0,s) обозначим класс решений, ограниченных (неограниченных) в окрестности всех точек Qj (j = 1, ..., n). Тогда условия конечного

vYl -вектора в точках M j (j = i1, ..., im ; 1 < ik < n) и условия V ( j) -вектора (концентрации напряжений) в остальных точках Mj (j ф ik ; 1 < k < m) переходят в условия | w(z) |< K, K = const, и условия

-a ■

|w(z)|< K | z -Qj | J, 0 < aj <1 (8)

в окрестности соответствующих точек Qj , где aj вполне определены функцией 1(Q) в (6).

Таким образом, состоянию ST оболочки V при условиях (1)-(4) соответствует решение задачи Римана - Гильберта (5)-(7) одного из классов h1,q . .

\'"' m

Будем говорить, что состояние ST реализуется решением задачи (5)-(7).

Задачу (5)-(7), решение которой реализует состояние ST , назовём задачей R(T).

Замечание 1. Условие (8) имеет адекватный физический смысл: интеграл энергии растяжения оболочки [6] в окрестности точки J 1(Qj ) конечен.

Исследование задачи R(T)

Для удобства формулировок введём дополнительные обозначения и понятия. Обозначим через

T1!'---'1т (т*) задачу T при условии концентрации напряжений в точках Мг , ..., Мг (во всех угло-

1 m

вых точках), а через T0 — при условии ограниченного v■ -вектора в точках Mj (j = 1, ..., n).

Определение 1. Задачу T'1'""'m (T*, T0) назовём безусловно разрешимой для данного допустимого

векторного поля r(c) на L или вГ1" m -разрешимой,

если соответствующая ей задача R(T'v"''m) (R(T0),

R(T*)) безусловно разрешима в классе h1s ,

■ '"•'n-m

Js ф ik , 1 < s < n-m , 1 < k < m (в классах h^, hl's,

NATURAL SCIENCE. 2016. No. 4

s >2 ) как задача Римана - Гильберта с неоднородным граничным условием. Будем также говорить,

что решение задачи R(T'V"'m) реализует Д1'"' m -состояние равновесия.

Очевидно, в случае реализации Д1'" m -состояния обозначения -вектор, Vr(( -вектор следует заменить обозначениями v^ -вектор, Vr(i) -вектор.

Для удобства изложения введём следующие понятия. Узлом Ui задачи T назовём угловую точку

Mj вместе с упорядоченной парой (r/^ r^-1) , где r(i) ( k = 1 , 2) — левый и правый пределы допустимого поля r(c) в точке Mi , или левый и правый допустимые векторы. Узел Ui назовём особенным, если угловая точка Qi контура Г — особенная точка граничного условия задачи R(T) в смысле Н.И. Мусхелишвили [7]. Справедлива

Лемма 1. Для любого допустимого вектора

(i)

r существует единственный допустимый вектор r(i) такой, что узел Ui задачи T — особенный.

Для доказательства леммы используется геометрический подход: на кривой Г вводятся в рассмотрение кусочно-непрерывные векторные поля, вполне определённые комплекснозначными функциями dQ/ds и dQ Idl, а затем соотношения между односторонними пределами функции из (7) в особенной точке формулируются в терминах геометрических свойств этих полей, из которых и следует утверждение леммы.

Индексом задачи T1'"''m (T*, T0) назовём индекс граничного условия задачи R(T1'"'m) (R(T *), R(T0)) в классе hjq , q >2, j ф ik ;

■Л'*"' Jn-m

1 < s <n-m , 1 < k < m (в классе h^q , h1 q соответственно) в смысле Мусхелишвили [4]. Имеет место

Лемма 2. Для каждой из точек Mi множество всех допустимых пар r(i) можно разбить на три

непересекающихся класса K(■ (j = 1, 2 , 3 ;

1 < i < n) таким образом, что индекс к задачи T0 выражается по формуле

n

к = -4 + (r(i)). (9)

i=1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. ,(')л -

NATURAL SCIENCE.

2016. No. 4

Здесь К' (г1 )) - кусочно-постоянная целочисленная функция допустимых пар г(г) в точке Mi (1 <' < п), принимающая значение

-(j)

, а для величины

К (г(г)) = 4 - (] + к), если г(г) е К г вя внутреннего угла в точке Mi выполнено одно

„ k -1 из условии -< t

2

< к (1 < к < 4). Если при этом

U

Ut — неособенные узлы, то для вычисле-

= (r(i)) > 3, 1 , m ,=1 ДО

(10)

где к, (r{'у) определены леммоИ 2. Если же

| N г <3, то задача Я(Т'1'

1'"'' т

) имеет единст-

ния индекса к задачи Тт в формуле (9) следует положить к =5-(1 + к) , 5 = 1, ..., т .

5

Для доказательства леммы достаточно использовать схему работы [8].

Дальнейшее исследование задачи Я(Т) проводится по следующей схеме. Решение уравнения (5) представляется в виде w = w0 + V , где w0 -некоторое частное решение уравнения (5); V -общее решение задачи Римана - Гильберта Яе{Ц£Ж£)} = у(£)-Ъе{Л(£^0(£)} для однородного уравнения vz - В(г)у (г) = 0, где у(£) задана правой частью равенства (6). Далее с помощью конформного отображения области Б на единичный круг приходим к задаче Римана - Гильберта с разрывным граничным условием, изученной автором [9].

