Толерантное расслоение пространства толерантных путей Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Небалуев С.И., Кляева И.А. Толерантное расслоение пространства толерантных путей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 3. (В печати)

УДК 513.6

С.И. НЕБАЛУЕВ, И.А. КЛЯЕВА

Толерантное расслоение пространства толерантных путей

В статье строится толерантное пространство толерантных путей и доказывается, что оно определяет толерантное расслоение в смысле Гуре-вича.

В алгебраической топологии важную роль играют расслоения, связанные с пространством непрерывных путей. Такую же роль должно играть в теории толерантных пространств пространство толерантных путей.

Толерантное пространство [1] является математической моделью понятия схожести и представляет собой пару (X, т), состоящую из базисного множества X и отношения толерантности т С X х X, которое должно быть рефлексивным и симметричным. Если (х\,х2) £ т, то будем называть точки х\ и х2 толерантными и записывать х\тх2. Толерантным отображением / : (X, т) ^ (У, в) толерантных пространств (X, т) и (У, в) назовем отображение / : X ^ У, сохраняющее толерантность точек, то есть для XIтх2 получаем /(х\)в/(х2).

Роль единичного отрезка в гомотопической теории толерантных про-

странств играют пространства (1п,1п), в которых 1п = {П|к = 0, п} — множество точек деления единичного отрезка на п частей, а толерант-

ность 1п задается условием

к I . , —ьп— \к - 1\ < 1. п п

Определение 1. Два толерантных отображения /о,/ : (X, т) ^ (У, $) назовем толерантно гомотопными относительно подмножества А С X и обозначим /о ~ /1(гв/А), если существует натуральное число п и толерантное отображение ^ : (X х 1п,т х 1п) ^ (У, $), такое что

1) (Ух е X) ^(х, 0) = /о(х);

2) (Ух е X) ^(х, 1) = /1(х);

к*

3) (Ух е А)(Ук = 0, п) ^(х, п) = /о(х).

Множество А может быть и пустым, тогда условие 3) является излишним. В этом случае будем использовать обозначение /0 ~ /1.

Если в определении 1 можно взять п = 1, то толерантную гомотопность будем называть простой или одношаговой и записывать /0 ~ /1. Простая толерантная гомотопность отображений /0,/1 означает, что

(Ух1,х2 е X) х1тх2 ^ /о(х1)0/1(х2).

Определение 2. Толерантное отображение р : (Е,т) ^ (В,т) удовлетворяет условию накрывающей толерантной гомотопии относительно пространства (У, 0), если для любых толерантных отображений

/' :(У,0) ^ (Е,т) и ^ :(У х 4,0 х О ^ (В,т),

для которых ^(у, 0) = (р о /')(у) при у е У, существует толерантное отображение ¥' : (У х /п,0 х ¿п) ^ (Е,т), такое что ^"(у, 0) = /'(у) и

р о ^' = ^.

Определение 3. Толерантное отображение р : (Е,т) ^ (В,т) назовем толерантным расслоением (в смысле Гуревича), если р обладает свойством накрывающей толерантной гомотопии относительно любого толе-

рантного пространства (У, в). В этом случае (Е,т) будем называть пространством расслоения, (В,т) — базой расслоения, р-1(Ь) — слоем над точкой Ь £ В.

Определение 4. Толерантным путем длины п в пространстве (X, т) назовем толерантное отображение ип : (1п,1п) ^ (X,т). Точки ип(0) и ип(1) называются началом и концом пути ип. Если ип(0) = ип(1) = х0, то ип называется толерантной петлей в точке х0.

Для каждого толерантного пути ип и для каждого натурального числа т ^ п определим толерантный путь ит,п : (1т,1т) ^ (X, т), такой что

,, = , шп (-) к = 0,п;

^т. п —

ип(1) к = п, т. Путь ит,п назовем продлением пути и>п.

На множестве толерантных путей в пространстве (X, т) может быть определена частичная операция произведения путей ип и и'т, у которых ип(1) = ^(0). Результатом этой операции будет новый путь ип * и'т длины п + т, определяемый формулой

к \ _ \ ^п (п) , к = 0,п;

^т(к-тп), к = п™.

шп* ^т . .

п т V п + т и/ (к-п

Обозначим через ) множество толерантных путей в пространстве (X, т). Если М £ М, то определим в ) два подмножества

фм(X) = К £ ф^)|п ^ М}, р'м(X) = К £ ф^)|п = М}.

