CC BY
20
Чуев И.И.1, Максимова С.И.2 ©
1Кандидат химических наук, доцент, кафедра физической химии, Чувашский государственный университет; ведущий системный аналитик, группа компаний «Информ
Стандарт»
СКОРОСТЬ АТОМОВ ИНЕРТНЫХ ГАЗОВ И ЭЛЕКТРОНА В АТОМЕ ВОДОРОДА КАК ФУНКЦИЯ ИХ МАССЫ И ТЕМПЕРАТУРЫ
Аннотация
Теоретически на молекулярном уровне получена зависимость эффективной наиболее вероятной скорости частицы дп , совершающей прямолинейные гармонические колебания, от её массы - Ми температуры -Т: • e~Mle/2kT = e~M/2kT; а также эффективной скорости вращения электрона - де в атоме водорода: д,2 • e_mle/4kT = e_m/4kT, здесь m -масса электрона, к - постоянная Больцмана. Вычисленные значения дп для He, Ne и Ar использованы при расчетах кинетической колебательной энергии этих веществ, а де -при расчетах характеристик атома водорода, обусловленных вращением электрона, уточнением их значений и постоянных Планка.
Ключевые слова: частица, атом, электрон, скорость, скорость колебательного движения, скорость вращения электрона, зависимость от температуры, зависимость от массы, вероятность, уравнение Максвелла, интеграл, энтропия, энергия.
Keywords: a particle, atom, electron, velocity, velocity of the oscillatory motion, velocity of the electron rotation, dependence on the temperature, dependence on the mass, probability, Maksvell equation, integral , entropy, energy.
В сообщении [3,2] впервые приведена эмпирическая зависимость, связывающая в явном виде скорость частицы - д с её энергией (температурой - Т ) и массой - М, а вернее скорость вращения электрона - -де в атоме водорода, как функцию этих параметров. В основу её положено уравнение, выведенное Максвеллом ещё в 1859 году. Это уравнение однако, определяет только вероятность распределения частиц идеальных газов по скоростям при различии в массе и температуре [1,264;2,287]. Неоднократно делались попытки анализа этого уравнения и решения его с целью определения элементарных скоростей газов - д, но их результат не отвечает закономерностям, полученным нами в данном сообщении. В настоящем сообщении приведены уже более точные, не описанные в литературе, зависимости, выведенные теоретически и определяющие наиболее вероятную эффективную скорость поступательного, вернее колебательного - д n движения частиц и эффективную скорость вращения электрона как функции их массы и температуры.
В основу определения таких зависимостей также положена методика, примененная Максвеллом для вывода его уравнения и подробно изложенная в [1,263], но уточненная нами в особенности при записи конечных ключевых, впервые полученных и приведенных нами зависимостей для —д. При уточнении записи р (д) , где р (д) - функция плотности вероятности скоростей частиц - д, рассмотренный нами метод, может быть использован не только для вывода зависимости скорости электрона в атоме водорода, но и возможных зависимостей, определяющих скоростные характеристики вращательных движений частиц идеальных газов и даже колебательных для двухатомных.
Учитывая всё это, мы сочли необходимым ещё раз более подробно изложить сущность вывода обсуждаемых закономерностей и проведенного анализа в данном сообщении.
© Чуев И.И., Максимова С.И., 2016 г.
Ниже обсуждены соответствующие закономерности поступательных движений атомов инертных газов. При их описании учтено, что частицы газа (атомы) непрерывно претерпевают столкновения и изменяют направления и скорости. Однако в пробе газа, содержащей много частиц, распределение скоростей постоянно. Так, распределение компонент скоростей - дх, например, в координатном направлении - Х можно определить в любой момент времени, разбив весь диапазон скоростей на равные интервалы - А дх и задав числа частиц, скорости которых попадают в различные интервалы. Точность такого представления будет расти при уменьшении интервала - А дх . В пределе всё меньших и меньших интервалов доля частиц, деленная на интервал скоростей выражается функцией плотности вероятности скоростей частиц - р (дх). Доля же частиц со скоростями в интервале д х, д х + ^д х равна р (дх) • ^д х это вероятность того, что скорость попадает в заданный интервал. Математическая запись распределения скоростей во всех трех координационных направлениях одна и та же, так как они выбираются произвольно и газ изотропен.
