Слабая толерантность в пространстве толерантных путей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Библиографический список

1. Карацуба A.A. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1975.

2. Кривобок В. В. Об аналитических свойствах L-функций числовых полей: Дис.... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 2008.

3. Кузнецов В. В. Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле // Мат. заметки. 1984. Т. 36. Вып. 6.

4. Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М.: Наука, 1967.

УДК 513.6

М.Н. СУСИН

Слабая толерантность в пространстве толерантных путей

В предлагаемой статье приводятся конструкции статьи [1] в более простом виде, что должно значительно облегчить их применение.

Напомним (см. [2,3]), что толерантное пространство — это пара(Х, т), где X — множество, а т С X х X — рефлексивное и симметричное отношение, называемое отношением толерантности. Принято записывать Х\ТХ2) вместо (х^х2) £ т, и называть точки х\,х2 £ X толерантными. Отображение / : (X, т) ^ (У, 9) называется толерантным, если х^х2 влечет /(х1)9/(х2).

В гомотопической теории толерантных пространств роль единичного отрезка гомотопических параметров играют пространства (1п, ¿п), где п £ N 1п = { п I к = 0,п} — множество точек деления единичного отрезка на п частей, а толерантность 1п определяется условием

-1п — ^ | к - 1\ < 1. пп

Определение 1. Два толерантных отображения /о,/1 : (X, т) ^ (У, в) называются гомотопными, что записывается /о~/ь если существует натуральное число п и толерантное отображение Г : (X х/п,т Х1П) ^ (У, в) такое, что

1)(Ух е X)Г(х, 0) = /о(х),

2)(Ух е X)Г(х, 1) = Л(х).

Если в определении 1 п = 1, то толерантную гомотопность называют простой пли одношаговой и записывают /0 ~ /1. В этом случае

(УХ1,Х2 е X)Х1ТХ2 ^ /о(Х1)в/1(Х2).

Определение 2. Толерантное отображение р : (Е,т) ^ (В,т) удовлетворяет условию накрывающей толерантной гомотопии относительно пространства (У, в), если для любых толерантных отображений

/ : (У,в) ^ (Е,т),Г : (У х /п,в х 1п) ^ (В,т),

для которых Г (у, 0) = (р о /' )(у),у е У, существует толерантное отображение Г' : (У х 1п, в х ¿п) ^ (Е,т) такое, что Г' (у, 0) = /' (у) и р о Г' = Г.

Определение 3. Толерантное отображение р : (Е,т) ^ (В,т) называ-

р

ряет свойству накрывающей толерантной гомотопии относительно любого толерантного пространства (У, в). В этом случае (Е,т) называется пространством расслоения, (В,т) - базой расслоение, р-1(Ь) - слоем над точкой Ь е В.

Определение 4. Толерантным путем длины п в пространстве (X, т) называется толерантное отображение шп : (1П,1П) ^ (X, т). Точки ып(0) и ып(1) называются началом и концом путпып. Если ып(0) = ып(1) = х0, то ип называется толерантной петлей в точке х0.

Если un — толерантный путь длины n, a m ^ n, то толерантный путь .т,п : (Im, ¿m) ^ (X, т) такой, что

к

. _ J ^n

шт,п( )

k. .п(П),k _ 0,n,

т I ып(1), к = п, т, называется продлением длины т пути ып.

На множестве толерантных путей в простанстве (X, т) может быть определена частичная операция произведения путей ып и у которых ып(1) = ш'т(0). Результатом этой операции будет новый путь ып * определяемый формулой

, ( к \ / Ып(П), к = М,

ып * ыт - = < , _

Vп + т) у и'т , к = п,т + п.

Обозначим через Р (X) множество толерантных путей в пространстве (X, т). Наряду с Р(X) определим его подмножества

Рм(X) = {Ып £ Р(X)| п ^ М} ,РМ(X) = {Ып £ Р(X)| п = М} ,

Р(X, хо) = {Ып £ Р(X)| Ып(0) = хо} ,

где М £ N х0 £ X. Определим на множестве Р(X) отношение слабой толерантности, сохранив обозначения статьи [1].