Зададим на множестве ф^) структуру толерантного пространства. Для этого сначала определим прямые и обратные элементарные преобразования толерантных путей, представляющие собой вставки или сокращения малого постоянного пути. Пусть ип : (1п,1п) ^ (X, т) — толерантный путь длины п. В множестве {0,... , п}х{0,1, 2} рассмотрим

подмножество

Р(п) = {(к,£)\ к = 1, п - 1, £ = 0, 2}и{(к,£)\ к = 0, к = п, £ = 0,1}.

Для каждой пары (к,£) е Р(п) определим отображение п+(к,£) : Рг^) ^ Pn+e(X) формулой

' Шп (п) , I = 07к;

(У I = 0,п + £) (п+(к,£)(Шп)) ( — ) = <!

V п + £ /

Толерантность пути п+(к,£)(шп) очевидна. Рассмотрим теперь еще одно множество

Шп(к) , I = к, к + £;

Шп I1-1) , I = к + £, п + £.

ф(п) = {(к, £)\к = 1, п - 3, £ = 0, 2}и

и{(к,£)\к = 0,к = п - 2, к = п - 1,£ = 0,1} Если толерантный путь шп е ) таков, что

(3 (к,£) е д(п))(У I = 07£) шп(= *п(п) , (1)

то определим частичное отображение п-(к,£) : ) ^ ф^г-е^) на

путях со свойством (1) формулой

I \ _ ( Шп (п) , I = 0,к;

(У I = 0,п - £) (п-(к,£)(Шп))

,п - £/ I Шп(1±£) , I = к, п - £.

п

Вновь определенный путь за счет свойства (1) также является толерантным.

Отображения п+(к,£), п-(к,£) будем называть прямым и обратным элементарным преобразованием толерантных путей. Договоримся обозначать символом п±(к,£) элементарное преобразование, которое может быть как прямым, так и обратным. Траектории путей шп и п±(к,£)(шп) одинаковые. В частности, элементарные преобразования сохраняют начало и конец пути:

(п±(к,£)(шп))(0) = Шп(0), (п±(к,£)(шп))(1) = Шп(1). (2)

Определение 5. Два толерантных пути и ^ в пространстве (X, т) назовем кх-толерантными и будем писать опкх, если с помощью элементарных преобразований, соответствующих некоторым различным точкам путей и , эти пути можно преобразовать в пути одинаковой длины, которые будут просто толерантно гомотопны друг другу. Другими словами,

(3 0 < к; < ... < к < п) (3 (е;,...,^) ех {0,1, 2})

(зо<к <... <к; <т) (з (е;,... ,4) ех {о, 1,2})

П±(кЬ£1) о ... о (к5,е5)(оп) = аг : (/г, ¿г) ^ (Х,т),

) о ... о п±(к) = : (/г, ) ^ (X, т),

(V к,/ = 0~т) |к -/| < 1 ^ ^та^(3)

Очевидно, что определенное выше отношение кх рефлексивно и симметрично и значит, является отношением толерантности на множестве Р(Х) толерантных путей в пространстве (X, т). Таким образом, имеем толерантное пространство (Р(Х), кх), которое будем называть пространством толерантных путей. Отметим, что в работе [2] использовалась иная толерантная структура на множестве Р(Х).

Договоримся вместо символа кх использовать к, если будет ясно, о каком пространстве (X, т) идет речь.

Заметим, что из свойств (2) и (3) следует, что

Шпкит^оп(о)т^т(о), (1)™т(1), (4)

то есть концы и начала к-толерантных путей будут т-толерантны.

Предложение 1. Пусть толерантные пути шП1, о>П2, 7т1, 7т2 в пространстве (X, т) таковы, что оП1 кш'П2, 7т1 к^'^ и шП1 (1) = 7т1 (0),

(1) = тт 2 (о), тогда (°П1 * 7т 1)к (°п2 * тт 2)-

Доказательство Из предположения шп1 кш^ , согласно определению 5, следует, что

(3 0 ^ к1 < ... <4 ^ щ) (3 (£1,...,£Я1) ех {0,1,2})

(3 0 ^ к! <... < к:2 ^ п2) (3 (4...,4) ей {0,1,2})

П±(к1,£1) о ... о п±(4 ,£Я1 )(шЩ) = ап,

п ±(к1 ,£1) о ... о п±(к: 2,4 )(шп 2 ) = аГ

(У к,/ = 047) \к - /\ < 1 ^ аГ1 ^^та^ Аналогично из условия 7ТО1 следует, что

(3 0 ^ /1 < ... < /¿1 ^ Ш1) (3 (¿1,..., 4) е х {0,1, 2}) (3 0 ^ /1 < ... < /¿2 ^ ^2) (3 (¿1,..., ^) ех {0,1, 2}) п±(/1, ¿1) о ... о п±4Л1 )(7ш1) = 4,

П±(/; ,¿1 ) о ... о п ±«2 Л )(^ГО 2 )= вт 2 ,

(У к,/ = 042) \к-/\ ^ 1 ^ 4 (А) тв; (±) . Тогда имеем

п±(к1,£1) о... оп±(кЯ1 ,£Я1) оп±(п1 + /1,51) о... оп±(п1 + /¿1 ,¿¿1 )(шщ *7ш1) =

= ап * вт2.

