Простые коммутативные автоматы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Л. Б. Самодурова

УДК 512.5

ПРОСТЫЕ КОММУТАТИВНЫЕ АВТОМАТЫ

Автоматом называется тройка А=(Б, X, Ъ), где 5, X— произвольные конечные непустые множества, называемые соответственно множеством состояний и множеством входных сигналов, а 8 : 5хАг—>5— функция переходов автомата Л.

Обозначим через 8р отображение, порожденное словом р: 8р:5->5, з-+8(з,р) (*е5, реХ').

Эквивалентность 9 на множестве 5 называется конгруэнцией автомата А, если она устойчива относительно функции переходов 8 в том смысле, что (V 52еБ)(У хеХ)((^\, ^еЭ => (5(«ь х),Ъ(^ъ х))ев).

В любом автомате конгруэнциями будут тождественное отношение А и универсальное отношение 5x5. Автомат А, имеющий больше одного состояния, называется простым, если у него нет конгруэнций, отличных от тождественной и универсальной.

Одной из нерешенных задач теории автоматов является описание простых автоматов. В [1] приводится решение этой проблемы для случая автономных автоматов (автоматов с одним входным сигналом). В данной статье будет приведено решение вышеуказанной проблемы для случая коммутативного автомата.

Автомат А=(5, X, 5) называется коммутативным, если для любых $е5, х\, х2еХвыполняется равенство 8(5, Х| х^=8(5, х2х\). Описание подпрямо неразложимых коммутативных автоматов дали Эшик и Имрех [2,3]. Характеристика простых коммутативных автоматов может быть получена в принципе как следствие из их работ. Цель данной статьи - получить непосредственное описание простых коммутативных автоматов. Известно [2], что автомат А=(5, X, 8) коммутативен тогда и только тогда, когда выполняется равенство (V хеХ)(У реХ') (3(5. хр)=Ь(з, рх)). (*)

ТЕОРЕМА 1. Сильно связный коммутативный автомат А=(Б, X, 8) является простым тогда и только тогда, когда |5| — простое число и существует хеХ, порождающий циклическую перестановку на 5.

Доказательство. Необходимость. Пусть сильно связный коммутативный автомат А - простой. Известно [2], что каждый входной сигнал сильно связного коммутативного автомата порождает перестановку на 5. Предположим, что никакой хеХ не порождает циклической перестановки на 5. Возможны следующие случаи:

а) (V хеХ)(М 5 е 5^(8(5, х)=я), но тогда А не является сильно связным;

б) существует входной сигнал х0еХ, порождающий />1 циклов компоненты АХо =(5,8Л.о), среди которых хотя бы один не одноэлементный.

Множества состояний автомата А, принадлежащих этим циклам будем обозначать через С„ 1 <г </, при этом С1пС)=0 при 1 <7 <7.

Пусть |5| = п и 0, 1,..., п - 1 - состояния автомата А. Возможны две ситуации.

г >

1 ,(ЗС„ 1 < I < 1){\/у е е С,-) 8(а,у)=Г е С,

Покажем, что в этом случае (У уеХ)(У геС^ (8 (г,у)еСУ, что является противоречием сильной связности автомата А. Действительно, пусть С,={0, 1,..., «1 -1}, причем 8Х0: 0-Я-»...->«,-1->0. Тогда (У^еЛО (V ге{0,..., «,-1})

получаем

8('".у)=~щ 1»хо>')= - = -•*<>.)')=8(*> Ухо •••■*о)= = 8(г,х0...х0)е{0,..., и, -1}. 2. (УС, Л<1<1){Зу*х0){У* еСЖ'-У^С,). Рассмотрим произвольное множество Ст, 1 <т <7. Обозначим Ут = {у е X: (У * е СтХ8(*,у)<г Сш)}, Хт=Х/¥т. Тогда (ЧуеХт )(3* е Ст \8(*,у) еСт).

Рассуждая аналогично вышеизложенному, получим

(У у е Хт )(У 5 е Ст )(б(л, _у) е Сга). Покажем, что (Vу е Тт)(У5 е Ст)(б(л',>>)е С,), для некоторого ¡. Пусть Ст={0, 1,..., И! - 1}, причем 8 : 0 -> 1 -» ... И] - 1 0.

Рассмотрим произвольный уе Ут. Пусть ^=8(0, у). ТогдаV /': 1< /< «1-1

4Г

8('\у)=8(' - 1,х0у)=8(1 - 1,^х0) = 5(г,_1,х0)=г/, (0 =8(0,у)=8(п] -1,х0у)=8(п1-1,ух0) = 8((„1_1,х0). Таким образом, {/0,..., 1П) } = С,.

Следовательно, существует конгруэнция 8 * А, 0 * Бх5 автомата А с 8-классами С\,..., С/. Следовательно, А - не простой. Противоречие.

Итак, существует х0еХ, порождающий циклическую перестановку

на 5.