Определим конструкцию элементарного замедления толерантного пути. Пусть ып : (1п, ¿п) ^ (X, т) — толерантный путь в (X, т). Элементар-

ным замедлением пути ып в точке к = 0,п назовем толерантный путь д(к)(Ып) : (1п+1,1п+1) ^ (X,т) такой, что

/ | Ып(п),1 = 0,1,

^ _ 1 _ п\п'

Определение 5. Два толерантных пути ып,ы'т £ Р(X) назовем слабо толерантными и обозначим ыпкхы'т, если выполнено следующие условие:

(30 < к1 < ... < к, < п), (30 < к/1 < ... < к'* < т)

д(к1) о ... д(—5)(ып) = аг : (/г, ¿г) —> (X, т), д(—'1) о ... д(кУ(^п) = а'г : (1г,1г) —► (X, т),

— ) таГ ( ~

Отметим также, что

(V —,/ = 0,г) |— - /| ^ 1 аг [- I таг | -

ЫпКх^ Ып(0)тЫ/то(0),Ып(1)тЫ/то(1). (1)

Предложение 1. Пусть толерантные пути ып1 , ы'п2,7ТО1,7'т2 б про-ст,ранет,ее (X,т) таковы, что ып1 кхы'п2,7ТО1 кх^'т2и ып1 (1) = 7ТО1 (0), ы „2(1) = 7'ш2(0), тогда * 7ТО1 )кх(^ * ).

Доказательство этого предложения аналогично доказательству предложения 1 статьи [1].

Легко видеть рефлексивность и симметричность отношения кх- Следовательно имеем толерантное пространство (Р(X), кх).

Распространим важное определение 1.3.3 работы [3] на случай произвольных толерантных путей.

Определение 6. Два толерантных пути ып, в пространстве (X, т) назовем толерантно гомотопными и обозначим ып ~ ы'т, если для некоторого М ^ шах{п,ш} имеем ым,п ~ ы'м,т.

Отношение ~ является отношением эквивалентности и разбивает множество Р(X) на классы толерантно гомотопных путей. Следующее предложение описывает эти классы как компоненты линейной связанности пространства (Р(X), кх).

Предложение 2. Для того, чтобы толерантные пути ып и в пространстве (X, т) бшш толерантно гомотопными, необходимо и достаточно, чтобы пути ып и в пространс тве (Р (X), кх) соединялись толерантным путем. Т.е.

Ып ~ ы'т ^ (37п е Р(Р(X))Ьп(0) = Ып,7п(1) = Ыт.

Доказательство

Пусть ~ ы'т. Тогда найдется N ^ max{n,m} такое, что существует толерантное отображение F : х , ¿N х ¿M) ^ (X, т), для которого

F|(1n х {0}) = WN,n,F|(1N х {1}) = wN,m. (2)

По определению 5 имеем очевидную цепочку толерантностей

д(п)(ып) = Wn+1,nKX...KXM(N - 1)(^N—2,n) = определяющую толерантный путь 7^п : (1N—n, —n) ^ (P(X), kx),

такой, что

(V/ = 0, N - п)7#-п()= ы^. Очевидно, что путь 7^п соединяет ып с ы^,п в Р(X) :

7^п(0) = п(1) = ы^,п

(2)

Аналогично получается толерантный путь в (Р(X), кх) такой, что

7(2-т(0) = ЫЖ,т,7(2-т(1) = ^.

I

Определим теперь толерантные пути ы^ = Рх {М}),/ = 0,М. Из толерантности отображения Р следует, что

(V/ = 0,М - 1)ы$ « ыМ+1),ш.б.^/ = 0,М - 1)ы$кх. (3)

Из (2) и (3) следует, что имеем толерантный путь 7м в Р(X) такой, что 7МЛМ) = ы2,7£'(0) = ы^'Ш = ылг,т^».м образом, толерант-

(1) (3) (2) ГКЛТ\ '

нып путь 7П = 7^_п * 7М * 7ж-п в Р (X) соедпняет ып с ыт.

