Толерантные гомотопические группы пространства толерантных петель Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема. Имеет место следующая оценка ошибки оптимальной интерполяции на множестве P^ на основе информации I с ограничением V+:

в(дс ,P2V,V+) =

Доказательство. Если m = 0 или m = 1, то утверждение легко следует из леммы. Рассмотрим случай m = 2. Очевидно, p £ P2 и -Ip £ V+. Из леммы следует, что

e(Sc,P2,I,V+) > sup f (Z) >p(Z). fGP2, -IfGV+

Линейный алгоритм, дающий верхнюю оценку, может быть успешно построен [3]. □

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-01-00167-а) и гранта Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Micchelli СЛ., Rivlin T.J. Optimal estimation in approximation theory // A survey of optimal recovery, N, Y,: Plenum Press, 1977, P. 1-54,

2, Трауб Дж., Вожъняковский X. Общая теория оптимальных алгоритмов, М,: Мир, 1983.

3, Васильев Р. К. О порядке приближения функций многих переменных линейными положительными операторами конечного ранга // Мат. заметки. 1993. Т. 53, вып. 1, С, 3-15,

УДК 513.6

М.Н. Сусин

ТОЛЕРАНТНЫЕ ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРОСТРАНСТВА ТОЛЕРАНТНЫХ ПЕТЕЛЬ

В статье с помощью свойств толерантного расслоения путей и точной гомотопической последовательности толерантного расслоения доказываются классические свойства толерантных гомотопических групп пространства толерантных петель.

Толерантное пространство [1] — это пара (X, т), где т £ X х X — отношение толерантности на множестве X, т.е. рефлексивное и симметричное бинарное отношение. Отношения толерантности являются наиболее общей математической моделью понятия схожести и заменяют непрерывность в различных областях математики и ее приложений.

0, m = 0,1,

P(Cb . . . ,Zr), m = 2.

Отображение / : (X, т) ^ (У, в) толерантных пространств называется толерантным, если из толерантности ж^ж2 следует /(ж^в/(ж2).

В теории толерантной гомотопии [2] роль единичного отрезка параметров гомотопии играют толерантные пространства (1п, ¿п), где п € М, 1п = { П I к = 0"п^ П^ & |к - 1\< 1.

п п п пп

Определение 1. Два толерантных отображения /0,/1 : (X, т) ^ ^ {У, в) п^ыъ&ются толерантно гомотопными и записываются /0~/1? если существует п € N и толерантное отображение ^ : (X х 1п, т х ¿п) ^ ^ (У, в) такое, что

1) (Уж € X) ^(ж,0) = /о(ж), 2) (Уж € X) ^(ж, 1) = /1 (ж).

Если в определении 1 взять п = 1, то толерантную гомотопность называют простой и записывают /0 ~ /^

Определение толерантного расслоения [3] формально повторяет свой алгебро-топологический аналог и означает, что любая толерантная гомо-топия в базе расслоения поднимается по начальным условиям в пространство расслоения.

Определение 2. Толерантным, пут,ем, длины п в (X, т) называется толерантное отображение шп : (1п, ¿п) ^ (X, т). Точки шп(0) и шп(1) называются началом и концом пути шп. Если шп(0) = шп(1) = ж0, то шп называется толерантной петлей в точке ж0.

Обозначим через Р(X, ж0) — множество толерантных путей пространства (X, т) с началом в точке ж0 € X и определим подмножества толерантных петель

П^, ж0) = {Шп € Р(X, ж0) | ^п(1) = ж0} , подмножества толерантных путей ограниченной длины

Рм(X, ж0) = {Шп € Р(X, ж0) | п < М} , М € М, постоянных толерантных путей

СР(X, ж0) = { £п € Р(X, ж0) | (Ук = М) еп( п) = ж^ .

