CC BY
22
Каждая точка нижней граничной дуги множества D доставляется единст-
z
венной функцией /(z) = -
1 -az+ z
í \
log
№
(1 + rf z
(l±z)
2 -
И
log
(1 -rf
ae(-2;2). Угловые граничные точки
доставляются функциями Кёбе
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.
2. Разумовская Е. В. Изопериметрическая задача типа Гронуолла для однолистных функций. Саратов, 1999. 11 с. Деп. в ВИНИТИ 18.05.99, № 15-В99.
УДК 519.83
В. В. Розен, Ю. Н. Панкратова
СИТУАЦИИ РАВНОВЕСИЯ И СБАЛАНСИРОВАННЫЕ ПОКРЫТИЯ В ИГРАХ С УПОРЯДОЧЕННЫМИ ИСХОДАМИ*
1. Данная статья касается проблемы существования и описания ситуаций равновесия по Нэшу в смешанном расширении игры с упорядоченными исходами [1]. Здесь мы ограничиваемся случаем конечной игры двух лиц вида
G = (U,V,A,(D1,(O2,F), (1)
где U - множество стратегий игрока 1, V - множество стратегий игрока 2, А - множество исходов, co^coj - отношение (частичного) порядка на А, выражающее предпочтения игроков 1 и 2, F :U*V А - функция реализации.
По теореме [2] условие вполне равновесности ситуации в смешанном расширении игры (1) сводится к условию сбалансированности матрицы исходов |[F(k, v| (и е U, v е V). Здесь мы показываем, что, в свою очередь, условие сбалансированности матрицы исходов игры эквивалентно условию сбалансированности некоторых покрытий множеств стратегий игроков. Отметим, что понятие сбалансированного покрытия введено в [3], од-
* Работа поддержана Минобразования РФ, грант № 46 (конкурс 1997 г.)
105
нако до сих пор оно использовалось в теории игр только применительно к семействам коалиций игроков в рамках теории кооперативных игр.
2. Матрица над конечным множеством А рассматривается как ото-
на
бражение F:IxJ^^A, где 1 = {1,2,...,и},/ = {1,2,...,/и}. Через 5„ обозначается стандартный симплекс соответствующей размерности:
^О'Х-*/ =1|■ Всякий индекс I = 1,2,..,и может быть
отождествлен с вектором е 5„ . Для положим
р{х >.)(«)= Е Х>У) • в частности,
рЫ)(а) = IX Р(!,у)(р)= !>,• Н'.Л=а Р {>,])=а
Определение 1. Ма'фица у| называется сбалансированной, если существуют такие векторы х е и у е с положительными компонентами, что при любом а е А выполняется
(2)
При этом х и у называются балансовыми векторами данной матрицы.
Определение 2. Пусть Е произвольное множество. Покрытие (Е1,Е2,...,Ек) множества Е называется сбалансированным, если существует такой вектор Х = (Х1,Х2,..;Хк) с положительными компонентами, что для любого ее Е имеет место X 5 = 1 .
Е,ъе
Вектор X называется репрезентативным вектором данного покрытия.
Определение 3. Сбалансированные покрытия [е^ ,Е2 и
(22 2 1
Еу ,Е2 ,...,Ек ) называются коллинеарно сбалансированными, если для них существуют репрезентативные векторы X1 и X2, коллинеарные между собой (х1\х2).
Далее, для матрицы : / xJ —> А введем при произвольном а е А
при произвольном а Ие, И (т; Ь
два семейства характеристических множеств |е/ и \7у где
5,а с У, Т° с /, полагая
} е 5,а « у) = а, I е Г/ « ;) = а. (3)
3. Основной результат работы представляет следующая
ТЕОРЕМА. Для того чтобы матрица F: / х J А была сбалансированной, необходимо и достаточно, чтобы при любых аьа2е А
семейства )i(!7, (s,1°2)j6; были коллинеарно сбалансированными покрытиями множества J;
семейства {г ) , [г°2)^ были коллинеарно сбалансированными
покрытиями множества 1.
Доказательство. Необходимость. Пусть х = (х1,х2,...,хп)
>
у = (у1,у2,—,ут) ■ балансовые векторы заданной матрицы. Для а е А по-
X- У'
латаем р(<з):= Frx л(а)= Ftt v)(ar). Положим := —— > О, 8 " := > 0.
v к'у' J ща)
Проверим, что вектор Ха = является репрезентативным век-
тором для покрытия (V)e/ ■ При произвольном j е J имеем:
S,'3j F(i,j)=a F{ij)=a\Aa) №)F(ij)=a HW
Далее, для аьа2еА выполняется
Х"1 : Я.,"2 = Х,' ч: —р—-г = = const, откуда репрезентативные векторы
т) RaiJ
коллинеарны.
Достаточность. Пусть при произвольном а е А Ха = и
5° =(8j")jej - репрезентативные векторы сбалансированных покрытий и Yj^jej соответственно, причем при любых аиа2 е А выполняется А."1 Ца,"2 ,8°' Цз"2 . Зафиксируем а е А и положим
X а 8 0
I*./ Е8/ /•'=1 /=1
Корректность этих определений (т. е. независимость от выбора
аеА) следует из коллинеарности репрезентативных векторов. Учитывая,
что Ха- репрезентативный вектор, получаем:
ZV
HU)=a S'sj^Xi," ¿X/ ¿5t/ ('=1 /'=1 ¡'=1 107
Аналогичным образом
X»/
/=1
Используя легко проверяемые равенства,
/7 т / \
/=1 у=1
получаем
у=1 )= 1
/=1 ¡=1
откуда р(а) = д{а), то есть Это означает, что матрица
Н/,у| является сбалансированной.
Следствие. Для того чтобы игра вида (1) имела в своем смешанном расширении ситуацию вполне равновесия в смысле Нэша, необходимо и
достаточно, чтобы при любых а1,а2еА семейства множеств а' )це{/, \ец были коллинеарно сбалансированными покрытиями множества V, а семейства \еУ, {г^ 1е(/ были коллинеарно сбалансированными покрытиями множества и.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Розен В. В. Описание ситуаций равновесия в играх с упорядоченными исходами // Математика, механика, математическая кибернетика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-на, 1999. С. 128 - 131.
2. Сердюкова Ю. Н. Ситуации равновесия по Нэшу с заданными спектрами // Математика, механика, математическая кибернетика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. С. 137 - 139.
3. Бондарева О. Н. Некоторые применения методов линейного программирования к теории кооперативных игр // Проблемы кибернетики. 1963. № 10. С. 119 - 139.