При таком анализе в первую очередь определяется плотность вероятности F (дх, dy ,dz) для компонентов скоростей дх, dy ,dz. Величина F (дх, dy ,dz) выражается таким образом, что - F (дх,ду ,dz) х х dd^ ddy • ddz есть доля частиц, для которых дх, ду , дz находятся соответственно в интервалах дх, дх +ddz; дy , дy +ddy; дz, дz +ddz . Максвелл получил функциональную зависимость - F (дх, д>, , дz) с учетом независимости компонент скорости и произвольного выбора координатных осей. Компоненты скорости в трёх направлениях независимы, поэтому плотность вероятности F (д х ,д y ,д z) может быть выражена произведением плотностей вероятности по трем направлениям: F (дх, дy , дz) = р (дх).- р ^y )• р ^z ). (1)
А поскольку распределение скоростей должно быть независимо от ориентации осей x, y и z в пространстве, плотность вероятностей F (дх, д>, , д^ зависит только от
величины вектора скорости - д, т.е. F (дх, дy , дz) = g^)(1 ) и уравнение (1) примет вид :
g (д) = р (дх).- р (дy ) •р (дz ). (2)
!
Дифференцируя обе части уравнения (2) по дх, получим : — [g(д)] дy ,
д* = (*9?х£) дy . дz = р (дy )• р (дz )• ^ (3) ^ *
Принимая во внимание, что д2= +ду! + д ( (4) и = у (5) уравнение (3) позволяет записать: = р ^ )• р )• (6)
Поделив обе части уравнения (6) на g^), получим: d»(9) _ dp(9x) (7)
p(9x) -9x-d9x ( )
Следуя данным математическим закономерностям , можно получить такие
dp(9x) _ dp(9y )__dp(9z ) _
p(9x) = p(9y ) -9y-d9y = =p(9z ) -9z-d9z
(8)
где А- есть некоторая постоянная. Тогда "pp" = А • дх • dдx (9)
или d[ln р(дх)] = 2. ¿(д;2) (10)
Переходя к интегральной форме уравнения (10) можно записать р(дх)= Const • l-491 /2 (11)
Постоянная - А является положительной, в противном случае р (дх) возрастала бы беспредельно. Значение же постоянной интегрирования - Const можно определить, исходя из того, что вероятность нахождения - дх в интервале от - от до + от её доля равна -1: 1 = /_+Г р(дх) • dдx= Const/-™ 1-.91/2 • dдx , (12)
n n dp 1 9x ) upiuy ) upiuz ) .
зависимости и для д>, и дz , так что Л п п = п _,„ = =_,П_Л п _,п = А
+ ю
а так как [ 1~ах2 • dx = ( =)1/2, (13) то Const = (А)1/2, J а 2=
— ю
и плотность вероятности распределения скоростей частиц в направлении -Х дается соотношением p(fix)=(A)1/2l—Al9*:/2 (14)
Средний квадрат скорости частиц в направлении - х может быть вычислен с
9 «о + Ю 9
использованием уравнений (12) и (14) <щ > =J—5 щ
• p (дхУ dx = (15)
г+ю 2 п—ах2 7 н1/2
так как J— х I ах • dx = —(16)
-ю 2aM/2
nK/2
и
HI— •(±)1/2 = 1
2а3/2 Щ)3^ 2Н А
Для вычисления значения - А можно воспользоваться зависимостью кинетической поступательной энергии идеального газа от температуры -Т, а также зависимостью кинетической энергии частиц, совершающих прямолинейные гармонические колебания. Средняя поступательная кинетическая идеального газа в направлении - х равна:
г? = ? •М<д*> = ? кТ (17)
М
И следовательно, учитывая соотношение (15), А= — , где к - постоянная Больцмана.
