Одно обобщение задачи И. Н. Векуа - А. Л. Гольденвейзера - В. Т. Фоменко Текст научной статьи по специальности «Математика»

¡л = ±io42,

yl = cos<[2аи^у2 = sin (¡2ои^ yil=Cx cos и + С, sin ([2а и.

Уравнение имеет периодические решения с периодом 27Г, если 42ст — 2п, п = 1,2,....

2

Тогда существует точно счетное множество значений Лп — 2/7 — 1, п — 1,2,...; для которых круглый цилиндр допускает ограниченные нетривиальные ARG-деформации с полем z вида:

z = ~х'и и и rv + x и пз+с0П4 =

n n

= \ ~х'и и qj и - X U у/' и и у/' и + х и ф и ;а> и ;сЛ,

I И И и И I

гДе х u =Ccos -у/2 1 + Ди u + C2 sin .^2 1 + 4, u , <a u - проиагелмад функция,

n

С, C, C - произвольные постоянные.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК малые A

венные науки. 2007. № 1. С. 21-33.

1. Фоменко В.Т. Бесконечно малые ARG-деформации тора Клиффорда в E4 // Вестник ТТПИ. Естест-

Е. В. Тюриков

ОДНО ОБОБЩЕНИЕ ЗАДАЧИ И. Н. ВЕКУА - А. Л. ГОЛЬДЕНВЕЙЗЕРА - В. Т. ФОМЕНКО

1. Постановка задачи. Пусть $ - строго внутренняя часть замкнутой выпуклой поверхности Л',, класса регулярности Ж3'р , р > 2 , с кусочно гладким краем Ь , состоящим из конечного

числа дуг класса регулярности С1'6, 0<£"<1. Рассмотрим на Ь множество точек сг,...,с , содержащее все угловые точки, а также произвольно отмеченные точки гладкости, полагая при этом, что точки с ■ 4/ — /I следуют друг за другом при обходе границы Ь в заданном на-

cj

правлении. Тогда Ь = Ь., где началом и концом дуги Л , 4/ = 1,.. .,/2 — 1 являются точки

у=1

и с .+1, а началом и концом дуги Ьп являются точки сп и С] соответственно. Пару дуг Л , ,

и ,, сходящихся в точке С , 4] — 2,..., п , а также пару дуг Ьх, Ьп, сходящихся в точке С], назовем соответствующими дугами в данной точке. Рассматривается следующая задача А: существуют ли бесконечно малые (б. м.) изгибания поверхности $, для которых на каждой из дуг Ь. выполняется одно из следующих условий

¿¿„=<тЯО а!,., (1)

4 = (2)

где — 1,2 - наперед заданные гёльдеровы функции, £ - натуральный параметр, дкп

и дт - вариации нормальной кривизны и геодезического кручения поверхности Л' в направлении края.

Точку с ■ с заданными на соответствующих дугах граничными условиями обозначим через С , и назовем угловой точкой задачи А.

Если на соответствующих точке с ■ дугах заданы либо условия (1), либо условия (2), то точку с ■ 4$ ^ будем называть нормальной точкой задачи А (или п-точкой). Если же на одной из соответствующих дуг задано условие (1), а на другой - условие (2), то точку с . 4$ ^ будем называть смешанной точкой задачи А (или -точкой).

Граничное условие на Ь, заданное выбором на каждой из дуг Ь- ^ < / < /7 одного

из ус-

ловий (1), (2), обозначим через А С • Если <Т* '= О 4[ = 1,2; / = 1,../7 , то условие А 4,-есть однородное граничное условие.

Замечание. Если с ■ ^ </< /7 - точка гладкости границы Ь , то постановка задачи А будет содержательной лишь в том случае, если с ■ - смешанная точка задачи А. Очевидно также, что число всех смешанных точек задачи А - четное, т.е. /7 = 111 + 2.У. где т - число нормальных точек задачи А.

Отметим следующие частные случаи.

1°. Точки С , 4~ 2л' - точки гладкости границы Ь , причем С , 4^

ловые точки . Задача А есть геометрический аналог смешанной граничной задачи безмоментного напряженного состояния выпуклой упругой оболочки, поставленной И.Н. Векуа в 1952 году в работе [1].

2°. Точки ci 4~ 1,..., /7 - угловые точки границы Ь , причем С , нормальные угло-

вые точки. В этом случае задача А есть задача, поставленная В.Т. Фоменко в 1970 году и изученная автором в работах [2]-[4].