Пусть |5) = п и 1,2, ... п - состояния автомата А. Без потери общности, считаем, что функция переходов действует следующим образом:

1-»2—»...—>и-»1.

Докажем, что |5] - простое число. Предположим противное. Тогда п - |5] = ри, где р - простое, и >1. Рассмотрим автономную компоненту АХд = (Б, 8Хо) автомата А. Рассмотрим следующие множества состояний:

00)= 1М + Р>->1 + р{ц-\)}, \<]<р. Очевидно, что они составляют 0-классы некоторой конгруэнции 9*А, 9*5*5 автомата Ах . Покажем, что 0 - конгруэнция автомата А. Пусть у -

произвольный входной символ из X. Рассмотрим 8(1), 1 <1 <р. Покажем, что все состояния класса 0(I) под действием входного сигнала у перейдут в один и тот же класс эквивалентности 0.

Пусть 8(7, у)=1ев(г). Тогда для любого у такого, что 1 <у <и - 1 получим

Ь(1 + р1,у)=8

/ \ (*) / N ( N

1,х0...х0у = 8 1,у х0...х0 = 8 (,х0 ...х0

к Р1 ) < Р1 > V РУ У

ев,.

Следовательно, 0 - конгруэнция автомата А, 0 * А, 0 Ф 5x5. Противоречие.

Следовательно, м=1, |5]

Достаточность. Пусть А - сильно связный коммутативный автомат, |5| - простое число и существует входной сигнал х0еХ, порождающий циклическую перестановку на 5. Тогда автономный автомат АХо = (5, дХо) -

простой. Следовательно, и А - простой. □

ТЕОРЕМА 2. Не существует простых не сильно связных коммутативных автоматов с более чем двумя состояниями.

Доказательство. Предположим противное, т.е. пусть существует простой коммутативный автомат А=(5, X, 5), который не является сильно связным и |5] > 2.

Обозначим отношение взаимной достижимости на 5 через 0. Очевидно, что 0 является конгруэнцией автомата А. Заметим, что 9 * 5*5, так как автомат А - не сильно связный. Тогда 9 = А.

Положим з < I для любых Ге5 тогда и только тогда, когда состояние Г достижимо из состояния 5, т.е. когда существует слово реХ' такое, что Ь(й,р)= Очевидно, что введенное отношение является порядком на 5.

Пусть эеБ - произвольный минимальный элемент упорядоченного множества (5, <). Тогда, множества {5}, 5\{$} образуют 9-классы некоторой конгруэнции 9] * А, 9, Ф 5x5. Следовательно, А - не простой. Противоречие. □

ТЕОРЕМА 3. Коммутативный автомат А=(5, X, 8) с более чем двумя состояниями является простым тогда и только тогда, когда он сильно связный, |5| - простое число и существует хеХ, порождающий циклическую перестановку на 5.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Салий В.Н. Универсальная алгебра и автоматы. Саратов, 1988.

2. Es i к Z., Imreh B. Subdirectly irreducible commutative automata// Acta Cybernet. 1981. Vol. 5, № 3. P. 251 - 260.

3. Es i к Z, Imreh В. Remarks on finite commutative automata// Acta Cybernet. 1981. Vol. 5, № 2. P. 143 - 146.

УДК 519.83

Ю. H. Сердюкова

СИТУАЦИИ РАВНОВЕСИЯ ПО НЭШУ С ЗАДАННЫМИ СПЕКТРАМИ

I. Целью настоящей работы является нахождение необходимых, а также достаточных условий, при которых в игре с упорядоченными исходами существует ситуация равновесия по Нэшу с заданными спектрами. Для простоты изложения мы ограничимся случаем игры двух лиц. Такая игра задается в виде системы:

G = <X, Y,А, со,, а>2, F>, где Х - множество стратегий первого игрока, Y - множество стратегий второго игрока, А - множество исходов, cos - отношение порядка на множестве А, выражающее предпочтение игрока s = 1,2, F:X*Y—*A- функция реализации.

Как известно [1] в играх с упорядоченными исходами принцип равновесия реализуется в смешанных стратегиях. Смешанное расширение игры G имеет вид

G=<X, Y, А, со,, ©2, ^ >, где X,Y, А - множества вероятностных мер на X, Y, А, соответственно, F

определяется как продолжение F на множество А вероятностных мер на А.

В данной статье мы ограничимся случаем, когда множества стратегий X, У игроков конечны. Полагаем Х= {1,2,...,«}, Y = {1,2, ... , т), А = {а\, а2, . . . , а*}. В этом случае X, Y могут быть отождествлены с симплексами S„, Sm соответствующей размерности; А отождествляется с множеством отображений |д.:Л —* [0, 1], удовлетворяющих условию

ц(а)>0, £р(а)=1.

об А

Функция реализации F в смешанном расширении игры G определяется равенством:

Р(х,у){а)= £ Уj > F{'j)=a

где х = (х2,..., х„) е S„, у = (уиуг----,Уп) е S„.