Таким образом, уравнение (14) принимает вид Р(дх) = (тМ: )?/2 • е~ш2 /2кТ
(18)
Функции плотности вероятности скоростей частиц р(ду) и р(д() имеют ту же самую зависимость, что и р(дх). При этом важно подчеркнуть ,что при таком обсуждении необходимо констатировать , что скорость - д , как и её составляющие дх , ду и д( являются эффективными величинами, так как в каждой из них учитывается их приращение за счет энтропийного фактора. Иные, а именно средние значения скорости использованы при записи зависимости (17) её от температуры. Учитывая, что < д2 > как и д2 > пропорциональны д2 и д^ , а значения энергии - г? и г? пропорциональны реальным значениям энергии - г и гх, можно на основании зависимостей (15) и (17) показать, что выражение для постоянной - Л остается таким же и при использовании для его вывода эффективных скоростей.
В соответствии с изложенным и уравнениями (1) и (18) можно рассчитать теоретически не только плотность вероятности скоростей в направлениях х, у и ъ, но и определить долю частиц, компоненты скоростей которых лежат в пределах дх, дх + ёдх; дУ} ду+ dду; д(, д( + dдz при различных температурах - при этом Б (дх , ду, д( )• ёдх •
адУ • dдz = (^ )ъ/2е~М(д2+д2у+^/2Т • ёдх • dду • dдz (19)
Следует отметить, что для многих целей важно знать долю частиц со скоростями в интервале д,д д независимо от направления, а ещё более важно получить зависимости, позволяющие рассчитать сами скорости.
Если начало векторов скоростей всех частиц в пробе газа перенести в начало системы координат, то это будут частицы, вектора скоростей которых входят в сферическую оболочку радиусом - д и толщиной dд. Объем этой оболочки равен 4=д2 • dд и доля частиц со скоростями - д, д+ёд равна :
{(д) • dд = (¿К? )3/2 • е~мд2/2кт ■4nд2dд (20)
Это уравнение, впервые выведенное Максвеллом в 1859 году , не получило должного применения для расчета скоростей частиц и согласно наших представлений может быть преобразовано для таких расчетов следующим образом.
4=(—)3/2 • J е~ш2/2кТ -V2- dV + Const1 (21)
Переходя к интегральной форме уравнения (20) можем записать J f (V)dV
2пкТ
где Const - постоянная интегрирования.
Чтобы вычислить интеграл в правой части уравнения (21), необходимо ввести новую
„2 п2 л г\ $У $У
переменную - у равную V , т.е. у =V , а dV= — = 2у1/2; и эта часть принимает вид: 2= (^ )3/2 ^ J е~Му/2кТ •у1'2 • dy+ Const1 =
=2= (-"- у/2^} е~МУ/2кТ • + Const1 =
у2пкТ J у М ' (2+ 1)
= у/2-21). e-M*2/2kT*v4 Const1 (22)
3 у2пкТJ v М ' у '
Уравнения (21) и (22) являются определяющими при данном расчете как постоянной интегрирования Const 1 , так и скорости - V . Хотя нам кажется, что интеграл в уравнении(22) теоретически мог бы стать вычислен и более строго. Обобщая эти уравнения можно записать:
J f(V) .dV - Const)3/2 .(2МТ). е~ш2/2кТ • V3 (23)
Полученная зависимость от температуры не нарушиться, если условно принять - $ равной 1 м/с и тогда
J f(V) .dV - Const)3/2 ф е~М/2кТ (24)
Таким образом, V3 • е~ш2/2кТ = е~М/2кТ (25)
данное уравнение определяет зависимость эффективной наиболее вероятной скорости
частицы от её массы и температуры.
Это уравнение позволяет рассчитать, как было отмечено при его выводе, эффективные скорости частиц, совершающих прямолинейные гармонические колебания, и определяемых как эффективная скорость их поступательного движения - Vn. Её значения и значения кинетической энергии - Еп атомов He, Ne, и Ar, определяемых соотношением - Еп
М-82 Еп
= ——, приведены в таблице 1. Здесь же приведены и значения — , характеризующие изменения кинетической поступательной энергии с температурой.
Таблица 1
Значение эффективной наиболее вероятной скорости ]п , м/с и кинетической
a
поступательной энергии Еп , —a- инертных газов при различной температуре -1, .