Обратно, пусть имеется толерантный путь 7^ в (Р(X), кх), соединяющий ып с ыт. Следовательно, имеется цепочка толерантностей:

Ып = 7п (0)кх 7п( П)кх ...кх 7п(1) = ыт. гп

Ввиду транзитивности отношения — достаточно доказать:

Ыпкх ыт ^ Ып - ыт. Итак, имеем (30 ^ —1 <...< — ^ п), (30 ^ —/1 < ... < —\ ^ т)

д(—1) ◦ ... ◦ д(—5)(ып) - М—1) о ... о )(ыт) (4)

Сначала покажем, что

(V— = 0,п)д(—)(ып) — ып.

В самом деле очевидно, что д(п)(ып) = ып+1,п — ып. Непосредственно проверяется, что д(—)(ып) — д(— + 1)(ып), в частности,

д( — )(Ып) - м(— + 1)(Ып).

В силу транзитивности — имеем

Д(—)(Ып) - д(п)(Ып) - Ып.

Значит

д(—1) о д(—2) о ... о д(—8)(Ып) - м(—2) о ... о д(—8)(Ып) - ... - Ып. (5) Аналогично

д(—1) о ... о )(Ыт) - Ыт. (б)

Из (4),(5),(6) и свойств отношения эквивалентности — получаем, что Ып - Ыт.

Предложение 1 доказано. □

На множестве Рм (X) определим отношение толерантности Кх.

Определение 7. Два толерантных пути ЫМ ,ЫМ е Рм (X) назовем кх-

/

толерантными, если они просто толерантно гомотопны, т.е. Ым — Ым.

Для произвольного толерантного отображения р : (Е,т) ^ (В,т) и произвольного числа М е N рассмотрим толерантное пространство

(Вм,тхкв), где Вм = {(а,ым) £ ЕхРм(В)|ым(0) = р(а)}. Определим отображение рм : Рм(Е) ^ Вм формулой

(Шм £ Рм(Е))рм(ым) = (ым(0),р о ым).

Толерантность отображения р следует из того, что у просто гомотопных толерантных путей начальные точки толерантны, а так же из того, что простая толерантная гомотопность сохраняется при композиции с толе-

р.

Определение 8. Толерантное отображение Ам : (Вм,т х кв) ^ ^ (Р^ (Е), кЕ), являющееся правым обратным крм, т.е. рм о А м = 1—/ , назовем накрывающей функцией длины М для отображения р.

Предложение 3. Если для толерантного отображения р : (Е,т) ^ ^ (В,т) существует накрывающая, функция А м любой длины М £ Н, то отображение р является толерантным расслоением, (в смысле Гуревича).

Доказательство этого предложения аналогично доказательству предложения 2 статьи [1].

До конца статьи будем предполагать, что (X, т) — линейно связное толерантное пространство. Рассмотрим отображениер : (Р(X, х0)) ^ X

р(ып) = ып(1). (7)

Из (1) следует, что отображениер : (Р(X, х0), кх) ^ (X,т) является толерантным.

Теорема. Толерантное отображение р : (Р(X, х0), кх) ^ (X, т)7 определяемое формулой (7), является толерантным расслоением, (в смысле Гуревича).

Доказательство

Как следует из предложения 3, для доказательства достаточно построить накрывающую функцию Ам для отображения р произвольной

_/

длины М е N. Рассмотрим толерантное пространство (Xм, кх х Кх),

где

_/

X м = {(7т,Ым )|р(7т) = 7т(1) = Ым (0),7т(0) = Хо}. Для построения накрывающей функции нам потребуется еще одно толерантное пространство (Р^(Р(X, х0)), кр(х)), чьими элементами являются отображения

Ым : (1м,1м) ^ (Рм(X, Хо), кх)

такие, что

. — , А

(V—, I = 0, п) |— - /| < 1 ^ Ым(-)кхЫм(-).

пп

Толерантное отображение

рм : (Рм(Р^^ кр(х)) ^ (Xм, кх х кх) задается формулой

рм (Ым) = (Ым (0),р о Ым), (8)

в правой части которой Ым(0) - толерантный путь в (X, т) с началом в точке х0 е X, а р о Ым = Ым - толерантный (см.(1)) путь в (X, т) длины

М, составленный из концов толерантных путей Ым(п), — = 0,п,

(V— = 0,п)Ып(п)= (ып(пЛ (1) пп

Приступим к построению толерантного отображения

—/ / / /

Ам : (Xм, кх х кх) ^ (Рм(Р^^о^ кр(х))

такого, что

рм о А м = V . (9)

хм

—>

—>

Пусть (7т,ып) £ Xм. Определим отображение Ам(7т,ым) : 1м Р(X, х0) формулой

_ к (?)

