Геометрическая модель поведения автоматов и их неотличимость Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРЕМА. Если ( х°, у0) - ситуация равновесия по Нэшу в игре G, то подматрица её матрицы исходов А, полученная ограничением на спектрах Spx°,Spy° является сбалансированной.

Следствие. Если (х°, у0) - ситуация равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях в игре G, то подматрица матрицы А, полученная ограничением на спектрах (Sp х°, Spy0), должна быть однородной.

Отсюда следует, что в конечной игре G ситуаций равновесия по Нэшу может не существовать. Например, если в игре G нет ситуаций равновесия в чистых стратегиях и нет нетривиальных однородных подматриц, то. в ней ситуаций равновесия по Нэшу заведомо не будет.

Замечание. Указанное в теореме необходимое условие формулируется только в терминах функции реализации, поэтому оно относится ко всем играм с заданной реализационной структурой и не зависит от отношений порядка игроков.

III. Необходимым и достаточным условием того, чтобы ситуация (х°, у0) являлась ситуацией равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях в игре G, является выполнение для всех i = I.....п, j = 1,..., т неравенств

Цу)< F(x°y), F(x\jfi Цх°У). С)

Если матрица исходов А имеет сбалансированную подматрицу с балансовыми векторами х* = (jcj*,..., хп*) и у* = (уI*, ... ), то для того, чтобы ситуация (х*, у*) являлась ситуацией равновесия по Нэшу, необходимо проверить выполнение неравенств (*) для i е Spx*, j е Spy*.

ЛИТЕРАТУРА

1. Розен В. В. Описание ситуаций равновесия в играх с упорядоченными исходами //Математика, механика, математическая кибернетика :Сб. науч. тр. Саратов :Изд - во Сарат. ун - та, 1999. С. 128 - 131.

УДК 519.21

Л. Б. Тяпаев

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОВЕДЕНИЯ АВТОМАТОВ И ИХ НЕОТЛИЧИМОСТЬ

Рассмотрим задачу эквивалентности автоматов, используя их геометрическую модель поведения. Введем необходимые определения.

Автомат определяется как пятерка А = (5,ЛГ,У,5,Х.), где У - конечные непустые множества, называемые соответственно множеством состояний, множеством входных сигналов и множеством выходных сигналов

автомата, а 5Д • функции вида: 5:5Х'.БхХ , называемые функциями переходов и выходов соответственно. Автомат называется инициальным, если среди его состояний выделено одно £ е 5, называемое начальным. В дальнейшем инициальный автомат будем обозначать (А,s).

Под поведением инициального автомата (Л, я) понимается множество

пар слов вида Л ^ = {(р,р = р) ], где л е 5.

Поведение автомата в целом характеризуется множеством

А л = \{р, ?)| (3 5 е Б)р е X* p)=q\

Поведение. (А^) можно представить точечным образом в ограниченном подмножестве двумерного евклидова пространства <У

Г = {(Зс,^](Зс€[1>П + 1))?е[1,/и + 1)}) п = \Х\,т=\Г\. Считается, что точки пространства изображаются в декартовой системе координат с обычными представлениями о точках, кривых на плоскости и расстоянии между точками.

Под геометрическим образом автомата (А,з) понимается множество точек в Г вида

а1, ={(х,фре Х')(з<7 6 Г )(эш= (с„ с2,...,см)е гДэ4= (<!>„ Ь2,..., ^р|)е V,):

И с И ь

\(*,р) = Я& ю= е(р)ь $= Ня)к х = ХгЛтт&у = I, ,у-1>'

,=1 (и +1) ,-=1(от + 1)

где ИУ' -> взаимно однозначные отображения, а ,

к

= /у е {1,2,3,...}}.

Точки множества поместим на некоторую функциональную кривую. Кривая / называется функциональной кривой, если / есть график некоторой непрерывной функции.

Функциональная кривая f определяет поведение автомата (Л,я) в Г,

если / з С1А.

Поведение автомата А = (5, X, У, 8, А.) с / состояниями в Г будет определятся семейством кривых {/"/, |$| = /. Такие кривые будем называть автоматными.

Пусть даны автоматы А = (8Л,Х, У,8А,ХА) и В = (Бв,Х,У, 5вДв). Состояние 5 е г-неотличимо от состояния л' е 5В, если для любого р е Х~г

выполняется P>~r A(s,p))= prr B(s',p)). Неотличимость в этом

г

смысле состояний 5 и s' обозначим S as'. Предположим, что для любого состояния seSA существует г-неотличимое состояние s'eSB, и обратно, для любого состояния s' eSB существует г-неотличимое состояние s е S А. Говорим в указанной ситуации, что автоматы А и В г -неотличимы. Неот-

г

личимость автоматов А и В обозначаем А а В .

Две кривые называются конгруэнтными, если они могут быть получены одна из другой с помощью ортогонального преобразования. Конгруэнтные кривые мы будем называть также метрически эквивалентными.

Две кривые называются аффинно эквивалентными, если они могут быть получены одна из другой с помощью аффинного преобразования. Кривая /' называется аффинно эквивалентной кривой /, если /' является образом / при каком-нибудь аффинном преобразовании. Совокупность всех кривых, аффинно эквивалентных какой-нибудь определенной кривой /, называется аффинным классом кривой /. Понятно, что если кривые / и /' аффинно эквивалентны, то их аффинные классы совпадают.