3°. Все точки Ci - угловые точки границы Ь , причем точки С , смешанные угловые

точки. В этом случае задача А есть обобщенный геометрический аналог смешанной граничной задачи о реализации напряженного состояния равновесия безмоментного сферического купола, поставленной А.Л. Гольденвейзером (см. 5, гл. 17).

2. Классификация угловых точек задачи А. Обозначим через V-ТС ^ < V . < 2; V. ^ 1 величину внутреннего угла в угловой точке С ■ границы Ь . Если с ■ - точка гладкости, то полагаем V = 1. В дальнейшем поверхность $ будем обозначать через V = ,..., Уп . В целях упрощения будем полагать, что все угловые точки границы Ь - омбилические точки поверхности Я0. Для формулировки результатов введем следующую классификацию точек с ■ С

1°. п -точку с 4^^ с внутренним углом V , Я назовем неособенной точкой к -го типа { < к < задачи А, если

к~ 1 к . Л Л л 2 3 2 ^ к -

Если V — — 4^ к <3 , то п-точку с 4$ назовем особенной «-точкой и будем относить

3 2 ""

к к-му типу. Очевидно, при к = 2 мы имеем точку гладкости, которую можно отнести формально ко 2-му типу.

2°. £ -точку С . ^ с внутренним углом назовем неособенной £ -точкой к-то типа

1 2к — 3 2^ —7

4<к< 5 , если О <у, < — при к = 1; -<у, <-^ при £ = 2,3,4; — <у,. <2

3 4 4^4 4^

2^-Г

при к = 5 . Если V =-^ 4<к<4 , то точку с ^ назовем особенной £ -точкой и бу-

■'4 " ; "

дем относить к &-му типу.

Замечание. Если с ■ -точка гладкости границы Ь , то точка Л" -точка С . ^ есть неособенная точка 3-го типа.

3. Формулировка результатов. Следуя [3], будем отыскивать б.м. изгибания в расширен-

ных классах „

Н ^. ..., Сг ^ < < и , где б'(( 4} - произвольно отмеченные неособенные

точки задачи А. Введем следующие обозначения: N * ' - число нормальных угловых точек к-то типа, Б*-' - число смешанных угловых точек V -го типа 4^ к < 4; 1 < г < 5 задачи А,

4 5

к=1 ¿=1

Имеет место

Теорема 1. Пусть 81, - заданная выше поверхность класса регулярности IV1'', р > 20{), <90 = шах I ,..., 1-'л , с кусочно гладким краем Ь , все угловые точки которого - омбилические точки поверхности . Если S + 2 Л'' > 6 — 2/77, то поверхность допускает

Г л \

- Б + Ы- 3 + т к2 ;

- параметрическое семейство нетривиальных б.м. изгибаний класса

, 2 Р

Н^, ...,Сг , 2 <д<-р-—. совместимых с неоднородным условием А 4,- ■

2 + р

1-

V

При Б + 2 Л'' < 4 — 2/77 задача А однозначно разрешима в указанном классе тогда и только тогда,

1

' < 2

когда для функций (7^ ' ^ < А; < 2; 1 < / < /7 выполнены /77 — 4 — Л'--Л' условий разреши-

мости.

В дальнейшем класс Н 4 .....с Прешений (б.м. изгибаний) задачи А будем обозна-чатьчерез Я1* I .....с,. , 1</т <п.

Ч 1т —

Справедлива также

Теорема 2. Если £ + 2Л' > 6 — 2/77, то поверхность допускает — Л' + /V — 3 + т линейно независимых б.м. изгибаний класса

, с , совместимых с однородным условием

С Если же £ + 27У < 6 — 2т, то поверхность ^ не допускает б.м. изгибаний указанного

класса, совместимых с однородным условием А ^ .

4. Сведение задачи А к задаче Римана-Гильберта. Для удобства изложения обозначим через 3 отображение на плоскость С = +ш2, заданное выбором сопряжено изометриче-

ской параметризации ^1, и2 иа поверхности Л',,. Система уравнений б.м. изгибаний поверхно-

сти Л'г в вариациях дЬ- коэффициентов второй основной формы b .dll (Ли1 имеет вид (см. [6])

э^О^ООО, С 6Д, С>и=зс„

(3)

С -и1 +ги2, /2 = -1, = ^

^ 2

5 . д + 1-

- оператор комплексного дифференциро-

. кди1 ди2 ,

вания, м = g 2 $Ь22 + /'5Ьп — комплексная функция изгибаний, g — §ц§22 ~ 8п> gj■ С./ = 1,2 _ - коэффициенты метрической формы поверхности Л'г. В С" - заданная поверхностью функция класса // , р > 2 . Внешняя связь /I ^ при б.м. изгибаниях поверхности порождает для комплексной функции изгибаний условие

