CC BY
10
ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2019. № 3
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2019. No. 3
УДК 517.956.223 DOI 10.23683/0321-3005-2019-3-34-38
КРИТЕРИЙ БЕЗУСЛОВНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ИЗГИБАНИЙ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
© 2019 г. Е.В. Тюриков1
1 Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону, Россия
THE CRITERION OF SOLVABILITY UNCONDITIONAL FOR A CLASS OF BOUNDARY VALUE PROBLEMS THE THEORY OF INFINITESIMAL
BENDING OF SURFACES
E.V. Tyurikov
1Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia
Тюриков Евгений Владимирович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математики, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов-на-Дону, 344000, Россия, e-mail: etyurikov@hotmail. com
Evgenii V. Tyurikov - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Department of Mathematics, Don State Technical University, Gagarina Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia, e-mail: etyurikov@hotmail.com
Получен ряд результатов, относящихся к теории бесконечно малых изгибаний регулярных выпуклых поверхностей, а также к мембранной теории выпуклых оболочек с кусочно-гладкой границей. Рассмотрены основная граничная задача И.Н. Векуа теории бесконечно малых изгибаний и её статический аналог - задача о реализации безмоментного напряжённого состояния равновесия тонкой упругой оболочки, серединная поверхность которой есть внутренняя часть овалоида строго положительной гауссовой кривизны.
Развитие этой теории с помощью аппарата обобщённых аналитических функций требует расширенной постановки основной граничной задачи. Такая постановка даётся для оболочки с односвязной серединной поверхностью с применением специального граничного условия Римана - Гильберта. С использованием результатов автора о разрешимости задачи Римана - Гильберта для обобщенных аналитических функций с разрывным коэффициентом граничного условия найдены классы поверхностей, для которых индекс граничного условия вычисляется эффективно. Для таких поверхностей получены критерий безусловной разрешимости, а также достаточные условия квазикорректности основной граничной задачи в геометрической форме.
Ключевые слова: выпуклая оболочка, задача Римана - Гильберта, индекс граничного условия.
In this paper we obtain results related to the membrane theory of convex shells with piecewise smooth boundary of its median surface. Within this theory we study the problem of realisation of the momentless tense state of euilibrium of the thin elastic shell, the median surface of which is a part of an ovaloid of the strictly positive Gaussian curvature.
Development of this theory based on the usage of generalized analytic functions needs for extended statement of the basic boundary problem.
We provide such a further development for a shell with a simply connected median surface using the Riemann-Gilbert special boundary condition. In the paper we identify surface classes for which the index of the corresponding discontinuous boundary condition is efficiently calculated and find sufficent boundary conditions for quasi-correctness of the basic boundary problem in the geometric form.
Keywords: convex shell, Riman-Gilbert boundary problem, index of the boundary value condition.
Постановка задачи Я (¿ = 1,..., п), Б - внутренняя часть поверхности
строго положительной гауссовой кривизны класса Пусть Б - односвязная поверхность с кусочно- регулярности , г > 2, а каждая из гладких дуг гладким краем Ь = и"=1 ¿у и угловыми точками р; ¿у принадлежит классу С1,Е, 0 < е < 1. Зададим на 5
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2019. No. 3
вдоль Ь кусочно-непрерывное векторное поле г = (а(5),^(5)}, допускающее разрывы первого рода в точках ру, с касательной и нормальной составляющими а(я), ^(я) (а2 + = 1, ^ > 0), где 5 - натуральный параметр, функции а (5), ^(я) гёльдеровы на каждой из дуг ¿у.