Справедливо следующее утверждение:

ТЕОРЕМА. Пусть \ff , \fsB - семейства автоматных кривых, определяющих поведение автоматов A=(Sa,X,Y,8a,Xa),

В = (SB,X,Y,8B,XB) в Г. Если для любой кривой fs , seSA существует метрически эквивалентная в Г кривая //, s' eSB, и обратно, для любой

в А 2

кривой fy существует метрически эквивалентная кривая fs , то А ~ В.

Доказательство. Ортогональные преобразования подразделяются на два класса преобразований: ортогональные преобразования первого и второго рода. На плоскости каждое ортогональное преобразование первого рода есть либо чистый параллельный перенос, либо чистый поворот вокруг некоторой точки; каждое ортогональное преобразование второго рода есть произведение отражения в некоторой прямой на параллельный перенос в направлении этой прямой (причем этот параллельный перенос может сходиться к тождественному преобразованию).

Если автоматная кривая (функциональная кривая) полностью определена в Г, то в результате применения к ней ортогонального преобразования получим вновь кривую, полностью лежащую в Г лишь в случае параллельного переноса исходной кривой вдоль оси ординат, либо поворота на 360° вокруг начала координат, либо отражения в прямой J = 0 с последующим параллельным переносом. Все иные ортогональные преобразования приведут

к тому, что образ кривой окажется вне Г, а, следовательно, этот образ перестанет быть образом автоматной кривой.

При преобразования параллельного переноса вдоль оси ординат кривой, выражаемой уравнением у = /(*), получаем кривую, выражаемую уравнением у' = f(x)+k, где к = const. В случае поворота, данное преобразование можно представить матрицей вида 'costp -sin(pN

, где ф - угол поворота.

ksmcp cos ф ^

(\ 0>

При ф = 360 ° матрица преобразования получает вид ^ ^

При указанных преобразованиях точка (?,>>) перейдет в точку (х'.у'), так что в случае переноса х' = х, у' = у+ к, в случае поворота х' = х , у' = у, а при отражении х' = х, у' = -у. Как было отмечено выше, при отражении кривой // в прямой у = 0 образ преобразования окажется вне Г. Однако применение преобразования параллельного переноса к полученному образу приведет к тому, что образ кривой fsA вновь окажется в Г.

Поскольку случай поворота является тривиальным, а случай чистого отражения не может привести к образу автоматной кривой, достаточно рассмотреть случай параллельного переноса. Пусть (х, j?) - произвольная точка

1 с 1 b

кривой fs, seSA, такая что х = —Lrrr, У = -Чтт> где leZ+>

,=i(n + l) /=i \т +1)

с, е {1,2,... ,и}, 6, е {1,2,..., т).

Если образ преобразования кривой // метрически эквивалентен кри-

/ у

вой //, s'eSB, то ?' = Z7-Чтгг и У' = У + к< гДе keZ+, причём

/=1 (т + 1)

Имеем У = Х7-* ч/—i • ^ Равенства у' = у + к следует, что

у' е [1,/л +1) (в случае к £ 2* точка (Зс',у') перестает быть точкой геометрического образа автомата).

£-к.

м(« + 1)'

Ь[=Ьх+к, Ь\ = 6, для / = 2,3,...,/. Сопоставим числу у' слово ц над алфави-

Ш (у, и)

том У так, что у' <?', ц = уЬ] +куЬ2-Уьп где еК. Из у и ? получаем <7 =Уь\Уь2—УЬ1 • Сравнивая слова , приходим к выводу, что Ргг.\ч\Ч = рг2.Нч'.

Проведя все необходимые рассуждения с кривой //, 5' е 5В, окончательно получаем, что для любого состояния существует

2-неотличимое состояние 5' е и обратно, для любого состояния 5' е существует 2-неотличимое состояние я е . Непосредственно из определе-

2

ния неотличимости следует, что А « В. □

Автору представляется весьма перспективным изучение аффинных классов автоматных кривых с целью исследования неотличимости автоматов.

УДК 512.532

П. М. Хрусталев О ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

В данной работе исследуется один класс взаимно-однозначных отображений на множестве булевых функций п переменных. Доказывается, что этот класс образует группу относительно композиции, мощность которого равна 2". Показывается, что отображения класса сохраняют линейность и самодвойственность булевых функций, а также сохраняют их нелинейность и несамодвойственность. Исследуются ядра отображений класса.

Замена аргумента х, в булевой функции его отрицанием х,- в общем случае изменяет функцию, т.е. =/(х1,...Д,,...гх„)

Выбор /'-го аргумента х1 (1</<и) определяет отображение Q¡ •.Fn^^ Рп на множестве Р„ п таких отображений:

.Дх,,..., х„) ® >Дх,,..., х„),

Ахи - , хп) вя >ДХ], ..., х„).

Функции (Дх,,...,х„...,х,,)) = ..¿сп), 1 <i<n, построены из

функций у(*1,...,х„) и, следовательно, сохраняют некоторые свойства последней, иными словами, являются ее приближенными "копиями" (проекциями).

По такой же схеме из полученных функций построим новые: 6Д6< (/(*ь-Л,-г*п))) =/(*ь-,*,.....х],...гхП), и так далее.

Целью данной статьи является исследование класса всех отображений на множестве Рп, порожденных отображениями ■■■,£)„ с помощью суперпозиции 5.

Для исследования удобен алгебраический подход и другая индексация базовых (порождающих) отображений.

Базовые отображения будем обозначать 0(о,|.....1).....ба,...,1,о) соответственно, элементы класса - <2(а......где а,- е {0,1}, 1 < г < и, а суперпозицию 5(б(Р1.....Рл),б(а,,...,«„)) = б(у,,...,?„) заменим операцией о, Где

<2(а1,...,а„)°<2ф......р„) = б(т,.....уп)'