Газ Т 2000 1000 500 300 200
Не Vn .10-4 5,148 3,58 2,486 1,9 1,5344
En .1019 88,103 42,607 20,55 12,0 7,827
h. • 1021 3Т 1,468 1,420 1,37 1,33 1,306
Ne Vn .10-4 2,2 1,527 1,06 0,809 0,6523
En .1019 81,13 39,87 18,83 10,96 7,133
h. • 1021 3Т 1,352 1,329 1,29 1,218 1,19
Ar Vn .10-4 1,536 1,065 0,7382 0,563 0,454
En .1019 78,28 37,63 18,08 10,517 6,84
h. • 1021 3Т 1,305 1,254 1,205 1,169 1,14
Из данной таблицы можно сделать следующие предварительные выводы: Значения -дп закономерно убывают при уменьшении температуры и увеличении атомной массы - М инертного газа. При этом соотношение скоростей в зависимости от природы газа практически мало меняется при изменении температуры, что видно из записи таких соотношений, приведенных ниже: ]Не : ^Ые : ]Аг
: 0,42735
: 0,42654
: 0, 42639
: 0, 42579 : 0, 42512
0,29837 при 2000°К
0,29749 при 1000°К
0,29694 при 500°К
0,29632 при 300°К
0,29588 при 200°К
Значения кинетической поступательной энергии этих газов Еп , хотя и незначительно, но также уменьшаются при увеличении их атомной массы, и для каждого газа убывают практически пропорционально значениям температуры. При этом величина температурного коэффициента несколько уменьшается при переходе от гелия к неону и аргону, а при изменении температуры от 2000°К до 200°К уменьшение происходит в 1,124 раза для гелия, в 1,136 раз для неона и в 1,1447 раз для аргона.
Причина наблюдаемых закономерностей ожидаема, теоретически объяснима и будет детально обсуждена нами в следующем сообщении при рассмотрении кинетических и термодинамических свойств инертных газов.
Использованную методику рассмотрения описанных закономерностей в особенности теоретические заключения, сделанные еще Максвеллом, можно бы и не излагать столь подробно, если бы на основе этого нами не был выполнен вывод соответствующей зависимости эффективной скорости вращения электрона - $е в атоме водорода от его массы и температуры. В последующих наших сообщениях эта методика и исходные уравнения при обсуждении подобных зависимостей будут описываться лишь тезисно.
В случае же с определением вероятных скоростных характеристик электрона в атоме водорода остаются справедливыми приведенные соотношения (1),(2),(3),(4),(5), (6),(7),(8),(10) и (11); а уравнение для плотности вероятности вектора скорости - $е , т.е. 0($е) принимает вид: д-($е)= ( Conste)Ъе-Ле"9^/2 (26)
Значения постоянной - Se и постоянной интегрирования - Conste также находятся путем определения значений интегралов для приведенных зависимостей при интегрировании в пределах о -от , до + от [уравнения - (12),(13),(15) и (16). При выводе выражения для Se учтено , что кинетическая энергия вращения электрона - £? определяется термической энергией вращения электрона на равновесной орбите и термической энергии его собственного вращения( спина электрона),
т.е. £¡ =m ■< $22 > =2kT, (27) и тогда Se= — , а Conste = (-^W2
е е ' v ' е 2кТ' е ЧпкТ-'
здесь m - масса электрона. А уравнение (26) преобразуется к виду 0($е)= (^~kj)0'2 ' e-met^vr. (28)
Учитывая (11), (19),(4)
и (28) и принимая во внимание заключения при записи уравнения (20) ,получим зависимость следующего вида: f ($е) • dde=
4П('НГ)3/2 • е-Ш^/4кТ. $22 • d$e (29)
При анализе зависимости (29) необходимо учесть , что при каждой температуре скорость вращения электрона постоянна и следовательно f ($е) =4П(^Ь)2/2 • е-Ш^/4кТ. $22 = Const? . (30)
Зависимость Const? от температуры будет справедливой и при условии, что $е равна 1 м/с, т.е. Const? = 4=(——'
е ЧпкТ
В общем же случае :
т.е. Const? = 4n(-m)2/2 • е-т/4кТ (31)
4=(—)3/2 • е~тд2/4кТ. д2е = 4п(—)ъ/2 • е~т/4кТ (32)
ЧлкГ е 4пкТ у '
Таким образом, ] • е~т]2/икТ = е~т/икТ (33)
Получена теоретическая зависимость эффективной скорости вращения электрона - де в атоме водорода как функция его массы и температуры.
