Ситуации равновесия по Нэшу с заданными спектрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Es i к Z., Imreh B. Subdirectly irreducible commutative automata// Acta Cybernet. 1981. Vol. 5, № 3. P. 251 - 260.

3. Es i к Z, Imreh В. Remarks on finite commutative automata// Acta Cybernet. 1981. Vol. 5, № 2. P. 143 - 146.

УДК 519.83

Ю. H. Сердюкова

СИТУАЦИИ РАВНОВЕСИЯ ПО НЭШУ С ЗАДАННЫМИ СПЕКТРАМИ

I. Целью настоящей работы является нахождение необходимых, а также достаточных условий, при которых в игре с упорядоченными исходами существует ситуация равновесия по Нэшу с заданными спектрами. Для простоты изложения мы ограничимся случаем игры двух лиц. Такая игра задается в виде системы:

G = <X, Y,А, со,, а>2, F>, где Х- множество стратегий первого игрока, Y - множество стратегий второго игрока, А - множество исходов, cos - отношение порядка на множестве А, выражающее предпочтение игрока s = 1,2, F:X*Y—*A- функция реализации.

Как известно [1] в играх с упорядоченными исходами принцип равновесия реализуется в смешанных стратегиях. Смешанное расширение игры G имеет вид

G=<X, Y, А, со,, ©2, ^ >, где X,Y, А - множества вероятностных мер на X, Y, А, соответственно, F

определяется как продолжение F на множество А вероятностных мер на А.

В данной статье мы ограничимся случаем, когда множества стратегий X, У игроков конечны. Полагаем Х= {1,2,...,«}, Y = {1,2, ... , т), А = {а\, а2, . . . , а*}. В этом случае X, Y могут быть отождествлены с симплексами S„, Sm соответствующей размерности; А отождествляется с множеством отображений |х:А—> [0, 1], удовлетворяющих условию

ц(а)>0, £ц(а)=1.

об А

Функция реализации F в смешанном расширении игры G определяется равенством:

Р(х,у){а)= £ Уj > F{'j)=a

где х = (х2,..., х„) е S„, у = (уиуг----,Уп) е S„.

Продолжение со 5 порядка <и5 на множество А определяется здесь следующим образом:

со,

<ц2о(УфеСДф, ц,)<(ф,ц2), где С3 - некоторый конус изотонных отображений упорядоченного множества {А, оо5) в И, удовлетворяющий следующим условиям:

1) семейство С, аппроксимирует порядок со5)

2) С, содержит к линейно-независимых элементов {к = \ А |),

3) С; является конечно-порожденным.

В работе [1] показано, что при указанных условиях на конус в игре (7 существует ситуация равновесия, однако ситуаций равновесия по Нэшу может не быть.

В данной статье находится необходимое, а также некоторые достаточные условия существования ситуаций равновесия по Нэшу в смешанном расширении конечной игры й.

II. В этом пункте находятся условия, при которых в смешанном расширении игры й существуют ситуации равновесия по Нэшу, имеющие заданный спектр. Для формулировки этих условий нам потребуется ряд понятий и фактов, относящихся к матрицам, элементы которых являются элементами произвольного множества. Матрица М размера пхт над произвольным множеством А определяется как отображение

X: {1,2,...,л} х {1,2,....ти}

при этом X (/,/) = ац.

Определение 1. Матрица М размера пхт называется сбалансированной, если существуют вероятностные вектора

* = (*ь*2, -..,*„) е 5П, у = (у\,уь ... ,ут) е 5т, такие, что для любых /' = 1,п и ] — I,..., т выполняется равенство

Определение 2. Матрица М называется однородной, если множества элементов, составляющие каждую строку и столбец, совпадают.

Определение 3. Матрица М размерна пхп называется обобщенным латинским квадратом (ОЛК), если всякий ее элемент имеет один и тот же индекс встречаемости для каждой строки и каждого столбца (матрица называется латинским квадратом, если для всех элементов индекс встречаемости равен 1).

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Всякий ОЖ является сбалансированной матрицей.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Всякая сбалансированная матрица является однородной.

Замечание. Существуют сбалансированные матрицы, не являющиеся ОЛК в конечной игре й.

ТЕОРЕМА. Если ( х°, у0) - ситуация равновесия по Нэшу в игре G, то подматрица её матрицы исходов А, полученная ограничением на спектрах Spx°,Spy° является сбалансированной.

Следствие. Если (х°, у0) - ситуация равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях в игре G, то подматрица матрицы А, полученная ограничением на спектрах (Sp х°, Spy0), должна быть однородной.

Отсюда следует, что в конечной игре G ситуаций равновесия по Нэшу может не существовать. Например, если в игре G нет ситуаций равновесия в чистых стратегиях и нет нетривиальных однородных подматриц, то. в ней ситуаций равновесия по Нэшу заведомо не будет.

Замечание. Указанное в теореме необходимое условие формулируется только в терминах функции реализации, поэтому оно относится ко всем играм с заданной реализационной структурой и не зависит от отношений порядка игроков.

III. Необходимым и достаточным условием того, чтобы ситуация (х°, у0) являлась ситуацией равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях в игре G, является выполнение для всех i = I.....п, j = 1,..., т неравенств

Ц,у°)< f(x°y), f[x°,jJ< Цх°У). с)

Если матрица исходов А имеет сбалансированную подматрицу с балансовыми векторами х* = (jcj*,..., хп*) и у* = (уI*, ... ), то для того, чтобы ситуация (х*, у*) являлась ситуацией равновесия по Нэшу, необходимо проверить выполнение неравенств (*) для i е Spx*, j е Spy*.

ЛИТЕРАТУРА

1. Розен В. В. Описание ситуаций равновесия в играх с упорядоченными исходами //Математика, механика, математическая кибернетика :Сб. науч. тр. Саратов :Изд - во Сарат. ун - та, 1999. С. 128 - 131.

УДК 519.21

Л. Б. Тяпаев

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОВЕДЕНИЯ АВТОМАТОВ И ИХ НЕОТЛИЧИМОСТЬ

Рассмотрим задачу эквивалентности автоматов, используя их геометрическую модель поведения. Введем необходимые определения.

Автомат определяется как пятерка А = (5,ЛГ,У,5Д), где У - конечные непустые множества, называемые соответственно множеством состояний, множеством входных сигналов и множеством выходных сигналов