Введём обозначения: / - отображение поверхности 50 на комплексную плоскость г = х + +!у, заданное выбором сопряжённо изометрической параметризации (х,у) на 50; О = / (5) -ограниченная в комплексной плоскости г односвязная область с границей Г = и"=1 /(I)) и угловыми точками ^ = /(р;). Рассмотрим следующую задачу (задача Р): найти в области Б комплекснозначное решение w(z) уравнения (функцию изгибаний [1] поверхности 5)
ш.;(г)-В(г)ш(г) = 0, г 6 Я, по заданному граничному условию Римана -Гильберта
Re{l(0w(0} = НО, (1)
где
¿(0 = <0[ЖЖ0 - а(0*(0], (2) <0 = 51 (С) + «2(0, КО = ^(0 + ад);
1; = 1, 2) - координаты касательного к
/2 —
Г орта в точке tk (fc = 1, 2) - координаты орта направления на плоскости, являющегося /-образом тангенциального направления на поверхности в точке /-1(0; значения функций а(0, ^(С) совпадают со значением функций а, Р в соответствующей точке с = /-1(0; функция у(0 гёльдерова на каждой из дуг Г^; = 1 (wx + iwy);
B(z) - заданная в области D функция класса Lr(0), г > 2. При этом отыскиваются -регулярные в области D решения w(z), непрерывно продолжимые на L, за исключением точек разрыва ^, в окрестности которых имеет место оценка |w(z)| < < const • |z
некоторых дополнительных условиях на геометрию границы и поле направлений в окрестностях угловых точек эффективные формулы для индекса найдены в [5]. В настоящей работе такая формула получена для достаточно широкого класса границ и произвольного непрерывного поля направлений.
Задача Я для симметрических куполов
Пусть р - какая-либо из угловых точек р; границы ¿; к1, к2 - главные направления на поверхности 5 в этой точке; -
соответствующие им главные кривизны > ^2);
= 1, 2) - предельные значения в точке с касательного к Ь вектора ст; V - величина внутреннего угла в точке р, заданного векторами
= (-1)ст(1), г2 = ст(2). Точку р назовём 5-симметрической (или 5-точкой), если направление биссектрисы внутреннего угла поверхности 5 в тоске с совпадает с направлением кх (5 = 1, 2). Всюду ниже будем полагать, что поверхность 5 -симметрический купол (5-купол), т. е. каждая угловая точка р есть 5-симметрическая (5 = 1 или 5 = 2), причём 0 < V < п в этой точке.
Рассмотрим множество £ всех непрерывных вдоль Ь направлений ^(М) на ¿, каждое из которых задано каким-либо кусочно-непрерывным векторным полем г(М). Очевидно, в этом случае односторонние пределы гк(р) (^ = 1, 2) вектор-функции г в точке р коллинеарны. В соответствии с [4] направление поля £ 6 £ назовём выходящим в
точке р (^ 6 £р6х)), если г^ = г2, и входящим
£ £ £(ent)), если 1\ = —г2. Ниже используются
,(2v)
, 0 < О, < 1.
Задача Я при условиях гладкости границы Ь и непрерывности векторного поля г(М) точки М 6 Ь поставлена и исследована И.Н. Векуа в [2]. Случай кусочно-гладкой границы Ь и кусочно-непрерывных векторных полей г специального вида изучен автором в [3]. Для произвольных кусочно-непрерывных векторных полей и сферической поверхности 50 задача Я рассмотрена в [4]. Наибольший интерес с точки зрения приложений к мембранной теории оболочек представляет случай кусочно-непрерывных векторных полей, задающих непрерывное поле направлений вдоль ¿. Для таких полей построен [4] алгоритм нахождения индекса задачи К, реализация которого в случае произвольно заданной границы не позволяет получить эффективную формулу для его вычисления. При
(
следующие обозначения: Р^' - 5-симметрическая угловая точка р с внутренним углом 2у (5 = 1,2; 0 <
< V < у(а, Ь) - угол между векторами а и Ь.
Замечание 1. Главное направление в точке р -выходящее (входящее) в точке Р^2^, если I = 5 (1 ^ 5); направление поля £ 6 £^ех) (^ 6 £р6п1)) в
точке Р
(2v)
тогда и только тогда, когда 0 <
<у(*,к5)<у (|-у<у(^,к5)<|), где под
углом кх) между направлениями £ и кх в точке
р понимается тот из двух смежных углов, величина
п
которого не превосходит —.