Эта зависимость использована нами при расчете значений эффективной скорости вращения электрона де при различной температуре и уже на основании полученных значений уточнены такие характеристики свойств атома водорода, как постоянные Планка -И , радиусы электронных орбит- г, частоты электронных вращений - Уе. напряженности магнитного поля - Не и магнитной индукции - Ве . Уточнена и температура , при которой скорость вращения электрона равна - 21,8 • 105 м/с , а постоянная планка - 6,63 • 10-34 Дж • с, её значение — 273,8 °К. Результаты вычислений приведены в таблице 2.
Таблица 2
Значения эффективной скорости вращения электрона - ]е, м/с; постоянной Планка -И, Дж •с; радиуса электронной орбиты г, м; частоты электронных вращений - €е, с-1; напряженности магнитного поля - Не , А/М и магнитной индукции - Ве , Тл в атоме водорода при различной температуре - Т°К
Т ]е • 10-5 И10 34 г10 10 €е 10-15 Не 10-5 Ве
2000 60,94 2,373 0,662 14,66 177,16 22,25
1000 42,6 3,394 1,358 4,995 29,43 3,696
500 29,76 4,859 2,7 1,755 5,2 0,653
273,8 21,8 6,633 4,88 0,711 1,166 0,1465
200 18,52 7,808 6,596 0,447 0,542 0,0681
Следует отметить, что при расчете радиуса равновесной электронной орбиты - г
использовалось уравнение, ранее предоставленное в сообщении [ 5], а именно г = -^- (34)
4пе0( т1 „2 +т1с2)
Соответствующие обозначения см. [5,30] , т.е без вычета в знаменателе уравнения для г значения (Т •А Б ) энергии, обусловленной энтропийным фактором, как это было проведено, например, в сообщении [4,29] и [6,64] . Данный вывод и обоснование такого расчета - г стали необходимыми с учетом того, что влияние энтропийного фактора на значения -г количественно уже учитывается через значения эффективной скорости вращения электрона, в расчете величины которых по уравнению (33) уже определено такое влияние. В итоге такие изменения в расчетном уравнении - г привели к уменьшению его значений и, как следствие, увеличению значений частоты вращения электрона - V , напряженности магнитного поля - Не и магнитной индукции - Ве в атоме водорода. Их вычисление проводилось с использованием зависимостей, представленных в сообщении [4,29] . И как свидетельствуют данные таблицы 2 в сопоставлении с соответствующими первоначальными данными сообщения [4,29] эти уточненные значения при всех температурах несколько больше.
Учитывая полученные результаты расчета характеристик атома водорода, определяемых вращением электрона, можно количественно оценить влияние энтропийного фактора на каждую из этих характеристик. Однако в данном сообщении мы остановимся на количественном рассмотрении такого влияния лишь на значения скорости вращения электрона и кинетической энергии - Ек и на основании этого рассчитать энтропийный фактор, энергетическая величина которого -Т • АБэ, определяется из соотношения : Ек-Т
•АБэ, = 2кТ (35) и В= £ (36)
При этом Ек - Ев = т • V2(37), а V? = (—)1/2, (38)
Где : • А5 э = Е к определяет изменения энтропии как термодинамического
параметра, влияющего на кинетическую энергию вращения электрона; а У?- гипотетическая или условная скорость вращения электрона без учета влияния на её величину энтропийного фактора; коэффициент - В характеризует влияние энтропийного фактора на скорость при таком вращении.