Аналогично

п± (к'' , £1 ) о ... о п± (к:2 , 4 ) о п± (п2 + /' , ¿1 ) о ... о п± (п2 + /¡2 , ¿¿'2 )(шп2 * 2 ) =

ат 1 * вт2 .

Может получиться так, что к:1 = п1 +/1, и тем самым нарушается условие строгого возрастания в определение 5. Но это может быть лишь в случае к:1 = п1 и /1 = 0. Тогда £:1 ^ 1, ¿1 ^ 1 и поэтому

п+(к:1 ,£:1) о п+(п1 + /1, ¿1) = п(п1,£:1) о п(nl,¿l) = п(п1,£:1 + ¿1)

является элементарным преобразованием, соответствующим внутренней

точке пути оП1 * 7т1 с 0 ^ + ^ 2.

Рассмотрим еще один возможный случай:

/

П"(п1Л), е81 = 0; П+(п;,е51) о п"(п;Л)=< П+(п1,£1), ¿1 = 0;

1, ¿1 = 51 = 1.

V

Так как других вариантов быть не может, то очевидный факт простой толерантной гомотопии аГ1 * Дт2 ~ аГ * вГ2 показывает, что

(°П1 * 7т 1 )к2 * 7т2 ). Предложение 1 доказано.

Пусть теперь р : (Е,т) ^ (В,т) — произвольное толерантное отображение. В пространстве (Е х Р(В), т х кв) рассмотрим подпространства, определенные на подмножествах,

В = {(а,оп) е Е х ф(ВЖ(0) = р(а)}, Вм = {(а,оп) е В|п ^ М},

_ _ _ 00 _

где М е N. Понятно, что Вм С Вм+1, В = У Вм.

_ м=1

Определим отображение р : Р(Е) ^ В формулой

(V е Р(Е)) р(йп) = (йп(0),р о оп). (5)

Так как начала ке-толерантных путей будут т-толерантны (см.(4)), а элементарные преобразования толерантных путей и простая толерантная гомотопность сохраняются при композиции с толерантным отображением р, то, следовательно, отображение

р :(Р(Е), ке) ^ (В,т х кв)

будет толерантным.

Толерантное отображение Л : (В,т х кв) ^ (Р(Е), кЕ), являющееся правым обратным к р, так что

Р о Л = 1в,

назовем, следуя традиции, накрывающей функцией для р.

Переходя к ограничениям рм = р\фм (Е) и Лм — Л\Вм, получим

рм о ЛМ = 1 Вм. (6)

Толерантное отображение Ам : (Вм, т х кв) ^ (фм(Е), кЕ) будем называть накрывающей функцией для р длины М.

Предложение 2. Пусть р : (Е,т) ^ (В,т) — толерантное отображение, и пусть для любого М е N существует накрывающая функция Ам для р длины М. Тогда отображение р является толерантным расслоением (в смысле Гуревича).

Доказательство Пусть имеются толерантные отображения:

/' : (У,0) ^ (Е,т), ^ : (У х /м,0 х 1м) ^ (В,т)

такие, что ^(у, 0) = (р о /')(у).

Определим вспомогательное отображение д : (У, 0) ^ (Фм (Е), кЕ)

к \ / к

(У к=0'М) (д<у'Ч 4 = Ч^мЛ

Из толерантности ^ следует, что для у10у2 толерантные пути д (у1) и д (у2) одной и той же длины М будут просто толерантно гомотопны:

(Ук,/ = 0,М) \к -/\ < 1 ^ ^д (у1) ( = ^ (у2, ¿) =д (у2) ( ¿).

Следовательно, д (у1) квд (у2), причем в этом случае нет необходимости применять элементарные преобразования. Таким образом, установлено, что д — толерантное отображение.

Построим теперь отображение ¥' : У х /м ^ Е. Для этого сначала заметим, что р (/' (у)) = (р о /') (у) = ^ (у, 0) = д (у) (0). Это значит, что для любого у е У пара (/' (у), д (у)) е Вм.