^к = 0, п)АМ(7т, ым)(-) = 7т * ы(?) : (1т+к,1т+к) ^ (X, Т), (10)

где ыПк) : (I?, ) ^ (X, т) — толерантный путь такой, что

(V/ = 0,к)ы$(-) = ым (-), (И)

- -

//

а для к = 0 полагаем по определению

7т о ы(°) = 7т. (12)

Заметим, что для всех к = 0, —

^Ам(7т, ым)(— (0) = (^т * ы^) (0) = 7т(0) = (13)

Наконец из толерантности 7т и ы м и из построений (10) и (11) следует,

к Л / , ч/к + 1

^к = 0,— - 1) ^Ам(7т,ым)(—К^Ам(7т,ыму . (14)

Из (10), (13), (14) следует, что Ам(7т,ым) £ Рм(Р(X, х0)). Теперь нам надо доказать, что построенное отображение

Ам : Xм ^ Рм(Р(X, Хо))

является толерантным.

Возьмем (7тх,ым), ^,ым) £ , причем 7т1кх^,ымКхым. Выпишем соответствующие последовательности элементарных замедлений:

о ... о )(7тх) = вг2 , 0 < /1 < . . . < < Ш1,

Д(/,1) о ... о )(7т 2) = вГ 2 , 0 < /1 < ... < 4 < ^

вг2 — в 2; ым — ым .

Обозначим через Ым = Ам(7т1 ,ым),Ым = Ам(%т2,ым) - толерантные

пути в пространстве. Теперь следует проверить наличие толерантности

_ / _/ . ^

Ым кр(х)Ым. \Щ

Формулы (10), (11), (12) позволяют определить пути вР(X, ж0):

= О^Ы^() = 7т1 * Ым,Ып(^) = тт2 * Ым .

Для доказательства толерантности (15) следует доказать, что пути ЫГ1, Ы^2 просто толерантно гомотопны в пространстве (Р(X, х0), кх). Т.е. надо проверить, что

(V«,з = - з| ^ 1 ^ 7т1 * ы«кх* Ы^. (16)

Рассмотрим лишь неочевидный случай з = г + 1. Применим следующие элементарные замедления:

о ... о ) о д(ш1 + г) (^т! * ы«) = ((вг2 * Ып)(Г2+г))

м(/1) о...о ) (7т 2 * = (X * ы

Г2+г+1,Г2+г

/

*

Г1 . .

Г2+г+1

Условия вг2 — вГ2, ыГ1 — ы влекут вг2 * ыГ1 — вГ2 * ыг , а это в свою очередь влечет ((вг2 * ыГ1 )(г2+гЛ — (в^2 * ы^)(г2+г+1), чт0 согласно определению 5, дает толерантность (16), а вместе с ней доказывает (15). Случай з = г рассматривается аналогично. Таким образом, толерант-

Ам

Ам является правым обратным крм.

_/

Пусть (7т,ым) е Xм. Формулы (10) и (12) дают нам следующее:

Ам(7т, Ым)(0) = 7т * ым) = 7т,

а формулы (10), (7) и (11) показываю, что для — = 0,п

(роАм(7т, Ым))(п) = р (7т * ы£) = (7т * Ы^^Л (1) = Ы^Щ = Ым().

пп

Отсюда, применяя формулу (8), получаем

(Рм ◦ A m)(Ym,^ m) = (A m(Ym,^M)(0),p ◦ A m(Ym,^M)) = (7m,^ m), что и доказывает (9).П

Библиографический список

1. Небалу ев С. И., Кляева И. А. Толерантное расслоение пространства толерантных путей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып.З.

2. Zeeman E.S. The topology of brain and visual perception. The Topology of 3-Manifolds, M.K. Ford(ed). 1962.

3. Небалу ев С. H. Гомологическая теория толерантных пространств. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006.