Результаты этих вычислений представлены в таблице 3:
Таблица 3
Значение кинетической энергии - Ев, Дж; энтропийной составляющей - -Т • Д5э ,
Дж '
Дж; изменения энтропии- Д5э,-скорости -V', М/С и -В при различной температуре
-Т°К
Т 2000 1000 500 273,8 200
Е,-1019 34,4975 16,8578 8,2282 4,4146 3,18613
Т • АSэ•1019 33,9455 16,5818 8,0903 4,3390 3,13093
АSэ•1022 16,9727 16,5818 16,185 15,8447 15,6547
V? -10"5 7,709 5,451 3,854 2,85 2,438
В 7,905 7,815 7,722 7,649 7,596
Сопоставление значений кинетической энергии и её энтропийной составляющей, обусловленной энтропийным фактором, для вращения электрона в атоме водорода показывает, что доля второй составляет 98,27% при 200 °К и 98,4 % при 2000 °К, т.е. незначительно возрастает при повышении температуры и при всех температурах имеет определяющее влияние на величину кинетической энергии.
В тоже время значения самой энергетической энтропийной составляющей закономерно уменьшаются при повышении температуры. Это подтверждают и значения, характеризующие изменение энтропии с температурой,- имеет место незначительного их уменьшения при её понижении. Хотя значения тепло емкостной составляющей - Сэ для вращения электрона даже несколько возрастают с понижением температуры. Эти значения рассчитаны, исходя из следующих соотношений: В общем случае изменение энтропии - Бт в зависимости от температуры определяется уравнением
5 т2 - 5 тк = ^СэТ = Сэ 1П| (39)
Принимая во внимание, что А 5э при каждой температуре равно энтропии - 5т за вычетом энтропии некоторого стандартного состояния - 50 т.е. А 5э = 5т -5" (40)
уравнение (39) преобразуется к виду: Сэ= —' 2 —2 э,Т1 (41)
1П-2 —1
а Сэ можно принять условно постоянной в каждом температурном интервале с учетом этого получены следующие значения Сэ в Дж/град: в интервале температур - 2000° + 1000°- Сэ = 5,64-10 "23 ; в интервале 1000° + 500°- Сэ = 5,69-10-23; в интервале 500° ^273,8°, Сэ = 5,65 • 10-23; в интервале 273,8^ 200°, Сэ = 6,05-10"23
Вычисленные значения не противоречат установленным ранее выводам о теплоемкостях и теоретически объяснимы.
При таком анализе приведенных данных важно отметить, что значения коэффициента - В имеют величину порядка -7,9 и 7,6, т.е. в это число раз эффективная скорость вращения электрона в атоме водорода больше условной скорости его вращения без учета энтропийного фактора при соответствующей температуре.
Таким образом, в соответствии с изложенным обсуждением могут быть рассчитаны скоростные характеристики на молекулярном и атомном уровне различных частиц в зависимости от температуры и их массы в условиях тождественных условиям характерным для газов в идеальном состоянии. При этом такие характеристики могут быть использованы при обсуждении и количественной оценке кинетических, термодинамических и других свойств частиц на молекулярном, атомном и даже электронном уровне.
Литература
1. Даниэльс Ф. Олберти З. Физическая химия - М.: Мир,1978-646с.
2. Трофимова Т.И. Физика. Справочник с примерами решения задач. - М.: Высшее образование,2008 - 448с.
3. Чуев И.И. Специфика взаимодействий в атоме водорода и зависимость скорости электрона и постоянной Планка от температуры // Universum: Химия и биология. Издательство: Международный центр науки и образования. (Москва) ISSN : 2311 - 5459, - 2014, -№ 3 (4) -с.2
4. Чуев И.И. Максимова С.И. Описание и характеристики магнитных свойств атома водорода.// Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. (Москва) ISSN: 2073 - 0071, - 2015, № )06 (77) с.- 29
5. Чуев И.И. Постулаты при квантово-механических расчетах и описании свойств атома водорода.// Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. (Москва) ISSN: 2073 - 0071,- 2014, № 11(70), с.30
6. Чуев И.И. Энтропийный фактор при расчетах характеристик атома водорода.// Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. ( Москва) ISSN: 2073 - 0071, - 2015, № 02 (73), -с.64