(

У=1

4)

где х. С' 3= /¿2 С или С' 3= // С' X С' вдоль 3 -образов дуг Л(, несущих условие (1) или условие (2) соответственно. Здесь ¡и^ = ^^ , = Г, где

I = Д С".^ _ касательный к Г в точке С единичный вектор, / С' ^ СГ^ Г2 ^Г^

- единичный вектор, задающий в каждой точке кривой Г направление, являющееся образом ортогонального к Ь направлению на поверхности $ в соответствующей точке при отображении 3, <7 С - заданная на Г функция, допускающая разрьшы первого рода в точках ¿Г( = 3 С', _ и гёльдерова на каждой из замкнутых дуг Г ,. Не нарушая общности, будем полагать, что направление вектора I в каждой точке совпадает с положительным направлением обхода границы Г , а вектор ^ с началом в этой точке направлен вне области /),. Граничное условие (4), соответствующее граничному условию А ^ , обозначим через /I ^ . Согласно [3], б.м. изгибания класса Н^,...,ст где сг,...,ст - произвольно отмеченные точки из числа с1,...,сп, определяются решениями класса И т |,..., Сп _ задачи (3)-(4), б.м. изгибания класса н0 определяются ограниченными в решениями (т.е. решениями класса // СТ,,..., Сп (по терминологии Н.И. Мусхелишвили [7]). Имеет место

Лемма 1. Особенным (неособенным) угловым точкам с ■ ^ соответствуют особенные (неособенные) точки С . ^ </< /7 граничного условия А ^ .

Справедлива также

Лемма 2. Индекс ж граничного условия А ^ в классе /? С',,..., Сп находится по формуле

1 5 4

(

к=1

к=1

5)

Лемма 3. Если ^. ,..., ¿Г, - произвольно отмеченные неособенные точки граничного условия А ^ . то индекс ж в классе /7 ^,..., вычисляется по формуле

и

1 4

ж + (6)

2 к=1 к=1

Лемма 1 следует из свойств отображения 3 (см. [6]). Для доказательства лемм1, 2 достаточно применить стандартную процедуру нахождения индекса разрывного граничного условия и технику [2]-[4].

Следствием лемм 1-3 является

А о \

- параметриче-

т Б ^

Ы + — -3 2

Теорема 3. Если 2п + »V > 6. то поверхность допускает

V ^ У

ское семейство б.м. изгибаний класса Н° П Ж1'9, совместимых с неоднородным условием А . Если при этом функции удовлетворяют дополнительным условиям точечного типа (Т^ ' = О ^ = 1,2; 1 < / < п , то б.м. изгибания непрерывны в .

Справедлива также

Теорема 4. Если 2 А' + Л* > 6, то поверхность допускает N + — Б — 3 линейно независимых б.м. изгибаний класса Н° , совместимых с однородным условием А ^ .

5. Задача И. Н. Векуа. Пусть Б - заданная выше поверхность с гладким краем Ь, С- произвольно отмеченные на Ь точки, следующие друг за другом при обходе контура

в заданном направлении. Будем отыскивать б.м. изгибания поверхности Б , совместимые с граничным условием

т /,2( (7)

= сг*-на Ь2{ < = 1 (8)

Теорема 5. Если да — 5 > 3 , то задача А для поверхности Л' безусловно разрешима в любом из классов Н \ - ..... с , , где с, ..... с, - произвольно отмеченные точки из числа

1 1 гт ^ 1 1 1т

С],... с2б,. При этом поверхность Л' допускает 4/1 — Л — 3 - параметрическое семейство нетривиальных б.м. изгибаний указанного класса. Если же I < ¡11 < Л + 3 . то задача А не является безусловно разрешимой ни в одном из классов Н ^ ,..., б'( , а также в классе Н0.

В частности, если 2^ = 6, то задача А с неоднородным условием А ^ является безусловно разрешимой только в классе Н ^,..., с6

Теорема следует из леммы 3 и результатов работы [2].

6. Смешанная граничная задача для поверхности с кусочно гладким краем. Пусть

Бу, V = С,,...,У2п „_ заданная выше поверхность с кусочно гладким краем Л = Л . состоя-

у=1

щим из конечного числа дуг Л , класса регулярности С1е, 0 < £ < 1, и содержащим 2/7 угловых точек Су с внутренними углами V .п ^ < V - < 2; V , Ф 1 . Задача А для поверхности Би, в этом случае формулируется так: существуют ли б.м. изгибания поверхности Б , совместимые с гра-

ничным условием (7), (8). Будем также рассматривать смещенную задачу А', т.е задачу со смещенным граничным условием.