Пусть г - какое-либо допустимое кусочно-непрерывное векторное поле на Ь , задающее набор N (г) = (г(1),..., г(п)) пар (г/'0, г(')) в точках М , (г = 1, ..., п), и { , ..., и { - неособенные узлы со-

1 т

ответствующей задачи Т т . Имеет место

Теорема 1 (критерий безусловной разрешимости задачи Т'т ). Для оболочки V и любого допустимого поля г(с) с заданным набором N (г)

реализуется -состояние, если выполнено

условие

венное решение лишь при выполнении 3- \ N \г г условий разрешимости интегрально-

1'"*' т

го типа. Это решение реализует состояние ST при условии бесконечного У^1 -вектора (концентрация напряжений) в точках М^ (ц < ] < гт), и условиях

конечного -вектора в остальных точках (5 Ф гк, к = 1, ..., т).

Замечание 2. Если иг - особенный узел задачи Т , то при условии концентрации напряжений в точке Мг состояние БТ не реализуется. Это следует из необходимой ограниченности решения задачи Я(Т) в особенной точке £ г = 3-1 (М г).

Замечание 3. Так как при выполнении условия (10) решение задачи Я(Т'1''"''т) зависит от 5 = к + 1 вещественных параметров, соответствующее В1"'т -состояние будем называть 5 -параметрическим.

Из теоремы 1 и леммы 2 следуют

Утверждение 1. Если для оболочки V реализуется 5 -параметрическое В°-состояние, а и г , ..., и - неособенные узлы задачи Т , то реализуется

т

также (5 + т) -параметрическое В-состояние.

Утверждение 2. Если все угловые точки М1, ..., Мп (п > 3 ) границы - выходящие с острыми углами, а и , ..., и ' (т > 3 ) - все неособенные узлы

1 т

задачи Т' 1 "^' т для допустимого поля г, то для оболочки V реализуется В'}'"'т -состояние.

Напомним, что выходящей (входящей) угловой точкой границы поверхности называют точку, для которой величина внутреннего угла вя удовлетворяет условию 0 < в <1 (1< в <2).

Общее представление о «геометрии» границы оболочки V, для которой реализуются В* -состояния при любом допустимом поле г (т. е. ST-состояние при условии концентрации напряжений в угловых точках), даётся теоремой

Теорема 2. Если п^ (пп) - число выходящих с острыми углами (входящих) угловых точек, причём п^Х - 2пегЛ > 3, то В* -состояние реализуется при любом допустимом поле г, задающем неособенные узлы и , = 1 , ... , п .

Доказательство следует из соотношений (9), (10) и результатов автора [9].

Литература

1. Векуа И.Н. Системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и граничные задачи с применением к теории оболочек // Мат. сб. 1952. Т. 31, № 2. С. 217-314.

m

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2016. No. 4

2. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции. М., 1959. 512 с.

3. Гольденвейзер А.Л. О применении решений задачи Римана — Гильберта к расчету безмоментных оболочек // ПММ. 1951. Т. 15, вып. 2. С. 149-166.

4. Гольденвейзер А.Л.Теория тонких упругих оболочек. М., 1976. 512 с.

5. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М., 1982. 288 с.

6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М., 1965. 204 с.

7. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1968. 512 с.

8. Тюриков Е.В. Об одном классе граничных задач мембранной теории выпуклых оболочек // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2012. № 6. С. 38-41.

9. Тюриков Е.В. Краевые задачи теории бесконечно малых изгибаний поверхностей // Мат. сб. 1977. № 3(7). С. 445-462.

References

1. Vekua I.N. Sistemy differentsial'nykh uravnenii pervogo poryadka ellipticheskogo tipa i granichnye zadachi s primeneniem k teorii obolochek [Systems of first order differential equations of elliptic type and boundary value problems with application to the theory of shells]. Mat. sb. 1952, vol. 31, no. 2, pp. 217-314.

Поступила в редакцию /Received

2. Vekua I.N. Obobshchennye analiticheskie funktsii [Generalized analytic functions]. Moscow, 1959, 512 p.

3. Gol'denveizer A.L. O primenenii reshenii zadachi Rimana - Gil'berta k raschetu bezmomentnykh obolochek [On the application of the Riemann - Hilbert problem solutions to the calculation of membrane shells]. PMM. 1951, vol. 15, no. 2, pp. 149-166.

4. Gol'denveizer A.L. Teoriya tonkikh uprugikh obolochek [The theory of thin elastic shells]. Moscow, 1976, 512 p.

5. Vekua I.N. Nekotorye obshchie metody postroeniya razlichnykh variantov teorii obolochek [Some common methods of constructing the various options of the shell theory]. Moscow, 1982, 288 p.

6. Landau L.D., Lifshits E.M. Teoriya uprugosti [The theory of elasticity]. Moscow, 1965, 204 p.

7. Muskhelishvili N.I. Singulyarnye integral'nye uravneniya [Singular integral equations]. Moscow, 1968, 512 p.

8. Tyurikov E.V. Ob odnom klasse granichnykh zadach membrannoi teorii vypuklykh obolochek [On a class of boundary value problems of the membrane theory of convex hulls]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2012, no. 6, pp. 38-41.

9. Tyurikov E.V. Kraevye zadachi teorii beskonechno malykh izgibanii poverkhnostei [Boundary value problems in the theory of infinitesimal bendings of surfaces]. Mat. sb. 1977, no. 3(7), pp. 445-462.

1 сентября 2016 г. /September 1, 2016