Задачу Я для симметрических куполов и поля направлений £ 6 £ назовём задачей Р*. Для описания свойств граничного условия задачи Р* введём обозначения: т(к) = 1, 2) - односторонние пределы единичного вектора тангенциальной
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2019. No. 3
нормали т(М), направленного вне 5; в(1), в(2) (1(1), 1(2)) - левые и правые пределы векторного поля У(ст(М)) (поля У(т(М))) в точке q = /(р); а =
Ь = 8112; с = 8111; 5 = ^ (^ <
Свойство 1. Для точки ц = У (Р5(2г)) равенство а = 0 выполняется только в одном из следующих случаев: 5 = 1, V = агй^5-1 или 5 = 2, V = аг^5.
Свойство 2. Если 5 = 1, то Ь > 0, с > 0, причём а < 0 для 0 < V < аг^5-1 и а > 0 для аг^5-1 < V < —; если 5 = 2, то с < 0, причём а < 0, Ь > 0 для 0 < V < аг^5, и а > 0, Ь < 0 для < V <
Свойства 1, 2 следуют из сопряжённости направлений векторов ст® (I = 1, 2) в точках Р^2^, Р2(2^) для V = аг^5-1 и V = соответственно и
свойств. [1, гл. 2] отображения/.
Вычисление индекса задачи Р*
Перейдём к описанию особенных (по Н.И. Мусхе-лишвили [6]) узлов Ч1=У(р;) (¿ = 1,..., п) граничного условия (2). Для этого рассмотрим вектор-функцию р = {Р1(0,Р2(0), где Р1(0 + +ф2(0 = ^(СЖО - а(05(0, обозначив через р(к) = 1, 2) её левый и правый пределы в точке
т в равенстве (4) - значения 1 и 2 в случае £ £ £р6х), значения 0 и 1 в случае £ £ £р6п1).
Лемма 1. Для любой угловой точки р и для каждого 5, т. (5 = 1, 2; т. = 1, 2) существуют точно
два значения ^^ £ (0,^) = 1, 2), таких, что
главное направление в точке р есть особенное
(2^ )
направление для 5-точки Рх = 1, 2). При этом
. Пусть и - величины углов между векторами пар (з)1^®) и (р(1),р(2))
соответственно (0 < ^ < я, < 2я), правило выбора которых подробно изложено в [4]. Там же рассмотрен вопрос о вычислении индекса граничного условия вида (1) и получена формула для индекса к в классе ограниченных решений
к = -4 + 2Г=1^, (3)
где К; = [1 (^ + ; [а] - целая часть числа а.
Для удобства изложения обозначим точку р; и соответствующие ей величины р(к) = 1, 2), ^, К; через р, р(к) = 1, 2); к(д), где
Ч=У(р). Согласно [6], [7], особенная точка ц граничного условия (1 ) определяется равенством Ф + ^ = ят, т £ Ж. (4)
В соответствии с этим направление поля £ £ в
точке р назовём особенным для р/^-точки, если соответствующая точка ^ есть особенный узел (терминология Н.И. Мусхелишвили) задачи Р*. Учитывая структуру векторного поля р(0, на основании очевидных геометрических соображений заключаем, что для 0 < V < п возможные значения
0 < ^ < arctg5(-1)S < ^ < f.
Доказательство. Для определённости рассмотрим 2-симметрическую точку (5 = 2). Пусть i, j - пара единичных ортогональных векторов плоскости z с началом в точке q, заданных направлениями / (kx), Дк2), vs = y(i, s(2)),
vt = t(1)). В точке p/2v) зададим направление £ е £^x вектором г (б) = г1(б) = г2(б), где г1 = cos(0 + v) ст(1) + sin(0 + v) т(1), r2 = - cos(v - б) ст(2) + sin(v - б) т(2), т(к) (fc = 1, 2) - односторонние пределы в точке р поля тангенциальной нормали т(М); б = y(ri, —'v < б < v. Тогда
p1(0,v) = sin(6 + v)t(1) - cos(6 + v) s(1), (5) p2(0,v) = sin(v - 0)t(2) + cos(v - 0) s(2). Предположим, что v е (0, arctgi). Если k2 -особенное направление, то в равенстве (4) следует положить т. = 2, откуда y(s1,p2) = y(s2,p1) или s(1) -p2(0,v) = s(2) •p1(0,v). В силу (5) sinv • sin(vs + vt) = cosv • cos2vs. На основании известных свойств [1]
отображения J это уравнение сводится к уравнению
i i
(5 + 5-1)(52t - 1)-1 = (1 + 5-2t)2(1 + 52t)-2, t = ctg2v. (6)
Пусть теперь v е (arctgi,^). Если k2 -особенное направление, то т = 1 в равенстве (4), т.е. p2(0,v) и s(1) коллинеарны, откуда с учётом свойств 1, 2 приходим к уравнению
sinv • cos(vs + vt) = -cosv • sin2vs, или
1 1
t - 1 = 252(52t + 1)2(t + 1)-2, t = tg2v. (7) Пусть теперь £ совпадает с направлением k1. Используя эту же схему, для нахождения значений (1) (2)
s21 , s21 получаем уравнения
cosv • cos(vs + vt) = sinv • sin2vs, cosv • sin(vs + vt) = -sinv • cos2vs
и, соответственно, уравнения
11
(25)-1(t - 1) = (1 + 5-2t)2(1 + 5t)-2, t = ctg2v,
(52 + 1)-1(t - 52) = (1 + 52t)-2(t + 52)2,
t = tg2v.