Из формул (5) и (6) следует, что для пары (a,wn) £ Вм имеем равенство (a, ¡x>n) = (AM (a, wn) (0) ,p o AM (a, wn)). Откуда следует, что во-первых,

a = Am (a,wn)(0), (7)

а во-вторых,

= p o Am (a,wn). (8)

Из (8), в частности, следует, что длина пути AM (a,wn) в пространстве (Е,т) совпадает с длиной пути ¡x>n в пространстве (В,т).

Все сказанное выше позволяет определить отображение F' следующим образом:

(vy £ У) (vj £ /м) F' (y, j) = (am (/' (У),g (У))) (j) .

Отображение F' : (Y x /м, # x ¿m) ^ (E,T) очевидно является толерантным как композиция толерантных отображений. Из формулы (7)

следует что F' (У> 0) = (AM (/' (У) , g (У))) (0) = f' (У). А из ф°рмулы (8) получаем, что

(p o F') (У, = p(Am (/' (y), g (»)))(=

= (p o AM (/' (У) ,g (У))) (j) = g (У) (j) = F (y,j) ,

то есть p o F' = F.

Таким образом, p — толерантное расслоение в смысле Гуревича. Предложение 2 доказано.

Рассмотрим теперь линейно связное толерантное пространство (X, т) и пространство (P (X, ж0), ) толерантных путей в пространстве (X, т) с началом в точке ж0 £ X. Определим отображение p : P (X, ж0) ^ X

p (wn) = (1). (9)

Из свойства (4) следует, что отображение p : (P (X, ж0), ) ^ (X, т) является толерантным.

Теорема 1. Толерантное отображение p : (P (X, x0) , кх) ^ (X, т), определенное формулой (9), является толерантным расслоением (в смысле Гуревича). При этом слой p-1 (x0) этого расслоения над точкой x0 G X представляет собой пространство (O (X, x0) , кх) толерантных петель пространства (X, т) в точке x0.

Доказательство Из предложения 2 следует, что для доказательства достаточно построить накрывающую функцию Лм для отображения p произвольной длины M G N. Для этого в пространстве

(P (X,x0) х Рм (X), кх х кх)

рассмотрим подпространство, определенное на подмножестве

XM = {(Ym, wn) |p (Ym) = Ym (1) = (0) , Ym (0) = x0, П ^ M}. (10)

Рассмотрим еще одно толерантное пространство (Рм (P (X, x0)), кр(Х)), элементами базисного множества которого будут отображения

Wn : (/n, ¿n) ^ (P (X, x0) , кх), n < M,

такие что

(V k, l = Ô"n) |k - l| < 1 ^ ^ кх. (11)

Определим толерантное отображение

Рм : (Pm (P (X, x0)), ^(х)) ^ (Xм, кх х кх)

формулой

Рм (Wn) = (Wn (0) ,p о Wn). (12)

Толерантность отображения рм доказана в предложении 2 для общего случая. В формуле (12) wn (0) — толерантный путь в пространстве (X, т)

с началом в точке ж0 е X, а р о Шп = шп — толерантный путь в (X, т) длины п ^ М, составленный из концов толерантных путей Шп , к = = 0, п, то есть

(У к = М) ш„(п) = (-(п)) (!). (13>

Теперь построим толерантное отображение

Лм : (Xм, кх х кх) ^ (Фм (Ф (X, Жо)) , Кф(Х)) ,

которое будет являться накрывающей функцией длины М для отображения р, то есть будет правым обратным к рм:

рм о Лм = 1Хм. (14)

Пусть (7т, шп) е Xм. Поставим в соответствие паре (7т,шп) толерантный путь Ам (7т,шп) : (/п, ¿п) ^ (ф (X, ж0) , кх), определенный формулой

(У к = 0, п) Лм (7т, п) = 7т * Ш^ : (/т+Л, 1т+Л) ^ (X, т) , (15) где для к = 1,п толерантные пути : (/Л, ¿Л) ^ (X, т) таковы, что

(У/ = <й) = Ш„(п) . (16)

а для к = 0 полагаем

7т * Ш(0) = 7т. (17)

Отсюда следует, что

(У к = М) (Лм (7т, п) ) (0) = (7т * ш(Л)) (0) = 7т (0) = Жо,

п (18) то есть (У к = 0~п) Лм (7т, шп) (£) е ф (X, Жо).

Из толерантности отображений 7т и шп следует, что имеется простая толерантная гомотопность

(У к = 0, п - 1) п+ (т + к, 1) (7т * ш^) « 7т * ш^,

что, согласно определению 5, означает

(V к = 0, п - 1) ^Лм (7т,Оп^ П)) кх( Лм (7т,Оп^ . (19)

Из (15), (18) и (19) следует, что Лм (7т,оп) — толерантный путь в пространстве (ф (X, ж0) , кх) длины п ^ М. Таким образом, построено отображение

Лм : Xм ^ фм (ф (X, жо)).