= р*- <1 на /.2/Ч .

7')

5кп= 2/ < =1,- - -,/7

8')

где р?^ С = 1,2 - наперед заданные гёльдеровы функции. Имеет место

Теорема 6. Пусть - заданная выше поверхность класса регулярности IV^'', р > 26 , где 0 = шах ,..., 1/2л , край которой содержит Л'* угловых точек А-го типа соответственно

1 < А" < 5; 1<к<2т~-

к=1

произвольно отмеченные точки из числа

угловых точек с1,...,с2п. Если С ■ - омбилические точки поверхности и

$ = к^^ ^>6 — 2т, то поверхность Л'г допускает

к-1

-$-3 + да ч2

параметрическое

семейство б.м. изгибаний класса Н ^,..., ст , совместимых со смешанным неоднородным условием (7), (8), а также со смещенным условием (7'). (8').

Следствием лемм 1, 2 и результатов работы [2] является

Теорема 7. Если угловые точки С ■ ^ = 1,.. .,2?/ - омбиличесике точки поверхности ,

2к-\

а величина внутреннего угла V 7Г в каждой из точек равна одному из чисел -л

1 - 4

^ < к < 4 , то поверхность »У,, не допускает б.м. изгибаний, совместимых с условием (7), (8), а также со смещенным условием (7'), (8') ни в одном из классов Н^. , ...,С; . Если при

этом

числа 5 ^" точек с внутренним углом -л к < 4 соответственно связаны соотношени-

______4 ___ ^

ем 6, то поверхность допускает

Ы1

Л

--3

V2 У

параметрическое семейст-

во нетривиальных б.м. изгибаний класса Н0 , совместимых с условием (7), (8), а также со смещенным условием (7'), (8').

Замечание. В случае невыполнения требования омбиличности точек С ■ картины разрешимости задач А и А' могут не совпадать.

Пример 1 (см. 5, гл. 17). Сферический купол К, граница которого состоит из двух плоских дуг (рис. 1)

Рис. 1

(

(

Здесь У1 — У2 — V . Возможны следующие случаи.

1°. Если 0 < V < —, то Л' = ЗЛ'* '= 6, откуда в силу теоремы следует, что поверхность К 4

при неоднородном условии (7), (8) (а также при условии (7'), (8')) допускает нетривиальное б.м. изгибание класса Н0.

2°. Если — < V < 1, то Л' = Л' ^ " = 2. откуда следует, что поверхность К жестка в классе

Н° при условии (7), (8), но допускает нетривиальное б.м. изгибание класса Н ^ ,б'2 при том же условии.

Пример 2 (см [5], гл. 17). Купол К с тремя вертикальными и одним горизонтальным краями. Здесь—< V, < 1 {=1,...,6 . 2

В этом случае Л' = '= 6, откуда в силу теоремы 6 следует, что поверхность К при неоднородном условии (7), (8), а также при смещенном условии (7'), (8'), допускает нетривиальное б.м.

изгибание класса Н0 .

Рис. 2

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Векуа И.Н. Системы дифференциальных уравнений 1-го порядка эллиптического типа и граничные задачи с применением теории оболочек // Математический сб. 1952. Т. 31. № 2. С. 217-314.

2. Тюриков Е.В. Краевые задачи теории б.м. изгибаний поверхностей // Математический сборник. 1977. № 3 (7). С. 445-462.

3. Тюриков Е.В. Об одном расширенном классе б.м. изгибаний регулярных выпуклых поверхностей // Владикавказский математический журнал. 2005. Т. 7. № 1. С. 61-66.

4. Тюриков Е.В. Об одной граничной задаче теории б.м. изгибаний поверхнос // Владикавказский математический журнал. 2007. Т. 9. № 1. С. 62-68.

5. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Физматгиз, 1976.

6. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции М.: Физматгиз, 1959.

7. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1968.

М. А. Фридман

ОБ ОПЕРАЦИЯХ НАД ГРУППАМИ И НАД ПОЛУГРУППАМИ

В теории групп хорошо известны операции прямого и свободного умножения групп, позволяющие во многих случаях существенно упростить исследование групп, сводя его к исследованию свойств групп сомножителей. Так, например, прямые умножения групп позволили полностью описать класс абелевых групп с конечным числом образующих. Известная теорема Бэра и Леви утверждает, что никакая группа не может быть одновременно разложимой в свободные и в прямое произведение подгрупп, отличных от единичных. С другой стороны, несмотря на это существенное различие, эти операции обладают некоторыми общими свойствами, важными для использования при исследовании свойств групп. Так, они коммутативны и ассоциативны, заданные групп