1 1
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2019. No. 3
Графический анализ каждого из уравнений (6)-(8) завершает доказательство для 5 = 2. Случай 5 = 1, т. е. нахождение значений (^ = 1, 2),
приводит к четырём уравнениям, полученным из уравнений (6)-(8) заменой 8 на 5-1.
Следствие 1. На поверхности 5 определены функции ^то(Р) (5 = 1, 2; т = 1, 2; к = 1, 2) точки Р 6 5, задающие значение величин внутренних углов в 5-точке, для которых главное направление - особенное.
Рассмотрим функцию /(б, V), вполне
- 23=1 ((3 - r)wr(ex) + (2- r)Wk(ent)) -
4.
Теорема 1 следует из формулы (3) и утверждений 1, 2. Следствием теоремы 1 и результатов [7] является Теорема 2. Задача Р* безусловно разрешима тогда и только тогда, когда
23=1 ((3
r)Wr(exp) + (2
r)W,
(ent) ^
> 3.
(2v)
(s = 1, 2) и
определённую точкой Р< направлением поля £ 6 £^ех): *(б,у) = ^(у) + ф(б,у), где ^ = ^С^), ^ = ^(0, V) совпадают с величинами ^, ^ соответственно, заданными в точке ^ = /(р)
равенством (3), причём |б| < V (|б| < если
^6£^ех) (^6£^еп1)). Обозначим .
Прямым следствием леммы 1 является
Утверждение 1. Пусть в точке Рх(2^) направление
£ совпадает с Для 5 = т имеем 2я < х < 3я,
(1) (1) если 0 < V < ^(р); я < ^ < 2я, если ^ < V <
< С®; 0 < ^ < я, если С® < V < Если же
5 * т, то каждое из неравенств для Ху следует заменить неравенством я < < 2я, 0 < < я,
Приложения к мембранной теории выпуклых оболочек
Рассмотрим задачу Т о реализации безмоментного напряжённого состояния тонкой упругой оболочки, серединная поверхность которой есть поверхность 5*. Предполагается границе Ь задана проекция вектора усилий на направление поля £ 6 £, а в каждой её угловой точке выполняется условие концентрации напряжений (терминология А.Л. Гольденвейзера [8]).
Согласно [1], задача Т сводится к отысканию решений задачи Римана - Гильберта (1), (2) для обобщённых аналитических функций, допускающих «интегрируемую бесконечность» в угловых точках. Так как в этом случае [6] «вклад» каждого неособенного узла в формулу для индекса следует увеличить на единицу, то
К = -4 + 23=1 ((4 - *(ехр) + (3 - гЖ(еп1)). (9)
Следствием формулы (9) является
Теорема 3. Если число п угловых точек р; границы с внутренними углами V; не меньше трёх,
V; * 24%0 (& = 1, 2; 5 = 1, 2) и * 6 ^ то
п < < 0 соответственно. Имеет место
Утверждение 2. Направление £ в точке р, отличное от главного направления кх (5 = 1, 2), для
любой из точек РтУ (т = 1,2; 0 < V < -) не задача Т безусловно разрешима. является особенным.