Докажем толерантность этого отображения.

Пусть (7т1 ,Ощ), (7т2 ,оЩ2) е Xм и 7т 1 кх7т2, Ощ кхоЩ2. Выпишем соответствующие последовательности элементарных преобразований:

П± (к1,е1) о ... о (к81 ,е81) (ощ) = , 0 < к1 < ... < к^ < щ; П± (к'', 4) о ... о (к!2,4) (оЩ) = <, 0 ^ к'' < ... < к!2 ^ П2;

аГ1 ~ аГ1;

П (/1 ,¿1) о ... о п (/¿1 ,¿¿1) (7т1 ) = вг2, 0 ^ /1 < ... < /¿1 ^ ть

(/;, ¿1) о... о п± (/¿2, ¿;) ^) = в;, о ^ /; <...</; ^ т2;

вГ2 ~ в'г2 .

Обозначим через оП1 = Лм (7т1, оП1), оЩ2 = Лм (7т2, оЩ ) — толерантные пути в пространстве. Теперь следует проверить наличие толерантности

кф(х. (20)

Для этого выполним следующие элементарные преобразования:

П± (к1, £1) о ... о п± (к81 ,е81) (Оп1) = «Г1;

п± (к; ,е1) о ... о п± (к! 2,4) К) = <. Тогда формулы (15), (16), (17) дают нам следующее:

(V г = 0,71) О-Л Г") = 7т1 * аГ1), «ГЛ ^ ) = ^'т2 * а^,

где а[г1), а^ определяются по аналогии с (16), (17).

Для доказательства толерантности (20) следует доказать, что пути аГ1 и а' просто толерантно гомотопны в пространстве (ф (X, ж0) , кх). То есть надо проверить, что

(У г, з = 041) \г - 3 \ ^ 1 ^ 7т1 * а«кхт. * ). (21)

Подробно разберем случай 3 = г + 1 (в случае 3 = г доказательство условия (21) еще проще). Применим следующие элементарные преобразования:

(МО о ... о (/¿1, 4) о п+ (т1 + г, 1) (тт1 * аГгр) =

= ((4 * ап)('2+г)) + .;

V / Г2+г+1,Г2+г

(/1, ¿1) о... о (/¡2, ) (т.;,,, * «Г11) = (в; * а,)(Г2+!+1).

Условия вг2 ~ в'2, аГ1 ~ а' влекут вг2 * аГ1 « в'2 * а? , а это в свою очередь влечет ((вг2 * аГ1 )('2+гЛ « (в'2 * а'х )('2+г+1), что согласно определению 5, дает толерантность (21), а вместе с ней доказывает (20). Таким образом, толерантность отображения Лм доказана и осталось проверить, что отображение Лм является правым обратным к рм. Пусть (7т,шп) е Xм. Формулы (15) и (17) дают нам следующее:

Лм (7т, Шп) (0) = 7т * ШП0) = 7т, а формулы (15), (9), (16) показывают, что для к = 0,п

(р о Лм (7т, Шп)) ^п) = р (7т * шПЛ)) =

= (7т * шпл)) (1)= шПЛ) (1)= Шп(п).

Отсюда, применяя формулу (12), получаем

(рм о Лм) (7т, Шп) = (Лм (7т, Шп) (0) ,р о Лм (7т, Шп)) = (7т, Шп) ,

что и доказывает (14).

Итак, нами построена накрывающая функция Am длины M для толерантного отображения p : (P (X, x0) , ) ^ (X, т). Согласно предложению 2, отсюда следует, что p является толерантным расслоением в смысле Гуревича. Утверждение теоремы 1 о слое p-1 (x0) является очевидным. Но несмотря на его очевидность, оно играет важную роль в построении спектральных последовательностей толерантного расслоения p. Теорема 1 доказана.

Библиографический список

1. Zeeman E.C. The topology of frain and visual perception, in The Topology of 3-Manifolds. New-York: M.K.Ford(ed), 1962.

2. Небалуев С.И. Толерантное пространство путей и основная теорема о поднятии толерантного отображения // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 5.

УДК 513.2

В.П. ПАНТЕЛЕЕВ

Конечно-разностный подход в задаче определения целых положительных решений уравнения Ферма

Рассмотрим уравнение Ферма

xn + yn = zn при n > 2. (1)

Относительно целых положительных решений уравнения (1) будет доказано следующее утверждение.

Теорема 1. При n > 2 рассматриваемое уравнение (1) не имеет целых положительных решений, удовлетворяющих условию: x > z — y.