Пусть шп : (1п, ¿п) ^ (X, т) — толерантный путь в (X, т). Элементарным замедлением пут,и шп в точке к = 0,п назовем толерантный путь д(к)(шп) длины п + 1 такой, что

^ >( п+г )={:(|)!=

Определение 3. Пути шп и ш'т из Р(X, ж0) назовем к толерантыми, если выполняется одно из условий:

1) n = m И Шп Ж ш'т,

2) n = m + 1 и шп ж д(к)(ы/то),

k = max{k|(V/ = M?)wn(n) = ^m(m)} ,

3) m = n + 1 и д(к)(ып) ж w/m,

к = max{k|(V/ = 0,k)^n(n) = ^m(m)} •

Теорема 1. Длл каждого M £ N пространсmeo (PM(X, xo), к) является толерантно стягиваемым и

Pm(X,xo) С Pm+i(X,xo), P(X,xo)= y Pm(X,xo).

M gN

Доказательство. Рассмотрим два толерантных отображения F : Pm(X,xo) х Im ^ Pm(X,xo),

l aA _ í wn( П), k = 0,M - l;

Р)(пи„(^), к = М - 1,п;

С : СРм(Х,хо) х 1м-1 ^ СРм(Х,хо),

С( 1 ) Г еп, п < М - 1; С(£п'М - 1) = \ ем-, п > М - 1.

Легко проверить, что эти отображения осуществляют толерантные го-мотопни

Р : 1РМ(Х,хо) ~ Ф, С : 1СРм(Х,хо) ~ СОП,

где Ф : Рм(X, х0) ^ СРм(X, х0) такое, что Ф(^п) = еп, а отображение сопй^1 (еп) = е1. Отсюда следует, что толерантное отображение

Р * С : Рм(Х,хо) х !ш-1 ^ Рм(Х,хо),

l_) í F(Wn, M), l = 0, M_

2M - 1) 1 G(en, MM), l = M, 2M - 1;

F * G(wn, 2M-T^^ 1-M

осуществляет толерантную гомотопию

Р * С : 1рм(х,х0) ^п, соп(ып) = еь □ Как следствие теоремы 1, получаем

Предложение 1. Для произвольного толерантного пространства (X, т) пространство (Р(X, х0), к) имеет тривиальные толерантные гомотопические группы, т.е. (Уш > 1) пт(Р(X, х0)) = 0.

По аналогии с доказательством теоремы в работе [3] доказывается Теорема 2. Толерантное отображение р : (Р(X, х0), к) ^ (X, т) такое, что

р(ып) = ы(1), 70

является толератным расслоением, со слоем р-1(ж0) = (П^, ж0), к).

Теорема 3. Пространство толерантных петель (П^, ж0), к) линейно связного толерантного пространства (X, т) имеет следующие толерантные гомотопические группы:

(Ут > 1) ^(П^жо)) = Пт+1 (X). (1)

Доказательство. Используя теорему 9 из работы [4], напишем точную гомотопическую последовательность толерантного расслоения из теоремы 2:

----^ ^(П^жо)) ^ Пт(Р^жо)) ^

^ П^) ^ Пт-1 (П(X, ж0)) ^ Пт-1 (Р(X, ж0)) ^ ....

Из точности этой последовательности и предложения 1 следует (1). □

Следствие 1. Все толерантные гомотопические группы п^П^^о)), т > 1, пространства толерантных петель (П^, ж0), к) коммутативны.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Небалу ев С. И., Кляева И. А. Толерантное расслоение пространства толерантных путей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам, Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2005, Вып. 3, С, 93-106,

2, Небалуев С.И. Гомологическая теория толерантных пространств, Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2006,

3, Сусин М.Н. Слабая толерантность в пространстве толерантных путей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам, Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2009, Вып. 5, С, 121-131,

4, Небалуев С. И. Точные гомотопические последовательности в теории толерантных пространств // Чебышевекий сборник, Тула, 2004, Т. V, вып. 3(11), С, 64-97,

УДК 517.51

В.Г. Тимофеев

АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ

В КРУГЕ

Пусть К - круг с центром О радиуса Н и границей Г С = С (К) - множество непрерывных на К функций с нормой ||и||с = 8ир{|м(ж)| : ж € К}, = ) - множество измеримых существенно ограничен-

ных на К функций с нор мой ||м||то = еввир {|и(ж)| : ж € К}, О = О(К) -пространство финитных бесконечно дифференцируемых функций, сосредоточенных строго внутри К. Обозначим через и класс функций из С,