Справедливость этого утверждения в частном случае (5 = т = 2) установлена в [5]. Для рассмотрения любого из оставшихся случаев (5, т = 1, 2, 5 * т) достаточно использовать схему [5] и свойства 1, 2 граничного условия (1).
Введём классификацию узлов задачи Р*. Для этого 5-симметрическую точку Рх(^) (5 = 1, 2, 0 <
< V < я) назовём рхх-узлом, если £ 6 £^ех), и рхт-узлом (5 * т), если £ 6 £^еп1). Каждый из узлов задачи Р* отнесём к г-типу (г = 1, 2, 3) по правилу: г = 1, если 0 < V < 2С(1); г = 2, если 2С(1) < V <
< 2С(2); г = 3, если 2С(2) < V < я. Здесь С^т -
значения функций С^(Р) в точке р.
Теорема 1. Пусть Мг(ех) (мг(еп1)) - число рхх-
узлов (рхт-узлов, 5 * т) г-типа (г = 1, 2, 3) задачи Р*. Тогда индекс к задачи Р* в классе ограниченных решений вычисляется по формуле
Литература
1. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции. М.: Физматлит, 1959. 512 с.
2. Векуа И.Н. Системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и граничные задачи с применением к теории оболочек // Мат. сб. 1952. Т. 31, № 2. С. 217-314.
3. Тюриков Е.В. Геометрический аналог задачи Векуа - Гольденвейзера // Докл. РАН. 2009. Т. 424, № 4. С. 445-458.
4. Тюриков Е.В. Об одном классе граничных задач мембранной теории выпуклых оболочек // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2012. № 3. С. 18-24.
5. Тюриков Е.В. Граничная задача мембранной теории выпуклых оболочек для одного класса симметрических куполов // Изв. вузов. Сев. -Кавк. регион. Естеств. науки. 2018. № 1. С. 7-12.
6. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Физматлит, 1968. 511 с.
к
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2019. No. 3
7. Тюриков Е.В. Краевые задачи теории бесконечно малых изгибаний поверхностей // Мат. сб. 1977. Т. 7, № 3. С. 445-462.
8. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М., 1976. 512 с.
References
1. Vekua I.N. Obobshchennye analiticheskie funktsii [Generalized analytical functions]. Moscow: Fizmatlit, 1959, 512 p.
2. Vekua I.N. Sistemy differentsial'nykh uravnenii pervogo poryadka ellipticheskogo tipa i granichnye zadachi s primeneniem k teorii obolochek [Systems of first order differential equations of elliptic type and boundary value problems with application to shell theory]. Mat. sb. 1952, vol. 31, No. 2, pp. 217-314.
3. Tyurikov E.V. Geometricheskii analog zadachi Vekua - Gol'denveizera [Geometric analogue of the Vekua-Goldenweiser problem]. Dokl. RAN. 2009, vol. 424, No. 4, pp. 445-458.
Поступила в редакцию /Received
4. Tyurikov E.V. Ob odnom klasse granichnykh zadach membrannoi teorii vypuklykh obolochek [On a class of boundary value problems in the membrane theory of convex hulls]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2012, No. 3. pp. 18-24.
5. Tyurikov E.V. Granichnaya zadacha membrannoi teorii vypuklykh obolochek dlya odnogo klassa simmetricheskikh kupolov [Boundary value problem of the membrane theory of convex hulls for a class of symmetric domes]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2018, No. 1, pp. 7-12.
6. Muskhelishvili N.I. Singulyarnye integral'nye uravneniya [Singular integral equations]. Moscow: Fizmatlit, 1968, 511 p.
7. Tyurikov E.V. Kraevye zadachi teorii beskonechno malykh izgibanii poverkhnostei [Boundary value problems of the theory of infinitesimal bending of surfaces].Mat. sb. 1977, vol. 7, No. 3, pp. 445-462.
8. Gol'denveizer A.L. Teoriya uprugikh tonkikh obolochek [Theory of elastic thin shells]. Moscow, 1976, 512 p.
17 июня 2019 г. / June 17, 2019
